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J. Michael Fried. Mathematik für Ingenieure II für Dummies
Schummelseite. POLARKOORDINATEN IM ZWEIDIMENSIONALEN:
DIE WICHTIGSTEN DREIDIMENSIONALEN KOORDINATENSYSTEME:
FORMELN ZUR RESIDUENBERECHNUNG:
INTEGRALFORMELN FÜR KURVEN-, FLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE:
WICHTIGE ANSÄTZE VOM TYP DER RECHTEN SEITE:
Über den Autor
Danksagung
Inhaltsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Illustrationsverzeichnis
Orientierungspunkte
Seitenliste
Einleitung
Zu diesem Buch
Konventionen in diesem Buch
Törichte Annahmen über den Leser
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Teil I: Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure
Teil II: Integralrechnung und Vektoranalysis
Teil III: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Teil IV: Funktionentheorie
Teil V: Der Top-Ten-Teil
Symbole in diesem Buch
Wie es weitergeht
Mehrdimensionale Analysis für Ingenieure
Was bisher geschah
Grundlagen aus der linearen Algebra
Vektor- und Matrizenrechnung
Das Vektorprodukt
Das Spatprodukt
Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren
Determinanten
Das Gauß-Verfahren
Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen
Eindimensionale Analysis
Folgen, Häufungspunkte und Grenzwerte
Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit
Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion
Globale und lokale Extremstellen
Integration
Grundlagen der Differentialrechnung im
Unsere Welt ist mehrdimensional
Viele Variablen und ein Funktionswert
Einmal sehen ist besser als hundertmal hören: Graphische Darstellung
Viele Wege führen dahin: Stetigkeit
Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen
Ableiten bis zum Abwinken: Totale Differenzierbarkeit
Nur einen Teil: Die partielle Ableitung
Partielle Ableitungen von Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen
Totale Differenzierbarkeit
Was heißt das denn? Charakterisierungen der Differenzierbarkeit
Und geometrisch ist das auch!
Praktische Berechnung der totalen Ableitung
Richtungsableitungen
Und weiter so! Ableitungen höherer Ordnung
In eine Richtung: Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Vorsicht: Vertauschen partieller Ableitungen geht nicht immer!
Stetigkeit heilt das: Der Satz von Schwarz
Darf's noch etwas mehr sein? Mehr Differentialrechnung
Die Kettenregel, eine alte Bekannte
Eindimensionales in höherdimensionalen Räumen: Kurven
Achtung, Schleudergefahr: Ableitung entlang einer Kurve
Und nun überall: Die Kettenregel bei Koordinatentransformationen
Kettenregel kurz und knapp mit der Jacobi-Matrix
In voller Pracht: Die Formel für die allgemeine Kettenregel
Höhere Ableitungen, Differentialoperatoren und mathematische Schreibfaulheit
Zweite Ableitungen sammeln: Hesse-Matrix
Div, rot, grad und der Laplace-Operator
Der Mittelwertsatz
Der Mittelwertsatz im Mehrdimensionalen
Ein wenig Topologisches: Gebiete
Der Mittelwertsatz auf Gebieten
Erste Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung
Die Taylorsche Formel
Beispielhaft zweidimensionale Funktionen approximieren
Einige Spezialfälle zur Taylorschen Formel
Das Newton-Verfahren
Das eindimensionale Newton-Verfahren
Eine graphische Interpretation des Newton-Verfahrens
Das Newton-Verfahren mit »octave«
Kleinere Schritte führen zum Ziel: Ein modifiziertes Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall
Von hinten durch die Brust ins Auge: Implizite Funktionen
Implizite Funktionen im Eindimensionalen
Mehrdimensionale implizite Funktionen
Optimierung
Berggipfel und tiefste Schluchten: Extremstellen
Höher als die Umgebung? Oder am allerhöchsten?
