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Capítulo 1 Dificultades en matemática y en su aprendizaje

1.1. El sentido de la dificultad en matemática

La palabra «dificultad», un común pero difuso diccionario de la lengua italiana (el de Nicola Zingarelli, editado por Zanichelli en Bologna), la define cómo: «Cualidad de aquello que es difícil. Complicación, molestia, obstáculo, impedimento». La misma definición se encuentra en la enciclopedia Zanichelli.

Las definiciones tienen en común una cierta incoherencia entre un aspecto objetivo (dificultad, obstáculo) de la dificultad y uno más subjetivo («difícil», ¿para quién?, ¿respecto a qué?). Creemos que esta incoherencia reina soberana tanto en la visión popular de dificultad, como en la visión estrictamente escolar. Una materia es definida «difícil» sobre la base de la generalidad estadística de los resultados obtenidos, pero no existen caracterizaciones objetivas de esto (Fandiño Pinilla, 2006, lo demuestra ampliamente en el caso de la matemática).

Ahora, limitándonos a la dificultad en matemática, esta puede asumir por lo menos tres «sentidos» distintos, con referencia a nuestro interés:

• la dificultad en matemática del estudiante,

• la dificultad específica de algunos argumentos de la matemática,

• la dificultad del docente en la gestión de una situación matemática,

recalcando, más o menos en la misma dirección propuesta por Zan (2007), una estructura triangular que nos lleva mentalmente a considerar «el triángulo de la didáctica»: estudiante, docente, Saber (D’Amore 1999; para un análisis detallado de este esquema, véase: D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002).

1.2. Especificidad de la dificultad en matemática

La dificultad en matemática puede ser analizada de forma mucho más específica, siguiendo una indicación que distingue varias componentes en el aprendizaje de la matemática (Fandiño Pinilla, 2005b). En efecto el aprendizaje de la matemática puede incluir diferentes tipos de aprendizajes:

• conceptual (noética);

• algorítmico (saber llevar a término una operación o secuencias compuestas de operaciones elementales, ...);

• estratégico (resolución de problemas, ...);

• comunicativo (argumentaciones, validaciones, demostraciones, ...);

• de la gestión de diversos registros semióticos.

Que las dificultades en estos particulares tipos de aprendizajes sean específicas está a la vista de todos: en efecto, hay estudiantes que han construido conceptos, pero no saben ejecutar algoritmos; estudiantes que llevan a término un algoritmo, pero no saben qué conceptos están a la base de dicha ejecución; estudiantes que han construido conceptos y saben ejecutar algoritmos, pero no saben resolver problemas; estudiantes que han construido conceptos, saben ejecutar algoritmos, saben resolver los problemas pero no saben comunicar aquello que han construido personalmente… y así sucesivamente; es por demás fácil hacer ejemplos para cada nivel escolar.

Por lo tanto, el estudio de las dificultades puede ser específico para cada una de los componentes del aprendizaje de la matemática. No obstante, algunas se entrelazan entre sí.

Efectivamente, pocos han sido los estudios específicos dedicados a la dificultad de la gestión de las diversas representaciones semióticas que el estudiante encuentra desde el primer día de clase (véase: D’Amore, 1998, 2000, 2002a, b, por ejemplo). En uno de estos trabajos (2002b) se da como hipótesis que una de las causas más difundidas del fracaso en el aprendizaje de la matemática es debida a la incapacidad de gestionar, al mismo tiempo, diversos registros semióticos y este hecho se confirma con numerosos ejemplos extraídos de la vida de aula.

Precisamente las especificidades en este campo fueron tomadas (a veces inconscientemente) como prototipos por algunos estudiosos en un pasado reciente, incluso sin distinciones notables.

Por ejemplo, la diferencia entre el «saber» (conceptual) y el «saber hacer» (un híbrido no bien definido, entre lo algorítmico y lo estratégico) viene tomado como específico de la dicotomía: aprendizaje de conocimientos y aprendizaje de competencias. Hoy en día esta visión tan simplista y banal ha sido totalmente superada (D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).

Volviendo a la terna enunciada en 1.1. sobre la dificultad específica de algunos argumentos de la matemática hay poco que decir.

Por ejemplo, construir el conocimiento del objeto matemático «propiedad conmutativa de la adición en N» tiene siempre un resultado positivo desde los primeros niveles de escolaridad; mientras que construir el conocimiento del objeto matemático «fracción» tiene casi siempre un resultado desastroso (y no sólo en los primeros niveles de escolaridad). Esto significa que existen obstáculos epistemológicos para el aprendizaje (de algunos temas) de la matemática; a este argumento notable dedicaremos todo el Capítulo 2 de este libro.

Por tanto, que existan en el estudiante dificultades objetivas en el aprendizaje de la matemática es aceptado por todos; algunas de éstas son de origen sensorial o físico o neurológico de carácter objetivo y evidenciadas, de las cuales vamos a ocuparnos brevemente en el parágrafo 1.4.; otras son más sutiles y, en nuestra opinión, están estrechamente relacionadas con las dificultades del docente en la gestión de una determinada situación matemática en el aula. Esto se debe a que algunos problemas se esconden entre los pliegues de la gramática de la comunicación (o, más en general, de la interacción) humana. A estos problemas dedicamos unos párrafos de este Capítulo 1 y más adelante, con detalles más específicos, los Capítulos 3 y 4.

Pero hay dificultades mucho más difíciles de reconocer y de verificar, y que, por lo tanto, es más complejo remediar.

1.3. Dificultades ocultas en el aprendizaje de la matemática

A las dificultades más «sutiles» del aprendizaje de la matemática se han dedicado algunos de los más notables estudiosos de la materia.

Sólo para dar la idea de lo que se trata, nos limitaremos aquí a dos ejemplos.

Primer ejemplo.

Una de las dificultades más nefastas, revelada por Guy Brousseau, consiste en el hecho de que el docente se convence a sí mismo y convence a sus estudiantes de que lo que están haciendo en el aula es buena matemática aunque no lo sea en absoluto. Al pasar a otro nivel escolar, o la primera dificultad, o al cambiar de docente, esta situación revela las fallas que a la larga son insuperables. Para explicar de qué se trata recurrimos a un extenso pasaje de D’Amore (2007a):

«El docente propone a sus estudiantes un problema que él cree análogo a otro que había propuesto anteriormente, pero en el cual habían fracasado. Él espera que reconozcan la similitud y que utilicen las correcciones y las explicaciones que ha dado para reproducir el mismo método de resolución, a fin de afrontar con éxito la nueva situación. El docente recomienda encarecidamente a sus estudiantes que busquen y usen esta analogía. Este procedimiento es exitoso, tiene éxito desde el punto de vista del docente. Pero es, en realidad, un fraude epistemológico. El estudiante da una respuesta correcta, pero no porque él haya entendido la necesidad matemática o lógica a partir del enunciado, no porque haya “entendido y resuelto el problema”, no porque haya aprendido el objeto matemático, sino simplemente porque estableció una similitud con otro ejercicio, no ha hecho más que reproducir una situación hecha por otro. Lo que es aún peor, es que para el estudiante ésta era la solicitud del docente. Creerá haber comprendido la cuestión matemática en juego, mientras que no ha hecho otra cosa que interpretar una intención didáctica enunciada explícitamente por el docente y dar la respuesta esperada.

Este «abuso de la analogía» que Guy Brousseau ha puesto en evidencia a finales de los años ’70, y sobre el cual se basan muchas otras acciones didácticas en el aula, es una de las formas más corrientes de aquello que él mismo definió como «efecto Jourdain», uno de los efectos del contrato didáctico [al cual dedicaremos el Capítulo 4]. El docente obtiene la respuesta esperada con medios que no tienen ningún valor y hace creer al estudiante (a la familia, a la institución) que ha realizado la actividad matemática que era la meta a lograr.

La actividad del estudiante debe responder, por tanto, a dos limitantes incompatibles:

• aquella determinada por las condiciones a-didácticas que determinan una respuesta original y la organización de conocimientos específicos;

• aquella determinada de las condiciones didácticas que tienen el objetivo de producir la respuesta esperada independientemente de su modalidad de elaboración».

Este tipo de actividad produce situaciones aparentemente exitosas, mientras que se prepara el camino a fracasos sucesivos: una clamorosa dificultad que parece entonces inexplicable «Pero cómo, el año pasado iba tan bien en matemática y, por el contrario, este año…». »

Segundo ejemplo.

A la propuesta en el aula de efectuar una multiplicación entre binomios (x+1) (x-1), el estudiante X responde x2-1; el docente aprueba; a la propuesta (x+2) (x-2), el mismo estudiante X responde x2-2; respuesta ante la cual el docente queda perplejo. En general, el estudiante X ha entendido que (x+a) (x-a) es igual a x2-a. En el primer caso ha funcionado pero en el segundo no. Misterios de la matemática, percibida como casual. Si el docente se hubiera limitado a la primera prueba, habría concluido que X ha construido el concepto de producto notable; mientras que, por el contrario, X está muy lejos de éste.

A la misma prueba, el estudiante Y contesta x2-1, mientras que a la propuesta (x+2) (x-2), también Y contesta x2-2 porque ha operado así: (x+a) (x-a) obteniendo x2+ax-ax-a2 pero las dos ax se “simplifican” entre sí obteniendo x2+a-a-a2; después se “simplifican” también +a y -a2 obteniendo, exactamente x2-a.

El mismo error, que se manifiesta con una respuesta errónea, puede tener causas totalmente diferentes.

Esto sucede a menudo, pero si un docente se limita a mirar el resultado y no el proceso, no comprende que hay detrás de cada error.

Una vez más se confirma el hecho que un error es sólo la manifestación de un malestar cognitivo, pero no nos dice nada de la causa; por tanto, no está dicho que la respuesta correcta, aquella esperada, sea la demostración del éxito de la construcción del conocimiento.

Se convierte en decisión importante comprender no sólo cual es la dificultad, sino también su origen, ya que, como hemos visto, el error puede tener causas completamente diferentes.

Entre las técnicas difundidas para el análisis del origen de las dificultades, están las entrevistas, los TEPs, la bitácora, los «informes»,… instrumentos esenciales para diagnosticar y para la evaluación compleja de la actividad de aula (véase: Fandiño Pinilla 2006).

Sobre estos puntos, decisivos, sugerimos la lectura de Zan (2007).

1.4. Las dificultades, un análisis objetivo general 2

Los textos que consideramos fuentes principales para un uso correcto de términos y clasificaciones (a escala internacional) son los de la Organización Mundial de la Salud, actualmente en uso por los especialistas (médicos, neuropsiquiatras, psicólogos) de todo el mundo:

• Organización Mundial de la Salud (1994). ICD-10. Décima revisión de la clasificación internacional de los síndromes de los disturbios físicos y de comportamiento. Milán: Masson;

• Organización Mundial de la Salud (2001). ICF Clasificación internacional del funcionamiento de la discapacidad y de la salud. Trento: Erickson.

Después están las innumerables interpretaciones, profundizaciones, investigaciones etc. que muchos Autores han hecho sobre los temas abordados en estos dos textos: la bibliografía es extensa para cada área de investigación.

La ICD10 es el instrumento para diagnosticar los trastornos y los síndromes de un individuo.

La ICF se ocupa, en cambio, del funcionamiento de la salud de un individuo, no obstante las limitaciones en la actividad o en la participación en la sociedad; además se encuentra evidenciado que las consecuencias de una discapacidad en términos de limitaciones en el actuar y en el participar, no dependen únicamente del propio individuo, sino que también influyen el medio ambiente, el contexto familiar, social, cultural, laboral, recreativo etc., en el cual vive, y al cual se refiere.

En el mismo texto se indica que:

«El ICF es una clasificación que tiene diferentes propósitos y que puede ser utilizada en diferentes disciplinas y sectores. Sus objetivos principales pueden resumirse como sigue:

• proporcionar una base científica para la comprensión y el estudio de la salud, y de las condiciones, consecuencias y causas determinantes relacionadas con esta;

• establecer un lenguaje común para describir la salud y las condiciones relacionadas con esta a fin de mejorar la comunicación entre los diferentes usuarios, incluidos los profesionales, los investigadores, los políticos y la población, así como las personas con discapacidad;

• hacer posible la confrontación de los datos recopilados en los diferentes países, disciplinas de salud, servicios, en diferentes períodos;

• ofrecer un esquema de codificación sistemático para los sistemas informativos sanitarios.

Estos objetivos están relacionados entre sí, desde el momento en el cual las exigencias que son las bases del ICF y sus aplicaciones requieren la creación o la disponibilidad de un sistema significativo y práctico que pueda ser utilizado por diferentes usuarios para una política de salud, una garantía de calidad y una evaluación de los resultados en culturas diferentes».

El término genérico «dificultad» en el aprendizaje proviene de un uso generalizado (en varios contextos) para expresar un impedimento o un obstáculo en el actuar, o en el operar, o en el llevar a término una tarea, o en el aprender etc., término que se utiliza ampliamente en el ámbito escolar.

En el ICD10 se usa el término «dificultad» como consecuencia de una perturbación.

En el ICF el término «dificultad» se encuentra en la definición de las limitaciones de la actividad: son las dificultades que un individuo puede encontrar en la ejecución de la actividad (donde por actividad se entiende: la ejecución de una tarea o de una acción; por lo tanto, la dificultad debe entenderse como limitación en el actuar), una limitación de la actividad puede ser una desviación de leve a grave, en términos cuantitativos o cualitativos, en el desenvolvimiento de la actividad con respecto al modo o la medida esperada de una persona sin condicionamientos de salud.

