Читать книгу Formel logik - Crispin Wright - Страница 4

Vi kan nu begynde et mere systematisk studie af domslogikken. Vi inddeler vores teoris vokabular i to dele. Det logiske vokabular består af en række konnektiver såsom “… og …”, “hvis … så …”, “… eller …”, etc. Teoriens resterende vokabular vil da bestå af en række bogstaver ‘P’, ‘Q’, ‘R’, ‘S’ …, der står for individuelle sætninger eller domme. Rent faktisk kan man tænke om disse bogstaver (‘P’, ‘Q’, ‘R’ …) som stående i samme forhold til de enkelte sætninger som ‘x’, ‘y’, ‘z’ etc. står til algebraens tal; f.eks. ‘0’, ‘3’, ‘25’ etc.

Tag nu det følgende argument:

Hvis terrorismen vokser, vil den offentlige mening bevæge sig mod højre. Hvis den offentlige mening bevæger sig mod højre, vil der blive lovgivet til fordel for en kraftig forøgelse af politistyrken. Hvis der bliver lovgivet til fordel for en kraftig forøgelse af politistyrken, bliver den almindelige borgers rettigheder undergravet yderligere. Derfor bevares den almindelige borgers rettigheder kun, hvis terrorismen ikke vokser.

Lad os prøve at formalisere dette argument. Husk at vores tommelfingerregel siger, at vi skal identificere de tilbagevendende domme sammen med de domme, der ikke gentages. Dernæst lokaliserer vi de implicitte eller eksplicitte negationer.

De tilbagevendende domme er:

Terrorismen vokser	- repræsenterer vi med ‘P’
Den offentlige mening bevæger sig mod højre	- repræsenterer vi med ‘Q’
Der vil blive lovgivet til fordel for …	- repræsenterer vi med ‘R’
Den almindelige borgers rettigheder undergraves …	- repræsenterer vi med ‘S’

Derudover kan “den almindelige borgers rettigheder bevares” med rimelighed fortolkes som negationen af “den almindelige borgers rettigheder undergraves yderligere”, og derfor repræsenteres den med ‘ikke S’. Så det foreløbige resultat er:

Hvis P, så Q; hvis Q, så R; hvis R, så S ikke S kun hvis ikke P.

(bemærk forekomsten af ‘⊨’; vi bruger den lidt groft som ækvivalent til det danske ‘derfor’ eller ‘så’. Dvs. til at markere, at her kommer konklusionen.)

Dette giver os argumentets basale struktur. Men der optræder stadig en række danske udtryk, som også skal reformuleres i symbolsproget. Vi arbejder generelt med følgende logiske vokabular:

Logisk notation	Dansk udtryk	Logisk symbol
Implikation	hvis … så…	→
Konjunktion	… og …	∧
Disjunktion	… eller …	∨
Negation	det er ikke tilfældet at …	¬

Symbolerne ‘→’, ‘∧’, ‘∨’ og ‘¬’ kaldes undertiden for logiske konstanter, da deres betydning holdes konstant, når vi analyserer sætninger og argumenter til deres logiske form. Dog fortsætter vi med at referere til dem som logiske konnektiver, fordi de gør os i stand til at forbinde (eng. ‘connect’) domsudstryk, så vi kan danne nye sætninger. Ved hjælp af symbolerne for de logiske konnektiver kan vi nu vise den logiske form af ovenstående eksempel:

P → Q, Q → R, R → S ⊨ ¬ S kun hvis ¬ P

På samme måde kan de logiske former af argumenterne (iii) og (vi) fra kap.1 vises

P ∨ ¬ P, P → Q, ¬ P → R, (Q ∨ R) → S ⊨ S

og

P → Q, Q → R ⊨ ¬ R kun hvis ¬ P.

Vi er nu godt på vej til en argumentationens algebra, en rent formel videnskab for gyldige slutninger.

Dansk, såvel som alle naturlige sprog, indeholder en stor mængde udtryk af typen, vi kalder konnektiver; dvs. sproglige redskaber til at danne nye sætninger ud af allerede eksisterende sætninger. F.eks. “det er tvivlsomt om …”, “X ved at …”, “det er muligt at …”, “selv om …” etc. Logikeren har ingen interesse for langt de fleste af sådanne konnektiver, da de ikke genererer distinkte gyldige argument-mønstre, og derfor ikke regnes for logiske konnektiver. Dog gives der, udover de allerede beskrevne fire, andre konnektiver med deres egen særegne logiske kraft. Således kan f.eks. ‘medmindre’ betegnes som et logisk konnektiv, hvilket bliver tydeligere, hvis vi betragter et eksempel:

Medmindre det sner, vil jeg gå en tur. Det begynder ikke at sne. Derfor vil jeg gå en tur.

