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Mechanik. Theoretische Physik I
Vorwort
Vorwort der Vorauflage
1. Einleitung. 1.1 Experimentelle und Theoretische Physik
1.2 Ziel der Theoretischen Physik
1.3 Aufbau der Lehrbuchreihe Theoretische Physik
1.4 Stellung der klassischen Mechanik in der Theoretischen Physik
1.5 Gültigkeitsgrenzen der klassischen Mechanik
1.6 Struktur des Bandes Mechanik
1.7 Modellebenen der Theoretischen Mechanik
1.8 Lösung von Gleichungen
2. Kinematik eines Massenpunktes
2.1 Grundbegriffe der Kinematik. 2.1.1 Bezugssystem und Räume
2.1.2 Weglänge, Verrückung, Geschwindigkeit
2.1.3 Beschleunigung
2.2 Dekomposition von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. 2.2.1 Kartesische Koordinaten
2.2.2 Zylinderkoordinaten, ebene Polarkoordinaten
2.2.3 Kugelkoordinaten
2.2.4 Begleitendes Dreibein
2.2.5 Allgemeine krummlinige Koordinaten
2.3 Rekonstruktion von Bewegungsgleichungen
Kontrollfragen
Aufgaben
3. Newton’sche Mechanik des einzelnen Massenpunktes
3.1 Newton’sche Axiome. 3.1.1 Axiom I: Trägheitsgesetz
3.1.2 Axiom II: Grundgleichung der Dynamik. 3.1.2.1 Kraftgesetz
3.1.2.2 Superpositionsprinzip
3.1.2.3 Statische Kraftmessung
3.1.2.4 Grundgleichung der Dynamik
3.1.2.5 Träge Masse
3.1.2.6 Dynamische Kraftmessung
3.1.3 Axiom III: Wirkung und Gegenwirkung
3.2 Bewegung eines freien Massenpunktes
3.2.1 Bewegung eines Massenpunktes im Schwerefeld
3.2.2 Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld
3.3 Arbeit und kinetische Energie
3.4 Erhaltung der mechanischen Energie. 3.4.1 Erste Integrale
3.4.2 Konservative Kräfte
3.4.3 Kraftfelder
3.4.4 Potentielle Energie und Arbeit
3.4.5 Darstellung von konservativen Kraftfeldern
3.4.6 Energiesatz der Mechanik
3.4.7 Beispiele für konservative Kraftfelder. 3.4.7.1 Schwerefeld nahe der Erdoberfläche
3.4.7.2 Newton’sches Gravitationsgesetz
3.4.8 Beispiele für nichtkonservative Kraftfelder. 3.4.8.1 Lineares Wirbelkraftfeld
3.4.8.2 Nichtkonservative wirbelfreie Kraftfelder
3.4.9 Nichtkonservative Kräfte mit zeitabhängigem Potential
3.5 Zentralkräfte. Drehmoment und Drehimpuls. 3.5.1 Zentralkräfte
3.5.2 Drehmoment und Drehimpuls
3.6 Eingeschränkte Bewegung eines Massenpunktes, Reibung. 3.6.1 Zwangsbedingungen
3.6.2 Zwangskräfte und Bewegungsgleichung
3.6.3 Bewegung eines Massenpunktes auf ruhender schiefer Ebene
3.6.3.1 Behandlung in natürlichen Koordinaten
3.6.3.2 Behandlung mit Lagrange-Gleichungen
3.6.4 Arbeit der Zwangskraft
3.6.5 Verallgemeinerung der Bedingungsgleichungen
3.6.6 Zweiseitige und einseitige Zwangsbedingungen
3.6.7 Freiheitsgrade
3.6.8 Reibung
3.6.8.1 Gleitreibung
3.6.8.2 Haftreibung
3.6.8.3 Stokes’sche und Newton’sche Reibung
3.6.8.4 Zusammenfassung der Reibungsgesetze