En el ICD10 se encuentra la clasificación de todos los trastornos, algunos definidos con precisión, otros de modo más genérico. Con respecto a los trastornos específicos del aprendizaje escolar, y en particular aquellos que afectan a la matemática, regresaremos más tarde. En este mismo documento se definen los términos de deficiencia, discapacidad y minusvalía, no de déficit: creemos que éste es un término utilizado de modo muy amplio y en diversos contextos para expresar las deficiencias (en el ICD10 aparece: «deficiencia: pérdida o anormalidad de una función o de una estructura») o de las discapacidades (en el ICF: «discapacidad: pérdida o anormalidad en la estructura corporal o en la función fisiológica, incluyendo las funciones mentales». Aquí el término anormalidad se utiliza sólo y exclusivamente para indicar una diferencia significativa con respecto a normas estadísticas establecidas, es decir, como una desviación de una media de población dentro de las normas estándar de medida, y deben ser utilizadas solamente en este sentido).

Dado que estamos en un ámbito escolar, es bien conocido que existen diversas circulares y notas ministeriales de la Educación Pública; los expertos (algunos de los cuales son funcionarios de los ministerios) señalan un uso objetivamente desordenado y ambiguo de términos, debido a la falta de coordinación central, que, en lugar de dar claridad y sentido común, además de buen uso, generando confusión (por ejemplo, en todas y cada una de las notas ministeriales italianas se lee aún «portadores de handicap» contrastando con la terminología más correcta que varios Autores prominentes han sugerido)3

En pedagogía especial y en didáctica especial a menudo se usan los términos “déficit” y “dificultad”; esto deriva de un empleo desenvuelto que se hace en didáctica, y mucho más frecuente en pedagogía, de las metáforas; a menudo se usan aquellas palabras con un significado preciso en los contextos más disparatados, confiando en la capacidad del lector para captar el significado de la cita.

Un uso, que consideramos suficientemente correcto, de «déficit» y de «dificultad», podría ser el siguiente. Un evento traumático, patológico, genético etc. puede provocar impedimentos, trastornos, limitaciones en las funciones o en las estructuras del cuerpo de un individuo (incluso mentales, psicológicas, emotivas etc.). Estas limitaciones, trastornos, impedimentos, pueden conducir a la discapacidad en las diversas formas de funcionamiento, de expresión y de acción del propio individuo. Así inician a delinearse las dificultades del individuo con discapacidad. La discapacidad puede convertirse en un handicap cuando se encuentra en un entorno físico o un contexto social y cultural que coloca obstáculos y barreras de diversa índole.

Pensamos que, para el uso de estos términos, se debe primero tener claro el propósito y el contexto. En medicina, para diagnosticar, se utiliza preferentemente el término «trastorno», como está escrito en el ICD10 (pero en algunas partes del ICD10 el término «déficit» se utiliza, como sinónimo de «trastorno»).

El término «dificultad» se utiliza como una posible consecuencia de un trastorno o déficit (ICD10), o como consecuencia de una discapacidad, o más bien limitación de la actividad (ICF).

La falta de atención, para dar un ejemplo típico del aula, llega a ser un trastorno (pero, en este caso, debería ser un médico o un psicólogo a diagnosticarlo), puede provocar limitaciones en la actividad de un individuo, por lo tanto, una objetiva dificultad.

Hay quien busca reunir situaciones muy diferentes entre sí, en este sentido, entonces, ciegos, sordos, mudos, down… pueden ser reunidos en el mismo grupo, pero esto depende de cuan amplio se considere el grupo, por tanto, de su denominación específica. Se trata de personas que tienen en común el hecho de haber vivido y sufrido en su vida un evento traumático, patológico, genético, que dio lugar a una discapacidad, al deterioro, al déficit, al trastorno, que a su vez han generado discapacidades o limitaciones de la actividad o de la participación, por lo tanto dificultades. Pero si se plantea algunas preguntas sobre los eventos, cuales deficiencias, cuales déficit, cuales discapacidades, cuales limitaciones en la actividad, cuales limitaciones en la participación, cuales dificultades se están citando o enjuiciando, entonces se comprende inmediatamente que son absolutamente distintas. De hecho, si consideramos la especificidad de los individuos, sexo, edad, extracción social, discapacidad, trastorno, déficit, discapacidad, problemas etc., pero también, ambiente y contexto, mayor es el número de diferencias y, por tanto, la imposibilidad de pensar en un conjunto único. Las dificultades que un ciego debe afrontar en las limitaciones de sus actividades, por ejemplo, para moverse en una ciudad, o para leer un libro, son muy diferentes a las de un sordo, o a las de un down, o a las de un sordo-ciego, de las de un down-ciego, de las de un down-sordo etc.

Son personas «diversamente hábiles». Mientras más se consideran, con razón, en su especificidad y personalidad, mayor es la imposibilidad de encontrar analogías, incluso entre personas de un mismo tipo de habilidades diferentes.

Para tener mayor información, se puede recurrir al link del sitio de la AIRIPA (Associazione Italiana Psicopatologia dell’Apprendimento)4, del AID (Associazione Italiana Dislexia)5, del CNIS (Coordinamento Nazionale Insegnanti Specializzati)6 etc. En tales sitios se pueden encontrar las definiciones compartidas en la literatura psicológica.

Pasando en modo más específico a las dificultades en matemática, la ICF suministra una lista poco profunda que se refiere exclusivamente a la realización de las cuatro operaciones aritméticas de base y a una genérica resolución de problemas (aritméticos); sólo en un paréntesis aparece una vaga referencia a la geometría y a la trigonometría.

Otra de nuestras fuentes está constituida por el texto de Lucangeli, Iannitti y Vettore (2007), lectura que sugerimos.

El interés por este campo de estudio y de investigación es muy amplio, de manera que podemos sugerir a los interesados, por ejemplo, las siguientes fuentes de información:

• las actividades de GRIMED (Gruppo di Ricerca Interuniversitario “Matematica e Difficoltà”)7, que nació bajo el congreso “Incontri con la Matematica”8 en Castel San Pietro Terme en 1991 (en el Congreso n°. 5) y, después, al año siguiente se convirtió en autónomo (Pellegrino, Piochi, 2002), que, además de realizar las conferencias nacionales, gestiona una serie de actos y textos homónimos editados por la editorial Pitagora de Bologna;

• la sesión «Disagio nell’apprendimento della Matematica»9 en la conferencia nacional «Incontri con la Matematica», que se desarrolla en Castel San Pietro Terme (Bologna, Italia) desde hace 23 años, normalmente el primer fin de semana de noviembre;

• las conferencias internacionales «La qualità dell’integrazione scolastica»,10 organizadas por el Centro de estudios Erickson, cada año en noviembre en Rimini (Italia);

• diversas series de libros publicados por la editorial Erickson de Trento (Italia);

• numerosos artículos en diversas revistas especializadas, entre las cuales recordamos las dos publicadas por la misma Erickson («Difficoltà di apprendimento» y «Difficoltà in matematica»);11