Dette kan vi sammenligne med:

Jeg vil kun gå en tur, hvis vejret er fint. Vejret er ikke fint. Derfor vil jeg ikke gå en tur.

Behøver vi at introducere nye symboler for ‘medmindre’ og ‘kun hvis’? Svaret er nej. For vi kan definere disse to samt bemærkelsesværdig mange andre logisk signifikante konnektiver i termer for de fire, vi allerede har. Således:

Danske konnektiver	Logiske symboler
P men Q	P ∧ Q
P selv om Q	P ∧ Q
Medmindre P, Q	¬ P → Q
Kun hvis Q, P	P → Q
P, forudsat at Q	Q → P
P hvis og kun hvis Q	(P → Q) ∧ (Q → P)

(For den sidste ‘P hvis og kun hvis Q’ skriver vi oft e ‘P ↔ Q’. ‘↔’ kaldes en bi-implikation. Logikere forkorter oft e ‘hvis og kun hvis’ til ‘hviss’.)

Det er selvfølgelig sandt, at nogle af disse udtryk, specielt ‘men’, ‘selv om’ og ‘medmindre’, kan bære en anden retorisk kraft end de logiske omskrivninger i højre kolonne. F.eks. medfører ‘P selvom Q’ generelt en ide om, at Q’s sandhed kan forventes at modarbejde P’s sandhed, hvilket i den grad mangler i den logiske konjunktion af P og Q. Omskrivningen i højre kolonne er imidlertid præcis nok med hensyn til de basale logiske egenskaber – hvad følger fra hvad.

Bemærk specielt omskrivningen af ‘kun hvis’: at sætte et ‘kun’ foran ‘hvis’ har den effekt, at pilen så at sige vendes om. I forbindelse med terminologien om nødvendige og tilstrækkelige betingelser bliver det til, ‘hvis P, så Q’ siger, at P er tilstrækkeligt for Q; og ‘kun hvis P, Q’ siger, at P er nødvendigt for Q.

Vi kan nu fuldbyrde formaliseringen af terrorisme-eksemplet:

P → Q, Q → R, R → S ⊨ ¬ S → ¬ P

Betragt endnu et eksempel:

Enten skinner solen, og kampen bliver spillet, eller det bliver overskyet, og lyset vil være dårligt. Hvis lyset er dårligt, bliver kampen ikke spillet. Hvis kampen bliver spillet, så vinder Danmark ikke; Danmark vil føre turneringen, kun hvis de vinder. Medmindre kampen bliver spillet, vil Danmark ikke føre turneringen. Derfor vil Danmark ikke føre turneringen.

De tilbagevendende domsudtryk kan skematiseres som:

P = solen skinner

Q = kampen bliver spillet

R = lyset vil være dårligt

S = Danmark vinder

T = Danmark vil føre turneringen

Og ved at erstatte konnektiverne med deres logiske symboler bliver resultatet

(P ∧ Q) ∨ (¬ P ∧ R), R → ¬ Q, Q → ¬ S, T → S, ¬ Q → ¬ T ⊨ ¬ T.

Vi bør her se lidt nærmere på nogle pointer vedr. negation. Betragt dette eksempel:

Hvis John skynder sig, så vil Mary ikke. Så hvis Mary skynder sig, så vil John ikke.

Hvorledes formaliserer vi præmissen? Antag at vi bruger følgende oversættelses-nøgle:

P = John skynder sig

Q = Mary vil ikke,

Og repræsenterer præmissen som ‘P → Q’. Hvorledes skal vi så repræsentere konklusionen? Har den formen ‘¬ Q → ¬ P’? Nej, for ‘¬ Q’ repræsenterer ‘det er ikke tilfældet, at Mary ikke vil (skynde sig)’, og det er ikke nøjagtigt det samme som ‘Mary skynder sig’. Det har måske sandt nok samme logiske kraft, men det betyder ikke det samme. Det er et spørgsmål vedr. logisk teori, om ‘¬ ¬ P’ og ‘P’ er ækvivalente, og dette spørgsmål bør vi ikke dømme om på forhånd, når vi formaliserer. (Indenfor intuitionistisk logik, en nyere logisk teori, gælder det rent faktisk, at ‘¬ ¬ P’ og ‘P’ ikke er ækvivalente.) Således bør vi, for at formalisere ovenstående eksempel korrekt, bruge denne oversættelsesnøgle:

P = John skynder sig

Q = Mary skynder sig,

Og så give argumentet formen

P → ¬ Q ⊨ Q → ¬ P.

