Читать книгу Arquitectura alternativa sostenible - Carlos Alberto Nader - Страница 11

Al intentar crear una arquitectura sinergética, sostenible y adaptable, necesariamente tendremos que remitirnos a la geometría espacial y sinergética. En la arquitectura tradicional, la geometría es una herramienta del diseño; sin embargo, es escaso el estudio de la estructura de la forma y sus relaciones con otras formas. Es decir, primero se diseña y luego se inventa una estructura a las formas ya dibujadas. Aquí el objetivo es entender que cualquier objeto en el espacio tiene una estructura determinada por un patrón de integridad, que es el que permite la estabilidad en dicha forma, como sucede en las corazas de proteínas que protegen a ciertos virus, lo que se observa en la figura 7. De esta manera, la geometría pasa de ser una simple lista de figuras a efectos de escoger alguna para un diseño, a ser una herramienta mucho más compleja e interesante.

En busca de un óptimo manejo espacial y estructural es necesario estudiar la geometría espacial y sus transformaciones, así como los principios de la geometría sinergética de Buckminster Fuller, en aras de comprender el comportamiento de los sistemas espaciales.

FIGURA 7. CORAZAS DE PROTEÍNAS QUE PROTEGEN LOS VIRUS

Fuente: reinterpretada por Lina Pérez.

2.1. Antecedentes

La geometría espacial ha sido objeto de estudio y fascinación desde hace muchos siglos. Por ejemplo, algunas de las piedras neolíticas que datan del año 2000 a. C., halladas en Escocia, corresponden a poliedros regulares cuyos nudos varían de 3 a 160 (figura 8).

FIGURA 8. PIEDRAS ESCOCESAS

Fuente: reinterpretada por Lina Pérez a partir de Colombo (2011).

Asimismo, diversos pensadores desde la Antigüedad han abordado este tema:

Platón. En su obra Timeo (Timaeus) describe la construcción matemática de los elementos (tierra, fuego, aire y agua) y su relación con el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro respectivamente; el quinto sólido platónico, el dodecaedro, es el modelo, según Platón, de todo el universo. Los dodecaedros romanos son huecos, hechos en bronce, que datan del II al IV siglo a. C. (figura 9), los cuales son sólidos platónicos.

FIGURA 9. ICOSAEDRO Y DODECAEDRO ROMANOS

Fuente: Guañoc (2014).

Arquímedes. En sus tratados sobre catóptrica describe los trece poliedros semirregulares (construidos con polígonos regulares, de caras no necesariamente iguales que pueden ser inscritos en una circunferencia), hoy llamados sólidos arquimédicos. Describió también, en su libro Elementos, las relaciones entre sólidos platónicos.

Paolo Uccello. Trabajó, en el siglo XV la geometría y los poliedros, adelantándose a Kepler con las estelaciones dodecaedrales (figura 10).

FIGURA 10. INTARSIA DE UCCELLO

Fuente: Hart (1996a).

Piero della Francesca. Desarrolló nuevos métodos para hacer estudios de perspectiva, esto en el siglo XV, y redescubrió gradualmente los sólidos arquimédicos, los cuales eran desconocidos en su tiempo, y estableció relaciones entre estos y los sólidos platónicos (figura 11).

FIGURA 11. ICOSAEDRO INSCRITO EN CUBO

Fuente: Eternauta (2004).

Leonardo da Vinci (1452-1519). También desarrolló trabajos sobre los poliedros, los cuales aplicó en sus diversos modelos de artefactos y en estudios en torno a las artes plásticas; acerca de ello se hace alusión en el documento De divina proportione, escrito por Luca Pacioli a principios del siglo XVI, en el que trató temas de geometría e incluyó, originalmente, ilustraciones del propio Da Vinci (figura 12). El mismo Luca Pacioli redescubrió el rombicuboctaedro (figura 13), desconocido en su tiempo, y lo incluyó también en De devina proportione.

FIGURA 12. POLIEDROS DE CARAS VACÍAS Y LLENAS

Fuente: Rocha (2005).

FIGURA 13. ROMBICUBOCTAEDRO DE CARAS VACÍAS

Fuente: Kairnz (2010).

