Реклама. ООО «ЛитРес», ИНН: 7719571260.
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию
Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»
Математическое и гуманитарное: преодоление барьера
Апология математики, или О математике как части духовной культуры
Глава 1. Ватсон против Холмса
Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма
Глава 3. Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые
Напоминание: делимость, чётность и простота
Две проблемы о совершенных числах
Числа Мерсенна. Число Первушина
Свойства простых чисел
Доказательство Эйлера
Проблема близнецов
Итан Чжан и его открытие
Проблема Гольдбаха
Глава 4. Длины и числа
Глава 5. Квадратура круга
Глава 6. Массовые задачи и алгоритмы
Глава 7. Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества
Глава 8. Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике
Глава 9. Проблема на миллион долларов
Глава 10. От метрической геометрии к геометрии положения
Геометрические фигуры
Равенство, конгруэнтность, конгруэнция, изометрия
Четвёртое измерение – брать пример с мыслителей Флатландии
Евклидово расстояние
Геометрия положения
Глава 11. От геометрии положения к топологии
Односвязность
Многообразия
Гомеоморфизмы, гомеоморфия, топология
Изотопия
Так что же такое гомеоморфия?
Ещё о многообразиях
Глава 12. Какой может оказаться наша Вселенная?
Приложение к главе 1. Мнение читателя
Приложение к главе 3. К истории проблемы Гольдбаха
список литературы к приложению к главе 3
О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'
Множество
Кортеж
Соответствие
Функция
Отношение
Из книги «Что такое аксиоматический метод?»
§ 1. Что такое аксиомы?
§ 2. Аксиомы Евклида
§ 3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта
§ 15. Аксиомы метрики и аксиомы меры
Заключительные замечания
Простейшие примеры математических доказательств
§ 1. Математика и доказательства
§ 2. О точности и однозначности математических терминов
§ 3. Доказательства методом перебора
§ 4. Косвенные доказательства существования. принцип дирихле
§ 5. Доказательства от противного
§ 6. Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска
§ 7. Индукция
§ 8. Алфавиты и буквы. Слова и строки. Взаимно однозначные соответствия и мощность. Диагональный метод
§ 9. Задачи из элементарной комбинаторики
§ 10. Счётные и несчётные множества
§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем
§ 12. Два аксиоматических метода – неформальный и формальный
§ 13. Теорема Гёделя
Семь размышлений на темы философии математики
1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?
2. Можно ли определить понятие натурального числа?
3. Можно ли определить натуральный ряд (с прописной буквы)?
4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?
5. «Можно ли доказать, что великую теорему ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?»
6. Что такое доказательство?
7. Можно ли сделать математику понятной?
Литература
Приложение. Проблема континуума и языки второго порядка
Математика языка
О «Лингвистических задачах» А. А. Зализняка
Опыт применения математики к филологии
Анализ фрагментов текстов Гоголя и Достоевского
А. Н. Колмогоров: статья для «Философской энциклопедии»
Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую
Приложение I. А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики
Приложение II. П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда
Сведения о предыдущих публикациях статей
Любезного читателя, купившего, укравшего, одолжившего, взявшего в библиотеке или иным способом получившего в постоянное или временное владение настоящую книгу, прошу прочесть предисловие к первому изданию. Оно идёт сразу вслед за этим предисловием.
Но ведь читатель сначала должен решить, стоит ли ему хотя бы фрагментарно читать настоящую книгу. Поэтому сообщаю, на кого она рассчитана. Настоящая книга рассчитана на образованных дилетантов.
.....
Проиллюстрирую сказанное примером. Всем известно, что Земля – шар. Те, кто получил некоторое образование, знают, что Земля – эллипсоид вращения, сдавленный у полюсов. Геодезисты уточнят, что Земля – геоид, иначе говоря, геометрическая фигура, поверхность которой совпадает с поверхностью Земли без учёта таких мелких деталей, как горы и т. п. (более точно, совпадает с той поверхностью, которую образовывал бы Мировой океан, если бы все материки и острова были бы залиты водой или, ещё более точно, были бы срезаны по уровню Мирового океана). Мы имеем здесь три математические модели, с возрастающей точностью описывающие моделируемый ими объект – форму планеты Земля. Важнейшая из этих моделей – первая, она же самая неточная. Хотя для прокладки авиамаршрутов нужна, возможно, и вторая, а для запуска баллистических ракет – даже третья.
Полное понимание реального строения окружающей нас Вселенной вряд ли когда-либо будет достигнуто. Однако именно математические модели приближают нас к такому пониманию и – это главное – объясняют, каким это строение может быть. А ведь если вдуматься, то понимание некоторых сторон устройства пространственно-временнóго континуума (а может, вовсе и не континуума, а чего-то дискретного) существенно для выживания человечества или, точнее, того, во что превратится человечество в далёком будущем.
.....