Оглавление
Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи
Предисловие
1. Великие задачи
2. Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха
3. Тайна числа π. Квадратура круга
4. Загадки картографии. Теорема о четырех красках
5. Сферическая симметрия. Гипотеза Кеплера
6. Новые решения старой задачи. Гипотеза Морделла
7. «Недостаточные» поля. Великая теорема Ферма
8. Орбитальный хаос. Задача трех тел
9. Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана
10. Какой формы сфера? Гипотеза Пуанкаре
11. Не могут они все быть легкими. Задача P/NP
12. Потоковое мышление. Уравнение Навье – Стокса
13. Квантовая головоломка. Массовая щель
14. Диофантовы мечты. Гипотеза Берча – Свиннертон-Дайера
15. Комплексные циклы. Гипотеза Ходжа
16. Куда дальше?
17. Двенадцать задач на будущее
Задача Брокара
Нечетные совершенные числа
Гипотеза Коллатца
Существование правильного кубоида
Гипотеза об одиночестве бегуна
Гипотеза Конвея о трекле
Иррациональность постоянной Эйлера
Действительные квадратичные числовые поля
Муравей Лэнгтона
Гипотеза Адамара
Уравнение Ферма – Каталана
Гипотеза ABC
Глоссарий
Отрывок из книги
Математика – обширная, непрерывно растущая и столь же непрерывно меняющаяся область знания. Среди бесчисленных вопросов, которыми задаются математики и на которые они по большей части находят ответы, есть немало и таких, которые стоят особняком и возвышаются над всеми прочими, словно горные пики – над предгорьями. Это действительно сложные проблемы, и любой математик отдал бы правую руку за возможность первым найти решение одной из таких масштабных задач. Некоторые из них оставались нерешенными десятилетиями, иные – столетиями, а есть и такие, что не поддавались усилиям математиков несколько тысячелетий. И до сих пор существуют проблемы, которые ученым только предстоит разрешить. Так, последняя теорема Ферма оставалась для математиков камнем преткновения 350 лет, пока Эндрю Уайлс не доказал ее, потратив на эту работу семь лет жизни. Гипотеза Пуанкаре была неприступна больше 100 лет, пока эксцентричный гений Григорий Перельман не нашел доказательство и не превратил ее в теорему (отказавшись при этом от всяких академических почестей и премии в миллион долларов за эту работу). А гипотеза Римана и сегодня, через 150 лет после того, как была сформулирована, остается нерешенной.
Книга «Великие математические задачи» рассказывает о некоторых крупнейших математических проблемах, работа над которыми открыла перед научной мыслью совершенно новые направления и возможности. Читатель познакомится с истоками этих задач, узнает, почему они так важны и какое место занимают в общем контексте математики и естественных наук. В книге представлены как решенные, так и нерешенные задачи из самых разных периодов истории математики. По существу, рассказ охватывает две с лишним тысячи лет развития науки, однако основное внимание в книге сосредоточено на вопросах, которые либо до сих пор остаются нерешенными, либо были решены относительно недавно, в последние полвека.
.....
Концепция математического доказательства менялась с течением времени, причем требования к логике, как правило, становились все строже. Многочисленные высокоинтеллектуальные философские дискуссии о природе доказательства поднимали важные вопросы. Предлагались и внедрялись точные определения понятия «доказательство». Сегодня мы учим студентов, что доказательство начинается с набора некоторых явных допущений, известных как аксиомы. Аксиомы – это, так сказать, правила игры. В принципе возможны и другие аксиомы, но они относятся к другим играм. Первым такой подход предложил древнегреческий математик Евклид, но и сегодня он вполне применим. Доказательство на основе принятых аксиом представляет собой серию шагов, каждый из которых является логическим следствием либо аксиом, либо уже доказанных утверждений, либо того и другого. По существу, математика исследует логический лабиринт, перекрестками в котором служат утверждения, а проходами – достоверные умозаключения. Доказательство – путь через лабиринт, который начинается с аксиом. Утверждение, на котором он заканчивается, и есть то, что требовалось доказать.
Однако такое правильное и «причесанное» представление о доказательстве – еще не вся история и даже не самая главная ее часть. Это все равно что сказать: симфония – последовательность музыкальных нот, которая подчиняется законам гармонии. Определение верно, но где же творчество? Такое определение ничего не говорит нам не только о том, как искать доказательство, но и о том, как проверить его, когда оно предложено кем-то другим. Это определение ничего не говорит нам о том, какие места в лабиринте важнее других. Не говорит и о том, какие проходы в нем элегантны, а какие безобразны, какие значительны, а какие бесполезны. Это всего лишь формальное, механическое описание процесса, у которого немало и других аспектов, в частности человеческое измерение. Доказательства ищут люди, и математические исследования – отнюдь не воплощение пошаговой логики.
.....
