Читать книгу Как понять алгебру. Алгебраические уравнения с ответами и решениями - Джеймс Уэллс - Страница 4
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ОглавлениеПосмотрите на уравнение X + Y = 3. X и Y неизвестны. Вы не можете найти ни X, ни Y из этого уравнения. Вам нужна дополнительная информация об «отношениях» между ними. Такая информация может быть включена в дополнительное уравнение. Например: X – Y = – 1. Теперь у вас есть система из 2-х уравнений:
1. X + Y = 3
X – Y = -1
Есть несколько способов ее решения. Первый способ: найти X в любом уравнении, например, первом.
Для этого вычтите Y из каждой части уравнения:
Х + У – У = 3 – У; Найти Х
Х = 3 – У
Затем подставьте (3 – Y) вместо X во втором уравнении (X – Y = -1).
Вы получите: 3 – Y – Y = -1 или 3 – 2Y = -1
Теперь решите это уравнение относительно Y. Прибавьте 2Y к обеим частям уравнения.
3 – 2Y +2Y = -1 +2Y
3 = -1 +2Y
Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.
3 +1 = -1 +1 +2Y
4 = 2Y
Поменяем местами 4 и 2Y.
2Y = 4
Разделите обе части уравнения на 2.
2Y/2 = 4/2
Y = 2.
Теперь подставьте 2 вместо Y в любом исходном уравнении, чтобы найти X.
Одно из исходных уравнений: X + Y = 3.
Х +2 = 3;
Вычтите 2 из обеих частей уравнения.
Х+2 – 2=3 – 2;
Х = 1
Y = 2
Второй способ решения:
1. Х + У = 3
Х – У = -1
Вы можете просуммировать левые части обоих уравнений и просуммировать правые части обоих уравнений.
X + Y = 3 и X – Y = -1 Тогда
(Х + Y) + (Х – Y) = 3 + (-1)
Или вы можете написать это так:
Если 2 Х = 2 то Х = 1
Поставьте 1 вместо X в любое уравнение.
1 + У = 3
Вычтите 1 из обеих частей уравнения.
1 + Y – 1 = 3 – 1
Y = 3 – 1
Y=2
Мы можем решать системные уравнения, используя их графики. Если мы построим каждое уравнение, мы получим две прямые линии. Точка пересечения линий будет иметь значения X и Y, соответствующие обоим уравнениям.
Чтобы нарисовать график для уравнения, мы должны привести его к общему виду:
Y = аХ + b
Начнем с первого уравнения: X + Y =3
Вычтите X из обеих частей уравнения
Х – Х + У = 3 – Х
Y = 3 – Х
Найдите две точки, чтобы нарисовать линию для первого уравнения. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 3; Y (3) = 3 – 3 = 0
Х = 6; У (6) = 3 – 6 = – 3
Чтобы провести прямую линию достаточно двух точек.
Найдем две точки для второго уравнения.
Приведите уравнение к общему виду.
Х – У = -1
Вычтите X из обеих частей уравнения.
Х – Х – У = – 1 – Х – У = – 1 – Х
Умножьте обе части на -1
– Y (-1) = (-1) (-1) – X (-1)
У = Х +1
Найдите две точки, чтобы нарисовать линию для второго уравнения. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 5; Y (5) = 5 +1 = 6
Х = -5; Y (-5) = – 5 +1 = -4
Теперь мы можем рисовать графики для обеих линий.
На графике 1 вы видите, что точка пересечения линий имеет X = 1
и Y =2.
Это те же самые значения, которые мы нашли ранее.
График 1. Точка пересечения линий: X=1, Y=2.
Следующая система уравнений:
2. 2Х + У = 5
Х + У = 2
В этом случае у нас есть + перед X и Y в обоих уравнениях.
Чтобы исключить один неизвестный член уравнения, вы можете вычесть второе уравнение из первого.
(2X + Y) – (X + Y) = 5 – 2=3 или:
Подставьте 3 вместо X в любое исходное уравнение.
3 + У = 2
Вычтите 3 из обеих частей уравнения.
3 + Y – 3 = 2 – 3
Y = 2 – 3 = – 1
Y = -1
Ответы: Х = 3; Y = -1;
Решим эти уравнения с помощью графика.
Первое уравнение: 2X + Y = 5.
Приведите уравнение к общему виду: Y = aX + b
Вычтите 2X из обеих частей уравнения.
2X – 2X + Y = 5 – 2X
Y = 5 – 2X
Найдите две точки, чтобы начертить первую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 0; Y (0) =5—2*0; Y (0) = 5
Х = 4; Y (4) = 5 – 2 * 4 = 5 – 8 = – 3
Найдем две точки для второго уравнения.
Х + У = 2
Приведите уравнение к общему виду Y = aX + b.
Х – Х + У = 2 – Х;
Y = 2 – Х
Найдите две точки, чтобы начертить вторую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.
Х = 4; У (4) = 2 – 4 = – 2
Х = – 4; Y (-4) = 2 – (-4) = 2 +4 = 6
На графике 2 мы видим, что точкой пересечения является (3, -1). Тот же ответ, который мы нашли раньше: X = 3, Y = -1.
График 2. Точка пересечения линий: X=3, Y=-1.
Следующая система уравнений:
