Читать книгу Физика фондового рынка. Краткая история предсказаний непредсказуемого - Джеймс Уэзеролл - Страница 6

Золем Мандельброт – настоящий пример современного математика[71]. Будучи специалистом в области анализа (раздела чистой математики, который содержит, помимо прочего стандартный анализ из школьной программы), он учился в Париже с лучшими из лучших, включая Эмиля Пикара и Анри Лебега. Он был основателем группы французских математиков, которые под псевдонимом Николя Бурбаки отважились привнести в этот раздел математики жесткость, абстракцию; сборник работ группы задавал тон двум поколениям математиков. Когда его наставник Жак Адамар, один из известнейших математиков конца XIX века, ушел в отставку с должности в престижном «Коллеж де Франс», колледж предложил Мандельброту заменить его. Он был серьезным человеком, выполнявшим серьезную работу.

Или, по крайней мере, он выполнял бы серьезную работу, если бы ему постоянно не наступал на пятки его племянник. В 1950 году Бенуа Мандельброт учился в аспирантуре Сорбонны, альма-матер Золема, чтобы (как полагал Золем) пойти по стопам своего выдающегося дяди[72]. Когда Золем узнал, что Бенуа хочет заняться математикой, он очень заинтересовался. Но постепенно стал сомневаться в серьезности намерений Бенуа. Несмотря на советы своего дяди, Бенуа не проявлял интереса к актуальным темам математики того времени. Ему не хватало жесткости, которая принесла Золему успех. И что хуже всего, Бенуа, похоже, сосредоточился на геометрических методах, от которых, как было известно каждому уважающему себя математику, отказались еще сто лет назад. Строя чертежи, невозможно стать стоящим математиком.

Отец Бенуа, старший брат Золема, в свое время помогал растить и самого Золема, оказывал поддержку, пока тот учился в аспирантуре. Бенуа для Золема был скорее как брат, а не племянник, и Золем чувствовал, что обязан быть терпимым с Бенуа, помогать ему. Но со временем Золем дошел до точки. Бенуа же не понимал этого. Он обладал математическими способностями, но когда дело доходило до выбора тем будущих проектов, он был безнадежен.

В один прекрасный день, когда Бенуа сидел в кабинете дяди и делился с ним своими сумасшедшими идеями для диссертации, терпение Золема лопнуло. Он полез в мусорную корзину и выудил оттуда какие-то исписанные листы бумаги. Если Бенуа хочет работать над ерундой, то Золем с легкостью может предложить ему целую кучу такой ерунды – полную корзину. «Это тебе, – сказал он презрительно. – Оно тебе, судя по всему, понравится»[73].

Золем, должно быть, надеялся, что таким драматическим жестом образумит своего молодого племянника. Но его план расстроился. Бенуа взял бумаги – это оказался обзор последней книги лингвиста из Гарварда по имени Джордж Кингсли Ципф – и внимательно изучил их по пути домой[74]. Ципф был известен своей эксцентричностью, мало кто воспринимал его всерьез. Он посвятил карьеру отстаиванию универсального закона физических, социальных и лингвистических явлений. Закон Ципфа гласил, что если составить перечень всех объектов какой-либо естественной категории, скажем, всех городов Франции или всех библиотек мира, и классифицировать их по размеру (города – по численности населения, библиотеки – по размеру фондов), то всегда обнаружится, что размер каждого объекта в перечне соотносится с его порядковым местом в перечне. В частности, размер второго объекта в каждом перечне будет всегда составлять приблизительно половину от первого, размер третьего объекта в перечне – одну треть от первого, и так далее. В обзоре Бенуа внимание было сосредоточено на конкретном примере действия этого закона: Ципф просчитал частоту встречаемости разных слов в разных текстах и продемонстрировал, что если расположить слова в списке по частоте их встречаемости, обычно обнаруживалось, что наиболее часто употребляемое слово встречалось приблизительно вдвое чаще, чем второе по частоте употребления, в три раза чаще, чем третье, и так далее.

