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¹ Méros «parte» se utiliza en los Elementos en dos sentidos: a) el más general de la noción común 5: «El todo es mayor que la parte»; b) como aquí, con el significado más restringido de lo que hoy llamaríamos «submúltiplo» o «parte alícuota». En este mismo sentido se utiliza en VII, Def. 3, cuya única diferencia con esta definición es el uso de «número» en lugar de «magnitud».

Aristóteles, Metafísica 1023b12, hace la siguiente precisión: «Se llama parte en un sentido aquello en que puede ser dividida una cantidad (pues siempre lo que se quita de una cantidad en cuanto cantidad se llama parte de ella: por ejemplo se dice que dos es en cierto sentido parte de tres) y en otro sentido (se llama parte) sólo a aquellas de entre ellas que miden al todo».

La noción de medida y la relación de medir a (y ser medido por) quedan indefinidas.

² Schḗsis katà pēlikótēta «relación con respecto a su tamaño». El sentido más común de pēlíkos es «cuán grande» referido con frecuencia a la edad. Nicómaco distingue entre pēlíkos referido a magnitud y posós referido a cantidad. Jámblico, a su vez, establece la diferencia entre pēlícon , que es continuo, como objeto de la geometría, y posón , que es discreto, como objeto de la aritmética. Tolemeo habla del «tamaño» de las cuerdas de un círculo. Simson traduce por «magnitud»; De Morgan prefiere una interpretación como «cuantuplicidad». «Tamaño» me parece la más acorde con el uso griego.

Por otro lado, Hankel y Simson, siguiendo a Barrow (Lectiones Cantabrigienses , Londres, 1684, Lect. III de 1666), piensan que esta definición es demasiado general y vaga, tiene un aire de noción más filosófica que matemática y apenas desempeña ningún papel en la teoría euclídea de la proporción. Hankel la considera además sospechosa por el uso de katà pēlikóteta , ya que esta expresión sólo aparece otra vez en VI, Def. 5 (pēlikótētes ). Simson sugiere la posibilidad de que sea una interpolación debida a un editor «menos inteligente que Euclides» (Simson, Los seis primeros libros y el undécimo y duodécimo de los Elementos de Euclides , págs. 308-309. Por lo demás, aparece en todos los manuscritos y no hay suficientes razones para no considerarla genuina.

Lógos , por otra parte, se aplicaba en principio a «razón» únicamente entre conmensurables frente a álogos «inconmensurable». En el libro V de los Elementos adquiere un sentido más amplio que abarca la razón de magnitudes tanto conmensurables como inconmensurables, pues ambas tienen la posibilidad de exceder una a otra cuando se multiplican.

Entre las definiciones 3 y 4, dos mss. y Campano insertan las siguientes palabras: analogía dè hē tòn lógōn tautótēs , «proporción es la igualdad de razones». Se trata de una interpolación posterior a Teón sacada de las obras de aritmética. Aristóteles habla de proporción como «igualdad de razones» en Ética Nicomáquea V 6, 1131a31, pero está claro que se refiere a números.

³ Los intérpretes de la teoría euclídea de la proporción han tomado esta definición en diversos sentidos. Hay quienes la han visto como una generalización de la relación de razón entre magnitudes homogéneas (V, Def. 3), capaz de cubrir tanto magnitudes conmensurables como magnitudes inconmensurables; pero ésta es una distinción no pertinente en el presente contexto. Más justo sería entender que la def. 4 excluye la mediación de dicha relación entre una magnitud finita y otra infinita del mismo género. Hay quienes amplían esta exclusión a las magnitudes infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Es cierto que el ámbito al que se refiere la teoría carece de una magnitud máxima, por esta def. 4, y de una magnitud mínima, por la proposición X 1. También cabe pensar que la matemática griega «clásica» viene a soslayar así ciertos usos del infinito en un sentido semejante al declarado por Aristóteles: los matemáticos no necesitan servirse de la idea de infinito (actual); les basta considerar objetos de la magnitud que quieran (Física 207b30 ss.), habida cuenta de la posibilidad de ir más allá de una magnitud finita dada, bien mediante adiciones sucesivas (en la línea de la def. 4) o bien mediante sustracciones sucesivas (en la línea de la prop. X 1).