Weniger geht nicht: Unrestringierte Optimierung
Kritisch! Eine notwendige Bedingung für lokale Extrema
Stationäre Punkte und Tangentialebenen
Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung
Informationen durch die Hesse-Matrix: Höhen, Tiefen und Sattelpunkte
Und wie ist's denn nun? Ein einfacher Positivitätstest
Restringierte Optimierung
Die Sache mit den Nebenbedingungen
Direkt zum Ziel: Die explizite Methode
Der indirekte Weg: Lagrange-Multiplikatoren
Problemvergrößerung erleichtert die Lösung
Jetzt schreckt nichts mehr: Mehrere Nebenbedingungen
Integralrechnung und Vektoranalysis
Integralrechnung in zwei oder drei Dimensionen
Bauklötzchen oder: Die zweidimensionale Integration
Wir basteln uns ein Integral
Messbare Mengen und Flächeninhalt
Flächeninhalt durch Integration berechnen
Projizierbare Mengen
Zweimal eins ist zwei
Integralberechnung ganz praktisch: Beispiele
Die zweidimensionale Substitutionsregel
Rundes gerade biegen: Polarkoordinaten
Im Raum geht das auch: Dreidimensionale Integration
Dreidimensionale Projizierbarkeiten
Drei Integrationen zur dreidimensionalen Integration
Krumme Volumina und Integration im Raum
Substitutionsregel dreidimensional
Rohre verbiegen: Zylinderkoordinaten
Rundes eckig machen: Kugelkoordinaten
Etwas Physik: Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmomente
Schwerpunkt eines Körpers
Trägheitsmomente
Fäden durch den Raum: Kurvenintegrale
Punkte und Kurven im dreidimensionalen Raum
Wandern mathematisch: Wege und Kurven im
Differenzierbare Wege oder Geschwindigkeit!
Kurven mit und ohne Ecken!
Eine Fahrschule: Rechenregeln für differenzierbare Wege
Orientierungslos im Raum: Kurvenintegrale über Skalarfelder
Kurvenintegrale ohne Orientierung
Dieselbe Kurve – Unabhängigkeit von der Parametrisierung
Drahtspiele: Bogenlänge, Masse und Schwerpunkt
Orientierte Kurvenintegrale
Da entlang: Kurven mit Richtung
Einbahnstraße: Der Tangenteneinheitsvektor
Der Weg ist das Ziel: Orientierung und Parametrisierung
Viele, viele Pfeile: Vektorfelder
Arbeit ist – ein orientiertes Kurvenintegral!
Arbeitsberechnung und die Physik des Kurvenintegrals zweiter Art
Da könnte doch etwas sein: Potentialfelder
Gibt es Stammfunktionen für Vektorfelder?
Stammtischfähig: Konservative Vektorfelder
Integrieren kann so schön sein: Der erste Hauptsatz für Kurvenintegrale
Kurvenintegrale über Potentialfelder sind wegunabhängig!
Integrabilitätsbedingungen oder: Der zweite Hauptsatz
Das Potential ausschöpfen: Berechnung einer Stammfunktion
Eine Dimension nach oben: Flächenintegrale
Flächen im dreidimensionalen Raum
Mathematische Darstellungen von Flächen im Raum
Voll normal: Reguläre Bereiche
Nur nicht ausrutschen! Glatte Flächen
Koordinatensysteme auf glatten Flächen
Flächen mit Knick: Stückweise glatt
Jede Menge parametrisierter Flächen: Beispiele
Ganz besonderes edle Flächen: Graphen
Einmal im Kreis herum: Drehflächen
Wie groß ist eine gebogene Fläche?