Золем был прав, сказав, что работа Ципфа – как раз то, что заинтересует его племянника. Но он был неправ, что это – ерунда или, по крайней мере, полная ерунда. Закон Ципфа представляет собой особую комбинацию расчета численных данных. Ципф, безусловно, был человеком с причудами. Но в этой книге таился бриллиант: Ципф вывел формулу, которую можно было использовать, чтобы рассчитать, как часто конкретное слово встретится в книге, исходя из того, какое место оно занимает в перечне, и общего количества разных слов, встречающихся в тексте. Мандельброт быстро понял, что эту формулу можно усовершенствовать, более того, она обладает некоторыми неожиданными и интересными математическими свойствами. Несмотря на сопротивление самых ярких звезд математического истэблишмента, включая собственного дядю, Мандельброт написал диссертацию, посвященную закону Ципфа и сферам его применения. Он написал ее без научного руководителя, самостоятельно протолкнул свою работу сквозь университетские бюрократические препоны и получил ученую степень. Диссертация Мандельброта была в высшей степени нестандартна.

В общем, Мандельброт сделал карьеру чрезвычайно нестандартным способом как с точки зрения бурного неприятия им математического сообщества, так и с точки зрения тематики его исследований. В то время внимание подавляющего большинства математиков было сосредоточено на «обтекаемых» формах, а наиболее известное открытие Мандельброта, которое он назвал «фрактальной геометрией» (или геометрией частей)[75], уходит корнями в исследование неровных форм, форм с трещинами и разломами, таких как поверхность горы или осколок разбитого стекла. Это исследование заставило Мандельброта осознать, что в природе существует огромное разнообразие случайностей, которые куда более экстремальны, чем тот тип случайности, который мы получаем, вновь и вновь подбрасывая монетку. И последствия этих случайностей имеют значение практически для всех областей математической науки. И для финансов тоже.

Деятельность Мандельброта была революционной. Даже сегодня, по прошествии десятилетий после выхода в свет наиболее важных трудов Мандельброта, его идеи остаются настолько радикальными, что ученые-конформисты во многих областях знания продолжают их оспаривать. Особенно поразительна ситуация в экономике, где основные идеи Мандельброта воспринимаются как горькая пилюля. Если он прав, то все, что большинство экономистов-традиционалистов думает о рынках, в корне неверно. Бескомпромиссность Мандельброту не помогла, хотя и как человек, и как ученый он никогда не сгибался под давлением общественного мнения. Он часто оказывался на грани: был почитаем, но не настолько, как того заслуживал; его критиковали, отстраняли от должностей в равной степени и за стиль общения, и за нетрадиционность научных взглядов. Тем не менее, когда Уолл-стрит и научное сообщество столкнулись с новыми, казалось бы, непреодолимыми вызовами, рассуждения Мандельброта на тему о случайности стали выглядеть более прозорливыми, чем когда-либо, и более ценными для понимания.

Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в литовской семье в Варшаве. Его отец занимался бизнесом, два дяди (включая Золема) были учеными. Многие родственники отца были, по словам Мандельброта, «умными людьми», не имевшими, правда, постоянного места работы. Тем не менее у них была своя группа последователей из числа местного населения, которым они за деньги или в обмен на товары давали советы или делились знаниями. Мать Бенуа была врачом по образованию. Еще будучи ребенком, Мандельброт часто ощущал, что семья ожидает, что он станет настоящим ученым в той или иной области, хотя отец настоятельно призывал сына выбрать что-нибудь попрактичнее – например, заняться техникой или прикладными науками.

Молодой Мандельброт получил необычное образование. Первый ребенок родителей, дочь, умерла в раннем возрасте во время эпидемии. У матери Бенуа развилась фобия в отношении детских болезней, она старалась всеми силами уберечь оставшихся двоих маленьких сыновей от участи, постигшей ее дочь. Поэтому вместо того, чтобы отправить Бенуа в школу, она наняла ему одного из его дядей в качестве домашнего учителя. Этот дядя был как будто вылеплен из того же теста, что и семья Бенуа: хорошо образованный, неработающий, увлекающийся эзотерикой. Он презирал «зубрежку», поэтому даже не думал преподавать Бенуа такие приземленные предметы, как арифметика или азбука (в речи, которую Бенуа произнес после получения Премии Вольфа по физике, он признался, что до сих пор плохо справляется с задачами на умножение, потому что никогда не учил таблицу умножения[76]). Вместо этого дядя поощрял творческую мысль и тягу к чтению. Бо́льшую часть свободного времени Мандельброт проводил за игрой в шахматы и изучением карт.

Великая депрессия нанесла тяжелый удар по Варшаве – сильнее, чем по Западной Европе и Соединенным Штатам, – и в 1931 году бизнес отца Мандельброта оказался фактически уничтоженным. Отец переехал во Францию в надежде, что это позволит ему, находясь вдалеке, содержать жену и сыновей. В Варшаве у Мандельбротов было много родственников, они были очень привязаны к этому городу и надеялись, что отец Бенуа вернется в Польшу и продолжит там свой бизнес. Но по мере того как Великая депрессия усугублялась, в Польше становилось все более неспокойно. В стране росло этническое и политическое напряжение. Евреи Мандельброты начали осознавать, что Варшава становится опасной для них. Мать Бенуа упаковала все, что смогла, и последовала за мужем в Париж. Хотя это было и непростым решением, переезд в Париж почти наверняка спас Мандельбротам жизнь: из более чем трех миллионов евреев, живших в Польше до начала Второй мировой войны, Холокост пережили всего лишь несколько сотен тысяч[77].

Золем был уже в Париже, когда туда приехал отец Бенуа. Сам Золем переехал во Францию в 1919 году тоже беженцем, но несколько иного рода. После Первой мировой войны лидирующие позиции в математике в Польше занимал гениальный молодой математик Вацлав Серпинский. Серпинский работал над теорией множеств. Он был ее воинствующим сторонником и достаточно влиятельным ученым, чтобы диктовать условия успеха любому аспиранту в Варшаве. На склоне лет и сам Золем мог показаться невыносимо жестким по отношению к Мандельброту с его «геометрическим» складом ума, но Серпинский был слишком прямолинейным даже для Золема. Отказавшись работать над темами, которые предлагал Серпинский, Золем попросту сбежал в Париж, где преобладавшая тогда идеология в области математики больше соответствовала его собственной. По иронии судьбы, Серпинский был первооткрывателем необычного геометрического объекта, известного как «треугольник Серпинского» – раннего примера фрактала.

Только после переезда в Париж у Бенуа Мандельброта появилась возможность общения со своим известным дядей-математиком. Мандельброту тогда было одиннадцать лет. Несмотря на то что позднее между ними возникнут разногласия, на раннем этапе их взаимоотношения были глубоко созидательными. Поскольку Бенуа плохо говорил по-французски, в школе его определили на два класса ниже его возрастного уровня. Чтобы он не потерял интерес к учебе и чтобы поощрить его таланты, Золем понемногу занимался с ним математикой. Так что к ней Бенуа в большой степени подтолкнул дядя Золем, под чьим влиянием он в этот период находился. Под попечительством Золема Бенуа начал преуспевать в новой школе.

К сожалению, это длилось недолго. В 1940 году Германия вторглась во Францию. И Мандельброты вновь были вынуждены бежать.

Какова длина береговой линии Британии?[78] Этот вопрос может показаться простым для компетентных топографов. Однако, как оказывается, он сложнее, чем кажется. В его глубине таится загадка, которую порой называют «парадоксом береговой линии». Чтобы определить длину береговой линии, необходимо сделать определенные измерения, предположительно с помощью линейки. Загвоздка заключается в том, какой длины должна быть эта линейка. Представьте себе, что вы начали с огромной линейки, простирающейся от мыса Рат, самой северной точки Шотландии, и до Пензанса, самой южной точки Корнуолла. Вы получите одну длину береговой линии.

Но не очень точную. Вряд ли береговая линия является прямой. Берег Британии ныряет вглубь острова в области Бристольского канала и Ирландского моря, затем снова выступает около Уэльса. Поэтому, если мы возьмем одну длинную линейку, она не позволит нам снять точное измерение. Чтобы получить более точное измерение, потребуется что-то вроде меньшей линейки – такой, которая, сможет легко измерить дополнительную длину, которая, создается за счет различных полуостровов и заливов и которая, прибавляется к базовой длине побережья. Можно попробовать сложить расстояния, например, от Пензанса до Бристоля, а затем от Бристоля до Сент-Дэвидса в Уэльсе, а затем от Сент-Дэвидса до Кармел-Хеда на северо-западе Уэльса и так далее вверх по побережью. Это общее расстояние будет намного длиннее, чем первоначально измеренная длина, но оно будет точнее.

Начинает вырисовываться алгоритм. Оказывается, линейка меньшего размера недооценивает длину точно так же, как и первоначально использованная большая линейка. Пользуясь линейкой меньшего размера, вы полностью пропускаете залив Кардиган, не говоря уже о множестве более мелких гаваней, бухт вдоль корнуэльских и уэльских берегов. Чтобы учесть эти особенности, которые, как оказалось, добавляют довольно значительную длину, вам понадобится еще меньшая линейка. Но опять возникает та же проблема. На самом деле независимо от выбранной линейки результат, который получите, измерив ей береговую линию, всегда будет слишком маленьким. Другими словами, всегда можно получить больший ответ на этот вопрос, выбрав меньшую линейку.

Именно здесь и возникает парадокс. Часто при выборе более точных приборов вы получаете более точное измерение. Вы можете получить представление о том, насколько горячая вода в чайнике, опустив в него палец. Спиртовой термометр выполнит эту задачу лучше, а высокотехнологичный цифровой термометр выдаст показания с точностью до долей градуса. В некотором смысле неточные инструменты добавляют погрешность измерений, и по мере того, как вы изобретаете все лучшие и лучшие приборы, сосредоточиваете внимание на фактической температуре. Но в случае с береговой линией независимо от того, насколько точен ваш измерительный прибор, то есть несмотря на то, насколько мала ваша линейка, результат измерения всегда будет слишком маленьким. В некотором смысле у береговой линии нет длины, по крайней мере, в том смысле, в каком имеют длину такие простые формы, как отрезок или круг[79].

Мандельброт обратился к парадоксу береговой линии в 1967 году в своей работе, открывшей новые горизонты. Это была одна из его первых попыток описать фрактальную форму, каковой на самом деле является береговая линия, хотя Мандельброт и не вводил этот термин в оборот вплоть до 1975 года[80]. Береговые линии (и другие фракталы) замечательны с математической точки зрения, поскольку обладают свойством, которое называется «самоподобие». Сказать, что что-либо самоподобно – значит, сказать, что это «что-либо» состоит из частей, которые выглядят как целое; эти части, в свою очередь, состоят из еще меньших частей, которые тоже выглядят как целое, и так далее до бесконечности. Если вы начнете с целого – западного побережья Британии – и поделите его на несколько частей, то заметите, что каждая часть тоже будет выглядеть как целая береговая линия: более мелкие участки берега тоже имеют собственные небольшие бухты и полуострова. А если вы разобьете одну из этих меньших частей береговой линии на части, они продолжат демонстрировать те же черты, что и более крупные.

Если только вы начнете искать самоподобие, вскоре поймете, что это – встречающаяся повсюду особенность природы. Вершина горы очень похожа на целую гору в миниатюре; ветка дерева выглядит как маленькое дерево, у которого есть собственные ветки; бассейны рек состоят из маленьких речек. Этот принцип, похоже, применим даже к социальному миру. Как впоследствии указал Мандельброт, крупное сражение – это отдельные мелкие столкновения, война состоит из сражений, каждое из которых является миниатюрным подобием войны в целом.

Когда разразилась Вторая мировая война, Мандельброты бежали из Парижа, где, как они боялись, могли вспыхнуть напряженные бои, и поселились в городке под названием Тюль в департаменте Коррез. Мандельброты опять проявили колоссальный дар предвидения не говоря уже о везении: они выехали из Парижа в конце 1939 года, буквально за несколько месяцев до вторжения нацистов во Францию. Да и Тюль оказался необычайно удачным выбором. Расположенный далеко на юге страны, он оказался в неоккупированной части Франции[81].