• otras revistas, si bien no específicamente dirigidas a este sector, publicaron artículos relevantes, como «La matematica e la sua didattica»12 de la ya mencionada editorial Pitagora; queremos hacer referencia explícitamente a la labor de Locatello, Meloni (2007) cuyo título es un síntoma del interés de investigación en este campo: Primeros pasos hacia una investigación en la didáctica especial de la matemática;

• también hay organizaciones mundiales específicas sobre los diversos trastornos o dificultades, a las cuales es fácil acceder vía Internet con un buen motor de búsqueda, así como lo hicimos nosotros; por ejemplo, existe una Organización mundial que se ocupa de problemas específicos causados por la dislexia;

• es notable el hecho de que estudiosos no especialistas hayan dedicado alguna parte de su labor de investigación a este campo; la lista de estas obras es excesiva, para poder incluirla aquí; nos gustaría señalar sólo Gagatsis, Pitta Pantazi (2001), no sólo porque se ocupa de un interesante caso de dislexia, sino también porque para nosotros ha sido una buena fuente de información; el artículo presenta un análisis de los «principales factores que influyen en el modo en cual el estudiante responde al currículo de matemática», basado en los trabajos de varios estudiosos en él citados, principalmente de Evans, Goodman (1995).

1.5. Dificultad y error

El error, como ya hemos visto en parte y que está a la vista de cualquier docente de matemática, tiene expresiones explícitas que a menudo no muestran la verdadera causa.

Errores de ignorancia, de distracción, de olvido, de falta de atención,... se mezclan con errores más profundos, más orgánicos, mentales, relativos a déficit sensoriales u otros. A su vez, cada una de estas causas inmediatas pueden tener causas remotas diversas: la falta de atención puede ser momentánea y debida a una contingencia banal, puede ser debida al estrés, a problemas familiares, sufrimiento, enfermedad, …

Si se decide de intervenir, y no sólo de registrar objetivamente y en abstracto el error y de indagar la causa, entonces se pone en primera instancia el problema, por parte del docente, de detectar el error, por lo tanto, para descubrir no sólo la causa inmediata sino también aquella latente o profunda. No para transformarnos todos en psicoterapeutas, pero sí para afrontar mejor la tarea a la cual nos comprometimos frente a la sociedad: asegurar que cada uno de nuestros estudiantes, de acuerdo a su propia posibilidad y disponibilidad, aprenda, construya, sea competente en matemática y matemáticamente (Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2006; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002; D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).13

Errores de distracción, de falta de estudio etc., son en un cierto sentido fáciles de detectar y de reconocer, un atento y cuidadoso análisis puede llevar a comprender los motivos y a intervenir; inquietudes, sensación de incertidumbre, malentendidos etc. están generalmente a la base de estos errores. Por supuesto, la simple invitación al estudio y a la atención es sólo normativa y de por sí ayuda poco; mucho mejor es tratar de dilatar la situación facilitando la valoración del error y dando confianza y seguridad.

Errores sistemáticos, el uso correcto de reglas incorrectas, currículo oculto etc., son también relativamente fáciles de detectar, pero para ello es necesario estar siempre atentos a proponer pruebas análogas más de una vez, con algunos cambios significativos, para examinar a fondo la situación.

Este tipo de error es insidioso dado que, por ejemplo, la aplicación correcta de reglas incorrectas lleva, en ocasiones, al resultado esperado por el docente y otras no, y esto crea en el estudiante, con el tiempo, una convicción perjudicial de la matemática y de sí mismo: Los resultados esperados por los docentes de matemática a veces coinciden con los míos y a veces no, pero yo siempre uso la misma regla, por lo que la matemática tiene resultados casuales y yo no puedo dominarla (Zan, 2007). Una vez creada esta convicción de sí mismo, la situación se agudiza; si el docente no la revela, ni siquiera estará en condiciones de intervenir.14

Cuando el estudiante comete repetidos errores, antes o después, como ser humano que es, debe sobrevivir al fracaso, acaba con crearse concepciones sobre las causas del error, causas, que podemos distinguir en exógenas y endógenas.

En las primeras, se da la culpa a cualquier situación externa, fuera de sí: la mala suerte, el docente (su «maldad», su indisponibilidad, el haber modificado los acuerdos etc.), la falta de tiempo, un estado negativo de salud, la dificultad de la prueba etc.

En las segundas, la culpa está dentro de sí: «Soy incapaz de hacer frente a las pruebas de matemática, no recuerdo las fórmulas, estudio pero no entiendo, no es mi materia, no soy capaz etc.».

En los dos casos, la acción de recuperación por parte del docente es compleja, requiere competencia, sensibilidad, solidez, dotes profesionales y de humanidad, hay casos en los cuales es relativamente fácil obtener buenos resultados de recuperación, pero hay otros en los cuales la situación es más compleja, ejemplos concretos de gran relevancia y eficacia se pueden ver en Zan (2007).15

Lamentablemente, no obstante el fracaso de los estudiantes en el proceso de aprendizaje de la matemática (que a menudo podemos interpretar como un fracaso en el proceso de la enseñanza de ésta) está a la vista de todos, la preparación específica de los docentes sobre este tema es decadente, no nos parece apropiada. No decimos que sea ausente: ya sea en los cursos de formación inicial de docentes de primaria, ya sea en los cursos de formación postgrado de los docentes de la escuela secundaria, donde se dictan cursos sobre cuestiones pedagógicas y psicológicas que tienen una gran relación con el tema en cuestión pero que a menudo son genéricos, no específicos. En los cursos de formación postgrado de docentes especializados, además, la actividad específica de recuperación en matemática a veces parece estar ausente y a veces es inexistente. Por lo cual el docente es a menudo abandonado a sí mismo afrontando los casos más complejos que, por desgracia, son también los más numerosos.

Uno de los «remedios», a los cuales varias veces hacemos referencia en este libro, es crear la ilusión de que todo el proceso escolar discurre bien, ilusionar a los estudiantes con la idea de que están construyendo conocimiento matemático: extraer la respuesta «correcta» del estudiante es bastante fácil, haciendo esto se da la ilusión de la buena marcha de la práctica escolar. Pero si el estudiante no construye un conocimiento verdaderamente sólido, sin duda nunca será competente y, en la primera prueba diferente o fuera de aquel contexto de aula, fracasará; y este fracaso será a su vez causa de otros fracasos, desilusiones y frustraciones.

Tenemos muchos ejemplos de este hecho.

Primer ejemplo.

En las pruebas de ingreso para un nuevo ciclo escolar, sucede con frecuencia que el estudiante se enfrenta a una propuesta mucho más simple, desde el punto de vista estrictamente matemático, de aquella que ha superado brillantemente en las pruebas de salida del ciclo anterior; pero él no sabe responder, se siente incómodo, no encuentra el clima de conocimiento ilusorio creado por el docente que lo instigaba de mil maneras para dar la respuesta correcta, creando una ilusión de conocimiento que, de hecho, no existía. Entre las solicitudes que se hacen hoy en día con respecto a la competencia, está aquella en la cual el sujeto responsable está en condiciones de abordar el problema en juego en cualquier contexto (Fandiño Pinilla, 2003, 2006; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2002; D’Amore, Godino, Fandiño Pinilla, 2008).