3.7 Gleichgewicht des Massenpunktes. Das Prinzip der virtuellen Arbeit. 3.7.1 Gleichgewicht eines Massenpunktes. Das Problem der Statik
3.7.2 Das Prinzip der virtuellen Arbeit. 3.7.2.1 Freier Massenpunkt
3.7.2.2 Gebundener Massenpunkt
3.7.2.3 Verallgemeinerung des Prinzips der virtuellen Verrückung
3.7.2.4 Prinzip der virtuellen Verrückung für konservative eingeprägte Kräfte
3.8 Das d’Alembert’sche Prinzip. Die formale Rückführung der Dynamik auf die Statik. 3.8.1 Das d’Alembert’sche Prinzip
3.8.2 Die formale Rückführung der Dynamik auf die Statik
3.9 Bewegte Bezugssysteme (Relativbewegung). Trägheitskräfte
3.9.1 Beschreibung der Drehbewegung. Winkelgeschwindigkeit
3.9.2 Kinematik der Relativbewegung. 3.9.2.1 Zusammenhang der Ortsvektoren
3.9.2.2 Zusammenhang der Geschwindigkeiten
3.9.2.3 Zeitliche Änderung von Skalaren und Vektoren
3.9.2.4 Zusammenhang der Beschleunigungen
3.9.3 Bewegungsgleichung des Massenpunktes
3.9.3.1 Galilei-Transformation
3.9.3.2 Konstante Relativbeschleunigung
3.9.3.3 Konstante Rotation
Kontrollfragen
Aufgaben
4. Anwendung der Newton’schen Grundgleichung auf die Dynamik eines Massenpunktes. 4.1 Eindimensionale Bewegungen
4.1.1 Zeitabhängige Kraft
4.1.2 Ortsabhängige Kraft
4.1.3 Geschwindigkeitsabhängige Kraft
4.1.4 Freier Fall aus großer Höhe ohne Reibung
4.1.5 Freier Fall aus geringer Höhe mit Reibung
4.2 Schwingungen. 4.2.1 Harmonische Schwingung in einer Dimension
4.2.1.1 Energiesatz
4.2.1.2 Exponentialansatz
4.2.1.3 Komplexifizierung
4.2.1.4 Phasenraum
4.2.1.5 Matrixdarstellung
4.2.2 Harmonische Schwingung in drei Dimensionen. 4.2.2.1 Isotrope Kraft
4.2.2.2 Anisotrope Kraft
4.2.3 Gedämpfte Schwingung
4.2.3.1 Schwache Dämpfung
4.2.3.2 Starke Dämpfung
4.2.3.3 Aperiodischer Grenzfall
4.2.4 Resonanz bei erzwungener Schwingung
4.2.4.1 Laplace-Transformation
4.2.4.2 Angetriebener gedämpfter Oszillator
4.2.4.3 Resonanz
4.2.5 Methode der Green’schen Funktion
4.2.5.1 Dirac’scher Kraftstoß
4.2.5.2 Green’sche Funktion der Schwingungsgleichung
4.2.5.3 Erzwungene Schwingung bei beliebiger Störkraft
4.2.5.4 Resonanz des ungedämpften Oszillators
4.3 Kepler-Bahn im Schwerefeld
4.3.1 Flächensatz und Energiesatz
4.3.2 Darstellung in ebenen Polarkoordinaten
4.3.3 Qualitative Diskussion der Bewegung
4.3.4 Berechnung der Bahnkurve
4.3.5 Umlaufdauer
4.3.6 Zeitabhängige periodische Bahnen
Kontrollfragen
Aufgaben
5. Newton’sche Mechanik von Massenpunkten. 5.1 Krafteinwirkung auf Massenpunkte. 5.1.1 Äußere und innere Kräfte
5.1.2 Eingeprägte und Zwangskräfte
5.2 Impuls von Massenpunkten. 5.2.1 Impulssatz
5.2.2 Schwerpunktsatz
5.2.3 Erhaltung des Gesamtimpulses
5.2.4 Bewegung durch Rückstoß
5.3 Drehimpuls von Massenpunkten. 5.3.1 Drehimpulssatz
5.3.2 Erhaltung des Gesamtdrehimpulses