Viele kleine Plättchen: Auf dem Weg zum Flächeninhalt
Eine Formel für den Flächeninhalt
Jede Menge Inhalt: Formeln für bestimmte Flächeninhalte
Edler Inhalt: Flächenberechnung von Graphen
Einmal im Kreis herum: Drehflächeninhalte
Flächenintegrale mit und ohne Orientierung
Skalarfelder auf Flächen: Orientierungslos
Mit Orientierung: Vektorfelder über Flächen integrieren
Alles fließt: Eine physikalische Deutung
Die hohe Kunst der Vektoranalysis: Integralsätze
Differentialoperatoren und Integralrechnung
Differentialoperatoren: Laplace-Operator, Divergenz und Rotation
Operatoroperationen mit dem Nabla-Operator
Es wirbelt herum: Rotation und Potentialfelder
Rechenregeln zu Rotation, Divergenz und Gradient
Noch mehr Rechenregeln
Harmonie unter Funktionen
Der Gaußsche Integralsatz
Oben und unten: Orientierung glatter Flächen
Quellen, Senken und der Fluss durch die Oberfläche
Die Sätze von Kelvin-Stokes und Green
Der Greensche Integralsatz
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Es ändert sich: Wie funktioniert's? Grundlegende Fragestellung bei Differentialgleichungen
Was sind Differentialgleichungen?
Gewöhnlich oder partiell: Definitionen
Vom Pendel zum Räuber-Beute-Modell: Überall Differentialgleichungen
Ordnung muss sein: Die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung
Gibt's das und, wenn ja, wie viele? Existenz und Eindeutigkeit
Langsam anfangen: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung
Am Anfang der Anfangswert und dann? Anfangswertprobleme
Das gibt's! Der Satz von Picard-Lindelöf
Eine Konstruktion zum Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf
Graphische Veranschaulichungen
Das Richtungsfeld
Nicht aus »Star Trek«: Die Isoklinen
Kochrezepte: Explizite Lösungsmethoden für spezielle gewöhnliche Differentialgleichungen
Die exakte Differentialgleichung
Was eine Differentialgleichung exakt macht: Die Potentialfunktion!
Wieder einmal: Konservative Vektorfelder
Implizite Lösungen einer exakten Differentialgleichung
Unpassendes passend machen: Integrierende Faktoren
Separable Differentialgleichungen
Oh, das ist ja exakt!
Ähnlich die Ähnlichkeits-Differentialgleichungen!
Lineare Differentialgleichungen
Die homogene lineare Differentialgleichung – schon wieder separabel!
Inhomogen: Lineare Differentialgleichungen mit rechter Seite
Das Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung
Alles in einem: Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung
Funktionale Vektoren oder: Lineare Algebra im Funktionenraum
Lineare Unabhängigkeit von Funktionen
Ein grundlegender Ableitungsoperator
Jede lineare Differentialgleichung hat ihren eigenen Operator
Die homogene lineare Differentialgleichung -ter Ordnung
Rückkehr der Kerne: Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
Ganz grundlegend: Das Fundamentalsystem
Funktionen im Karree: Die Wronski-Matrix
Die inhomogene lineare Differentialgleichung -ter Ordnung
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
Spezielle Lösung durch Variation der Konstanten
Das Reduktionsverfahren von d'Alembert
Spezielle lineare Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung
Das charakteristische Polynom
Lösungen bei reellen Nullstellen
Lösungen bei komplexen Nullstellen
Ein spezielles Fundamentalsystem
Schritt für Schritt zur Lösung
Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung
Spezielle rechte Seiten
Erster Fall: keine Resonanz
Zweiter Fall: Resonanz
Der dritte Fall: Linearkombinationen
Die Eulersche Differentialgleichung
Ein Lösungsverfahren zur Eulerschen Differentialgleichung
Von der Eulerschen zu einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Systeme linearer Differentialgleichungen
Allgemeine lineare Differentialgleichungssysteme
Schreibweisen: Vektorwertige Funktionen oder ein Vektor von Funktionen
Was ist ein Differentialgleichungssystem?