Segundo ejemplo.

En las pruebas nacionales e internacionales, muchos de los tests asignados son extremamente elementales y se espera, por lo tanto, que nuestros estudiantes, de todos los niveles escolares, sean capaces de responder; por esto nos altera y nos sorprende el hecho que no sea así y se da la culpa a varios factores, reuniendo a todos los que participan en el mundo de la escuela y tratando de salvar la situación con acciones en su mayoría inútiles. Aparte las críticas (constructivas) a estas pruebas, que no es el objetivo de este libro (ver sin embargo: Fandiño Pinilla, 2005c; D’Amore, 2006c; Gabellini, 2006), necesitamos tomar en consideración las diferentes situaciones de aula en las cuales estas vienen afrontadas, en relación con la práctica usual. Se habla de docentes que incluso durante estas pruebas son capaces de «extraer» la respuesta esperada de sus propios estudiantes; suponemos que este no es el caso y que el estudiante enfrenta la prueba en el clima previsto: él, acostumbrado a un director de orquesta, que sugiere de mil formas diversas qué responder para tener éxito en la prueba, se encuentra solo y sin instrumentos para afrontar los problemas. No es cuestión de inteligencia, de cultura o, por el contrario, de incapacidad mental, de ignorancia; es puramente cuestión de cambio de hábitos y de la falta de una verdadera y adecuada formación tanto de la competencia en matemática como de la competencia matemática (Fandiño Pinilla, 2003; Fandiño Pinilla, 2005c).

Podríamos seguir con otros ejemplos análogos. Pero creemos que el docente ha entendido el sentido de nuestros ejemplos, y sabe extraer otros de su vida profesional cotidiana.

1.6. Dar espacio a la conciencia

Hemos visto cómo existen situaciones en las cuales el estudiante no es ni siquiera consciente de encontrarse en dificultad.

Por ejemplo, si el estudiante está convencido de que el error que ha cometido en matemática se debe a la fatalidad o la casualidad, nada hará para remediarlo, más aún si está convencido de que el hecho es generalizado. Si, por el contrario, fuese consciente del hecho de que el error puede ser subsanado, entonces podría empeñarse en no repetirlo.

En Zan (2007) se pone en evidencia el hecho de que son los estudiantes considerados «mejores» los más interesados en la explicación dada por los docentes de un error cometido, mientras que los otros parecen desinteresarse.

Parece oportuno entonces, en primer lugar, hacer que, por parte de los estudiantes, haya plena conciencia de su propio error, en el sentido que se creen situaciones en las cuales el estudiante se convenza que él pueda corregir sus errores y cómo hacerlo.

Entre los instrumentos adoptados para lograr este propósito se utiliza en primer plano todo lo relacionado con la meta-cognición, un buen uso específico de la discusión colectiva, para la evaluación participativa y la auto-evaluación.

Cada uno de estos cuatro términos, sin embargo, debe entenderse desde un punto de vista técnico y no debe considerarse intuitivo o de sentido común. Existen excelentes estudios sobre cada uno de estos, en el campo específico de la matemática; habiendo decidido dar al libro otra dirección, nos limitamos aquí a dar sólo indicaciones bibliográficas para quien desee ahondar en el tema; para facilitar este trabajo, nos limitamos a un mínimo de textos en italiano, advirtiendo que en cada uno de ellos se encontrará abundante bibliografía.

Sobre la meta-cognición en general, véase Cornoldi (1991) (útil también en estudios sobre dificultad del aprendizaje); Cesare Cornoldi y sus colaboradores han estudiado de manera específica la meta-cognición en matemática; por ejemplo, entre los más recientes y específicos, ver: Cornoldi, Caponi, Falco, Focchiatti, Lucangeli, Todeschini (1995).

Sobre la discusión colectiva, véase Bartolini Bussi (1989).

Sobre la evaluación participativa y la auto-evaluación, insertada también en un ámbito más general, véase Fandiño Pinilla (2006).

1.7. Influencia de los factores psicológicos sobre la dificultad

Es cierto, la bibliografía está llena de estudios sobre la influencia de factores psicológicos sobre las dificultades, algunos de los cuales ya mencionamos. Para comprender a fondo, debemos siempre saber distinguir el punto de vista del docente del punto de vista del estudiante.

Nos limitaremos a mencionar algunos entre los más interesantes, sin entrar en detalles y limitando al mínimo las referencias bibliográficas.

Empezamos con el papel que juegan conceptos como estima y autoestima; «estima» en dos sentidos, aquel que el docente tiene del estudiante A, estima que A advierte por parte del docente; estima que A tiene de sí mismo en general y de sí mismo como un agente en el mundo matemático en particular. Aquí las cosas están entrelazadas fuertemente; si el estudiante no siente estima por parte de su docente, debe tener reacciones para remediar esta laguna; que puede ser constructiva o destructiva. Si el estudiante siente la estima de parte del docente, puede tener diversas reacciones: tratar de conservarla a toda costa, o intentar merecerla, con diferentes comportamientos a veces decisivos en sus resultados para el aula. Volveremos sobre este punto.

Hemos visto cómo el estudiante puede tener imágenes de la matemática que se transforman en convicciones: miedo, sentimiento de pérdida, confusión, laguna en la memoria, casualidad en la realización de las pruebas, auto-convicción sobre la falta de capacidad, de inteligencia, necesidad de una predisposición natural etc. A éstos se adjuntan los factores psicológicos que figuran en el párrafo anterior.

Consideramos entonces la pareja motivación - volición (Pellerey, 1993; D’Amore, 1999); por un lado, es tarea del docente crear motivaciones para el trabajo; y la necesidad del estudiante de hacerse cargo de su propio aprendizaje, como responsabilidad personal (se denomina volición, desde un punto de vista psicológico, el desear hacer y no sólo el hacer), ya había sido puesto en evidencia por Guy Brousseau en la teoría de situaciones desde los años ’70 (Brousseau, 1986; D’Amore, 1989a, 2003). El docente puede motivar el tiempo que quiera, pero si el estudiante no desea acceder al conocimiento, no acepta la devolución, no se hace cargo personal de su propio aprendizaje, no construirá el conocimiento. Lo que hará será participar, más o menos activamente, en el «juego» que es vivir la vida escolar en un ámbito que estudiaremos en detalle en el Capítulo 4.

La meta-cognición, que ya hemos hecho sentir en el párrafo anterior, también se inscribe dentro de este párrafo; la enseñanza de la meta-cognición, por décadas, ha estado evidenciada como una actividad necesaria en el proceso de enseñanza-aprendizaje específico de la matemática (Schoenfeld, 1987; D’Amore, Martini, 1997a).