En este punto parece obligado recordar un lema implícito en ciertas pruebas atribuidas a Eudoxo, que Arquímedes formulará como una asunción [lambanómenon ] expresa: dadas dos magnitudes geométricas desiguales (líneas, superficies, sólidos), la mayor excede a la menor en una magnitud tal que, añadida sucesivamente a sí misma, puede exceder a su vez a cualquier magnitud del mismo género que las relacionadas (Sobre la esfera y el cilindro I, lamb. 5; en Sobre espirales , la suposición se restringe a líneas y áreas; en Sobre la cuadratura de la parábola , a áreas). Así pues, cabe considerar que esta asunción de Arquímedes no se identifica con la def. 4, sino que en cierto modo la complementa. Euclides define una relación de razón entre magnitudes homogéneas en general por referencia a la multiplicación; Arquímedes postula, en cambio, una condición precisa para ciertas clases de magnitudes homogéneas (líneas, superficies, sólidos) y se remite a la adición de diferencias (una referencia similar hará Euclides luego, en la prop. X 1). Pero así mismo cabe sospechar que el proceder de Euclides es una reelaboración más alejada de las primicias eudoxianas que la vía de explicitación directa y específica seguida por Arquímedes.

⁴ Por regla general, adoptaré la expresión «guardar la misma razón» como traducción común de las diversas formulaciones de esta relación de proporción que aparecen en el texto: e.g. «estar en la misma razón [en t i aut i lógōi eînai ]», en esta def. 5; o «tener la misma razón [tòn autòn lógon échein ]», en la def. 6. Por lo demás, la fórmula más corriente en las proposiciones será: «como … (es) a …, así … (es) a … [hōs … pròs …, hoútōs … pròs …» —una variante: hoîos … potì …, kaì … potì …, que podría ser anterior, aparece en Arquitas B 2.

⁵ Suele considerarse que esta def. V, 5, constituye la piedra angular de la teoría de la proporción. Desde luego, suministra un criterio necesario y suficiente de proporcionalidad. Por otro lado, además de su importancia sistemática, ha adquirido relieve en una perspectiva histórica. No sólo podría ser una clave para determinar las relaciones entre el legado de Eudoxo y la reelaboración de Euclides; también reviste importancia a la hora de apreciar la suerte conocida por las versiones posteriores de la teoría euclídea misma. Por último, no estará de más advertir cierta diferencia entre la forma lógica de esta definición y la forma lógica de su aplicación habitual en las proposiciones demostradas por su mediación. La forma lógica de la def. 5 viene a ser la de una disyunción de conjunciones: siendo a , b , c , d unas magnitudes del dominio de la teoría, y m, n unos números naturales cualesquiera, se da una proporción a : b :: c : d si y sólo si: o ((m.a > n.b ) y (m.c > n.d )) o ((m.a = n.b ) y (m.c = n.d )) o ((m.a < n.b ) y (m.c < n.d )). Sin embargo, la forma lógica de su aplicación en la proposición V 11, por ejemplo, corresponde más bien a una conjunción de condiciones: (si m.a > n.b , entonces m.c > n.d ) y (si m.a = n.b , entonces m.c = m.d ) y (si m.a < n.b , entonces m.c < n.d ). Estas dos formas, de suyo, no son lógicamente equivalentes ni, por cierto, la primera implica la segunda. Pero en el contexto de la teoría, devienen efectivamente equivalentes gracias a la suposición implícita de que las magnitudes consideradas constituyen un sistema de objetos totalmente ordenado.

