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Alexander Schaile. Zahlen, Buchstaben und Forme(l)n
Handhabung des Buches
Teil A: Arithmetik
1 Was wir im Teil A lernen
2 Zählen
Eins
Bedeutung der Zahlen
Assoziation mit der Zahl Eins
Zwei
Assoziation mit der Zahl Zwei
Drei
Vier
Fünf
Sechs
Sieben
Acht
Neun
Null und Zehn
Merkfähigkeit
Eins bis Zwanzig (natürliche Zahlen)
3 Plus
Ähnliches zusammenfassen
Zahlensinn
Auswendig lernen: Einspluseins-Tafel
Gerade und ungerade
Fingerrechnen bei der Addition
Kleiner Fünf
Größer Fünf
Kleiner und größer Fünf
Zahlenverständnis
Zusammenfassung der Addition
Subtraktion
Zahlenstrahl
Rechnen am Zahlenstrahl
Vertauschungsgesetz
Ordnen
Ganze Zahlen
Ein Rechenverfahren der Addition
Siebzehn und Vier
Zahlenraum bis zu einer Million
Rechenverfahren der Subtraktion
Entbündeln
Ergänzen
Mehrere Lösungswege
4 Mal
Ordnen und vertauschen
Zerlegen
Fingerrechnen bei der Multiplikation
Kleiner Fünf
Kleiner und größer Fünf
Größer Fünf
Punkt vor Strich
Kopfrechnen
Kombinieren
Halbschriftliche Multiplikation
Schriftliche Multiplikation
Übungsaufgabe
Division
Brüche
Umkehrung der Multiplikation
Halbschriftliche Division
Schriftliche Division
Übungsaufgabe
Mehrstellige Zahlen dividieren
Runden
Übungsaufgabe
Bruchrechnen
Hauptnenner bei Addition und Subtraktion
Brüche malnehmen
Rationale Zahlen
Prozentrechnen
Kürzen mit Primfaktoren
Größter gemeinsamer Teiler
5 Hoch
Zehnerpotenzen
Wissenschaftliche Schreibweise
Potenzen verknüpfen
Erstes Potenzgesetz
Zweites Potenzgesetz
Drittes Potenzgesetz
Weitere Vereinfachungen
Potenz vor Punkt vor Strich
Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich
Vorzeichen beachten
Vorzeichen getrennt berechnen
Brüche als Hochzahlen
Wurzel ziehen
Quadratzahlen
Schematisches Rechnen
Besonderheiten
Intervallschachtelung
Reelle Zahlen
Höhere Wurzeln
Übungsaufgabe mit verschiedenen Lösungswegen
Kontrolle
Operieren: zerlegen und zusammensetzen
Logarithmus
Rückführung auf einfachere Rechenoperationen
Logarithmentafeln und Taschenrechner
Einfache Übungsaufgabe
Komplexe Übungsaufgabe
Kopfrechnen
6 Zahlenreihen
Wörtlich ausformulierte Formeln
Symbolfolgen
Regelmäßige Strukturen im Alltag
Muster erkennen
Primzahlfolge
Sieb des Erathostenes
Verschlüsselung von Daten
RSA-Verschlüsselung
ASCII-Code
Weitere Verschlüsselungsverfahren
Einteilung der Folgen nach Abständen
Monotonie
Grenzwert als Näherungswert
Konvergenz
Divergenz
Ausblick
7 Wahrscheinlichkeit
Absolute Häufigkeit
Relative Häufigkeit
Darstellung mit einer Tabelle
Beschreibende Statistik
Darstellung mit Diagrammen
Zusammenhang von Statistik und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit
Gesetz der großen Zahl
Prognosen
Günstige durch Mögliche
Erster Wurf
Zweiter Wurf
Baumdiagramm
Vertauschungen beachten
Darstellung mithilfe von Urnen und Kugeln
Berechnung mit Brüchen
Ohne Zurücklegen
Vergleich zum Ziehen mit Zurücklegen
Bestimmung der Anzahl an Möglichkeiten
Anzahl der Vertauschungen bei fester Reihenfolge
Anzahl der Vertauschungen ohne feste Reihenfolge
Pascalsches Dreieck
Besondere Eigenschaften
Pascal-Sierpinski-Dreieck
Kleiner Fermatscher Satz
Binomische Formeln
Binomialkoeffizienten
Weitere Beispiele
Kombinatorik
(Nicht-)Treffer
Bernoulli-Experimente
Übungsaufgabe
Zufallsvariable
Erwartungswert
Durchschnitt
Glücksspiele
Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel 1)
Vierfeldertafel
Spezieller Multiplikationssatz
Inverses Baumdiagramm
Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel 2)
Verknüpfungen mit UND/ODER
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Vergleich der Beispiele 1 und 2