Todavía hay mucho que decir, pero este libro no está concebido en el sentido psicológico, debido a la formación de los autores; queremos limitarnos sólo a algunas indicaciones para completar, y así llegar rápido a los Capítulos 2, 3 y 4 que son específicos de la didáctica de la matemática.

Sin embargo, no podemos dejar de mencionar aquí el gran capítulo de las estrechas relaciones que se encuentran entre las convicciones de los docentes y el fracaso de los estudiantes; las primeros orientan la labor del aula y, por tanto, determinan el comportamiento y las expectativas de los estudiantes; en ocasiones el docente ni siquiera es consciente de sus convicciones y, por tanto, el estudiante resulta orientado de manera tal que aún más es advertida como casual o contradictoria. (Sobre la epistemología implícita del docente, se pueden ver algunos artículos de Speranza, 1997; sobre las contradicciones epistemológicas que se revelan en el proceso de enseñanza - aprendizaje, véase D’Amore, 1987; sobre modernos análisis epistemológicos de las bases de la didáctica, véase D’Amore, 2003).

Por último, existen estudios clásicos que evidencian cómo expectativas creadas explícitamente y a priori por los docentes con respecto a la capacidad de los estudiantes elegidos al azar, vienen confirmadas a posteriori por la evaluación que los docentes dan a las actividades en el aula con los mismos estudiantes; lo cual es una fuerte demostración de que las convicciones (en cualquier sentido, no sólo epistemológicas) influyen significativamente la vida en el aula.

Aún más interesante es el hecho que estudiantes evaluados positivamente de esta forma realmente han mejorado sus resultados debido al aumento de la autoestima y a causa del deseo de conservar la estima de los docentes, los dos factores psicológicos ya vistos, pero que se entrelazan en una enmarañada madeja de interés excepcional.

Tal resultado se conoce como el efecto Pigmalión y fue revelado por primera vez en los estudios ahora considerados clásicos de Rosenthal, Jacobson (1968-1972), hoy muy citados (véase, por ejemplo, Canevaro, 1999).

1.8. Errores específicos

Es cierto que en matemática los estudiantes cometen errores específicos que parecen no poder ser generalizados bajo una teoría general; a estos va reservada una función específica. Creemos, sin embargo, que incluso a pesar de esta especificidad, podemos encontrar generalizaciones útiles que ayuden a los docentes a tomar decisiones ya sea en su acción sobre la transposición didáctica, ya sea en la elección de la ingeniería didáctica, ya sea en la evaluación.

Ejemplo 1: Área y perímetro

Tanto el libro de Fandiño Pinilla, D’Amore (2007) como en las investigaciones que lo precedieron y lo hicieron posible (citadas en el libro), se evidencian errores de los estudiantes en la evaluación de las relaciones entre el área y el perímetro de figuras planas. No entraremos en mayores detalles. Nos limitaremos a decir que, por ejemplo, muchos estudiantes están convencidos del hecho de que, si dos figuras A y B tienen el mismo perímetro, entonces también tendrán la misma área.

Una investigación efectuada con los docentes de estos mismos estudiantes ha mostrado ampliamente que este preconcepto albergaba también en ellos; y esgrimen como excusa el hecho de no haber tenido más información o cursos específicos que negaran esta aparente obvia verdad16. Como se ve, de un lado las convicciones de los docentes influencian significativamente las de los estudiantes;17 y, del otro, la voluntad que existe de modificar sus propias convicciones, incluso el tipo de contenido.

Entonces, ¿cómo intervenir en este «error» específico? Primero verificando bien la transposición didáctica y la ingeniería didáctica, verificando casos posibles de errores de interpretación en la comunicación, no sólo de aquellas explícitas, sino también de aquellas implícitas y que a veces dejan una marca mayor.

Ejemplo 2: Fracciones

Tanto en el libro de Fandiño Pinilla (2005a), como en los trabajos de investigación que lo precedieron (que se mencionan en la bibliografía), como en los trabajos de investigación que lo siguieron (véase, por ejemplo, Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006), se evidencian infinidades de «errores» específicos hechos por los estudiantes que la literatura ha estudiado por décadas, clasificándolos desde un punto de vista netamente matemático y, por tanto, sin grandes éxitos didácticos.

Las investigaciones preliminares y tal vez, incluso más, las sucesivas, como la indicada, han mostrado ampliamente una vez más como los errores de los estudiantes tienen motivaciones y causas que residen en las convicciones de los docentes.

Por ejemplo, muy pocos de los docentes entrevistados han reflexionado sobre el hecho de que el típico «igual» que se menciona en la definición de las fracciones, cuando, precisamente, una unidad se divide en partes «iguales», es un término genérico que va interpretado según el contexto, por lo menos 12 contextos diferentes que el primer libro evidencia.

Por ejemplo, si se trata de dividir una figura plana en partes «iguales» en realidad quiere decir «equi-extensas»; si se divide un conjunto de personas en partes «iguales» en realidad se refiere sólo al número; si se divide un número en partes iguales, entonces se trata de realizar una operación de división (y a menudo es incierto si se habla de N o de Q, dado que en N la operación de división no es interna); si se divide una pizza en partes iguales, se hace referencia a una división abstracta que está fuera del contexto concreto al cual se recurre del objeto «pizza», porque «iguales» aquí tiene poco sentido concreto: nadie cortaría una pizza, por ejemplo, con un corte paralelo al plano del plato sobre el cual descansa, y nadie espera que las dos rebanadas de pizza obtenidas por un corte concreto, sean realmente «iguales» etc.

Las consideraciones que a este punto pueden seguir son totalmente idénticas a las hechas al final del ejemplo anterior y, por tanto, las omitimos.

Tendremos que hablar por mucho tiempo de la relación entre los conceptos (correctos) que se esperan del proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática y los misconceptos que se crean en la mente de los estudiantes o pre-existentes en la mente de los docentes. Muchos de estos serían ejemplos oportunos que podrían ser presentados aquí; sin embargo, el Capítulo 3 se dedica específicamente a este tema, con gran riqueza de ejemplos.

Pero volvamos a los métodos para remediar este estado de cosas.

El estudio cognitivo de los conocimientos reales de los estudiantes en un cierto dominio del saber matemático necesita de un análisis profundo y no basta una sola prueba o un sólo test, para llegar a una conclusión en este campo; valga para todos el siguiente ejemplo.

Niños de 5 años se colocan delante de una mesa sobre la cual se colocan 5 tacitas dispuestas en línea recta delante de los niños y 5 platitos, cada uno delante de una taza, por lo tanto, más cerca del grupo de niños.

Se pregunta a los niños: «¿Hay más tacitas o más platitos?». En el coro y sin duda alguna, cada uno a su manera, responden que las dos cantidades son iguales.

Ahora, ante la atenta mirada de los niños, dejando inmóviles los platitos, se dispersan las tacitas en la parte de la mesa comprendida entre los platitos y los niños, de modo tal que ocupen una superficie visiblemente más amplia que la anterior.