⁶ Más literalmente: «llámense en proporción» (análogon kaleísthō ). El uso de kaleísthō parece indicar que se trata de una estipulación del propio Euclides. Análogon es una expresión adverbial con un uso marcadamente especializado en matemáticas. Su sentido se corresponde con el de la expresión formularia anà lógon , empleada antes de Euclides: aparece, por ejemplo, en el fragmento B 2 de Arquitas sobre las proporciones musicales, en Platón (e.g. Fedón , 110d), o en Aristóteles (e.g. Meteor . 367a30 ss.). A. SZABÓ : Anfänge der griechischen Mathematik , Budapest, 1969, II §§ 13-16, propone algunas conjeturas filológicas e históricas de interés sobre el significado matemático de ambas expresiones. Euclides, por su parte, se sirve de análogon con cierta libertad, por ejemplo: para referirse a las magnitudes proporcionales en su conjunto —como en esta def. 6 o en la def. 9—, o para referirse a un término proporcional (a «una proporcional») —como en las props. VI 12, 16—. Por lo demás, esta especialización relativamente técnica de análogon no es compartida por otros términos relacionados como el sustantivo analogía o el adjetivo análogos , que enmarcan su posible significación matemática en una gama de usos más amplios, dentro de un sentido general de paralelismo, correspondencia o semejanza.

⁷ Esta definición depara un criterio de no proporcionalidad y completa, tras las defs. 4 y 5, el núcleo básico de la teoría euclídea. Sin embargo, también convendría declarar un supuesto adicional: la existencia de un cuarto término proporcional —obra tácitamente por ejemplo en la prueba de la prop. V 18, y sólo más adelante, en VI 12, Euclides se detiene a demostrar un caso particular: dadas tres rectas, hallar una cuarta proporcional—. Si a esta suposición se añade una condición de tricotomía congruente con el sistema ordenado de magnitudes al que se refiere la teoría, Euclides puede disponer de un recurso suplementario para probar una proposición (i.e. que a es a b como c es a d ), a saber: la reducción al absurdo de las alternativas de no proporción (i.e. que la razón de a a b sea mayor, o sea menor, que la razón de c a d ). Por otra parte, al margen de la deuda que la def. 5 tuviera contraída con algún criterio de proporcionalidad avanzado por Eudoxo, esta definición 7 parece, según todos los visos, original de Euclides.

⁸ Hankel cree que la presente definición ha sido interpolada, pues es superflua y utiliza, contra la costumbre de Euclides, la palabra hóros para el término de una proporción. Pero ya Aristóteles utiliza hóros en este sentido (Ética Nicomáquea , 113la31 ss.): «La proporción es una igualdad de razones y requiere, por lo menos, cuatro términos. Claramente, la proporción discreta requiere cuatro términos; pero también la continua, porque se sirve de uno de ellos como dos y lo menciona dos veces».

La distinción entre discreta y continua parece remontarse a los pitagóricos (cf. NICÓMACO , II 21, 5; 23, 2, 3) donde se utiliza synēmméne en lugar de synechḗs . Euclides no emplea los términos dierēmménē y synechḗs en esta correlación.

Por otra parte, las primeras palabras de la Def. 9, «cuando tres magnitudes son proporcionales», que parecen referirse a la def. 8, apoyan la idea de que esta última es genuina.

⁹ Está claro que «razón duplicada, triplicada… etc.» son meros casos particulares de la razón compuesta, siendo, de hecho, razones compuestas de dos, tres, etc. razones iguales.

Los geómetras griegos llamaban razón duplicada y triplicada a las que son iguales, respectivamente, al cuadrado y al cubo de una razón. Euclides utiliza los términos diplasíōn y triplasíōn y no diplásios y triplásios porque estos últimos se usaban frecuentemente en el sentido de razones de 2 a 1, 3 a 1, etc. En este caso, su esfuerzo por introducir rigor en la terminología tuvo un éxito sólo parcial, pues encontramos varios ejemplos de uso indiscriminado de estos términos en Arquímedes, Nicómaco y Papo.

Las cuatro magnitudes de la Def. V, 10, deben estar, por supuesto, en proporción continua aunque el texto griego no lo haga constar.

¹⁰ Utilizo «correspondientes» para verter homóloga , en vez del cultismo «homólogas» empleado en otras versiones al español. Euclides parece estipular aquí cierto sentido técnico para un término de uso común, y a esta actitud quiere aproximarse la versión presente. El sentido inicialmente previsto por Euclides se generalizó más tarde y, a partir de Arquímedes, homólogos llegó a significar unos elementos geométricos (segmentos, lados, diámetros) que ocupan parejo lugar en dos figuras que se comparan. Quizás en los Elementos VI 19, 20, ya se den algunos pasos hacia esta generalización.

¹¹ A partir de aquí nos encontramos con una serie de términos que se refieren a diversas transformaciones de razones o proporciones. En lás definiciones 12-17, Euclides los aplica a razones cuando describirían mejor proporciones, tal vez porque, al referirlas a proporciones, parecería que asume algo que todavía no se ha probado (cf. V 16, 7 por., 18, 17, 19 por.).

Enalláx «por alternancia», término general que no se usa exclusivamente en matemáticas, lo encontramos ya en Aristóteles (Analíticos Segundos I 5, 74al8: kaì tò análogon hoti enalláx ) «y que una proporción es por alternancia». En términos matemáticos se podría expresar de la siguiente forma: a : b :: c : d → a : c :: b : d .

¹² Anápalin «por inversión», término general que no se usa sólo en matemáticas, lo encontramos ya en Aristóteles aplicado a las proporciones (Del cielo I 6, 273b32). En términos matemáticos: a : b :: c : d → b : a :: c : d .

¹³ Sýnthesis lógou «composición de una razón» no es lo mismo que synkeímenos lógos «razón compuesta». Sin embargo, la distinción entre ambas no está clara en Euclides, que, por ejemplo, en V 17, utiliza synkeímenos refiriéndose a la composición de una razón. Los geómetras posteriores a Euclides utilizan synthénti o katà sýnthesin (Arquímedes) para referirse a la composición de una razón en un intento de deshacer la ambigüedad de los términos que todavía aparece en Euclides. Por otra parte los verbos syntíthēmi y synkeimai se utilizan también como «sumar» en otros contextos.

Sýnthesis lógou en expresión matemática:

¹⁴ Diaíresis lógou se refiere a la transformación:

Así como la «composición de una razón» se obtenía sumando el antecedente con el consecuente, la «separación de una razón» se obtiene restando el consecuente del antecedente. Sin embargo, la palabra griega diaíresis hace referencia a la «división» de una razón, lo mismo que dielónti por oposición a synthénti . Por otra parte, los términos griegos synthénti y dielónti dan lugar al uso de los latinos componendo y separando desde la Edad Media hasta nuestros días. Por todo ello, «separación de una razón» me parece la versión más adecuada.

¹⁵ Anastrophḗ «por conversión»:

La traducción al latín convertendo del participio anastrépsanti , paralelo a synthénti y dielónti , ha sido utilizada también desde la Edad Media.

¹⁶ Di’ísou lógos parece referirse a «igual distancia o intervalo», es decir, después de un número igual de términos intermedios. Una vez más la definición se aplicaría mejor a proporciones que a razones, pero no se prueba hasta V 22. Por tanto, la definición sirve sólo para dar nombre a cierta inferencia que es de constante aplicación en matemáticas:

La expresión di’ísou no aparece con frecuencia en contextos no geométricos (cf. empero Platón, República 617b); e incluso en estos contextos suele emplearse a través de la invocación o aplicación de proposicio nes euclídeas como V 22-23. Por otro lado, no deja de llamar la atención la composición un tanto explicativa de esta definición: «o, dicho de otro modo, …» En ella —justamente en la primera parte de esta definición nominal de proporción por igualdad, la que precede a la versión alternativa en términos congruentes con las defs. anteriores— se ha visto uno de los posibles casos de contaminación del texto euclídeo mediante la interpolación de ciertos teoremas en las definiciones mismas; vid . G. Aujac, «Les définitions du livre V d’Euclide dans la collection Héronienne et dans les Institutions de Cassiodore», Llull 11/20 (1988), 5-18.

¹⁷ Algunas fuentes (e.g. los mss. F, V, p; aunque no el ms. no teonino P) insertan a continuación una definición de proporción ordenada [tetagménē analogía ]. Viene a ser la que existe cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como el antecedente es al consecuente —entre las primeras—, así el antecedente es al consecuente —entre las segundas—, y como —entre las primeras— el consecuente es a alguna otra magnitud, así —entre las segundas— el consecuente es a alguna otra. La formulación original es un tanto elíptica y suele aparecer como una glosa al margen en los restantes mss. teoninos.

¹⁸ Tetaragménē «perturbada» se usa cuando a tres magnitudes A , B , C se asignan otras tres a , b , c de modo que A : B :: b : c y B : C :: a : b . Describe un caso particular de la proporción «por igualdad».

¹⁹ Los libros V y VI de los Elementos exponen la teoría griega «clásica» de la proporción. El libro V sienta unas bases conceptuales y deductivas, cuyo núcleo explícito podría contraerse a las definiciones 4, 5 y 7. El libro VI muestra diversas aplicaciones entre las que no faltan réplicas de resultados obtenidos anteriormente en el libro I (I 47) o en el II (II 5, 11, 14) por medios más sencillos, intuitivos y obedientes a los antiguos dictados de la Musa pitagórica —e.g. la aplicación de áreas—. Ahora Euclides desarrolla un legado no sólo más abstracto y refinado sino más reciente: el núcleo de la teoría, en especial el criterio de comparación de equimúltiplos del que se hace eco la definición 5, suele atribuirse a Eudoxo de Cnido (fl. c . 368-365), miembro prominente de la Academia platónica. Hoy tenemos motivos para suponer que los matemáticos griegos del s. v ya habían conocido una noción numérica de razón; pero sus limitaciones se habían hecho manifiestas a raíz del tropiezo con las magnitudes inconmensurables. Hay, sin embargo, indicios que dan pie para conjeturar que el s. iv bien podría haber atisbado algún otro planteamiento afín al antiguo proceder «pitagórico», pero más comprensivo: en particular, la posibilidad de dar cuenta de razones y proporciones a partir de la noción de anthyphaíresis —o antanáiresis , cf. Aristóteles, Tópicos 158b2935—. (Vid ., por ejemplo, los estudios de W. R. Knorr, The Evolution of Euclidean Elements , Dordrecht-Boston, 1975; D. H. Fowler, «Anthyphairetic ratio and Eudoxian proportion», Archive for the History of Exact Sciences 24 (1981), 69-72, y The Mathematics of Plato’s Academy. A New Reconstruction , Oxford, 1987; J. L. Gardies, L’héritage épistémologique d’Eudoxe de Cnide , París, 1988). Lo cierto, en cualquier caso, es que la reelaboración euclídea del nuevo legado —«eudoxiano»— constituye una teoría de magnitudes proporcionales, al margen de su conmensurabilidad/inconmensurabilidad, que pasará a la historia como «la concepción griega» de la proporción.

La teoría euclídea de la proporción reviste sumo interés desde al menos tres puntos de vista: el historiográfico, el sistemático y el de su recepción y transmisión posterior. Es importante, en primer lugar, para comprender el desarrollo de la matemática griega antes de que ésta quedara marcada por la obra de Euclides. Hoy no cabe aceptar sin reservas la imagen que los comentadores de Euclides —Proclo, en especial— han difundido de esa matemática anterior como una matemática tendenciosamente «pre-euclídea», llamada a encontrar su gozo y su corona en los Elementos . Antes he aludido a unas nociones precedentes, como la numérica de razón y la anthyphairética de proporción; ahora bien, la teoría de la proporcionalidad del libro V de los Elementos no es tanto una culminación como un olvido de esos posibles antecedentes (luego recobrados de modo parcial y un tanto sesgado en la aritmética del libro VII y en alguna proposición del libro X). La teoría generalizada de los Elementos parte de la proporción como una relación tetrádica entre magnitudes homogéneas (al menos, por parejas, conforme a la def. V, 3) «a es a b como c es a d », cuya representación más adecuada sería el esquema «a : b :: c : d » en lugar del esquema diádico habitual «(a , b ) = (c , d ), y donde la noción de razón parece haber perdido su anterior entidad propia. Son sintomáticas la vaguedad alusiva de la def. 3 o las funciones más denominativas que operativas de otras definiciones que envuelven la idea de razón (e.g. las defs. V, 14-16); no faltan incluso definiciones equívocas que en apariencia hablan de razones cuando, en realidad, se refieren a proporciones o a variaciones que preservan la proporcionalidad (e.g. las defs. V, 12, o V, 17). Así pues, dos cuestiones significativas desde el punto de vista historiográfico son la peculiar «integración» del concepto de razón en esta nueva teoría generalizada de la proporción y las relaciones entre esta versión «clásica» de la proporcionalidad y otras posibles alternativas marginales, como la anthyphairética . Una cuestión adicional es la suscitada por las relaciones de filiación entre el legado presuntamente original de Eudoxo y la teoría expuesta en los Elementos . A la luz de alguna indicación de Aristóteles (e.g. en Analíticos Segundos , 74a17) y de las precisiones adoptadas luego por Arquímedes, cabe sospechar que la versión de Euclides difiere de las nociones avanzadas por Eudoxo más de lo que dan a entender los escoliastas del libro V que lo presentan como un hallazgo o una invención cabal de Eudoxo mismo.

La teoría tiene, en segundo lugar, la importancia sistemática que se deriva del intrigante juego entre sus bases expresas y sus suposiciones tácitas. De hecho, la explicitación y la reconstrucción estructural del núcleo de principios (axiomas y definiciones) de la teoría han venido a ser —ya desde su recepción árabe— una poderosa tentación para los mejores comentadores del libro V. Tanto es así que un criterio tradicional de la calidad de una versión o un comentario de los Elementos ha sido justamente el grado de comprensión y de penetración mostrado con respecto a esta teoría. Simson, por ejemplo, en su cuidada edición de 1756, se considera obligado a explicitar o añadir cuatro axiomas a las definiciones euclídeas:

«I) Las cantidades equimultíplices de una misma cantidad, o de cantidades iguales, son entre sí iguales.

II) Las cantidades, de las cuales una misma cantidad es equimultíplice o cuyas equimultíplices son iguales, son también iguales entre sí.

III) La multíplice de una cantidad mayor es mayor que la equimultíplice de una menor.

IV) La cantidad, cuya multíplice es mayor que la equimultíplice de otra, es mayor que ésta» (R. SIMSON , ed. española, Madrid, 1774, págs. 144-145 —vid . el listado de la «Introducción general» a EUCLIDES , Elementos I-IV (núm. 155 de la B.C.G.), VI, núm. 16—. Sobre la reconstrucción hoy establecida de su núcleo conceptual y deductivo pueden verse I. MUELLER , Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid’s Elements , Cambridge (Mass.)-Londres, 1981, 3, §§ 3.1-3.2, págs. 134-148; L. VEGA , La trama de la demostración , Madrid, 1990, 4, § 4.2, págs. 329-330.

La teoría tiene, en fin, la trascendencia histórica que le han deparado las circunstancias de su recepción y transmisión, en particular a través de las versiones arábigo-latinas de la Edad Media. No estará de más recordar que la depuración de algunas interpolaciones y confusiones debidas a esta tradición y difundidas por la influyente edición de Campano —por ejemplo, una definición espuria y abstrusa de «proporción continua»—, así como la explicitación progresiva de los supuestos operativos en la teoría, marcaron el desarrollo de la crítica textual de los Elementos antes de la —digamos— «revolución filológica» del s. XIX ; las ediciones de Comandino (1572, 1575) o de Simson (1756) son brillantes muestras. Cuenta además con el interés añadido de haber contribuido a una incipiente matematización de la filosofía natural a través de, por ejemplo, Bradwardine (en la primera mitad del s. XIII ) y Oresme (en la segunda mitad del s. XIV ). E incluso, de creer a Lipschitz y a Dedekind (amén de algunos historiadores de nuestro tiempo), no habría sido ajena a la moderna fundamentación de los números reales mediante la reducción de un número irracional a una «cortadura» en el conjunto ordenado de los números racionales, en la medida en que esta «cortadura» equivaldría a la que una razón entre magnitudes inconmensurables pudiera suponer en el contexto de la definición V, 5: bastaría (según dicen esos historiadores) asociar a una relación a /b irracional una partición en dos clases de números racionales m /n , los que son tales que mb > ma y los que son tales que mb < ma . Pero esta adaptación de la definición euclídea, aun siendo algebraicamente viable, no dejaría de ser un trasplante demasiado forzado en un marco tan alejado de los Elementos como los problemas de fundamentación y reducción de la teoría matemática del s. XIX .

Por lo demás, la teoría del libro V no necesita galas ajenas para brillar con luz propia en el contexto de los Elementos . Y bien se puede terminar esta desmesurada nota introductoria con lo que dice Simson como remate de sus anotaciones al libro V: «… concluida ya la enmienda del libro V, por fin de él asiento gustosísimo a la opinión de Cl. Barrow: es a saber ‘que nada hay en toda la Obra de los Elementos inventado con mayor sutileza, establecido con más solidez, ni tratado con más exactitud que la doctrina de las proporcionales’» (R. SIMSON , op. cit ., pág. 322).

²⁰ Como Heiberg señala, el uso de di’ísou no hace referencia aquí a la definición 17 de «razón por igualdad». Se trata, no obstante, de un uso suficientemente parejo como para justificar su empleo en este enunciado.

²¹ La versión tradicional de hà étychen por «cualesquiera» sería problemática en ciertos casos y encubriría el tono informal —desde el punto de vista lógico— del texto griego original. Por ello opto por la traducción «al azar».

²² Esta manera de expresar la construcción podría dar a entender que ΓH es una magnitud dada, mientras que EB debe ser hallada de modo que sea igual a cierto múltiplo de ΓH . Sin embargo, EB es la que ha sido dada y ΓH la que hay que hallar. Es decir, que ΓH debe ser construida como un submúltiplo de EB.

²³ Keîtai más literalmente: «se ha puesto».

²⁴ Lit.: «si es múltiplo de… tantas veces lo será…».

²⁵ R. Simson se cree obligado a añadir, tras esta proposición, cuatro proposiciones derivadas de la Def. V, 5, que obran tácitamente no sólo en algunas pruebas de este mismo libro, sino en otras aplicaciones de la teoría de la proporción en los Elementos . Son los teoremas siguientes. A: «Si la primera cantidad [i.e., magnitud] tiene a la segunda la misma razón que la tercera a la cuarta, será la tercera mayor, igual o menor que la cuarta según sea la primera mayor, igual o menor que la segunda». B: «Si cuatro cantidades fueren proporcionales, también inversamente serán proporcionales». C: «Si la primera cantidad fuese igual multíplice o la misma parte de la segunda que la tercera lo es de la cuarta, la primera será a la segunda como la tercera a la cuarta». D: «Si la primera cantidad fuese a la segunda como la tercera a la cuarta, y la primera fuese multíplice o parte de la segunda, la tercera será la misma multíplice o la misma parte de la cuarta» (SIMSON , ed. cit., págs. 121-123, y notas, págs. 312-314). Las razones de Simson para estas adiciones parecen más pendientes de los comentarios suscitados por la presentación de Euclides que de la teoría misma del libro V.