5.3.3 Abhängigkeit des Drehimpulses vom Bezugssystem. 5.3.3.1 Zwei ruhende Bezugspunkte O und O′
5.3.3.2 Beschleunigter Schwerpunkt als nicht inertiales Bezugssystem
5.4 Energie von Massenpunkten. 5.4.1 Satz über die Änderung der kinetischen Energie
5.4.2 Erhaltung der Gesamtenergie
5.4.3 Zerlegung der potentiellen Energie
5.4.4 Zerlegung der kinetischen Energie
5.4.5 Zehn erste Integrale der Bewegung
5.5 Schwingungen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden. 5.5.1 Auslenkungen vom Gleichgewicht
5.5.2 Verallgemeinertes Eigenwertproblem
5.5.3 Normalschwingungen
5.5.4 Gekoppelte Pendel
Kontrollfragen
Aufgaben
6. Lagrange-Formulierung der Mechanik
6.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeit und das d’Alembert’sche Prinzip. 6.1.1 Das d’Alembert’sche Prinzip für Punktsysteme
6.1.2 Gleichgewicht eines Systems von Massenpunkten
6.2 Klassifizierung der Zwangsbedingungen, Lagrange-Gleichungen erster Art. 6.2.1 Einteilung der Zwangsbedingungen
6.2.2 Lagrange-Gleichungen erster Art
6.2.3 Energiesatz
6.3 Das Hamilton’sche Prinzip. 6.3.1 Differential- und Integralprinzipien
6.3.2 Festlegung zulässiger Vergleichsbahnen
6.3.3 Ableitung des Hamilton’schen Prinzips aus dem d’Alembert’schen Prinzip
6.3.4 Hamilton’sches Prinzip bei Kräften mit Potential
6.4 Grundaufgabe der Variationsrechnung. 6.4.1 Mathematische Beispiele für Extremalprobleme
6.4.2 Zurückführung des Variationsproblems auf die Euler’sche Differentialgleichung
6.4.3 Variationen und Variationsableitungen
6.4.4 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen. 6.4.4.1 Nebenbedingungen in integrierter Form
6.4.4.2 Nebenbedingungen in differentieller Form
6.4.5 Anwendungen der Euler-Lagrange-Gleichung. 6.4.5.1 Kürzeste Verbindung zweier Punkte in der Ebene
6.4.5.2 Seil der Länge l unter dem Einfluss der Schwerkraft
6.5 Lagrange’sche Bewegungsgleichung zweiter Art. Allgemeine Koordinaten, Geschwindigkeits-, Kraft- und Impulskomponenten. 6.5.1 Euler-Lagrange-Gleichungen der Mechanik
6.5.2 Euler-Lagrange-Gleichungen mit holonomen Nebenbedingungen
6.5.3 Allgemeine Koordinaten und Geschwindigkeiten
6.5.4 Lagrange-Gleichungen zweiter Art für holonome Systeme mit Potential
6.5.5 Lagrange-Gleichungen zweiter Art für nichtkonservative holonome Systeme
6.5.6 Bewegung eines Teilchens in einem elektromagnetischen Feld
6.5.7 Integrale der Lagrange-Gleichungen. Allgemeine Impulskoordinaten. Erhaltungssätze. 6.5.7.1 Zyklische Variable, verallgemeinerte Impulse
6.5.7.2 Explizit zeitunabhängige Lagrange-Funktion
6.5.8 Anholonome Systeme. Zwangsbedingungen. Zwangskräfte. 6.5.8.1 Zwangsbedingungen. Freiheitsgrade
6.5.8.2 Bewegungsgleichungen
6.6 Symmetrien und Erhaltungssätze (Theorem von E. Noether)
Kontrollfragen
Aufgaben
7. Der kanonische Formalismus der klassischen Mechanik