En este punto, se pregunta a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», con énfasis en las palabras en cursiva. En coro, sin duda alguna, los niños responden que hay más tacitas.

Hipótesis A: Fin de la actividad.

Conclusión: los niños confunden la cantidad numérica con el espacio ocupado o con el movimiento producido o con la abundancia de energía… y así sucesivamente.

Hipótesis B: La actividad prosigue.

Ante la mirada atenta de los niños, dejando siempre inmóviles los platitos, se disponen las tacitas exactamente igual a como estaban al comienzo, todas alineadas frente a su platito.

En este punto, se pregunta a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», haciendo énfasis en las palabras en cursiva. En el coro, sin ninguna duda, los niños responden, cada uno a su manera, que hay tantas tacitas como platitos.

Ahora, de nuevo, ante la atenta mirada de los niños, dejando siempre inmóviles los platitos, se esparcen las tacitas en la parte de la mesa entre los platitos y los niños, de modo de que las tacitas ocupen una superficie mucho mayor.

En este punto se pide una vez más a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», siempre haciendo énfasis en las palabras en cursiva. Y aquí, sucede el hecho nuevo: mientras todavía algún niño dirá que hay más tacitas, una gran parte de ellos, sin embargo, afirmará que las dos cantidades son iguales.

El aprendizaje ha ocurrido, ahora basta dejarlos hacer, dejar que el debate venga de inmediato, para que los niños aprendan de sus compañeros, como es justo y es más eficaz (Vigotsky, 1956-1962 -1977; en: 1977, cap. IV).

La pregunta insidiosa y provocadora es: ¿está bien detenerse en el punto A, o es mejor seguir, como en el punto B?18

El pseudo-error específico debido al cual los niños asignan a las tacitas esparcidas una mayor cantidad, hecho que se puede explicar de muchas maneras diferentes (el tipo de solicitud, el hecho de ampliarse el espacio ocupado, energía excesiva utilizada etc.), es fácilmente superado con un cuidadoso análisis de la situación.

Era lo que queríamos evidenciar: el error en sí mismo dice poco, es el análisis que el docente es capaz de hacer el que revela las causas y, como consecuencia, a veces, sugiere la recuperación.

Entre los factores que se deben tener en cuenta, hay otros de gran interés.

Uno de estos tiene que ver con la diferencia entre las expectativas del docentes y las expectativas del estudiante.

Un ejemplo.

A la propuesta del ejercicio: «Un pastor tiene 12 ovejas y 6 cabras; ¿cuántos años tiene el pastor?», muchísimos niños en el aula responden: 18 (D’Amore, 1993b; D’Amore, 1999) (pero sobre el contrato didáctico volveremos en el Capítulo 4).

La «lógica» con la cual el adulto ha construido esta prueba es más o menos la siguiente: veamos si cualquier niño es capaz de romper el contrato didáctico y responder cualquier cosa del tipo: «Este problema no se puede resolver» o algo similar. Pero, una vez que el investigador pregunta a un niño que gritaba convencido hasta quedar sin aliento «18», cómo justificaba su respuesta, el niño responde: «Porque hice la “suma”». La lógica de las expectativas adultas y aquella del resultado del niño son radicalmente diferentes. De la primera habíamos hablado y es obvia, de la segunda diremos que el niño se limita a elegir la operación que espera sea la expectativa del investigador, totalmente desinteresado de la lógica adulta sobre la cual se ha construido el problema. Pero a ese mismo niño, el investigador le pregunta, «¿Por qué hiciste la “suma” y no la “división”?», ayudado por el lenguaje espontáneo del niño; en aquel punto, después de haber pensado un poco, acompañando la respuesta con una radiante sonrisa, el niño responde: «No! Sería demasiado pequeño!». El sentido es obvio: se está refiriendo a una improbable edad de un pastor, inconcebible. Sólo con esta última pregunta, el niño está obligado a dar un sentido a su propia respuesta. No antes. Al comparar los dos resultados, el de la “suma” que le da 18 y el de la “división” que da 2, sólo a este punto se toma en consideración la edad del pastor, la lógica cambia entonces y se convierte: Haciendo las operaciones que yo conozco, ¿cuál de las dos da un resultado más confiable a la respuesta, es decir, una posible edad de un pastor?

Asistimos a un continuo juego de lógicas diversas y de cambios de sentido. Si no se hace un análisis final de lo que está sucediendo, no se sabe qué hacer para recuperar.

Retornaremos nuevamente sobre este argumento en el Capítulo 4, aquí sólo queríamos hacer notar la diferencia de las expectativas «lógicas» del docente y las del estudiante, la una a priori y la otra a posteriori; y la complejidad del cambio de sentido que se origina en la práctica didáctica. A estos errores se necesita contraponer análisis serios y finos, de lo contrario el juego se pierde.

Declamar banalmente que «Los niños de hoy no saben razonar» o que «Pablo no tiene ninguna lógica», no tiene sentido, no se sabe que significa, no es una frase profesional, da la idea de un juicio pero en realidad es una razón condicionada no profesional.

Por último, no porque se haya terminado la casuística, sino debido a que es necesario cerrar este Capítulo 1 para afrontar finalmente los capítulos más específicos de este libro, damos una breve nota sobre el tema que aborda las construcciones diversas del mismo concepto, las gestiones diversas de los registros semióticos, el uso de diferentes registros para comunicar, para el diseño, para la narración, los registros formales etc.

La literatura sobre la gestión de los registros semióticos en el aula es, por decir algo, inmensa.

En primer lugar, afirmamos que ha quedado ampliamente demostrado que la dificultad en la gestión de los diferentes registros semióticos es una de las causas más frecuentes de los errores, la pérdida del sentido del trabajo en el aula, el rechazo a la devolución (D’Amore, 2002a, b).

Además, hoy sabemos que ciertas orientaciones metodológicas y didácticas que el docente creía ciertas, que garantizaban el éxito, no lo son en absoluto.

Utilizar la línea numérica para las operaciones, en la escuela primaria, no es en sí mismo ciertamente eficaz; impulsar a hacer un diseño pensando que esto ayuda la resolución de un problema de geometría en la escuela media, puede ser del todo irrelevante; impulsar a ciertas escrituras polinomiales, por ejemplo, obligando al estudiante, en los niveles superiores, a escribir siempre fórmulas que terminen con «= 0», es decir a la derecha, genera la convicción de que la igualdad no es simétrica. Y así sucesivamente.

El uso y la gestión de los diferentes registros semióticos, aunque es necesaria, no es incruenta ni indolora; por sí misma no genera conocimiento, no facilita la noética, es decir, la construcción conceptual, y debe ser estudiada vez por vez, caso por caso. La noética pasa a través de la semiótica (Duval, 1993), es cierto, pero el uso y manejo de la semiótica no son por sí mismos garantía de que se llegue a la noética.

