Рассуждения об основах математики

Оглавление

Анатолий Николаевич Овчинников. Рассуждения об основах математики

1. Введение

Основная часть

1. Рациональное и иррациональное осмысление экспериментальных фактов

2. Существуют ли априорные истины?

3. Особенности описания математическим аппаратом реальной картины мира

4. Кое-что к размышлению

5. Ещё раз о построении и рисовании в геометрии

6. Доказательство методом от противного и методом от непротивного

7. Математика и понятие движения

8. На самом ли деле математика есть дедуктивная наука?

9. Абсолютное и относительное в математике

10. Геометрия и математические формулы

11. Измерение и математическое равенство

12. О будущем евклидовой и неевклидовых геометрий

Дополнение. Квант угла

Д 1. Постановка задачи

Д 2. Максимально простой способ деления окружности на равные части

Д 3. Что известно о кванте угла из экспериментов?

Д 4. Что говорят астрономы о кванте угла?

Д 5. Непрерывная и квантовая геометрии

Д 6. О квантовании в микромире

Д 7. О квантовании в сверхмакромире

Заключение

Литература

Отрывок из книги

Мы не будем здесь давать строгое определение понятию рационального осмысления экспериментальных фактов (оно вряд ли возможно). Мы ограничимся здесь лишь некоторыми примерами из науки рационального и нерационального (иррационального) осмысления экспериментальных фактов.

Пример 1. Геометрия. Геометр строит фигуры: точки, прямые, окружности и так далее. Существование всех этих реальных фигур есть экспериментальный факт. Как осмысливает эти экспериментальные факты геометр? Он говорит: «Я допущу, что в реальном пространстве существуют не только те реальные фигуры, которые я построил, но и идеальные фигуры, которые я буду строить, имея также для этого идеальные инструменты. А это значит, что могут быть построены и существуют идеальные фигуры (идеальная точка, идеальная прямая, идеальная окружность и так далее)». Это – рациональное осмысление экспериментальных фактов. В самом деле. Существование идеальных фигур в реальном пространстве нисколько не меняет ни свойств самого пространства, ни свойств самих реальных фигур. Реальные и идеальные фигуры существуют в одном (общем для них) реальном пространстве, нисколько не мешая друг другу. А вот изучать свойства фигур целесообразно начинать со свойств идеальных фигур. После того, как это будет сделано, достаточно сравнить свойства реальных фигур со свойствами идеальных фигур. И что же мы увидим? Мы увидим, что свойства реальных фигур тем меньше отличаются от свойств идеальных фигур, чем точнее построена эта реальная фигура. И отличие свойств реальной фигуры от идеальной всегда может быть выражено с известной степенью точности. Во всех этих рассуждениях особо следует подчеркнуть важность материалистического подхода к изучению законов реального пространства. Началом всему являются экспериментальные факты. Не было бы этих фактов, нечего было бы и осмысливать.

.....

В математическом анализе это означает, что Δt стремится к нулю и слева (оставаясь меньше нуля) и справа, оставаясь больше нуля. Производная существует, если в обоих этих случаях предел один и тот же:

Математический аппарат обязательно требует, чтобы Δt в формуле могло быть как меньше нуля, так и больше нуля. В противном случае определение производной будет противоречиво (если пределы слева и справа – различны, то производная в данной точке не существует). А что говорят реальные опыты (эксперименты)? В реальных опытах Δt никогда не бывает меньше нуля. Время – специфическая физическая величина, её измерение связано с подсчетом числа произошедших событий (периодов часов). Ситуация когда

.....