²⁶ Se trata del mismo uso de hà étychen que en la proposición 4. Cf. nota 21.

²⁷ Kaì hexès henì pleîon , en el sentido de múltiplos sucesivamente incrementados de uno en uno.

²⁸ En esta proposición introduce Euclides unas nociones de razón mayor o menor en un contexto en el que la referencia a la def. V, 7, puede ser insuficiente. Como se ha observado reiteradamente (desde Simson, 1756—vid . ed. cit., notas, págs. 315-317—; cf. Heath, ed. cit., II, págs. 156-157), no se deben aplicar de modo inmediato a las razones las condiciones estipuladas o supuestas para las magnitudes, en particular la condiciónde tricotomía o el corolario destacado por Simson: que una magnitud no puede ser a la vez mayor o menor que otra (SIMSON , ed. cit., pág. 316). El propio Euclides vendrá a probar en la proposición siguiente que las razones iguales a una misma razón son iguales entre sí, pese a disponer de la noción común 1 («las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí»); en esta prop. V 11, Euclides, en vez de considerar una aplicación directa de esta noción común, desarrollará una prueba específica de la igualdad entre razones.

²⁹ Por razones estilísticas traduzco hoi autoí por «iguales», pues en este caso son expresiones equivalentes. Sigo, por otra parte, al traductor anónimo de Simson.

³⁰ Expresión algebraica: si a : a ′ :: b : b ′ :: c : c ′…, cada razón es igual a la razón (a + b + c +…) : (a ′ + b ′ + c ′…). Este teorema aparece en ARISTÓTELES , Ética Nicomáquea V 5 1131b14, en la forma abreviada: «El todo es al todo como cada parte es a cada parte».

³¹ Simson añade la prueba específica del segundo y tercer caso de esta proposición, a saber: si A es igual o menor que Γ . Cf. SIMSON , ed. cit., pág. 131.

³² En griego: hosaútōs pollaplasíois .

³³ Expresión algebraica:

Euclides emplea aquí synkeímenos lógos «razón compuesta» en el sentido de sýnthesis lógou «composición de una razón», lo que demuestra que ambos términos no están claramente definidos en los Elementos , cf. nota 13.

³⁴ La demostración supone la existencia de un cuarto término proporcional. Diversos editores y comentadores de los Elementos , al menos desde Clavio (1574, 2.^a ed. 1589), han optado por la declaración expresa de esa suposición a título de axioma. Otros han preferido la opción de una prueba independiente de dicho supuesto o la opción de demostrar previamente la suposición misma (HEATH , ed. cit., II, págs. 170-174, ofrece diversas muestras). El propio Euclides demostrará más adelante, en la prop. VI 12, un caso particular en el que los términos proporcionales son líneas rectas. Por lo demás, una vez asumida la existencia de una «cuarta proporcional», se podría derivar ulteriormente su unicidad a través de las proposiciones V 11 y V 9.

³⁵ Heiberg atetiza las líneas que se encuentran entre la conclusión y el porisma porque Euclides no acostumbra a explicar un porisma, ya que, por su propia naturaleza, un porisma no precisa explicación sino que es algo que se presenta, según Proclo, apragmateútōs , es decir, «sin esfuerzo».

³⁶ Hosaútōs .

³⁷ SIMSON (1756), ed. cit., pág. 141, presenta una prueba más sencilla que evita la reiterada mediación de las proposiciones V 11, 15, 16, y se sirve de una aplicación directa de la prop. V 4. Esta versión cuenta con el apoyo de algunos mss., aunque no con la autoridad de una fuente textual como el ms. P. En todo caso, es justa su observación de que el último paso de la prueba debe referirse a los equimúltiplos H , K —de A , Δ — y Λ , N —de Γ , Z —, como a equimúltiplos cualesquiera. El propio Simson generalizará el alcance de esta proposición a un número cualquiera de magnitudes (1. c., págs. 141-142).