Errores específicos en el manejo de los registros semióticos deben ser abordados en la práctica escolar, así como han sido el objeto de investigación en los últimos tiempos.

Se da por descontado que el Lector conoce el hecho de que las operaciones específicas de la semiótica son tres:

• la elección de las características distintivas del objeto que quiere representar en un determinado registro semiótico rm, llegando a una representación ;

• la operación de transformación de tratamiento, con la cual se pasa de la representaciones semiótica , a otra (i ≠ j), diferente de la precedente, pero siempre en el mismo registro semiótico rm;

• la operación de transformación de conversión, con la cual se pasa de la representación semiótica a otra , distinta de la anterior (m ≠ n), en otro registro semiótico rn.

Por ejemplo, se quiere representar el concepto de «mitad»;

Entre los miles de discursos que podemos hacer ahora elegimos uno.

Frente a la dificultad del estudiante, señalada por Raymond Duval (1993), para hacer frente a las conversiones, hoy, por ejemplo, en el nuestro NRD19, está activo el estudio de las dificultades encontradas en los estudiantes y en docentes en las transformaciones de tratamiento. Sólo para dar una idea de la intensidad de la investigación en este campo citamos a: D’Amore, 2006a, b; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2007; D’Amore, 2007c; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2008b.

Pues bien, no hay errores específicos de los estudiantes que se deban atribuir al manejo de las transformaciones semióticas de tratamiento; si no se sabe detectar y reconocer la causa, de nada servirá una intervención genérica, porque perderá eficacia.

Por ejemplo, en algunos de los trabajos precedentes se ha visto que los estudiantes (y docentes) están dispuestos a admitir que:

Esta actitud revela un hecho de gran impacto sobre el cual aún se está indagando y que debe atribuirse a fuertes influencias de los legados culturales construidos en aritmética, en el pasaje a otras actividades matemáticas o a modelos específicos construidos, del tipo: si se habla de probabilidad de los valores obtenidos lanzando un dado, en el denominador debe aparecer 6.

Para nada banales son las revelaciones de detección de estas situaciones y el estudio de las posibles actividades de recuperación.

Como se ha visto, aunque sólo en los pocos ejemplos tratados, de la aparente especificidad de un error matemático, se termina siempre con pasar a cuestiones mucho más generales que están en la base de dificultad y cuyo análisis desde un punto de vista general revela siempre mucho más de lo que aparece a primera vista, con un análisis genérico precipitado.

Pero serán los capítulos posteriores, los que presenten el discurso sobre temas de carácter didáctico, con toda la potencia analítica que en este campo se ha construido en el último decenio.

Una observación, para cerrar este capítulo.

En D’Amore (1999) se propone la distinción entre la investigación en la didáctica A (como ars docendi), centrada sobre el proceso de enseñanza, y en didáctica B, como epistemología del aprendizaje (específico) de la matemática. Si se hace referencia al triángulo de la didáctica, se puede intuir con la didáctica A se centra en el saber, mientras que la B en el estudiante.

Recientemente (D’Amore, 2006d) propuso una didáctica C que se centra en el vértice “docente”, considerado mucho más importante en el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática, dado que el estudiante no accede normalmente al Saber, si que lo hace a través de la mediación del docente que reconstruye una matemática de aprender para él.

Esto explica el por qué de nuestra determinación de tomar en examen al docente tan a menudo como sea posible, sus convicciones, sus funciones, su profesionalidad, su formación cultural específica en la disciplina y en la didáctica etc.

Por otra parte, no sólo los estudiosos de didácticas disciplinarias específicas se han concentrado en «la epistemología del docente»; basta ver las reflexiones de Canevaro (2006), para comprender que este interés es ahora muy difundido y determinante.

2 Para la preparación de esta sección, hemos hecho uso de diversos expertos en la materia; no podemos mencionarlos todos, pero queremos agradecer explícitamente a Athanasios Gagatsis y a Daniela Lucangeli, un agradecimiento especial va a Silvano Locatello y a Gianna Meloni, de los cuales hemos extraído frases enteras.

3 Sobre el uso de una terminología demagógica, como invidente por ciego, no oyente por sordo etc., con su habitual sutil sarcasmo también ha intervenido Umberto Eco (2006, pág. 92): «Si se decide no llamar más a personas en sillas de ruedas inválidos o incluso minusválidos sino diversamente hábiles, pero después no se les construyen rampas de acceso a lugares públicos, es evidente que hipócritamente se eliminó la palabra, pero no el problema».

4 Asociación Italiana de Psico-patología del aprendizaje.

5 Asociación Italiana de Dislexia.

6 Coordinación Nacional de Docentes Especializados.

7 Grupo de investigación inter-universitario “Matemática y dificultad”.

8 “Encuentros con la Matemática”.

9 «Dificultades en el aprendizaje de la Matemática».

10 «La calidad de la integración en la escuela».

11 «Dificultad de aprendizaje» y «Dificultad en matemática».

12 «La matemática y su didáctica».

13 Sobre el error, véase las ejemplares páginas 21-24 de Zan (2007).

14 Aquí hemos hecho uso del término convicción en forma ingenua, pero el estudio de las influencias que tienen las convicciones personales sobre el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática está hoy muy desarrollado. Aquí evitamos entrar en detalles, invitando a la lectura de D’Amore, Fandiño Pinilla (2004) y Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli (2006). Sin embargo, proponemos aquí las definiciones utilizadas en estos textos: «convicciones (beliefs) (o creencias): opiniones, conjunto de juicios/expectativas, lo que se piensa acerca de algo; el conjunto de las convicciones de una persona (A) sobre algo (T) da la concepción (K) de A con respecto a T; si A pertenece a un grupo social (S) y comparte con otros miembros de S aquel conjunto de convicciones relativamente a T, entonces K es la concepción de S relativamente a T. A menudo, en lugar de “la concepción de A relativa a T” se habla de “la imagen que tiene A de T”».

15 A propósito de cómo el docente percibe su propio profesionalismo, es útil la lectura Iori (2007-08), que presenta un excelente análisis sobre este tema.

16 Muy interesantes fueron las reacciones de los docentes cuando se les mostró que la proposición era falsa, proporcionándoles o construyendo ejemplos con ellos. Una confirmación del hecho que un cambio de convicciones genera conocimiento estable.

17 Creemos significativo el título de un trabajo de Fandiño Pinilla (2006) en esta dirección: Trasposizione, ostacoli epistemologici e didattici: quel che imparano gli allievi dipende da noi. (Transposición, obstáculos epistemológicos y didácticos: lo que aprenden los estudiantes depende de nosotros).

18 La actividad aquí contada, fue llevada a cabo por uno de los autores de este libro, Bruno D’Amore, en una situación de investigación y ha sido objeto de publicación en repetidas ocasiones, desde comienzos de los años ’80.

19 Entre los investigadores del grupo, dos son estudiantes de doctorado de investigación en diferentes sedes.