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Jürgen Ulm. Mathematische Methoden der Elektrotechnik
Mathematische Methoden der Elektrotechnik
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Symbole und Abkürzungen
Kapitel 1. Erforderliche mathematische Grundlagen
1.1Matrizen
1.1.1Rechenoperationen mit Matrizen
1.1.2Addition und Subtraktion zweier Matrizen
1.1.3Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar
1.1.4Quadratische Matrix
1.1.5Einheitsmatrix
1.1.6Determinante
1.1.7Unterdeterminante oder Minor
1.1.8Adjunkte oder algebraisches Komplement
1.1.9Inverse Matrix
1.1.10Transponierte einer Matrix
1.1.11Komplex konjugierte Matrix
1.1.12Hermitesche konjugierte Matrix
1.1.13Hermitesche Matrix – selbstadjungierte Matrix
1.1.14Orthogonalmatrix
1.1.15Unitäre Matrix
1.1.16Normalmatrix – Normale Matrix
1.1.17Norm einer Matrix
1.1.18Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl
1.1.19Eigenwert, Eigenvektor
1.1.20Quadratische Matrizen – eine Zusammenfassung
1.2Integral-, Differenzialgleichungen
1.2.1Definitionen
1.2.2Differenzierung skalarer Funktionen
1.2.3Gewöhnliche Differenzialgleichungen höherer Ordnung
1.2.4Partielle Differenzialgleichungen
1.2.5Partielle Integration
1.2.6Klassifikation von Differenzialgleichungen
1.2.7Anfangswertaufgabe
1.2.8Randwertaufgabe
1.2.9Lineare Operatoren
1.2.10Inneres Produkt
1.2.11Starke Form/Formulierung einer Differenzialgleichung
1.2.12Schwache Form/Formulierung einer Differenzialgleichung
1.3Vektor-Klassifikation
1.4Differenziationsregeln für Vektoren
1.5Vektoroperatoren
1.5.1Nabla- und Laplace-Operator
1.5.2Vektoroperator Gradient
1.5.3Vektoroperator Divergenz
1.5.4Vektoroperator Rotation
1.5.5Gegenüberstellung der Vektoroperatoren
1.5.6Rechenregeln für den Nabla-Operator
1.5.7Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt
1.6Maxwell’sche Gleichungen
1.6.1Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral
1.6.2Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral
1.6.3Maxwell’sche Gleichungen – Differenzialform
1.6.4Maxwell’sche Gleichungen – Integralform
1.6.5Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder
1.7Dirac’sche Deltafunktion
Kapitel 2. Koordinatensysteme
2.1Kartesisches Koordinatensystem
2.2Zylinderkoordinatensystem
2.3Kugelkoordinatensystem
Kapitel 3. LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis
3.1Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen
3.2Eigenfrequenz – Fehlerrechnung
3.3Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation
3.3.1Spannungsverlauf über der Induktivität
3.3.2Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand
3.3.3Spannungsverlauf über dem Widerstand
3.3.4Spannungsverlauf über der Kapazität
3.4Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis
3.5Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis
3.6Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis
3.7Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis
3.8Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis
3.9Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis
Kapitel 4. Stromverdrängung im Leiter
4.1Stromverdrängung im Leiter – Modellbildung
4.2Stromverdrängung im Leiter – Berechnungsergebnis
4.3Stromverdrängung im Leiter – Simulationsergebnis
4.4Stromverdrängung im Leiter – Zusammenfassung
Kapitel 5. Besselgleichung und Besselfunktion
5.1Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel
5.2Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises
5.3Besselgleichung der Felddiffusionsgleichung
5.4Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator
5.4.1Modellanordnung
5.4.2Herleitung der Besselfunktion
5.5Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule
5.5.1Modellanordnung
5.5.2Herleitung der Besselfunktion
5.6Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung
Kapitel 6. Lösung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen
6.1Zur Person George Green
6.2Green’sche Integralsätze
6.3PDE – Auf-, Integrationspunktanordnungen
6.4PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Differenzialform
6.5PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Integralform
6.5.1Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable
6.5.2Homogene Randbedingungen
6.5.3Inhomogene Randbedingungen
6.5.4Dirichlet-Randbedingungen
6.5.5Neumann-Randbedingungen
6.6PDE – Lösung der Poisson’schen DGL
6.6.1Aufgabenbeschreibung
6.6.2Lösungsweg
6.7PDE – Lösung der Laplace’schen DGL
6.7.1Aufgabenbeschreibung
6.7.2Lösungsweg
6.8ODE – Vorbereitung zur Lösung mit der Green’schen Funktion
6.8.1Homogene Randbedingungen
6.8.2Inhomogene Randbedingungen
6.8.3Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen
6.9ODE – Lösung vond2u/dx2 = −1 (I)
6.9.1Aufgabenbeschreibung
6.9.2Lösungsweg I
6.9.3Lösungsweg II
6.10ODE – Lösung vond2y/dx2 + y = cosec x
6.10.1Aufgabenbeschreibung
6.10.2Lösungsweg
6.11ODE – Lösung vond2y/dx2 + y = f(x)
6.11.1Aufgabenbeschreibung
6.11.2Lösungsweg
6.12ODE – Lösung vond2u/dx2 = −1 (II)
6.12.1Aufgabenbeschreibung
6.12.2Lösungsweg
6.13ODE – Lösung vond2u/dx2 = x
6.13.1Aufgabenbeschreibung
6.13.2Lösungsweg
Kapitel 7. Differenzialgleichungen und Finite Elemente
7.1Beispiele aus der Physik für Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung
7.2Beispiele aus der Physik für Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung
7.3Finite Elemente
Kapitel 8. Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode
8.1Grundprinzip der Momentenmethode (MOM)
8.2Anmerkungen zur Momentenmethode
8.2.1Matrix (ljk)
8.2.2Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionenϕnundwk
8.3Zur Person Boris Galerkin
8.4Galerkins Idee
Kapitel 9. Traditionelle Galerkin-Methode
Kapitel 10. Galerkin-Methode – Lösung vondu/dx = u
