Читать книгу Теорема Гёделя. И её поэтическое преодоление - Александр Батожок - Страница 3

Человек хочет знать и уметь как можно больше, чтобы быть как можно более свободным. Природа выставляет ему границы, но человек, несмотря ни на что, ищет и находит возможности эти границы преодолевать. Громадные просторы океанов не остановили человека в стремлении достичь дальних земель. Притяжение Земли не остановило его в стремлении летать. Бездна холодного космоса не остановила человека в стремлении побывать на других планетах. Есть, однако, такие границы, которые не только ещё не преодолены сегодня, но кажутся непреодолимыми вообще. Такова, например, граница увеличения скорости – невозможно двигаться со скоростью большей скорости света. Такое ограничение устанавливает теория относительности Эйнштейна. Это обстоятельство, так же как и имя Альберта Эйнштейна, сегодня известно каждому грамотному читателю. Между тем, столь же важное другое принципиальное ограничение и имя открывшего его учёного имеют незаслуженно меньшую известность. В 1930 году Курт Гёдель доказал теорему, сегодня известную как Теорема о неполноте, которая навсегда изменила понимание математики. Эта теорема утверждает, что в любой формальной системе, содержащей арифметику, найдётся истинное, но недоказуемое предложение. Это означает, что формализовать математику в целом так, чтобы все её верные теоремы имели формальные доказательства, невозможно.

Как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно?

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт2 формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем, а несколько позже предлагает программу аксиоматического обоснования математики. Программа Гильберта предусматривала обоснование всей математики путём её полной формализации. В попытках выполнить эту программу и была найдена Гёделем Теорема о неполноте – теорема, которая показала, что программа Гильберта невыполнима. Этот результат обескуражил, но не отменил энтузиазма математиков, которые равнялись на девиз Гильберта: «Мы должны знать – мы будем знать!» Список 23 проблем Гильберта на протяжении XX века служил направляющим указателем приложения их усилий. Не всегда эти проблемы имели такое решение, о котором думал сам Гильберт. Так, например, десятая проблема Гильберта требовала найти алгоритм, определяющий, имеет ли произвольно взятое диофантово уравнение решение в целых числах. Решение этой проблемы, найденное в 1970 году Юрием Матиясевичем, оказалось следующим: такого алгоритма не существует. Отметим здесь, что автор этого предисловия, так же как и автор стихов данного сборника, являются выпускниками той же школы, которую заканчивал Юрий Матиясевич (это физико-математическая школа-интернат №183 при МГУ, которая ныне носит имя Андрея Николаевича Колмогорова).

Теорема Гёделя о неполноте отчётливо указала на то, что справедливость той или иной гипотезы может лежать за гранью любой рациональной попытки доказать её, и интуицию нельзя исключать из пределов царства математики.

При всём этом философское значение теоремы о неполноте и второй теоремы Гёделя, устанавливающей невозможность доказать непротиворечивость теории средствами самой этой теории, выходит далеко за рамки чистой математики. Согласно позитивистской философии науки любая физическая теория является математической моделью, а это значит, что она с необходимостью должна быть представлена на языке математики. Мы и наши модели являемся частью вселенной, которую описываем, и в своих описаниях мы также не сможем выбраться за те границы, которые устанавливают теоремы Гёделя.

И всё-таки, как преодолеть ту границу, преодолеть которую невозможно? Читатель может попробовать увидеть перспективы поиска ответа на этот вопрос в новом сборнике стихов Александра Батожка, который составили стихотворения, написанные в течение последних двух лет.

Отметим, что «Перспективы преодоления Теоремы Гёделя» это седьмая книга поэта, выпущенная издательством «Волшебная лампа»4. Некоторые стихотворения из неё были ранее напечатаны в книге Анны Марии «ФИЛО-СОФИЯ в графике и цвете»5, выпущенной в 2017 году изд. «Издательские решения».

© Александр Шум, математик-логик,

доцент кафедры высшей математики

Тверского технического университета.

март 2018, Тверь