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1. Conjuntos, aplicaciones, números

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En este libro, un conjunto A es una colección de objetos a los que llamamos elementos de A. Dado un objeto x y un conjunto A, decimos que x pertenece a A si x es un elemento de A. En este caso escribimos x ∈ A. En caso contrario, decimos que x no pertenece a A, y escribimos x ∉ A.

Denotamos los conjuntos con letras mayúsculas, y los definimos especificando o describiendo con exactitud los elementos que pertenecen a ellos. Por ejemplo, A = {1, 2, 3, 4} es el conjunto cuyos elementos son 1, 2, 3 y 4. Así, escribimos 3 ∈ A y 5 ∉ A. El conjunto B = {1, {1, 2}, {1, 2, 3}} tiene tres elementos: 1, el conjunto {1, 2}, y el conjunto {1, 2, 3}. Por tanto, escribimos {1, 2, 3} ∈ B. El conjunto vacío ∅ es el conjunto que no tiene elementos. Un conjunto A es finito si tiene un número finito de elementos. En este caso escribimos |A| para denotar el número de elementos del conjunto A. Por ejemplo, |{1, 2, 3, 4}| = 4, |{1, {1, 2}, {1, 2, 3}}| = 3 y |∅| = 0.

No siempre es posible o conveniente listar todos y cada uno de los elementos de un conjunto: nos basta con que describamos con precisión los que pertenecen a él. Por ejemplo, el conjunto

C = {x ∈ ℕ | x = 2n + 1 para algún n ∈ ℕ}

es el conjunto de los números naturales impares. En este libro, los números naturales son los elementos del conjunto ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Algunos autores no consideran 0 como número natural, pero esta es una polémica inútil. La línea vertical “|” en la definición del conjunto C se lee “tal que”; así, decimos que C es el conjunto de los números naturales x tales que pueden escribirse de la forma x = 2n + 1 para algún n ∈ ℕ. Algunos autores utilizan “:” en lugar de la línea vertical. Los lectores deben ser conscientes de que diferentes autores pueden utilizar notaciones distintas y de que esto no es necesariamente negativo. Volviendo a C, podríamos haber escrito

C = {2n + 1 | n ∈ ℕ}

que es una notación más ágil.

Considaremos ahora el conjunto D = {n ∈ ℕ | 0 < n > 5} y lo comparamos con el conjunto A = {1, 2, 3, 4} definido en el segundo párrafo. Desde luego, observamos que D y A son iguales, pero necesitamos formular esto de forma precisa. Si A y B son conjuntos, decimos que A está contenido en B si para todo a ∈ A se tiene que a ∈ B. En este caso, escribimos A ⊆ B, y decimos que A es un subconjunto de B. En caso contrario, decimos que A no está contenido en B, y lo escribimos A ⊈ B. Los conjuntos A y B son iguales si A ⊆ B y B ⊆ A, y lo escribimos A = B. En caso contrario, escribimos A ≠ B. Observamos que ∅ ⊆ A para todo conjunto A.

En este punto, debemos sincerarnos con el lector para advertirle que esta aproximación náıf a la teoría de conjuntos tiene algunas consecuencias no deseadas, como la famosa paradoja de Russell. Es evidente que el conjunto de los números naturales no es un número natural, por lo que la expresión ℕ ∉ ℕ, aunque chocante, es cierta. Uno podría construir el conjunto X = {A | A es conjunto y A ∉ A}, y preguntarse si el propio X ∈ X o si X ∉ X. Por ejemplo, ℕ ∈ X pues ℕ ∉ ℕ. Sin embargo, si X ∈ X, esto significaría por definición que X ∉ X, y al contrario. Hemos llegado a una contradicción, pues no puede pasar algo y lo opuesto al mismo tiempo. En definitiva, parece claro que tenemos un problema con nuestra definición de conjunto.

La teoría de conjuntos puede ser desarrollada de una forma axiomática que evita este tipo de contradicciones, pero este libro no es el lugar adecuado para hacerlo. La lógica es la disciplina que se ocupa de este y de otros temas.

Por otra parte, no debemos preocuparnos en exceso, al menos en lo que aqúı se refiere. Es un hecho que la mayor parte de los matemáticos puede desarrollar una carrera exitosa utilizando nuestra definición de conjuntos sin contratiempo alguno en su vida (matemática). Digamos de una forma informal que mientras tratemos con conjuntos pequeños (el conjunto de todos los conjuntos definitivamente no es un conjunto pequeño), no nos vamos a encontrar con grandes problemas.

Dados dos conjuntos A y B, podemos construir nuevos conjuntos. Por ejemplo, la unión de A y B es el conjunto

A ∪ B = {x | x ∈ A ó x ∈ B}.

La intersección es el conjunto

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}.

La diferencia de A y B es

A − B = {x | x ∈ A y x ∉ B}.

El producto cartesiano de A y B es el conjunto de pares

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B},

donde entendemos que (a, b) = (a′, b′) si y solo si a = a′ y b = b′.

Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3}, A − B = {1, 2} y A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}.

Desde luego, podemos unir o intersectar una colección arbitraria de conjuntos. Si I es un conjunto, y para cada i ∈ I tenemos definido un conjunto A_i, que depende de i, entonces definimos

Por ejemplo, si para n ∈ ℕ, definimos A_n = {m ∈ ℕ | m ≥ n}, entonces tenemos que

Si A₁, …, A_n son conjuntos, definimos

Si el lector está leyendo este primer capítulo, cabe la posibilidad de que no esté demasiado habituado a probar teoremas, habilidad que solo se adquiere con práctica, y leyendo muchas demostraciones. Probamos nuestro primer teorema.

Teorema 1.1 (Leyes de Morgan) Supongamos que X, I y A_i para i ∈ I son conjuntos. Entonces

Demostración. Probamos (a), por ejemplo. Queremos probar que dos conjuntos son iguales. Por tanto, debemos probar que X − (⋃_i∈I A_i) está contenido en ⋂_i∈I (X − A_i), y la inclusión contraria. Sea x ∈ X − (⋃_i∈I A_i). Esto significa que x ∈ X y que x ∉ ⋃_i∈I A_i. Por la definición de unión de una colección de conjuntos, tenemos que x ∉ A_i para todo i ∈ I. Así, x ∈ X − A_i para todo i ∈ I, y por la definición de intersección de una colección de conjuntos, concluimos que x ∈ ⋂_i∈I (X − A_i). Recíprocamente, si x ∈ ⋂_i∈I (X − A_i), tenemos que x ∈ X y x ∉ A_i para todo i. Entonces x ∈ X y x ∉ ⋃_i∈I A_i, y por tanto x ∈ X − (⋃_i∈I A_i).

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Los conjuntos se relacionan mediante aplicaciones. Si A y B son conjuntos, una aplicación o función de A en B, que escribimos

es una correspondencia (regla o criterio) que asigna a cada elemento a ∈ A un único elemento f(a) de B. A f(a) se le llama la imagen de a mediante f. El conjunto A se llama el dominio o conjunto inicial de f. El conjunto B se llama el codominio o conjunto final de f. El conjunto imagen

f(A) = {f(a) | a ∈ A}

es el subconjunto de B formado por todas las imágenes mediante f de los elementos de A.

Podemos imaginar una función como una máquina cuyos inputs son los elementos de A. Damos a ∈ A a la máquina y esta produce un output perfectamente determinado que es f(a) ∈ B. Para el lector riguroso que no esté satisfecho ni con la definición ni con la idea de la máquina, podemos definir una función f : A → B como un subconjunto X ⊆ A × B tal que X ∩ ({a} × B) tiene exactamente un elemento para todo a ∈ A; pero esto es innecesariamente complicado. Si pensamos un momento sobre esta última definición, observamos que X es el grafo de la función f.

El lector está seguramente acostumbrado a tratar con funciones entre números reales como las aplicaciones f : ℝ → ℝ dada por f(x) = x² + 1, o g : ℝ → ℝ dada por g(x) = sen(x). O incluso con funciones h : ℝ × ℝ → ℝ definidas por . (En estos ejemplos tendríamos que f(ℝ) = {a ∈ ℝ | a ≥ 1}, g(ℝ) = [−1, 1] y h(ℝ × ℝ) = {a ∈ ℝ | a ≥ 0}). Pero quizá el lector está menos acostumbrado a tratar con funciones sobre otros conjuntos, especialmente finitos. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {2, 3} hay exactamente cuatro aplicaciones de A en B. Recordemos que todo elemento de A debe tener una y solo una imagen en B, por lo que las posibilidades están claras: f(1) = 2, f(2) = 2, g(1) = 3, g(2) = 3, h(1) = 2, h(2) = 3, y l(1) = 3, l(2) = 2 son todas las posibles funciones A → B. Tendríamos que f(A) = {2}, g(A) = {3}, h(A) = B y l(A) = B.

Ejercicio 1.1 Sean A y B conjuntos. Sea B^A el conjunto de las aplicaciones de A en B. Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, probar que B^A tiene mⁿ elementos.

Dos funciones f : A → B, g : C → D son iguales si A = C, B = D y f(a) = g(a) para todo a ∈ A. Por ejemplo, las funciones f : ℤ → ℤ y g : ℤ → ℕ dadas por f(z) = g(z) = z² no son iguales porque sus conjuntos finales son distintos.

Para todo conjunto A, tenemos definida la función identidad 1_A : A → A con 1_A(a) = a para todo a ∈ A.

Con frecuencia, lo primero que nos preguntamos sobre una aplicación f es si es inyectiva o suprayectiva; estos dos adjetivos se asocian de forma natural a las funciones. Una aplicación f : A → B es inyectiva si f(a₁) = f(a₂) solo si a1 = a₂, para a₁, a₂ ∈ A. En otras palabras, f es inyectiva si elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B. Si queremos comprobar que una función f es inyectiva, escribimos la igualdad f(a₁) = f(a₂) y tratamos de averiguar si a₁ es necesariamente igual a a₂ o no. Informalmente, si f es una aplicación inyectiva, pensamos que B contiene un subconjunto (f(A)) que tiene las mismas propiedades que A.

Ejercicio 1.2 Si A tiene n elementos, B tiene m elementos, y f : A → B es injectiva, probar que n ≤ m.

Una aplicación f : A → B es suprayectiva si f(A) = B. En otras palabras, si para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b. Si queremos comprobar si una función f es suprayectiva, elegimos un elemento b ∈ B arbitrario y lo intentamos expresar como f(a) para algún a de A.

Ejercicio 1.3 Si A tiene n elementos, B tiene m elementos, y f : A → B es suprayectiva, probar que n ≥ m.

Teorema 1.2 Supongamos que A y B tienen n elementos, y sea f : A → B. Entonces f es inyectiva si y solo si f es suprayectiva.

Demostración. Esta es la primera vez en este libro que probamos un teorema si y solo si, por lo que hacemos una pausa para explicar lo que significa. Cuando tengamos que probar que un enunciado P es verdadero si y solo si un enunciado Q es verdadero, tenemos que probar que P implica Q (esto es, suponiendo P demostramos Q) y que Q implica P (suponiendo Q demostramos P).

Escribamos A = {a₁, …, a_n}. Así, f(A) = {f(a₁), …, f(a_n)} ⊆ B.

Supongamos que f es inyectiva. Entonces f(A) tiene n elementos, pues f(a_i) ≠ f(a_j) si i ≠ j. Como B tiene n elementos, necesariamente f(A) = B, y por tanto f es suprayectiva. Recíprocamente, si f es suprayectiva entonces f(A) = B tiene n elementos, y por tanto no puede ocurrir que f(a_i) = f(a_j) para distintos i y j.

Finalmente, una aplicación f : A → B es biyectiva si f es inyectiva y suprayectiva. Las aplicaciones biyectivas (o biyecciones) son las mejores aplicaciones que podemos encontrar entre dos conjuntos.

Ejemplo 1.1 La función f : ℕ → ℕ dada por f(n) = 2n + 1 es inyectiva, pues si f(n) = f(m), entonces 2n + 1 = 2m + 1, y concluimos que n = m. Sin embargo, f no es suprayectiva, pues no podemos hallar ningún n ∈ ℕ tal que f(n) = 2. La función g : {1, 2, 3} → {a, b} dada por g(1) = a, g(2) = b y g(3) = a no es inyectiva, pues g(1) = g(3). Sin embargo, g es suprayectiva.

Sean ahora f : ℝ → ℝ y g : ℝ → ℝ definidas por f(x) = sen(x) y g(x) = x². Observamos primero que g no es inyectiva pues g(−1) = g(1). Sin embargo, si definimos h : ℝ⁺ → ℝ con h(x) = x², donde ℝ⁺ = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}, entonces h es ahora inyectiva (pero no suprayectiva pues −1 no está en la imagen de h). Finalmente, si definimos t : ℝ⁺ → ℝ⁺ con t(x) = x², entonces t es biyectiva. Algo semejante ocurre con f(x) = sen(x). La función s : [−π/2, π/2] → [−1, 1] dada por s(x) = sen(x) puede comprobarse que es una biyección.

¿Por qué es tan importante tener aplicaciones biyectivas? Esencialmente por dos razones. La primera es que una función biyectiva posee una función inversa. En el ejemplo anterior, la inversa de s es la función arcsen : [−1, 1] → [−π/2, π/2], mientras que la inversa de t es la función ráız cuadrada. La segunda razón es que si existe una función biyectiva entre A y B cualquier propiedad que satisfaga A desde el punto de vista de la teoría de conjuntos la va a satisfacer B, y recíprocamente. Es decir, que desde la perspectiva de conjuntos, A y B son equivalentes. Esto nos permitirá después, por ejemplo, comparar conjuntos y sus tamaños.

Si f : A → B y g : B → C, podemos crear una nueva función

g ∘ f : A → C

definida por

(g ∘ f)(a) = g(f(a))

que se llama la composición de g y f.

Por ejemplo, si f : ℝ → ℝ es la función f(x) = x² + 1 y g(x) = sen(x), entonces (g ∘ f)(x) = sen(x² + 1) y (f ∘ g)(x) = sen(x)² + 1.

La primera parte del siguiente ejercicio nos dice que la composición de aplicaciones es asociativa.

Ejercicio 1.4 (i) Si f : A → B, g : B → C y h : C → D son aplicaciones, probar que

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).

(ii) Si f : A → B es un aplicación, probar que f ∘ 1_A = f y 1_B ∘ f = f.

Lema 1.3 Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones.

(a) Si f y g son inyectivas, entonces g ∘ f es inyectiva.

(b) Si f y g son suprayectivas, entonces g ∘ f es suprayectiva.

(c) Si g ∘ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

(d) Si g ∘ f es suprayectiva, entonces g es suprayectiva.

Demostración. (a) Si g(f(a₁)) = g(f(a₂)), deducimos que f(a₁) = f(a₂) por ser g inyectiva. Por ser f inyectiva, tenemos que a₁ = a₂.

(b) Si c ∈ C, entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c, por ser g suprayectiva. Por ser f suprayectiva, existe a ∈ A tal que f(a) = b. Entonces g(f(a)) = c.

(c) Si f(a₁) = f(a₂), entonces g(f(a₁)) = g(f(a₂)). Como g ∘ f es inyectiva, deducimos que a₁ = a₂.

(d) Si c ∈ C, por hipótesis existe a ∈ A tal que g(f(a)) = c. Si b = f(a), deducimos que g(b) = c

Decimos que una función f: A → B es invertible si existe g: B → A tal que f ∘ g = 1_B y g ∘ f = 1_A. Observamos que la función g, si existe, es única. Efectivamente, si h: B → A también satisface h ∘ f = 1_A, entonces

h = h ∘ 1_B = h ∘ (f ∘ g) = (h ∘ f) ∘ g = 1_A ∘ g = g.

La función g se llama la función inversa de f y se escribe g = f⁻¹. Observamos que en este caso f⁻¹ es también invertible y que (f⁻¹)⁻¹ = f.

Teorema 1.4 Sea f : A → B. Entonces f es invertible si y solo si f es biyectiva.

Demostración. Supongamos que f es biyectiva. Construimos g : B → A de la siguiente manera. Dado b, sabemos que existe a ∈ A tal que f(a) = b, pues f es suprayectiva. Como f es inyectiva, a es único, y por tanto b unívocamente determina a. Definimos g(b) = a. Es inmediato que f ∘ g = 1_B y g ∘ f = 1_A. Recíprocamente, supongamos que f es invertible y sea f⁻¹ : B → A su inversa. Como f ∘ f ⁻¹ = 1_B y f ⁻¹ ∘ f = 1_A son biyectivas, el teorema se sigue por el lema 1.3 partes (c) y (d).

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Si A es un conjunto, una relación en A es un subconjunto

R ⊆ A × A.

Decimos que a está relacionado con b si (a, b) ∈ R. Podemos pensar que una relación es sencillamente una función f : A × A → {sí, no}, donde R = {(a, b) ∈ A × A | f(a, b) = sí}.

Por ejemplo, en el conjunto A = {1, 2, 3}, definimos la relación

R = {(1, 1), (1, 2), (3, 2)}.

En este caso, 1 está relacionado con 1 y con 2, 2 no está relacionado con ningún elemento, y 3 está relacionado con 2. Muchas veces, en lugar de especificar R, es más sencillo describir cuándo dos elementos están relacionados. Por ejemplo, en el conjunto A de los habitantes de una ciudad, podemos decir que dos elementos de A están relacionados si viven en el mismo edificio. En este caso, observamos que cualquier a ∈ A está relacionado consigo mismo, entre otras propiedades que analizamos a continuación. Necesitamos cierto lenguaje para hablar de relaciones.

Definición 1.5 Sea A un conjunto y R ⊆ A × A una relación en A.

(a) Decimos que R es reflexiva si (a, a) ∈ R para todo a ∈ A.

(b) Decimos que R es simétrica si siempre que (a, b) ∈ R, entonces (b, a) ∈ R.

(c) Decimos que R es antisimétrica si siempre que (a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R, entonces a = b.

(d) Decimos que R es transitiva si siempre que (a, b), (b, c) ∈ R, entonces (a, c) ∈ R.

Muy pocas relaciones en un conjunto A son interesantes. De hecho, las relaciones interesantes son esencialmente de dos tipos. Una relación R es de equivalencia si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación R es una relación de orden si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Ejemplo 1.2

(a) En el conjunto ℝ de los números reales, definimos la relación (a, b) ∈ R si y solo si a ≤ b. Esta es una relación de orden.

(b) En el conjunto de habitantes de una ciudad, vivir en el mismo edificio establece una relación de equivalencia.

(c) En el plano ℝ², decimos que (x₁, y₁) está relacionado con (x₂, y₂) si se tiene que Esto define en el plano una relación de equivalencia.

(d) Si f : A → B es una aplicación, definimos R = {(a₁, a₂) | f(a₁) = f(a₂)}. Entonces R es una relación de equivalencia.

(e) Si A es un conjunto, definimos una relación en el conjunto P (A) de todos los subconjuntos de A. Decimos que X e Y están relacionados si X ⊆ Y. Esto define una relación de orden en P (A).

Siempre que tengamos una relación de equivalencia R sobre un conjunto A, dicho conjunto queda partido en trozos disjuntos. (Dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅). Este es un hecho relevante. En el ejemplo 1.2 (b), los habitantes quedan distribuidos en edificios; en el ejemplo 1.2 (c), los elementos del plano quedan distribuidos en círculos de radio r para r ≥ 0. En general, cada elemento a ∈ A vive en su clase de equivalencia.

Una partición de un conjunto A es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de A tales que

y B ∩ C = ∅ para todos B, C ∈ P distintos.

Si A es un conjunto con una relación de equivalencia R, para cada a ∈ A se define [a] = {b ∈ A | (a, b) ∈ R}, que se llama la clase de equivalencia de a. Observamos que a ∈ [a] ⊆ A.

Teorema 1.6 Sea A un conjunto con R una relación de equivalencia, y sea P = {[a] | a ∈ A} el conjunto de clases de equivalencia de A. Entonces P es una partición de A.

Demostración. Como a ∈ [a], está claro que [a] ≠ ∅ y que

Si c ∈ [a], probamos a continuación que [c] = [a]. Sea x ∈ [c]. Entonces (x, c) ∈ R. Como (c, a) ∈ R, tenemos que (x, a) ∈ R y x ∈ [a]. Recíprocamente, si x ∈ [a], entonces (x, a) ∈ R. Como (a, c) ∈ R, tenemos que (x, c) ∈ R y x ∈ [c], como queríamos. Finalmente, supongamos que [a] ∩ [b] ≠ ∅, y sea c ∈ [a] ∩ [b]. Por lo anterior, tenemos que [a] = [c] = [b].

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¿Todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos? ¿Hay algún conjunto infinito con menos elementos que ℕ? ¿Cómo comparamos infinitos?

Al principio, puede que la intuición no nos sea del todo útil. Es famoso el Hotel de Hilbert que tiene un número infinito de habitaciones numeradas {1, 2, 3, …}, todas ellas ocupadas.

Al llegar un huésped nuevo, el conserje del hotel, lejos de rechazarlo, traslada al ocupante de la habitación n a la n+1, y deja así la primera habitación libre para el huésped nuevo. Este conserje ni se inmuta cuando momentos después ve aparecer llegando a su hotel un autobús con infinitos turistas {1, 2, 3, …}: traslada al ocupante de la habitación n a la habitación 2n y al turista m a la habitación 2m − 1. Tampoco se preocupa el conserje cuando esta vez aparece un número infinito de autobuses {a₁, a₂, …, a_k, …} cada uno de ellos cargado de infinitos turistas {a_k1, a_k2, …}… pero vamos a dejarlo aquí.

Para comparar infinitos, las funciones biyectivas son fundamentales. Si existe f : A → B biyectiva, decimos que A y B tienen el mismo cardinal (o son equipotentes), y lo escribimos |A| = |B|. En caso contrario, escribimos |A| ≠ |B|.

Teorema 1.7 Sean A, B y C conjuntos.

(a) |A| = |A|.

(b) Si |A| = |B|, entonces |B| = |A|.

(c) Si |A| = |B| y |B| = |C|, entonces |A| = |C|.

Demostración. Para probar (a), utilizamos la función identidad 1_A. Si existe una función biyectiva f : A → B, entonces f⁻¹ es biyectiva, y (b) queda probado. Para probar (c), usamos que la composición de funciones biyectivas es biyectiva por el lema 1.3.

El lector debe ser consciente de que en el teorema anterior, no hemos escrito que tener el mismo cardinal establece una relación de equivalencia pues a continuación estaríamos obligados a añadir “en el conjunto de todos los conjuntos”, y como ya hemos dicho antes, no debemos tratar con conjuntos demasiado grandes. Al principio de este capítulo, habíamos definido |A| para un conjunto finito A, como el número de elementos de A. Los ejercicios 1.2 y 1.3 nos aseguran que la notación |A| = |B| es consistente.

Asociado a un conjunto A hay otro conjunto especial que hemos utilizado en el ejemplo 1.2 (e):

P (A) = {B | B ⊆ A}

que se llama el conjunto potencia de A (o partes de A). Lo más importante de P (A) es que tiene más elementos que A.

Teorema 1.8 Sea A un conjunto.

(a) La aplicación f : A → P (A) dada por f(a) = {a} es inyectiva.

(b) No existe ninguna aplicación g : A → P (A) suprayectiva.

Demostración. La primera parte es trivial. Sea ahora g : A → P (A) suprayectiva. Sea B = {a ∈ A | a ∉ g(a)} ⊆ A. Como g es suprayectiva, entonces existe a ∈ A tal que g(a) = B. Si a ∈ B, entonces a ∉ g(a) = B, lo cual no es posible. Si a ∉ B, entonces a ∈ g(a), y por tanto a ∈ B, lo cual tampoco es posible.

Según el teorema 1.8, P (ℕ) tiene más elementos que ℕ, y de hecho se puede probar que |P (ℕ)| = |ℝ|. No nos podemos resistir a mencionar la llamada hipótesis del continuo, establecida por George Cantor en 1878. Si A y B son conjuntos, escribimos |A| ≤ |B| si existe f : A → B inyectiva, y |A| < |B| si |A| ≤ |B| y |A| ≠ |B|. Por ejemplo, acabamos de probar que |A| < |P (A)| para todo conjunto A. La hipótesis del continuo, que constituye el primer problema de la famosa lista de problemas propuestos por Hilbert, afirma que no existe ningún conjunto A tal que |ℕ| < |A| < |ℝ|. En 1963 Paul Cohen probó que este enunciado es indemostrable. Este es otro concepto que no cabe en el presente libro. El autor sinceramente espera no haber interesado demasiado al lector en lógica para que renuncie al álgebra.

La siguiente propiedad de ℕ es fundamental: nos dice que en ℕ existe un buen orden.

Teorema 1.9 (teorema del buen orden en ℕ) Si A es un subconjunto no vacío de ℕ entonces existe a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ A. Este elemento a es único.

Demostración. Primero probamos la existencia de a. Como A no es vacío, sea a₁ ∈ A. Si a₁ ≤ b para todo b ∈ A, ya tendríamos el elemento que buscamos. En caso contrario, existe a₂ ∈ A tal que a₂ < a₁. Si a₂ ≤ b para todo b ∈ A, de nuevo lo tendríamos. Como entre 0 y a₁ hay solo un número finito de elementos, este proceso no se puede repetir un número infinito de veces. Así, podemos llegar a encontrar a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ A.

A continuación probamos la unicidad de a. En efecto, si existiera otro elemento c ∈ A con la misma propiedad, tendríamos que a ≤ c y c ≤ a, con lo que a = c.

Al elemento a en el teorema 1.9 se le llama el menor elemento de A, y lo denotamos por min(A).

Decimos que un conjunto A es numerable si |ℕ^×| = |A|, donde ℕ^× = {1, 2, 3, …}. Algunos autores incluyen los conjuntos finitos entre los conjuntos numerables. Vemos que si A es numerable, entonces existe una aplicación biyectiva f : ℕ^× → A, y así podemos escribir

A = {f(1), f(2), f(3), …}.

En definitiva, si A es numerable, entonces los elementos de A se pueden enumerar.

Teorema 1.10 Supongamos que A es un subconjunto infinito de ℕ. Entonces A es numerable.

Demostración. Como A no es vacío, sea a₁ = min(A). Como A − {a₁} no es vacío, sea a₂ = min(A − {a₁}). En general, si tenemos definidos a₁, …, a_k, como A − {a₁, …, a_k} no es un conjunto vacío (pues A es infinito), podemos definir

a_k+1 = min(A − {a₁, …, a_k})

para k ≥ 0. Observamos pues que tenemos definidos

a₁ < a₂ < … < a_k < a_k+1 < …

una cadena de elementos de A. Definimos f : ℕ^× → A con f(k) = a_k. Como a_n < a_m si n < m, observamos que f es inyectiva.

Probamos finalmente que f es suprayectiva. Sea a ∈ A. Sea B = {n ∈ A | n < a}. Si B = ∅, entonces a = a₁ = f(1). En otro caso, B es un conjunto finito no vacío, que por tanto se puede escribir B = {a₁, …, a_t} para algún t. Entonces a = a_t+1 = f(t + 1), y el teorema queda probado.

Corolario 1.11 Si A es numerable y B ⊆ A, entonces B es finito o numerable.

Demostración. Supongamos que B es infinito. Sea f : A → ℕ^× una aplicación biyectiva. Aplicamos el teorema 1.10 al conjunto infinito f(B).

En los problemas guiaremos al lector sobre cómo probar que el conjunto de los números racionales es numerable, o que el de los números reales no lo es, entre otras propiedades.

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El conjunto de los números enteros es

ℤ = {…, −n, …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …, n, … | n ∈ ℕ}.

Suponemos que el lector está familiarizado con la suma y la multiplicación de números enteros. Es decir, en ℤ podemos sumar y multiplicar elementos: 2 + 3 = 5 o (−3)3 = −9. (Más adelante, diremos que ℤ con estas operaciones es un anillo). También utilizamos que ℤ es un conjunto con un orden: 3 > 0, −5 ≤ 5 o 2 ≤ 2.

Estamos acostumbrados a dividir dos números enteros n y m, y obtener un dividendo d y un resto r. Este es el llamado algoritmo de división.

Teorema 1.12 (algoritmo de división) Sean n ∈ ℤ y 0 < m ∈ ℕ. Entonces existen dos únicos enteros d y r tales que n = dm + r con 0 ≤ r < m.

Demostración. Consideremos el conjunto A = {n−dm | d ∈ ℤ y n−dm ≥ 0}. Es decir, A está formado por los números naturales de la forma n − dm, con d ∈ ℤ. Si n ≥ 0, entonces n − (−n)m = n(1 + m) ≥ 0, y deducimos que n(1 + m) ∈ A. Si n ≤ 0, entonces n − nm = n(1 − m) ≥ 0, y deducimos que n − nm ∈ A. En cualquier caso, concluimos que A ≠ ∅. Por el teorema 1.9, sea r el menor elemento de A. Como r ∈ A, entonces existe d ∈ ℤ tal que n − dm = r. Por tanto, n = dm + r. Si r ≥ m, tendríamos que

0 ≤ r − m = (n − dm) − m = n − (d + 1)m ∈ A.

Pero r es el menor elemento de A y r − m < r. Esta contradicción prueba que r < m. Por tanto, hemos hallado d y r tales que n = dm + r con r < m.

Supongamos finalmente que d₁ y 0 ≤ r₁ < m también satisfacen que n = d₁m + r₁. Supongamos que r₁ ≥ r, por ejemplo. Como n = dm + r = d₁m + r₁, tendremos que 0 ≤ r₁ − r = (d − d₁)m ≤ r₁ < m. Necesariamente, d − d₁ = 0 y por tanto r₁ = r.

Vemos que el algoritmo de división es una consecuencia del teorema del buen orden en ℕ. Otra consecuencia de este es el llamado principio de inducción. En la práctica funciona así: Queremos probar que a partir de un cierto número natural k (habitualmente el 0 o el 1), todos los naturales mayores o iguales que k satisfacen una cierta propiedad. La estrategia que seguimos es la siguiente: primero probamos que k satisface la propiedad; y después probamos que si n ≥ k la satisface, entonces n + 1 también la satisface. El principio de inducción garantiza, entonces, que cualquier n ≥ k satisface la propiedad. En efecto, sea A el conjunto de números naturales mayores o iguales que k que satisfacen la propiedad, y sea B = {n ∈ ℕ | n ≥ k}. Queremos probar que A = B. Como A ⊆ B, en caso contrario tendríamos que

∅ ≠ B − A = {b ∈ B | b ∉ A} ⊆ ℕ.

Por el teorema del buen orden en ℕ, sea n el menor elemento de B − A. Notar que n > k, pues k ∈ A (ya que k satisface la propiedad). Entonces n − 1 no está en B − A, pues n es el menor elemento de B − A. Así, n − 1 ≥ k satisface la propiedad y por hipótesis también la satisface

n = (n − 1) + 1.

Esta es la contradicción final.

Ejemplo 1.3 Probamos que

por inducción. Primero comprobamos que la igualdad es cierta para n = 1. Después suponemos que es cierta para n y la probamos para n + 1. Tenemos que

como queríamos probar.

El concepto fundamental en ℤ es la divisibilidad. Si a, b ∈ ℤ, con b ≠ 0, decimos que b divide a a si existe c ∈ ℤ tal que cb = a. A menudo se escribe b | a. En tal caso se dice que b es un divisor de a, y notamos que |c||b| = |a| (donde el valor absoluto |a| = a si a ≥ 0 y −a si a < 0). Si a ≠ 0, observamos que |b| ≤ |a|, por lo que concluimos que un entero a no cero solo tiene un número finito de divisores. Dados dos enteros n, m ∈ ℤ no cero, existe por tanto un mayor número natural 1 ≤ d que divide a ambos. Se dice que d es el máximo común divisor de n y m, y se escribe d = mcd(n, m). Si d = 1, entonces n y m se dice que son coprimos.

Ejercicio 1.5 Si a divide a b y a c, probar que a divide a b + c. Si a divide a b, entonces a divide a bz para todo z ∈ ℤ.

Teorema 1.13 (máximo comú divisor) Sean n, m ∈ ℤ no cero, y sea d = mcd(n, m).

(a) Entonces d es el menor elemento del conjunto

{un + vm | u, v ∈ ℤ, un + vm > 0}.

En particular, existen enteros u, v ∈ ℤ tales que d = un + vm.

(b) Si e divide a n y a m, entonces e divide a d.

Demostración. Consideramos el conjunto

A = {un + vm | u, v ∈ ℤ, un + vm > 0},

que claramente no es vacío. (Por ejemplo, si n > 0 y m < 0, n + m² ∈ A). Sea f = un + vm el menor elemento de A. Por el algoritmo de división, n = qf + r con 0 ≤ r < f. Entonces,

r = n − qf = n − q(un + vm) = (1 − qu)n + (−vq)m.

Como r < f, esto solo puede ser cierto si r = 0. Deducimos que f divide a n y, análogamente, a m. En particular, f ≤ d, por definición de d. Como n = n₁d, y m = m₁d, tenemos que 0 < f = un₁d + vm₁d = (un₁ + vm₁)d ≥ d, y concluimos que d = f.

Para la parte (b), si e divide a n y a m, por el ejercicio 1.1, concluimos que e divide a un + vm = d.

Los números primos son fundamentales en matemáticas. Un número natural p > 1 es primo si no se puede escribir como p = ab, con a, b > 1. Es decir, si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Observamos que si p es primo y n ∈ ℕ, entonces mcd(n, p) = 1 o p, pues mcd(n, p) es un divisor de p. Concluimos por tanto que o bien p divide a n o que p y n son coprimos.

Teorema 1.14 (Euclides) Sean n, m ∈ ℤ no cero.

(a) n y m son coprimos si y solo si existen u, v ∈ ℤ tales que un + vm = 1.

(b) Supongamos que n y m son coprimos. Si z ∈ ℤ, entonces n divide mz si y solo si n divide a z.

(c) Si p es primo, entonces p divide a nm si y solo si p divide a n o a m. En particular, si p divide a un producto de enteros n₁ … n_k, entonces p divide a algún ni.

Demostración. Si n y m son coprimos, ya sabemos que existen u, v ∈ ℤ tales que un + vm = 1, por el teorema 1.13 (a). Recíprocamente, si un + vm = 1, y d divide a n y a m, por el ejercicio 1.1, d divide a un + vm = 1, y esto completa el apartado (a).

En (b), supongamos que n divide a mz. Sabemos que 1 = un + vm para ciertos u, v ∈ ℤ, y que existe x ∈ ℤ tal que nx = mz. Ahora,

z = unz + vmz = unz + vnx = (uz + vx)n,

y deducimos que n divide a z. La otra implicación es obvia.

Para probar el apartado (c), si suponemos que p divide a nm y que p no divide a n, tenemos que mcd(p, n) = 1, y aplicamos el apartado (b). La segunda parte del apartado (c) se prueba fácilmente por inducción sobre k.

Teorema 1.15 (teorema fundamental de la aritmética) Si n > 1 es un entero, entonces n se escribe de forma única como

donde p₁ < … < p_k son primos, y a₁, …, a_k son números naturales no cero.

Demostración. Primero probamos la unicidad. Si son dos expresiones como las del teorema, tenemos que p₁ divide deducimos que p₁ divide a cierto q_i por el teorema 1.14 (c). Por tanto, p₁ = q_i, pues q_i es primo. Por el mismo argumento, tenemos que q₁ = p_j para cierto j. Entonces q_i = p₁ ≤ p_j = q₁, por lo que deducimos que i = 1 y p₁ = q₁. Utilizamos el mismo argumento para n/p₁.

Para probar que cada n > 1 se escribe como producto de primos utilizamos inducción. Si n es primo, ya está. En caso, contrario, n = ab con a, b < n. Por inducción, a y b son producto de primos, y por tanto también lo es n.

El conjunto de números racionales es

Suponemos que el lector está familiarizado con la suma y la multiplicación de números racionales, y sus propiedades más elementales. Por ejemplo, si y solo si ad = bc,

Es sencillo construir el conjunto de los números racionales a partir de los números enteros como clases de equivalencia. (En el problema 1.10, explicamos cómo hacer esta construcción).

En la segunda parte de este libro, cuando desarrollemos la teoría de Galois, trabajaremos con el conjunto de números reales ℝ y el de los complejos ℂ. La construcción rigurosa de ℝ es uno de los hitos de la matemática del siglo XIX, pero esta es materia de nuestros colegas los analistas. Apenas utilizaremos propiedades de los números reales, más que aquellas que están directamente asociadas a su suma, multiplicación (ℝ es un cuerpo) y a los polinomios. Por ejemplo, dado 0 ≤ a ∈ ℝ y 0 < n ∈ ℕ supondremos que existe un único número real 0 ≤ b ∈ ℝ tal que bⁿ = a. Este número b se escribe Un número real a ∈ ℝ es irracional si a ∉ ℚ. Como los ceros del polinomio xⁿ − 1 son fundamentales en teoría de Galois, un poco de trigonometría también será necesaria.

Recordamos que un entero n ∈ ℕ es un cuadrado si n = a² para cierto a ∈ N.

Teorema 1.16 Sean n, m ∈ ℕ no cero con mcd(n, m) = 1. Entonces si y solo si n y m son cuadrados.

Demostración. Suponemos que , y probamos que n y m son cuadrados. Por ejemplo, probamos que n es un cuadrado. Sea p un primo y supongamos que p^f es la mayor potencia de p que divide a n con f ≥ 1. Es suficiente con probar que f es par y luego utilizar el teorema fundamental de la aritmética. Por hipótesis, podemos escribir

donde a, b ∈ ℕ. Entonces

b²n = a²m.

Como n y m son coprimos, sabemos que p no divide a m. Por tanto, si p^e es la mayor potencia de p que divide a b, tenemos que es la mayor potencia de p que divide a a². Concluimos que 2e + f es par, y por tanto, también lo es f. Por el teorema fundamental de la aritmética, concluimos que n es un cuadrado. La implicación contraria es trivial.

Como decimos, en la segunda parte del libro estaremos interesados en polinomios y en sus ráıces. Por ejemplo, ¿cuáles son los ceros del polinomio x⁸ − 1? Para contestar, necesitamos trabajar con números complejos y una cierta trigonometría.

El cuerpo de los nú meros complejos ℂ se define formalmente como el conjunto ℝ² = {(a, b) | a, b ∈ ℝ} con la suma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y la multiplicación (a, b)(c, d) = (ac−bd, ad+bc). Si llamamos i = (0, 1), vemos que i² = (−1, 0). Si identificamos a con (a, 0), podemos escribir (a, b) = a+bi, que es la notación que vamos a utilizar. Así, por ejemplo, tenemos que ℝ ⊆ ℂ o que

Teorema 1.17 (fórmula de De Moivre) Si a ∈ ℝ y n ∈ ℕ, entonces

(cos(a) + sen(a)i)ⁿ = cos(na) + sen(na)i.

Demostración. Si suponemos las igualdades trigonométricas

cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)

y

sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β),

la fórmula de De Moivre es inmediata por inducción sobre n.

Con la fórmula de De Moivre, ya podemos calcular los ceros del polinomio xⁿ − 1: son los n números complejos ξ^k, donde

y 0 ≤ k ≤ n−1. Estos n números complejos son muy importantes y se denominan las ráıces n-ésimas de la unidad. Los podemos situar en la circunferencia de radio 1 al dividirla en n-ángulos iguales. Por ejemplo, las ráıces 4-ésimas de la unidad son {1, i, −1, −i}.

PROBLEMAS

1. Sean A, B, C conjuntos. Probar:

(i) Si A ∩ B = A ∩ C y A ∪ B = A ∪ C, entonces B = C.

(ii) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).

(iii) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C).

(iv) A − (A − B) = A ∩ B.

(v) (B ∪ C) − A = (B − A) ∪ (C − A).

(vi) (A − B) − C = (A − B) ∩ (A − C).

2. Sea f : X → Y una aplicación. Si A ⊆ X, se define f(A) = {f(a) | a ∈ A}. Si B ⊆ Y, se define f⁻¹(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}.

(i) Si A ⊆ X, probar que A ⊆ f⁻¹(f(A)).

(ii) Probar que f es injectiva si y solo si A = f⁻¹(f(A)) para todo A ⊆ X.

(iii) Si B ⊆ Y, probar que f(f⁻¹(B)) ⊆ B.

(iv) Probar que f es suprayectiva si y solo si f(f⁻¹(B)) = B para todo B ⊆ Y.

3. Sea f : X → Y una aplicación. Si A y B son subconjuntos de X, probar que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) y f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B). Probar que f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) para todos los subconjuntos A, B ⊆ X si y solo si f es inyectiva.

4. Una aplicación f : X → Y es invertible izquierda si existe g : Y → X tal que g ∘ f = 1_X. Se dice que f es invertible derecha si existe g : Y → X tal que f ∘ g = 1_Y. Probar que f es inyectiva si y solo si f es invertible a izquierda. Probar que f es suprayectiva si y solo si f es invertible a derecha.

(Nota: Para probar que si f es suprayectiva entonces f tiene inversa a derecha necesitamos el llamado axioma de elección. El axioma de elección afirma que si X es un conjunto cuyos elementos son conjuntos no vacíos, entonces es posible elegir un elemento de cada uno de esos conjuntos. Esto que parece algo obvio, no lo es. Por ejemplo, el axioma de elección es equivalente al teorema del buen orden que establece que cualquier conjunto posee una relación de orden tal que todo subconjunto no vacío tiene menor elemento. También es equivalente al llamado lema de Zorn, una de cuyas aplicaciones es que todo espacio vectorial tiene base. Nadie ha encontrado jamás explícitamente un buen orden en ℝ. En definitiva, todo matemático debe plantearse alguna vez si acepta el axioma de elección o no. Nuestro consejo es aceptarlo y seguir adelante).

5. Sean A y B conjuntos. Probar que existe f : A → B inyectiva si y solo si existe g : B → A suprayectiva.

(Ayuda: Aplicar el problema 1.4).

6. Sea f : A → B una aplicación. Probar:

(i) f es inyectiva si y solo si para todo par de aplicaciones h, g : X → A tales que f ∘ g = f ∘ h, entonces g = h.

(ii) f es suprajectiva si y solo si para todo par de aplicaciones h, g : B → X tales que g ∘ f = h ∘ f, entonces g = h.

7. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones biyectivas. Probar que

(g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹.

(Nota: A veces este se denomina el Dressing-Undressing Principle, pues nos desvestimos en orden opuesto al que nos vestimos).

8. Sean f : A → B y g : C → D aplicaciones. Se define la aplicación producto f × g : A × C → B × D como (f × g)((x, y)) = (f(x), g(y)). Estudiar cuándo f × g es inyectiva o suprayectiva en función de f y de g.

9. Para cada una de las siguientes relaciones sobre ℤ probar si son relaciones de equivalencia y en caso afirmativo, describir las clases de equivalencia.

(i) R = {(x, y) ∈ ℤ² | x + y < 3}.

(ii) R = {(x, y) ∈ ℤ² | x + y es par}.

(iii) R = {(x, y) ∈ ℤ² | x = y o x = −y}.

(iv) R = {(x, y) ∈ ℤ² | y = x + 1}.

10. En el conjunto ℤ × ℤ^×, donde ℤ^× = ℤ − {0}, decimos que (a, b) y (c, d) están relacionados si ad = bc. Probar que esta relación es de equivalencia.

(Nota: Los números racionales se definen como las clases de equivalencia de esta relación).

11. Sea n > 0 un entero. Definimos la siguiente relación en ℤ. Decimos que a, b ∈ ℤ están relacionados si n divide a a − b. Probar que esta relación es de equivalencia y que la clase de equivalencia de a es

a + nℤ = {a + nz | z ∈ ℤ}.

12. Probar que las siguientes aplicaciones son biyectivas:

(i) f : ℕ^× → P = {2, 4, 6, …} y g : ℕ^× → I = {1, 3, 5, …} dadas por f(n) = 2n y g(n) = 2n − 1. Concluir que el conjunto de números pares e impares positivos son numerables.

(ii) Si m ∈ ℕ^×, la aplicación f : ℕ^× → {n ∈ ℕ^× | n > m} dada por f(n) = n + m.

(iii) f : ℕ^× → ℤ dada por f(n) = n/2 si n es par, y f(n) = (1 − n)/2 si n es impar. Concluir que ℤ es numerable.

(iv) f : ℕ^× × ℕ^× → ℕ^× dada por f(n, m) = 2ⁿ⁻¹(2m − 1).

13. Si f : A → B es suprayectiva y A es numerable, entonces B es finito o numerable.

(Nota: Se pueden aplicar el problema 1.5 y el corolario 1.11. También podemos construir g : B → A inyectiva utilizando el teorema del buen orden en ℕ. Como A es numerable, entonces A está bien ordenado. Si b ∈ B, sea a el menor elemento de f⁻¹({b}) y podemos definir g(b) = a).

14. Sea A un conjunto numerable y sea B un conjunto. Probar las siguientes propiedades.

(i) Si B es finito, entonces A − B es numerable.

(ii) Si B es finito, entonces A ∪ B es numerable.

(iii) Si B es numerable, entonces A ∪ B es numerable. Concluir por inducción que la unión de un número finito de conjuntos numerables es numerable.

(iv) Si B es numerable, entonces A × B es numerable. Concluir por inducción que el producto cartesiano de un número finito de conjuntos numerables es numerable.

(Ayuda: Para (i), utilizar el teorema 1.10. Para (ii), podemos suponer por (i) que A ∩ B = ∅. Si B tiene m elementos, sabemos por el problema 1.12 (ii) que existe f : {n ∈ ℕ^× | n > m} → A biyectiva. Para (iii), por el mismo problema existen f : P → A y g : I → B biyectivas. Aplicar el problema 1.13. