Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Оглавление

Хаим Шапира. Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Предисловие

Разминка. Краткое введение в размышления

Великое маленькое исследование – открытая проблема

Загадка шахматной доски

Бесконечные крестики-нолики

Монах и его задача{3}: взгляд с обеих сторон

Математика тенниса: бесконечность – это сколько?

Первое апреля, или Логика в доме старшего брата

Шоколад и яд

1. Чудесный мир чисел: Пифагор

Человек и легенда

О музыке и числах

Начало прекрасной дружбы – дружественные числа

Числа женские и числа мужские

Самовлюбленные числа

Сколько весит число? Числа совершенные, «толстые» и «тонкие»

Интересные и скучные люди, интересные и скучные числа

Бывают ли вообще скучные числа?

2. Рамануджан и камешки Пифагора

I. Человек, познавший бесконечность

II. Пифагор на пляже

3. Тайная жизнь простых чисел

«Эврика» Евклида

Числа Мерсенна и Книга рекордов Гиннесса

Поиски чудотворной формулы

Теорема Дирихле

Царство составных чисел

Еще о частоте простых чисел

Прямая дорога к докторской степени

Близнецы, тройняшки, кузены и сексуальные простые числа

Примечание для математиков: сходимость обратных значений простых чисел

Устойчивые простые числа

Палиндромы

Гипотеза Лежандра

Простые числа Софи Жермен

Загадка Гольдбаха, или Кто хочет стать миллионером?

Харди хвалит Ферма

4. Великое открытие Пифагора

Иррациональное число!!!

А теперь объяснения

Комментарий и пять упражнений

5. Черепаха, Ахиллес и стрела: апории Зенона

Взгляды Парменида на жизнь

Апория № 1. Дихотомия, или Иллюзия движения

Апория № 2. Пята Ахиллеса и крадущаяся черепаха

Апория № 3. Полет стрелы – покой и движение

Занимаемся апориями Зенона

Математик в космосе

6. Царство бесконечности Георга Кантора: Теория множеств

Любовь с третьего урока

Георг Кантор – человек, видевший бесконечность

Апология Кантора

Введение в теорию множеств. Что такое множество?

Брить или не брить – парадокс Рассела

Два типа множеств

7. Гранд-отель «бесконечность» имени Гильберта

Объяснение профессора Финкельштейна-Островского-Канторовича

Интермедия

8. Кардинальные числа и укрощение бесконечности

О футболистах и манекенщицах (одно-однозначное соответствие)

Одно-однозначное, или инъективное, соответствие или отображение (1:1)

Сюръективное соответствие

Парадокс Галилео Галилея

Мощность бесконечных множеств

В отель Гильберта приезжают счетно-бесконечные множества

Каникулы алгебраических чисел в отеле Гильберта

ℵ: бо́льшая бесконечность – мощность континуума

Слова, слова, слова

Еще одно (приятное) доказательство несчетности всех чисел на отрезке [0,1]

О радость! Никто не равнее других

Сменим тему

Континуум-гипотеза и недостающая аксиома

Парадокс Ришара (о большинстве вещей нам сказать нечего)

Вычислимые числа

Что такое π?

Что такое е?

Невычислимые вещественные числа

Бесконечность бесконечна

Булеаны

Парадокс Бурали-Форти

Арифметика кардинальных чисел

Множество Кантора

Заключение

Выражение благодарности

Дополнительная литература

Об авторе

Отрывок из книги

Английский биолог и популяризатор науки Ричард Докинз заметил однажды, что никто и никогда не признается с гордостью в невежестве и необразованности по части литературы, но неосведомленность в точных науках, ярче всего воплощающаяся в абсолютном незнании математики, вовсе не считается чем-то постыдным. Докинз заметил это обстоятельство не первым: он и сам указывает, что это утверждение давно превратилось в клише.

Это, разумеется, истинная правда. Никто не станет хвалиться, что никогда не читал книг, не видел ни одного произведения искусства, никогда – ни разу в жизни – не был растроган музыкой. Если провести опрос, я совершенно уверен, что не найдется ни одного образованного взрослого человека, никогда не слыхавшего о Шекспире, Рембрандте или Бахе. По всей вероятности, участники такого опроса знали бы и имена великих математиков Пифагора, Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна. Но многие ли слышали о Леонарде Эйлере, Сринивасе Рамануджане или Георге Канторе?

.....

Когда же монах закончил свои поучения, пришло время спуститься с горы и вернуться в свою деревню. Он начал спускаться в то же время, когда начинал подниматься – с появлением первых солнечных лучей, – и шел в точности по тому же пути, что и раньше. Спускался старый монах, разумеется, гораздо быстрее, чем поднимался. Когда он дошел до конца спуска, ему в голову пришло, что на тропе, несомненно, есть такая точка, которую он проходил на подъеме и на спуске в точности в одно и то же время суток.

Как монах пришел к этому выводу? Если вы еще не нашли ответа на этот вопрос за десять секунд размышлений, вот вам вполне очевидная подсказка:

.....