Daniel Barbaro. En su libro La práctica della perspectiva incluye el primer dibujo publicado de un icosidodecaedro truncado y de un rombicosidodecaedro (figura 14); esto lo desarrolló durante el siglo XVI.

FIGURA 14. ICOSIDODECAEDRO TRUNCADO Y ROMBICOSIDODECAEDRO

Fuente: Hart (1998a).

Alberto Durero. En su libro Manual del pintor, escrito a principios del siglo XVI, presentó un estudio sobre los poliedros platónicos y arquimédicos, y algunos de su propia invención, así como la influencia que estos tienen en las representaciones bidimensionales y los utiliza para estudios en torno a la perspectiva y la comprensión espacial o tridimensional sobre planos bidimensionales (figura 15).

FIGURA 15. DESARROLLO POLIÉDRICO

Fuente: Bortolossi (2009).

Wentzel Jamnitzer. Se anticipó cinco años a Kepler, mostrando un tricontaedro rómbico y un dodecaedro estelado, los cuales incluyó en sus publicaciones y los utilizó en sus joyas y troqueles de sellos oficiales en Alemania y Austria en el siglo XVI (figura 16).

FIGURA 16. TRICONTAEDRO RÓMBICO Y DOCECAEDRO ESTELADO

Fuente: Ibáñez (2008).

Johannes Kepler. Matemático y astrónomo, sistematizó y extendió lo que se conocía en su tiempo sobre poliedros. A principios del siglo XVII hizo una aproximación matemática a la construcción de poliedros; definió sus clases o familias de estos; descubrió otros tantos que incluyó en cada una de ellas y así las delimitó, concluyendo que no se podían construir más poliedros en cada familia de acuerdo con las características de estos, es decir, completó las familias de poliedros. También descubrió los infinitos antiprismas (figura 17).

FIGURA 17. DIBUJOS DE KEPLER

Fuente: reinterpretada por Lina Pérez a partir de Hart (1998b).

2.2. Conceptos de geometría espacial

Icosaedro, cubo truncado y rombidodecadodecaedro (figura 18).

FIGURA 18. ICOSAEDRO, CUBO TRUNCADO Y ROMBIDODECADODECAEDRO

Fuente: Maeder (1995b).

2.2.1. Poliedros uniformes

Los poliedros uniformes son aquellos cuyas caras son polígonos regulares. Si sus caras son necesariamente iguales y sus vértices idénticos, llamamos a estos poliedros regulares; si sus caras no son necesariamente idénticas y sus vértices sí lo son, entonces tenemos poliedros semirregulares. Los semirregulares pueden ser convexos o no convexos; en este último caso, como ciertas caras intersectan a otras, solo hay algunas partes visibles. Estos poliedros pueden ser organizados de la siguiente manera, en la cual se incluye un número infinito de familias de prismas y antiprismas, y 75 poliedros uniformes (figura 19).

·Poliedros convexos uniformes:

–Sólidos platónicos: cinco regulares.

–Sólidos arquimédicos: trece semirregulares.

–Prismas y antiprismas convexos: dos familias infinitas, semirregulares.

·Poliedros no convexos uniformes:

–Poliedros Kepler-Poinsot: cuatro regulares.

–Poliedros uniformes no convexos: 53 semirregulares.

–Prismas y antiprismas no convexos y prismas cruzados: tres familias infinitas semirregulares.

FIGURA 19. OCHENTA POLIEDROS UNIFORMES

Fuente: Maeder (1995b).

Para entender estas categorías se explicarán algunos conceptos y la manera de nombrar los poliedros. Muchos de los nombres de los poliedros son construidos con prefijos griegos como tetra, octa, hexa, ente otros, para designar el número de lados, y la raíz edro que significa caras; así, un dodecaedro es un sólido de 12 caras. El término regular significa que sus caras y las figuras de los vértices son polígonos regulares: el dodecaedro regular es el mismo dodecaedro pentagonal y se distingue de todos los demás dodecaedros. El término conta significa a un grupo de diez; así, el hexacontaedro es un poliedro de sesenta caras.

Los modificadores numéricos son términos, incluidos casi siempre al final del nombre de los poliedros, que describen la forma de las caras, lo que permite distinguir entonces los poliedros con el mismo número de caras: por ejemplo, un dodecaedro rómbico (12 caras rómbicas) del dodecaedro pentagonal (12 pentágonos). Un icositetraedro pentagonal tendrá 24 caras (20 + 4) de 5 lados. Los modificadores numéricos no solamente pueden referirse a la forma de las caras por ejemplo hexacontraedro rómbico (figura 20), dodecaedro pentagonal (figura 21), entre otros; también se refieren al polígono de base con el cual se construyen los prismas y antiprismas convexos; por ejemplo, el prisma hexagonal.

Por otro lado, el término trapezoidal se refiere por lo general a un cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo a otro, con dos lados adyacentes de igual longitud.

FIGURA 20. HEXACONTRAEDRO RÓMBICO

Fuente: Strzelecki (2000).

FIGURA 21. DODECAEDRO RÓMBICO, DODECAEDRO PENTAGONAL E ICOSAEDRO PENTAGONAL

Fuente: Strzelecki (2000).

El término kis, por su parte, significa la adición de un nuevo vértice en el centro de cada cara y divide a esta en caras de n-triángulos, por lo que este término siempre estará precedido por un prefijo griego n-kis (figura 22).

FIGURA 22. CUBO, CUBO TETRAKIS

Fuente: Strzelecki (2000).

En cuanto al término truncado, este se deriva de la terminología kepleriana, se refiere al proceso de corte de los vértices de un poliedro, adicionando una nueva cara por cada vértice; cada n-polígono que componía estos vértices se remplaza por otro de 2n (figura 23).

FIGURA 23. CUBO, CUBO TRUNCADO

Fuente: Strzelecki (2000).

El término snub se refiere a un proceso por el cual se reemplaza cada arista por un par de triángulos; así, en el cubo snub, derivado del cubo, en el cual las 6 caras cuadradas permanecen iguales, pero algo rotadas, las 12 aristas se convierten en 24 triángulos y los 8 vértices en 8 triángulos adicionales (figura 24).

FIGURA 24. CUBO, OCTAEDRO, CUBO SNUB

Fuente: Strzelecki (2000).

Estelado se refiere al proceso por el cual se extienden las caras planas de un poliedro o, más bien, la extensión de sus aristas, convirtiéndolo en un poliedro en forma de estrella. El prefijo rombi sugiere que algunas de las caras de un poliedro uniforme están en el mismo plano que las caras de otros poliedros no uniformes. El término compuesto se refiere a una mezcla de dos poliedros puestos de tal manera que tengan simetría poliedral.

Un poliedro es cuasirregular si tiene dos tipos de polígonos regulares, m y n, y estos están dispuestos de tal manera que cada polígono está rodeado por miembros del otro tipo. De los sólidos regulares convexos que se denotan (m, n, m, n) encontramos: el cuboctaedro: m = 3, n = 4; el icosidodecaedro: m = 3, n = 5, y el octaedro: m = n = 3. Los anteriores poliedros tienen varias propiedades especiales: forman sistemas de grandes círculos o ecuadores; las aristas del octaedro forman tres triángulos, las del icosidodecaedro seis decágonos y las del cuboctaedro cuatro hexágonos (figuras 25-27).

FIGURA 25. ESTELACIONES DEL ICOSAEDRO (59)

Fuente: Reinterpretada por el autor.

FIGURA 26. COMPUESTO TETRAEDRO-TETRAEDRO, COMPUESTO GRAN DODECAEDRO-PEQUEÑO DODECAEDRO ESTELADO

Fuente: Borg (2003).

FIGURA 27. CUBOCTAEDRO, ICOSIDODECAEDRO, OCTAEDRO

Fuente: Strzelecki (2000).

Estos poliedros y sus duales, descritos en otro capítulo, son de aristas regulares, es decir, que todas sus aristas son equivalentes; por tanto, sus ángulos dihedrales son iguales como en los platónicos. Por lo general, un sólido cuasirregular se encuentra dentro del compuesto (m,n) y (n,m). Los vértices de estos sólidos están en los puntos medios de las aristas de los platónicos, de manera que se pueden obtener truncando los platónicos en su punto medio.