Ratekunst
Teil B: Algebra
1 Was wir in Teil B lernen
2 Platzhalter
Terme
Ausmultiplizieren und Ausklammern
Grundlegende Gesetze der Algebra
Multiplikation von Klammerausdrücken
Binomische Formeln
Kopfrechnen
Binome höherer Art
Abstrakte Formeln mit Variablen
Potenzen und Logarithmen
Zahlenreihen
Explizite und rekursive Darstellung
Umwandlung arithmetischer und geometrischer Folgen
Darstellung von komplexen alternierenden Folgen
Darstellung von einfachen alternierenden Folgen
Muster bei Symbolfolgen
Monotonie
Grenzwerte
Beschränktheit
Wahrscheinlichkeitsformeln
Pfadregeln und Gegenereignis
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Formeln der Kombinatorik
Bernoulli-Formel und Summenformel
Eine schöpferische Pause
Eine kleine Formelsammlung
3 Gleichung
Drei Mal dasselbe
Veranschaulichung mit der Balkenwaage
Immer beide Seiten beachten
Gleichwertige Umformungen
Definitionsmenge
Beispiel
Zielführung
Eine Unbekannte
Wurzelgleichung
Verschiedene Gleichungsformen
Quadratische Gleichung
Quadratische Ergänzung
Quadratische Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Exaktes Rechnen
Vergleich der Verfahren
Bruchgleichung
Nenner beseitigen
Eine neue Herausforderung
Lösungsformen
Intervallschreibweise
Satz von Vieta
Prozentrechnen
Dreisatz
Übungsaufgaben
Proportionen
Größenvergleich
Gewicht
Geld
Währungsumrechnung
Verschiedene Zahlungsmittel
Geldstücke und Scheine
Optimal bezahlen
Zeit
Ein (Schalt-)Jahr
Umwandlung ins Zehnersystem
Schreibweisen
Uhrzeit
Verschiedene Sprechweisen
Räderuhr
Proportionale Zuordnungen
Umgekehrt proportionale Zuordnungen
Weitere Beispiele
Mehrere Größen
Eine Kombination aus Beidem
Antwortsatz
Eine kleine Formelsammlung
4 System
Annahmen
Mehrere Variablen, mehrere Bedingungen
Einsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Ein System
Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Erste Stufe
Zweite Stufe
Von der Treppe zur Lösung
Allgemeingültige Gleichungssysteme
Allgemeine, eindeutige und unlösbare Gleichungssysteme
Unlösbare Gleichungssysteme
Systematische Vorgehensweise
Eigenständig und kreativ
5 Anwendung
Vektor und Matrix
Rechengesetze
Multiplikation von Matrizen
Falk-Schema
Kein Vertauschen möglich
Quadratische Matrizen
Inverse Matrizen
Transponierte Matrizen
Grundlegende Rechengesetze
Matrixgleichung
Wirtschaftliche Anwendungen
Leontief-Modell
Materialverflechtungen
Kosten und Preise
Lineare Optimierung
Eckpunktberechnungsmethode
Übungsaufgabe
Simplexverfahren
Teil C: Geometrie
1 Was wir im Teil C lernen
Eine kleine Formelsammlung
2 Punkt
Ortsbestimmung am Zahlenstrahl
Zweidimensionales Koordinatensystem
Dreidimensionales Koordinatensystem
Begrifflichkeiten
Die Schrägperspektive
Exakte Ortsangaben
Spiegelungen
Theoretische Überprüfung
Verschiebung
3 Linie
Vektor
Gerade
Hauptform: Achsenabschnitt und Steigung
Eine Gerade geht durch zwei Punkte
Punktsteigungsform
Darstellung der Steigung
Gegenseitige Lage
(Schnitt-)Winkel
Verschiedene Schreibweisen
Verschiedene Winkel
Ableitbare Winkel
Bildhafte Darstellung
Parallelität
Grundlegenden Konstruktionsmethoden
Kreislinie und Pi
Parallele Geraden
Senkrechte Geraden
Eine Strecke vervielfachen und teilen
Einen Winkel halbieren
Winkeldrittelung
Einen Winkel vervielfachen
Ein Geodreieck vereinfacht viele Konstruktionen
4 Fläche
Begrenzte Flächen
Mathematik und Philosophie
Kreisberechnungen
Übungsaufgabe
Erster Lösungsansatz
Zweiter Lösungsansatz
Rechteck
Quadrat
Raute, Parallelogramm und Drachen
Trapez und allgemeine Vierecke
Weitere Formeln für Umfang und Inhalt
Vom Allgemeinen zum Speziellen
