Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Оглавление

Денис Владимирович Соломатин. Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Предисловие

Глава 1. Динамическое моделирование разностными уравнениями

1.1. Мальтузианская модель

1.2. Нелинейные модели

1.3. Анализ нелинейных моделей

1.4. Вариации на тему логистической модели

1.5. Комментарии к дискретным и непрерывным моделям

Глава 2. Линейные модели структурированных популяций

2.1. Линейные модели и матричная алгебра

2.2. Матрицы перехода для структурированных моделей

2.3. Собственные векторы и собственные значения

2.4. Вычисление собственных векторов и собственных значений

Глава 3. Нелинейные модели взаимодействий

3.1. Простая модель хищник–жертва

3.2. Равновесие мультипопуляционных моделей

3.3. Линеаризация и стабильность

3.4. Положительные и отрицательные взаимодействия

Глава 4. Моделирование молекулярной эволюции

4.1. Справочная информация о ДНК

4.2. Введение в теорию вероятностей

4.3. Условные вероятности

4.4. Матричные модели замещения оснований

4.5. Филогенетические расстояния

Глава 5. Построение филогенетических деревьев

5.1. Филогенетические деревья

5.2. Построение дерева дистанционными методами UPGMA и FM

5.3. Построение дерева дистанционным методом присоединения соседей

5.4. Построение дерева методом максимальной экономии

5.5. Другие методы

5.6. Приложения и перспективы

Глава 6. Генетика

6.1. Менделевская генетика

6.2. Вероятностные распределения в генетике

6.3. Сцепление генов

6.4. Частота генов в популяциях

Глава 7. Моделирование инфекционных заболеваний

7.1. Простейшие эпидемические модели

7.2. Пороговые значения и критические параметры

7.3. Вариации на тему модели SIR

7.4. Множественные популяции и

Глава 8. Подгонка кривых и биологическое моделирование

8.1. Подгонка кривых к данным

8.2. Метод наименьших квадратов

8.3. Подгонка полиномиальной кривой

Глава 9. Основы анализа числовых данных

9.1. Усреднение результатов измерений

9.2. Визуализация изменчивых данных, гистограммы и распределения

9.3. Среднее значение, медиана и мода

9.4. Дисперсия

9.5. Генеральные совокупности и выборки

9.6. Практика

Отрывок из книги

Связь между техническими и гуманитарными науками становится всё теснее. Классические задачи, такие как моделирование популяций и заболеваний, сменяются новыми проблемами моделирования машинного обучения, усложняющимися по мере накопления эмпирических данных, и вновь делают математику перспективной сферой человеческой деятельности. Не секрет, что естественный интеллект на сегодняшний день превосходит искусственного лишь эмоциональной составляющей и математической интуицией. Именно поэтому предполагается, что данная сфера будет по-прежнему одной из самых быстрорастущих.

Мы считаем, что межпредметные связи должны проявляться на всех уровнях математического образования. Студенты-математики получают определённый опыт и несомненную пользу, наблюдая приложения математики из неожиданных областей, открытых для них, извлекают выгоду из изучения того, как математические инструменты могут помочь им реализовать свои собственные проекты. Образ дидактики как нематематической науки, который сохраняется среди многих студентов педагогических колледжей, оказывает медвежью услугу тем, кто придерживается такой точки зрения. Настоящая монография является попыткой представить некоторые существенные темы математического моделирования на принципиально новом языке, адаптированном к математическому образованию. Надеемся, что это может мотивировать некоторых студентов-математиков педагогических специальностей продолжать свои математические исследования за пределами традиционного уровня. Такие студенты, как правило, имеют сильный интерес к математике и базовую математическую подготовку, достаточную для самостоятельного изучения её приложений. Таким образом, мы не предполагаем никакой дополнительной подготовки в области высшей математики за пределами классического курса; моделирование с помощью разностных уравнений позволяет свести к минимуму предварительную подготовку. Математические темы, обычно изучаемые на факультативных курсах, вводятся по мере необходимости для моделирования и последующего анализа полученных моделей. Несмотря на такой план изложения, мы знаем, что многие студенты изучают курс высшей математики и, возможно, другие специализированные курсы. Поэтому без колебаний включим вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения (они выделены курсивом отдельно), которые могут пригодиться тем, у кого есть дополнительная математическая подготовка. По нашему опыту работы в группах физико-математического профиля, студенты с фундаментальным образованием нашли для себя здесь много нового. Большая часть материала также апеллирует к знаниям студентов и по другим дисциплинам, которые просто интересны и занимательны сами по себе. Следовательно, монография может быть продуктивно использована как для проведения аудиторных занятий, так и для самостоятельного изучения на разных уровнях.

.....

1.3.1. Точки равновесия модели располагаются там, где график зависимости  от  пересекает прямую линию . Предположим, что фокусируемся на участке графика вокруг точки равновесия и увеличиваем масштаб так, чтобы график функции  от  казался прямой линией. В каждой из моделей, показанных на рисунке 1.8, решите, является ли равновесие стабильным или нестабильным, выбрав значение  близкое к устойчивому состоянию, а затем изобразите паутинную диаграмму.

Рисунок 1.8. Заготовки паутинных диаграмм для задачи 1.3.1.

.....