En el grupo de los poliedros no convexos, los sólidos cuasirregulares son el dodecadodecaedro (m = 5, n = 5/2), cuyas aristas forman hexágonos (ecuadores o sistemas de grandes círculos), y el gran icosidodecaedro (m = 3, n = 5/2), cuyas aristas forman polígonos 10/3; se derivan de los Kepler-Poinsot y sus puntos medios de arista, y sus duales son zonoedros no convexos, se denotan (m, n, m, n, m, n).

Hay también otros poliedros no convexos cuasirregulares que no forman ecuadores de aristas: el pequeño icosidodecaedro triámbico (m = 3 y n = 5/2); el dodecadodecaedro triámbico (m = 5/3 y n = 5), y el gran icosidodecaedro triámbico (m = 3 y n = 5). Sus duales tienen caras hexagonales y son zonoedros generales, tienen los mismos vértices y aristas que el compuesto de 5 cubos (figuras 28-30).

FIGURA 28. COMPUESTO TETRAEDRO-TETRAEDRO, EN EL INTERIOR OCTAEDRO

Fuente: reinterpretada por Lina Pérez, a partir de Hart (1996b).

FIGURA 29. DODECADODECAEDRO, GRAN ICOSIDODECAEDRO

Fuente: Maeder (1995a).

FIGURA 30. PEQUEÑO ICOSIDODECAEDRO TRIÁMBICO

Fuente: Maeder (1995a).

2.2.2. Poliedros convexos uniformes

2.2.2.1. Sólidos platónicos

Son cinco sólidos regulares que se descubrieron hace más de dos mil años. Se identifican usando (p, q), donde p es el número de lados del polígono y q el número de polígonos en cada vértice. Son aquellos cuyas caras deben ser polígonos idénticos y deben encontrarse el mismo número de ellos en cada vértice, es decir, caras idénticas y vértices idénticos. A continuación, se muestran (figuras 31-35), los cinco sólidos platónicos y algunas de sus características.

·Tetraedro: 4 (3) caras, 6 aristas y 4 vértices (figura 31).

FIGURA 31. TETRAEDRO

Fuente: Maeder (1995a).

·Octaedro: 8 (3) caras, 12 aristas y 6 vértices (figura 32).

FIGURA 32. OCTAEDRO

Fuente: Maeder (1995a).

·Icosaedro: 20 (3) caras, 30 aristas y 12 vértices (figura 33).

FIGURA 33. COSAEDRO

Fuente: Maeder (1995a).

·Hexaedro o cubo: 6 (4) caras, 12 aristas y 8 vértices (figura 34).

FIGURA 34. HEXAEDRO O CUBO

Fuente: Maeder (1995a).

·Dodecaedro pentagonal: 12 (5) caras, 30 aristas y 20 vértices (figura 35).

FIGURA 35. DODECAEDRO PENTAGONAL

Fuente: Maeder (1995a).

2.2.2.2. Sólidos arquimédicos

Son trece sólidos semirregulares, descubiertos por Arquímedes y posteriormente redescubiertos en el Renacimiento, hasta que Kepler finalmente los completó y clasificó en 1619. Están compuestos por polígonos regulares convexos, no necesariamente del mismo tipo y con vértices idénticos; por eso, se llaman semirregulares. Los polígonos deben aparecer en la misma secuencia, y surgen a partir de las variaciones geométricas hechas a los sólidos platónicos; la mayoría son truncaciones de estos últimos. Para la denotación de estos poliedros se escribe la composición poligonal de un vértice del poliedro en orden cíclico:

·(3, 6, 6) tetraedro truncado: 4 caras triangulares, 4 caras hexagonales, 12 vértices y 18 aristas. Derivado de la truncación del tetraedro (figura 36).

FIGURA 36. TETRAEDRO TRUNCADO

Fuente: Maeder (1995a).

·(3, 8, 8) cubo truncado: 8 caras triangulares, 6 caras octagonales, 24 vértices y 36 aristas. Derivado de la truncación de un cubo (figura 37).

FIGURA 37. CUBO TRUNCADO

Fuente: Maeder (1995a).

·(4, 6, 6) octaedro truncado: 6 caras cuadradas, 8 caras hexagonales, 24 vértices y 36 aristas. Derivado de la truncación de un octaedro (figura 38).

FIGURA 38. OCTAEDRO TRUNCADO