Правительство Виши сотрудничало с немцами, но антисемитизм на юге был менее жестким. Мандельброт мог спокойно продолжать учиться в школе в Тюле. Он уже свободно говорил по-французски, быстро осваивал школьную программу старших классов и к 1942 году догнал своих ровесников. И все же Мандельбротов преследовал страх возможной депортации. В 1940 году правительство Виши начало пересматривать статус иммигрантов, натурализованных после 1927 года, и лишило гражданства около пятнадцати тысяч человек (преимущественно евреев) – акция, предшествовавшая отправке их в немецкие концентрационные лагеря. Хотя Мандельбротам удавалось оставаться незамеченными в маленьком Тюле, над ними постоянно довлела угроза депортации.

В 1942 году обстановка ухудшилась. 8 ноября британская и американская армии вторглись во французскую Северную Африку. Опасаясь вторжения союзников в континентальную Европу, немцы оккупировали южную Францию. Вместе с немецкой армией пришло гестапо, а когда южная Франция превратилась в театр военных действий, Тюль тоже стал зоной боевых операций. Хотя там проживало всего несколько тысяч человек, Тюль традиционно считался центром своего региона. По мере того как немецкое присутствие в южной Франции увеличивалось, Тюль превращался в стратегический пункт как для остатков правительства Виши, так и для лидеров движения Сопротивления. Мандельброты больше не могли рассчитывать здесь на безопасность.

В своих автобиографических трудах и интервью Мандельброт часто говорил о том, какое влияние на его образование оказала война. После окончания средней школы в 1942 году он обнаружил, что не может поступить в Эколь Нормаль, поскольку был очень ограничен в передвижении (здесь его история напоминает историю Башелье, который не мог посещать Гран-Эколь). Но Мандельброт никогда не рассказывал о подробностях своей жизни в этот период. Он только говорил, что полтора года после окончания школы были «очень, очень трудными» и он «несколько раз был на грани катастрофы»[82].

Поскольку о дальнейшем образовании не было и речи, и поскольку ему было необходимо оставаться незаметным, Бенуа избегал городов и часто переезжал из одного места на другое. Он жил вместе с членами движения Сопротивления, которые приняли его и пытались спрятать. Он выполнял случайные разовые работы, выдавая себя за француза-провинциала. Несколько месяцев Бенуа проработал конюхом, потом – учеником инструментальщика на железной дороге. Скучая по науке, Мандельброт читал одновременно несколько книжек, которые ему удалось отыскать в этот период. Он носил их с собой, читал урывками, когда подворачивалась возможность, – не самое типичное занятие для деревенского конюха.

Однажды Мандельброту едва удалось избежать депортации, а возможно, и расстрела. Но в основном он обходил немецкие посты стороной. А его отец и вовсе был на волосок от смерти. Как позднее рассказывал Мандельброт, отца арестовали и отправили в близлежащий лагерь для интернированных лиц. Вскоре на лагерь напали партизаны. Охранников перебили, пленников освободили, и те разбежались.

Не имея ни плана действий, ни четкого маршрута, пленники направились в Лимож, ближайший крупный городок. Однако вскоре после побега Мандельброт-старший осознал, что идти в Лимож – это самоубийство: они открыто передвигались по главной дороге, их будет нетрудно обнаружить. Остальных беглецов переубедить не удалось, и отец Мандельброта в одиночку направился в ближайший лес, планируя медленно вернуться в то место, где скрывалась семья до его ареста. Двигаясь по лесу, он услышал жуткий шум: немецкий пикирующий бомбардировщик нашел остальных беглецов.

Жизнь во время войны была непредсказуемой. В романе Томаса Пинчона «Радуга тяготения» один из персонажей, Роджер Мексико, которому в последние дни Третьего рейха поручили вычислить, куда в Лондоне будут попадать ракеты V-2[83], обнаруживает, что ракеты падают по конкретной модели распределения вероятностей, которую можно было бы ожидать, если бы все ракеты имели одинаковую вероятность падения в любой части города. Мексико окружен людьми, отчаянно пытающимися найти спасение от причудливых траекторий полета ракет. Схемы и графики Мексико подсказывают им некий базовый алгоритм, что-то, чем они могли бы воспользоваться, чтобы предсказать, куда попадет следующая ракета.