Ein Beispiel: Das Räuber-Beute-Modell von Volterra und Lotka
Fische und Differentialgleichungssysteme: Das Modell von Volterra und Lotka
Zwei Seiten der Medaille: Eine lineare Differentialgleichung als Differentialgleichungssystem
Gibt's denn das? Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungssystemen
Das alte Spiel: Lösungsmethode für lineare Differentialgleichungssysteme
Eins: Die Fundamentalmatrix des linearen Systems
Zwei: Die allgemeine Lösung homogener linearer Systeme
Drei: Die allgemeine Lösung des inhomogenen linearen Systems
Noch einmal: Die Variation der Konstanten
Spezieller: Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten
Kein bisschen kompliziert: Komplexwertige Lösungen
Schon wieder die Exponentialfunktion: Lösung des homogenen Systems
Eigenwerte liefern Lösungen
Auf dem Weg zum Fundamentalsystem
Einfache Eigenwerte: Reell – geschenkt!
Lösungspärchen bei einfachen komplexen Eigenwerten
Hauptvektoren
Abhilfe schaffen Hauptvektoren
Einige nützliche Eigenschaften von Hauptvektoren
Berechnung von Hauptvektoren
Die Matrix-Exponentialfunktion
Rechenregeln für die Matrix-Exponentialfunktion
Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten
Praktische Berechnung eines Fundamentalsystems
Funktionentheorie
Überhaupt nicht hohl: Holomorphe Funktionen
Funktionentheorie oder komplexe Analysis
Fast wie im Reellen: Folgen komplexer Zahlen
Grenzwerte von Funktionen
Metzgerarbeit: Zerlegung komplexer Funktionen
Teuflische Tücke im Detail: Die komplexe Ableitung
Na, so was! Schon wieder Differentialgleichungen: Cauchy-Riemann
Dem Kind einen Namen geben: Holomorphe Funktionen
Verwaltungsfreude: Regeln für die komplexe Ableitung
Komplexe Integration
Vorsichtig anfangen: eindimensionale Integration im Komplexen. Teilen, teilen! Integrale komplexwertiger reeller Funktionen
Krumme Linien: Das komplexe Kurvenintegral
Es geht! Praktische Berechnung komplexer Kurvenintegrale
Mehr nicht? Eine nützliche obere Schranke für Kurvenintegrale
Viel mehr zu komplexen Kurvenintegralen!
Richtungsweisend: Orientierte Integrale
Das berühmte Beispiel von Cauchy
Der Integralsatz von Cauchy
Fast alles verschwindet!
Ein bisschen beweisen: Beweisskizze zum Integralsatz
Noch einmal: Das Cauchy-Beispiel und eine Folgerung
Böse Stellen: Die Singularitäten
Igitt, Eine Singularität!
Da bleibt doch was … das Residuum
Das ist ja einfach! Berechnung des Residuums für Polstellen 1. Ordnung
Kurvenintegrale um Singularitäten
Singularitäten links liegen lassen: Der Residuensatz
Hilfe bei reellen Integralen: Komplexe Umwege vereinfachen die Integration
Potenz- und Laurentreihen
Mal wieder Potenzreihen – diesmal komplex!
Nach altem Rezept: Die Potenzreihen
Diesmal wirklich: Konvergenzkreise
Im Kreis: Potenzreihen sind holomorph!
Trost bei Singularitäten: Laurentreihen
Laurentreihen, Residuen und Cauchys Integralformel
Einige besondere Eigenschaften holomorpher Funktionen
Funktionswerte und Kurvenintegrale holomorpher Funktionen
Identitätssatz und Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen
Der Fundamentalsatz der Algebra
Der Top-Ten-Teil
Fast zehn Tipps und Tricks, um einen Mathekurs zu überstehen
Die Schwierigkeiten der höheren Mathematik
Wozu das Ganze gut ist
Nicht lockerlassen!
Der Unterschied zwischen einer Mathematikvorlesung und einer Theatervorstellung
Immer noch: Glauben Sie nichts!
Üben Sie! Üben Sie!
Abbildungsverzeichnis
Stichwortverzeichnis. A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
WILEY END USER LICENSE AGREEMENT