Einteilung von Dreiecken
Konstruktion von Dreiecken
Kongruenzsatz sss
Planfigur
Eine unmögliche Konstruktion
Kongruenzsatz sws
Kongruenzsatz wsw und Winkelsumme
Kongruenzsatz Ssw
Satz des Thales
Besondere Punkte im Dreieck
Umfang und Fläche
Satz des Pythagoras
Allgemeine Formulierung
Berechnung am gleichseitigen Dreieck
Pythagoräisches Zahlentripel
Allgemeine Formel
Pythagoras mit Dreiecken statt Quadraten
Konstruktion der Länge √2
Trigonometrie
Spezielle Werte
Sinuskurve
Einheitskreis und die Kosinuskurve
Ablesen spezieller Werte
Geometrische Berechnungen
Sinussatz
Kosinussatz
Übungsaufgabe
Berechnung im rechtwinkligen Dreieck
Zerlegung in Teilflächen
Maßstab
Ähnlichkeit
Strahlensatz
Flächenvergrößerung
Praktische Beispiele
Eine kleine Formelsammlung
5 Raum
Körper
Spezialfall Würfel
Quader
Prisma
Zylinder
Spitze Körper: Pyramide und Kegel
Regelmäßige Stümpfe
Kugel
Ein Vergleich: Kegel, Halbkugel und Zylinder
Volumen als Hohlmaß
Platonische Körper
Tetraeder
Hexaeder
Oktaeder
Dodekaeder und Ikosaeder
Ähnliche Körper
Mittelpunktswinkel
Räumliche Darstellung
Dreitafelprojektion
Weitere Perspektiven
Eine kleine Formelsammlung
6 Vektoren
Punkt und Vektor
Länge eines Vektors
Gerade und Vektor
Mehrere Darstellungsarten
Punktprobe
Lineare (Un-)Abhängigkeit
Nachweis mit einem linearem Gleichungssystem (LGS)
Lagebeziehungen von Geraden
Beispielaufgabe
Parallelverschiebung
Schnittwinkel zweier Geraden
Graphische Darstellung
Ebenen
Skalarprodukt
Normalenvektor
Kreuzprodukt
Von der Normalenform zur Koordinatenform
Spurpunkte
Parallelität mit den Koordinatenachsen und Koordinatenebenen
Lagebeziehungen von zwei Ebenen
Weitere Lagebeziehungen
Schnittwinkel mit Ebenen
Abstände
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Übungsaufgabe
Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden
Mathematisch exakte Beschreibung eines Hauses
Vektorbasierte Programme
Eine kleine Formelsammlung
Analysis
1 Was wir in Teil D lernen
2 Funktion
Eindeutige Zuordnung
Relation
Umkehrfunktion
Quadratische Funktion
Darstellung im zweidimensionalen Koordinatensystem
Verschiebung, Streckung und Spiegelung
Von der Hauptform zur Scheitelform
Weitere Funktionsarten
Ganzrationale Funktion
Symmetrieeigenschaften
Verhalten für „plus oder minus unendlich“
Schnittpunkte mit den Achsen
Nullstellen
Polynomdivision
Horner-Schema
Substitution
Gebrochene Funktion
Beispielaufgabe
Skizze des Schaubildes
Weitere Asymptoten
Exponentialfunktion
Verschieben, strecken und spiegeln
Konfuzius
Zahl e (Eulersche Zahl)
e-Funktion
Exponentielles Wachstum
Exponentielles Wachstum mit e
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Trigonometrische Funktion
Sinuskurve
Kosinus- und Tangenskurve
Nullstelle, Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt
Funktionen gestalten
Kombinationsmöglichkeiten
3 Differentialrechnung
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit
Konstante Beschleunigung
Sekantensteigung
Tangentensteigung
Ableitung
Betragsfunktion
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Ableitungsregeln
Produktregel
Kettenregel
Quotientenregel
Ableiten mit dem natürlichen Logarithmus
Anwendungen
Extrempunkte
Wendepunkt und Sattelpunkt
Notwendige und hinreichende Bedingung
Differenzialgleichungen beim Wachstum
Charakterisierung
4 Integralrechnung
Integral als Fläche unter dem Schaubild
Stammfunktionen bilden
Kettenregel
Flächen zwischen zwei Kurven
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Übungsaufgabe
Keplersche Fassregel
Uneigentliches Integral
Rotationskörper
Mittelwert
Besondere Rotationskörper
Eine kleine Formelsammlung