7.1 Systeme mit einer Lagrange-Funktion
7.2 Hamilton-Funktion. Kanonische Gleichungen
7.3 Physikalische Bedeutung der Hamilton-Funktion
7.4 Beispiele. 7.4.1 Massenpunkt mit konservativer Kraft. Kartesische Koordinaten
7.4.2 Massenpunkt mit konservativer Kraft. Kugelkoordinaten
7.4.3 Hamilton-Funktion für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
7.5 Poisson-Klammern
7.6 Erhaltungssätze. Zyklische Variable. 7.6.1 Energieerhaltungssatz
7.6.2 Zyklische Variable
7.7 Kanonische Transformationen. 7.7.1 Punkttransformation und kanonische Transformation
7.7.2 Kanonische Transformationen
7.7.3 Beispiele für kanonische Transformationen. 7.7.3.1 Identische Transformationen
7.7.3.2 Vertauschung von Koordinaten und Impulsen
7.7.3.3 Punkttransformation als Spezialfall einer kanonischen Transformation
7.7.3.4 Harmonischer Oszillator
7.7.4 Infinitesimale kanonische Transformation
7.7.5 Invarianz der Poisson-Klammern
7.8 Liouville-Gleichung. Bewegung im Phasenraum. 7.8.1 Konfigurationsraum und Phasenraum
7.8.2 Bewegungsgleichungen im Phasenraum
7.8.3 Symplektische Matrizen
7.8.4 Jacobi-Matrix für kanonische Transformationen
7.8.5 Benachbarte Bahnkurven
7.8.6 Liouville-Gleichung
7.8.7 Liouville-Theorem
7.9 Hamilton-Jacobi’sche partielle Differentialgleichung. 7.9.1 Ableitung der Gleichung
7.9.2 Bedeutung der Hamilton-Jacobi-Gleichung
7.9.3 Zusammenhang mit der Wirkungsfunktion
7.9.4 Wirkungsfunktion bei zeitunabhängiger Hamilton-Funktion
7.9.5 Beispiel: freier Massenpunkt in der Ebene
7.9.6 Geometrische Bedeutung der Wirkungsfunktion
7.10 Periodische Bewegung. Wirkungs- und Winkelvariable
7.10.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad
7.10.2 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
7.11 Reguläre und irreguläre Bewegung konservativer Systeme. 7.11.1 Charakterisierung der Dynamik im Phasenraum
7.11.2 Integrable Systeme
7.11.3 Störungstheorie
7.11.4 Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem
7.11.5 Das Poincaré-Birkhoff-Theorem
Kontrollfragen
Aufgaben
8. Mechanik des starren Körpers
8.1 Definition der Freiheitsgrade des starren Körpers
8.2 Koordinatensysteme und Bewegung eines starren Körpers. 8.2.1 Koordinatensysteme
8.2.2 Euler’sche Winkel
8.2.3 Infinitesimale Verschiebung des Körpers
8.2.4 Wechsel des Bezugssystems
8.3 Kinetische Energie des starren Körpers. Trägheitstensor. 8.3.1 Kinetische Energie des starren Körpers
8.3.2 Der Trägheitstensor. 8.3.2.1 Definition des Trägheitstensors
8.3.2.2 Hauptträgheitsachsen
8.3.2.3 Trägheitsellipsoid
8.3.2.4 Der Satz von Steiner
8.3.2.5 Berechnung des Trägheitstensors
8.3.2.6 Beispiele
8.4 Drehimpuls und Drehmoment. Bewegungsgleichungen eines starren Körpers
8.5 Energie- und Drehimpulserhaltungssatz des kräftefreien Kreisels
