Читать книгу Сказки дедушки Амира по геометрии - Амир Анварович Фаткуллин - Страница 8

Теперь скажите, а сколько точек в отрезке? Подумали?

А там тоже бесконечное число точек. Сколько точек в отрезке в 1 миллиметр и сколько точек в отрезке 1 метр? Можно сказать, что в одном метре больше точек, чем в одном миллиметре? Нет, а все потому, что точка не имеет размеров.

Здесь, конечно, говорится о математической точке, о нульмерном пространстве. Теперь можем уверенно сказать, что на плоской сплошной фигуре тоже бесконечное число точек, и в сплошном кубе или пирамиде тоже бесконечное число точек.

На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке. Потому что между точками прямой и отрезком можно установить взаимно однозначное соответствие.

Проводим из каждой точки отрезка, как показано на рисунке лучи к окружности. Через точки пересечения лучей с окружностью радиусы до пересечения с прямой. Таким образом, устанавливается однозначное соответствие (называемое биекцией) между точками отрезка и точками прямой

Через точку можно провести бесконечное число отрезков, а через отрезок можно провести бесконечное число плоскостей. Вот такая она бесконечность. Дальше мы столкнемся с целыми числами и дробными. Есть целые числа: 0, 1, 2, 3, …, а есть дробные числа 1/2, 1/5, 1/10, 1/100, 1/1000, и т.д. Все эти дробные числа находятся между 0 и 1 и их бесконечное число. То же бесконечное число дробных чисел находится между двумя любыми целыми числами. Но рассказ о числах – это тема другой сказки.