10.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
10.2Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion
10.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
10.4Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 11. Galerkin-Methode – Lösung von −d2u/dx2 = 4x2 + 1
11.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
11.2Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion
11.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
11.4Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 12. Galerkin-Methode – Lösung vond2u/dx2 = −1 (I)
12.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
12.2Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
12.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
12.4Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 13. Galerkin-Methode – Lösung vond2u/dx2 = −1 (II)
13.1Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
13.2Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion
13.3Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
13.4Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 14. Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz
14.1Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters
14.1.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
14.1.2Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
14.1.3Lösung des linearen Gleichungssystems
14.2Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters
14.2.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
14.2.2Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
14.2.3Lösung des linearen Gleichungssystems
14.3Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis
Kapitel 15. Galerkin-FEM
15.1Galerkin-FEM – Was wird gelöst?
15.2Galerkin-FEM – Vorgehen zur Lösung
Kapitel 16. Galerkin-FEM – Lösung vond2u/dx2 = −1 (I)
16.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
16.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω
16.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
16.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionenϕ(x)
16.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
16.6Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 17. Galerkin-FEM – Lösung vond2u/dx2 = −1 (II)
17.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
17.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω
17.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
17.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionenϕ(x)
17.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
17.6Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 18. Galerkin-FEM – Elektrostatische Feldberechnung
18.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
18.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω
18.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
18.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionenϕ(x)
18.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
18.6Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 19. Galerkin-FEM – Ortsabhängige Temperaturberechnung
19.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
19.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω
19.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
19.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionenϕ(x)
19.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
19.6Lösung des linearen Gleichungssystems
19.7Diffusionsvorgang vollendet
Kapitel 20. Galerkin-FEM – Ortsabhängige Magnetfeldberechnung
20.1Schwache Formulierung der Differenzialgleichung
20.2Diskretisierung des zu lösenden Gebiets Ω
20.3Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion
20.4Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionenϕ(x)
20.5Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung
20.6Lösung des linearen Gleichungssystems
Kapitel 21. Einführung in die Finite-Differenzen-Methode
21.1Numerische Notation der linearen Felddiffusionsgleichung
21.2Zu den Personen Crank und Nicolson
21.3Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson
21.3.1Überführung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung
21.3.2Lösung der Matrizengleichung
21.3.3Anwendungsbeispiel
21.4Lösung mit expliziter Methode
21.4.1Überführung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung
21.4.2Lösung der Matrizengleichung
21.4.3Anwendungsbeispiel
Kapitel 22. Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung
22.1Analyse eines Proportionalmagnets
22.1.1Preprocessing
22.1.2Processing
22.1.3Postprocessing
22.2Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors
22.2.1Preprocessing
22.2.2Processing
22.2.3Postprocessing
22.2.4Musterbau des planaren Asynchronmotors
Kapitel 23. Virtuelle Produktentwicklung
23.1Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool
23.2Mehrzieloptimierung – Pareto-Optimierung
23.3Optimierungsbeispiel Elektromagnet
23.3.1Monte Carlo-Methode
23.3.2Partikelschwarm-Methode
23.3.3Evolutionäre Methode
23.3.4Diskussion der Ergebnisse
Kapitel 24. Eigenwertprobleme
24.1Eigenwertproblem – Einführung
24.2Eigenwertproblem – Momentenmethode
24.3Eigenwertproblem – kanonische Form
Kapitel 25. Eigenwertproblem-MOM – Lösung von−d2u/dx2 = λu
25.1Aufgabenbeschreibung
25.2Lösungsweg und Lösung
25.3Lösung für 1’ter Ordnung
25.4Lösung für 2’ter Ordnung
Kapitel 26. Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs
26.1Momentenmethode (MOM)
26.2Integraltransformation
26.3Green’sche Methode
Kapitel 27. Wissenswertes zur Modellbildung
27.1Kategorien der Modellbildung
27.2Analytik contra Numerik
Kapitel 28. Nützliche Normen
Literaturverzeichnis
Anhang A. A.1MATLAB-Code – Wärmediffusionsskript
A.2MATLAB-Code – Magnetfelddiffusionsskript
A.3Toolvergleich – MATLAB vs. COMSOL
Anhang B. Campus Künzelsau – Inside
Index