Похоже, что в некоторых районах города ракеты падают довольно часто. В других – редко. Но предположить, что алгоритмы подскажут, куда упадет следующая ракета, – значит, допустить такую же ошибку, какую совершает игрок в рулетку, убежденный в том, что именно сейчас выпадет некое определенное число. Мексико это известно. Тем не менее он тоже находит полученные им данные соблазнительными, как будто в самой случайности алгоритма таится ключ к его потенциалу. И это – правда, по крайней мере, если вы окажетесь на улице, на которую упадет следующая ракета.

Тем не менее с математической точки зрения такого рода случайность выражена довольно слабо. Ракеты V-2 запускали по Лондону систематически, по нескольку в день. Вычислить вероятность того, сколько из них попадет в собор Святого Павла или в Хаммерсмит, было все равно что рассчитать, сколько раз шарик рулетки окажется на цифре 25. В жизни многие ситуации, которые нам представляются случайными, являются именно таковыми. Их, в сущности, так много, что легко стать жертвой идеи о том, что все случайные события похожи на орлянку или игры в казино.

Это допущение лежит в основе большой части современной теории финансов. Вспомните, когда Башелье представлял себе, как менялись бы со временем цены на акции, если бы они претерпевали случайные блуждания. Через каждые несколько мгновений цена будет меняться на какую-то маленькую сумму в сторону повышения или понижения, как будто Господь Бог подбрасывает монетку. Башелье обнаружил, что если аппроксимация того, что происходит, хорошая, распределение цен будет иметь форму гауссовой кривой. Осборн, конечно, указывал на то, что это не совсем правильно; на деле вы ожидаете, что каждый раз, когда Господь Бог подбросит монетку, цены будут меняться на какой-то фиксированный процент, а не на какую-то фиксированную сумму. Это привело к утверждению, что норма доходности должна распределяться нормально, а цены – log-нормально.

Нормальное распределение встречается повсюду в природе[84]. Если взять рост всех людей в определенной части земного шара и начертить кривую, отражающую, сколько из них имеют рост 167 сантиметров, сколько – 169 сантиметрови так далее, вы получите нормальное распределение. Если взять тысячу термометров и попытаться измерить температуру каждым из них, результаты будут тоже выглядеть как нормальное распределение. Если сыграть в орлянку, когда вы получаете доллар каждый раз, когда монетка падает на орел, и проигрываете доллар каждый раз, когда монетка падает на решку, вероятность получения прибыли после множества попыток будет выглядеть как нормальное распределение. Это удобно: нормальное распределение легко понять и с ним легко работать. Например, если что-то нормально распределено, а ваша выборка достаточно велика, средняя величина выборки стремится сойтись в точке, соответствующей определенному числу; рост белых людей в среднем составляет 175 сантиметров, и, если вы здоровы, показания тысячи термометров будут 36° C. И средняя прибыль при игре в орлянку будет стремиться к нулю.

Это правило можно воспринимать как закон больших чисел для распределения вероятностей – обобщение принципа, обнаруженного Бернулли, который увязывает вероятность с долговременной частотой, с которой повторяются события[85]. Оно гласит, что если что-то зависит от определенного распределения вероятностей, как рост людей определяется нормальным распределением, а у вас есть достаточно большая выборка, новые случаи не окажут на нее существенного влияния. Если, измерив рост большого количества людей в конкретном регионе мира, вы измерите рост еще одного человека, это существенно не изменит средний показатель роста.

Однако не все распределения вероятностей соответствуют закону больших чисел[86]. Местонахождение пьяницы соответствует – он совершает случайные блуждания и в среднем будет оставаться на том же месте, откуда начал свой путь, аналогично тому, как средняя прибыль от игры в орлянку стремится к нулю. Но что если вместо одного пьяницы, который пытается добраться до отеля, у вас был бы целый отряд пьяных стрелков? Каждый стоит с винтовкой в руках лицом к стене (в целях дискуссии допустим, что стена бесконечно длинная). Так же как и в случае с бредущим пьяницей, пьяницы-стрелки могут спотыкаться, покачиваться из стороны в сторону. Когда каждый из них поймает равновесие, чтобы выстрелить из винтовки, он может направить винтовку в любом направлении. Пуля может попасть в стену прямо напротив него, а может и в трех метрах справа или слева (а то и полететь в противоположном направлении).

Представьте себе группу, занимающуюся стрельбой по мишеням, которая должна произвести несколько тысяч выстрелов. Если вы пометите место, где пуля попала в стену (если считать только те, которые попали), эту информацию можно использовать, чтобы вычислить распределение, которое соответствует вероятности того, что любая конкретная пуля попадет в любую конкретную часть стены. Если сравнить это распределение с обычным распределением (нормальные, трезвые стрелки), вы заметите, что они совершенно разные. Пули пьяных членов отряда стрелков в большинстве случаев попадали в центральную часть стены – более того, чаще, чем предсказало бы нормальное распределение. Но их пули также на удивление часто попадали и в самые отдаленные части стены – намного, намного чаще, чем предсказало бы нормальное распределение.

Это нормальное распределение называется распределением Коши. Поскольку левая и правая стороны распределения не так быстро стремятся к нулю, как при нормальном распределении (потому что пули довольно часто попадали в отдаленные части стены), распределение Коши имеет так называемые «толстые хвосты» (посмотреть, как выглядит распределение Коши, можно на рисунке 3).

Одна из наиболее поразительных особенностей распределения Коши заключается в том, что оно не подчиняется закону больших чисел: среднее расположение пуль отряда стрелков никогда не стремится к какому-то конкретному числу. Если ваш отряд стрелков выстрелил тысячу раз, вы можете снять данные обо всех местах попадания их пуль и определить среднюю величину – так же, как можно вывести среднее число выигрышей при игре в орлянку. Но эта средняя величина в высшей степени нестабильна. Один член отряда стрелков может так повернуться вокруг себя, что, когда он сделает следующий выстрел, пуля полетит почти параллельно стене. Она может пролететь 150 километров (предположим, у них очень дальнобойные винтовки) – на самом деле достаточно далеко, так что, если сложить этот последний результат с другими, средняя величина будет полностью отличаться от полученной ранее. Из-за толстых хвостов распределения даже рассчитанное на длительный период среднее место попадания пуль отряда пьяных стрелков на стене окажется непредсказуемым.

^{Рис. 3. Распределения Коши}

Рисунок 3. Местонахождение пьяного отдыхающего, пытающегося найти свой номер в отеле в длинном коридоре, зависит от нормального распределения. Но не все случайные процессы регулируются нормальными распределениями. То, куда попадут пули, выпущенные отрядом пьяных стрелков, определяет другого рода распределение, которое называется распределением Коши. (Обратите внимание, что угол, под которым будут стрелять члены отряда пьяных стрелков, будет регулироваться нормальным распределением; а вот местонахождение попадания их пуль на стене, в которую они пытаются стрелять, – распределением Коши!) Распределения Коши (сплошная линия на данном графике) тоньше и выше, чем нормальные распределения (пунктирная линия) в области центральных значений, в то время как их хвосты расходятся медленнее, что означает (и это более вероятно), что предсказывать их будут события, происходящие вдали от центра распределения, а не нормальное распределение. По этой причине распределения Коши называются «толстохвостыми» распределениями. Мандельброт назвал явления, регулируемые «толстохвостыми» распределениями, «дико случайными», потому что с ними происходит намного больше экстремальных событий.

По описаниям Мандельброта, война, особенно в первые два года, пока сохранялось правление Виши, длительное время оставляла огромные части Франции незатронутыми. Потом налетела «буря», побушевала и сменилась еще одним периодом затишья[87]. Наверное, неудивительно, что Мандельброт увлекся этими взрывами, случайными процессами, которые невозможно было взять под контроль, как игру в казино. Он называл события, которые подчинялись распределению Коши, дико случайными, чтобы подчеркнуть их отличие от обычной, слабо выраженной случайности случайных блужданий, и большую часть своей карьеры посвятил их изучению.