Читать книгу Когда любовь стремится к бесконечности. Роман - Александра Арсентьева - Страница 14

Дамокльз очень удивил Афродиту на следующее утро. Он вдруг подошел к ней близко и поцеловал в плечо.

– И что это значит?

– А что? Я не могу поцеловать собственную жену?

– Разве для этих целей у тебя нет любовницы?

– Есть, – ответил муж, но вид у него был ошарашенный.

– Так почему бы тебе не пристать к ней, пользуясь моей добротой?

– Ты… какая-то нестандартная жена. Разве ты не хочешь, чтобы мы попытались спасти наш брак?

– Я не люблю тебя, Дамокльз. Меня раздражает в тебе все: твое имя и фамилия, твоя идиотская самоуверенность и твои противные привычки.

– Какие?

– Ты куришь и пьешь крепкие напитки в постели. И ты не уважаешь женщин в целом и меня в особенности.

– Но миллионер Роберто Барберри пьет только виски и тебя это устраивает вполне, – ядовито заметил Дамокльз.

– Уже насплетничали – отлично! Я не собираюсь замуж за этого человека. Единственное, что меня в нем привлекает – секс.

– И ты говоришь об этом мне, да еще так просто и спокойно? Я… Ты не боишься, что я убью тебя?

– Я не боюсь мужчин вообще. И только нашего миллионера опасаюсь.

– Почему же?

– Он странный тип. И у него нет слабых мест, которые можно использовать и рычагов, на которые можно надавить.

– Я не дам тебе развод.

– С чего ты взял, что я хочу разводиться?

– Ты сказала минуту назад, что больше не любишь меня и готова к новым отношениям.

– Я никогда тебя не любила, впрочем, как и ты…

– Я любил…

– Нет! Мы поженились потому, что ты посчитал меня выгодной партией. Я презираю браки по расчету. И никогда больше не выйду замуж за деньги и не дам мужчине найти только деньги во мне. Секс – это не отношения. Это просто секс и ничего больше.

– Так мы не разводимся?

– Нет. То есть, разводимся, конечно, но чуть позже. Когда я найду того, кто полюбит меня по-настоящему.

– Да ты…

– В твоем понимании я собираюсь поступить с тобой как стерва и лишь потому, что не дура, и не намерена упускать шанс еще побыть некоторое время счастливой. С тобой я ни дня не была счастлива, Дамокльз. Ты думаешь только о себе: приходим в магазин и покупаем только то, что ты любишь, мои желания не учитываются. Я не умею так жить.

– Ты опять о браслете и машине?

– Да не только об этом! Даже когда мы покупаем еду, выбираешь ты. Аргумент меня просто настораживает: «Я это не ем. Давай покупать только то, что все едят. Но под словом «все» ты подразумеваешь одного себя. Ты махровый эгоист, дорогой, поскольку эгоисты – не те, кто хочет жить, как ему нравится – ты хочешь, чтобы весь мир поступал так и делал то, что решил ты.

– Да ну тебя!

– Действительно, Дамокльз! Да ну меня совсем!

– Ты не зацепишь этого миллионера.

– Может, ты и прав. Но я все равно попытаю счастья.

– Дело в богатстве, да? Он сможет купить тебе целую дюжину браслетов «Пандора?»

– Он нравится мне. Но ты вряд ли поймешь это, ведь чувство привязанности к кому-то, кроме себя, тебе неведомо.

Не дожидаясь ответного оскорбления, она ушла на работу.

В университете Афродита всегда находила способы расслабляться и некоторое время быть счастливой. Чуточку довольной жизнью. У нее и здесь было много поклонников, но с некоторых пор все они поумерили свой пыл, будто поняли, что место отныне занято. Но кем? Афродита все время чувствовала, что за ней наблюдают, и от этого ощущения становилось жутко.

– Тема нашей сегодняшней лекции: «Пределы функций». На практическом занятии мы разберем примеры решений задач, а пока начнем…

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойней другой.

Итак, что же такое предел?

Пример:

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела.

2) Записи под значком предела, в данном случае. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().

3) Функции под знаком предела, в данном случае.

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?

Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала, затем,, …,, ….

То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Решаем вышерассмотренный пример. Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью – мой любимый, кстати:

Студенты захихикали, рассматривая на ее тонкой руке изящный браслет со знаком бесконечности.

– Это мой талисман, – она смутилась, поправляя любимое украшение.

– Разбираемся, что такое? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала, потом, потом, затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией?

,,,…

Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

– И незнакомца в подарок, который преподнес Вам браслет! – пошутил один из симпатичных и высоких парней, некто Ментор.

– Вы что-то об этом знаете? – встрепенулась Афродита.

– Не выдавайте себя так глупо, мадам, – улыбнулся Ментор.

– Мы знаем только то, что Вы нам преподаете. А еще я готов признать тот факт, что Вы прекрасны.

Афродита нахмурилась, приготовившись продолжать объяснение пределов.

– Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

,,,,,,,,,

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если, попробуйте построить последовательность,,. Если, то,,.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом:, то все равно, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как,, и т. д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида. Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел

Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3

Максимальная степень в знаменателе: 4

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.

Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на.

Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел

Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (можно записать как)

Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее.

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Математические формулы и таблицы. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него:.

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

!Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на:

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Знаменатель:

,

Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.

Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынесла за значок предела двойку, а затем – минус.

В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).

,то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела

Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида, которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по-возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:

И смотрим на наш предел:

Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на:

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу:

Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Готово.

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?

Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример 7

Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Помимо рассмотренных типов пределов, на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. О них Вы можете почитать самостоятельно.

Так обычно проходили повседневные занятия Афродиты в университете. К постоянным знакам внимания она привыкла, но сейчас ей казалось, что кто-то из ее студентов пытается намекнуть ей на то, что у нее появился поклонник, который является ее врагом.