Måske alarmerer det læseren, at vi igen og igen behandler spørgsmålet om grammatisk tid lidt løseligt, og således i sidste eksempel ikke skelnede mellem ‘Mary vil skynde sig’ og ‘Mary skynder sig’. Nogle gange har forskellige tidsangivelser betydning for et argument, og i disse tilfælde skal man bruge en tidslogik. Men selvom tidslogik er et fascinerende emne, så er det ganske komplekst og uden for denne bogs rækkevidde. Formaliseringen ovenfor afhænger af antagelsen, at sætningen ‘hvis John skynder sig, så vil Mary ikke’ under normale omstændigheder implicit omhandler fremtiden, således at den lidt klodset kan omskrives til ‘hvis John vil skynde sig, så vil Mary ikke skynde sig’. Man kan forestille sig en brug af ‘hvis John skynder sig, så vil Mary ikke’, hvor ‘John skynder sig’ er udtrykt i den almindelige nutid, og i sådanne tilfælde ville den anbefalede formalisering være utilstrækkelig.

Til sidst skal vi give tre terminologiske definitioner: Rent formelt repræsenterede argumentmønstre, som ovenfor, kaldes for sekventer. En sekvent angiver strukturen af et muligt argument. Et argument er en instans af en sekvent, hvis og kun hvis det kan nås ved en ensartet substitution (dvs. erstatning) af sætningsvariablerne, hvor vi med ensartet mener, at den samme variabel altid bliver substitueret med den samme sætning. Bestanddelene i en sekvent, såsom ‘¬ P’ og ‘P → Q’, kaldes vf’er (udtales: “vuffer”), der er en forkortelse for ‘veldannet formula’.

Konnektiver

P og Q	P ∧ Q
P men Q	P ∧ Q
P selvom Q	P ∧ Q
Hvis P, så Q	P → Q
P eller Q	P ∨ Q
Ikke P	¬ P
(P eller Q) men ikke begge	(P ∨ Q) ∧ ¬ (P ∧ Q)
Q medmindre P	¬ P → Q
P kun hvis Q	P → Q
Forudsat at Q, P	Q → P
P hvis og kun hvis Q	P ↔ Q [dvs. (P → Q) ∧ (Q → P)]
P er nødvendigt for Q	Q → P
P er tilstrækkeligt for Q	P → Q

Øvelser

1. Formaliser de følgende sætninger så præcist som muligt ved at bruge domsvariablerne og de symbolske konnektiver fra domslogikkens logiske vokabular. Angiv oversættelsesnøgle.

i) Hvis hr Jensen er tilfreds, så er fru Jensen utilfreds, og hvis hr Jensen er utilfreds, så er fru Jensen utilfreds.

ii) En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for sheikens velbefindende er, at han har vin, kvinder og sang.

iii) Hanne går i biografen, kun hvis de viser en katastrofefilm.

iv) Bestikkelsen bliver betalt, hvis og kun hvis toldchefen kommer alene og pengene er i brugte sedler, eller toldchefen ikke kommer alene og politiet ikke er blevet informeret.

v) Hvis papiret bliver rødt, så er opløsningen en syre, og papiret bliver rødt, kun hvis opløsningen er en syre.

vi) Du kan få et værelse forudsat, du ikke har kæledyr.

vii) Hvis batteriet er dødt, så er starteren død, og du vil ikke kunne få bilen startet, medmindre vi skubber den.

viii) Hvis folkeskolerne mangler plads, så vil privatskolerne lette byrden på statens faciliteter, forudsat de giver en ordentlig uddannelse.

ix) Enten er skatten stigende, men lønnen er ikke, eller lønnen er stigende og den økonomiske politik er utilstrækkelig.

2. Brug sekventnotationen til at formalisere de følgende argumenter så præcist som muligt:

i) Moderen vil dø, medmindre lægen slår barnet ihjel. Hvis lægen slår barnet ihjel, så vil han være skyld i døden. Hvis moderen dør, så vil lægen være skyld i døden. Derfor vil lægen være skyld i døden lige meget hvad.

ii) Enten var det præsten eller butleren, der skød greven. Hvis det var butleren, der skød greven, så var butleren ikke fuld kl. 21.00. Medmindre præsten er en løgner, så var butleren fuld kl. 21.00. Derfor er præsten enten en løgner, eller også skød han greven.

iii) Hvis terroristerne er trætte, så er de pirrelige. Hvis terroristerne er bevæbnede og pirrelige, så er gidslerne i fare. Terroristerne er bevæbnede og trætte. Derfor er gidslerne i fare.

3. Brug den angivne oversættelsesnøgle til at oversætte de følgende vf’er til dansk:

Oversættelsesnøgle:	P = John er lykkelig	R = Alt i verden er tip top
	Q = Mary er lykkelig	S = John er gnaven

i) P ∧ Q

ii) P ∨ Q

iii) P → (Q → R)

iv) ¬ Q ∨ S

v) ¬ (P ∧ Q) ∨ ¬ (R ∧ S)

vi) ¬ (P ∨ Q)