Die Grundlagen der Arithmetik

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Frege Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik

Einleitung

I. Meinungen einiger Schriftsteller über die Natur der arithmetischen Sätze

Sind die Zahlformeln beweisbar?

Sind die Gesetze der Arithmetik inductive Wahrheiten?

Sind die Gesetze der Arithmetik synthetisch apriori oder analytisch?

II. Meinungen einiger Schriftsteller über den Begriff der Anzahl

Ist die Anzahl eine Eigenschaft der äusseren Dinge?

Ist die Zahl etwas Subjectives?

Die Anzahl als Menge

III. Meinungen über Einheit und Eins

Drückt das Zahlwort »Ein« eine Eigenschaft von Gegenständen aus?

Sind die Einheiten einander gleich?

Versuche, die Schwierigkeit zu überwinden

Lösung der Schwierigkeit

IV. Der Begriff der Anzahl

Jede einzelne Zahl ist ein selbständiger Gegenstand

Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen

Ergänzung und Bewährung unserer Definition

Unendliche Anzahlen

V. Schluss

Andere Zahlen

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§ 5. Man muss die Zahlformeln, die wie 2 + 3 = 5 von bestimmten Zahlen handeln, von den allgemeinen Gesetzen unterscheiden, die von allen ganzen Zahlen gelten.

Jene werden von einigen Philosophen8 für unbeweisbar und unmittelbar klar wie Axiome gehalten. Kant9 erklärt sie für unbeweisbar und synthetisch, scheut sich aber, sie Axiome zu nennen, weil sie nicht allgemein sind, und weil ihre Zahl unendlich ist. Hankel10 nennt mit Recht diese Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahrheiten unangemessen und paradox. Sie widerstreitet in der That dem Bedürfnisse der Vernunft nach Uebersichtlichkeit der ersten Grundlagen. Und ist es denn unmittelbar einleuchtend, dass

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Mill versteht das + Zeichen so, dass dadurch die Beziehung der Theile eines physikalischen Körpers oder eines Haufens zu dem Ganzen ausgedrückt werde; aber das ist nicht der Sinn dieses Zeichens. 5 + 2 = 7 bedeutet nicht, dass wenn man zu 5 Raumtheilen Flüssigkeit 2 Raumtheile Flüssigkeit giesst, man 7 Raumtheile Flüssigkeit erhalte, sondern dies ist eine Anwendung jenes Satzes, die nur statthaft ist, wenn nicht infolge etwa einer chemischen Einwirkung eine Volumänderung eintritt. Mill verwechselt immer Anwendungen, die man von einem arithmetischen Satze machen kann, welche oft physikalisch sind und beobachtete Thatsachen zur Voraussetzung haben, mit dem rein mathematischen Satze selber. Das Pluszeichen kann zwar in manchen Anwendungen einer Haufenbildung zu entsprechen scheinen; aber dies ist nicht seine Bedeutung; denn bei andern Anwendungen kann von Haufen, Aggregaten, dem Verhältnisse eines physikalischen Körpers zu seinen Theilen keine Rede sein, z. B. wenn man die Rechnung auf Ereignisse bezieht. Zwar kann man auch hier von Theilen sprechen; dann gebraucht man das Wort aber nicht im physikalischen oder geometrischen, sondern im logischen Sinne, wie wenn man die Ermordungen von Staatsoberhäuptern einen Theil der Morde überhaupt nennt. Hier hat man die logische Unterordnung. Und so entspricht auch die Addition im Allgemeinen nicht einem physikalischen Verhältnisse. Folglich können auch die allgemeinen Additionsgesetze nicht Naturgesetze sein.

§ 10. Aber sie könnten vielleicht dennoch inductive Wahrheiten sein. Wie wäre das zu denken? Von welchen Thatsachen soll man ausgehen, um sich zum Allgemeinen zu erheben? Dies können wohl nur die Zahlformeln sein. Damit verlören wir freilich den Vortheil wieder, den wir durch die Definitionen der einzelnen Zahlen gewonnen haben, und wir müssten uns nach einer andern Begründungsweise der Zahlformeln umsehen. Wenn wir uns nun auch über dies nicht ganz leichte Bedenken hinwegsetzen, so finden wir doch den Boden für die Induction ungünstig; denn hier fehlt jene Gleichförmigkeit, welche sonst diesem Verfahren eine grosse Zuverlässigkeit geben kann. Schon Leibniz19 lässt dem Philalèthe auf seine Behauptung:

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