8.6 Die Bewegungsgleichungen eines in einem Punkt festgehaltenen Körpers (Euler’sche Kreiselgleichungen)
8.7 Diskussion von Sonderfällen. 8.7.1 Isotroper Trägheitstensor
8.7.2 Euler’sche Gleichungen im Hauptachsensystem für einen kräftefreien Kreisel
8.7.2.1 Allgemeine Lösung
8.7.2.2 Untersuchung der Stabilität der Rotation um Hauptträgheitsachsen
8.7.2.3 Freie Rotation des symmetrischen Kreisels
8.7.2.4 Freie Rotation um eine beliebige Achse
Kontrollfragen
Aufgaben
9. Raum und Zeit
9.1 Fundamentale Wechselwirkungen
9.2 Das Relativitätsprinzip
9.3 Abstände im Raum-Zeit-Kontinuum
9.4 Die Eigenzeit
9.5 Die Lorentz-Transformation
9.5.1 Zeitdilatation
9.5.2 Längenkontraktion
9.5.3 Geschwindigkeitsadditionstheorem
9.6 Tensorkalkül im pseudo-euklidischen Raum. 9.6.1 Vierervektoren, ko- und kontravariante Basis
9.6.2 Geometrische Objekte im Minkowski-Raum. 9.6.2.1 Skalare
9.6.2.2 Vierervektoren
9.6.2.3 Tensoren zweiter Stufe
9.6.2.4 Tensoren höherer Stufe
9.6.3 Differentialoperatoren
9.7 Relativistische Mechanik. 9.7.1 Einleitung
9.7.2 Vierergrößen. 9.7.2.1 Vierergeschwindigkeit
9.7.2.2 Viererbeschleunigung
9.7.3 Erweiterung der Newton’schen Bewegungsgleichung. 9.7.3.1 Linke Seite der Gleichung: Beschleunigung
9.7.3.2 Rechte Seite: Minkowski’scher Kraftvektor
9.7.3.3 Komponenten der Bewegungsgleichung
9.7.4 Energie-Impulsvektor und Bewegungsgleichung
9.7.5 Masse und Energie in der relativistischen Mechanik. 9.7.5.1 Veränderlichkeit der Masse
9.7.5.2 Zusammenhang von Energie und Masse
Kontrollfragen
Aufgaben
Lösungen zu den Aufgaben. Kapitel 2. Lösung 2.1
Lösung 2.2
Lösung 2.3
Lösung 2.4
Lösung 2.5
Lösung 2.6
Lösung 2.7
Lösung 2.8
Lösung 2.9
Lösung 2.10
Kapitel 3. Lösung 3.1
Lösung 3.2
Lösung 3.3
Lösung 3.4
Lösung 3.5
Lösung 3.6
Lösung 3.7
Lösung 3.8
Lösung 3.9
Kapitel 4. Lösung 4.1
Lösung 4.2
Lösung 4.3
Lösung 4.4
Lösung 4.5
Lösung 4.6
Lösung 4.7
Lösung 4.8
Lösung 4.9
Lösung 4.10
Kapitel 5. Lösung 5.1
Lösung 5.2
Lösung 5.3
Lösung 5.4
Lösung 5.5
Lösung 5.6
Lösung 5.7
Lösung 5.8
Lösung 5.9
Lösung 5.10
Kapitel 6. Lösung 6.1
Lösung 6.2
Lösung 6.3
Lösung 6.4
Lösung 6.5
Lösung 6.6
Lösung 6.7
Lösung 6.8
Lösung 6.9
Kapitel 7. Lösung 7.1
Lösung 7.2
Lösung 7.3
Lösung 7.4
Lösung 7.5
Lösung 7.6
Lösung 7.7
Lösung 7.8
Lösung 7.9
Lösung 7.10
Kapitel 8. Lösung 8.1
Lösung 8.2
Lösung 8.3
Lösung 8.4
Lösung 8.5
Lösung 8.6
Lösung 8.7
Lösung 8.8
Lösung 8.9
Kapitel 9. Lösung 9.1
Lösung 9.2
Lösung 9.3
Lösung 9.4
Lösung 9.5
Anhang A. Naturkonstanten
Anhang B. Ellipsenparameter
Literatur
Stichwortverzeichnis. A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Z
WILEY ENDBENUTZER-LIZENZVEREINBARUNG
Peter Reineker
.....
Die zweite Ableitung der Trajektorie nach der Zeit gibt
Mit (2.64) und (2.11) folgt dann
.....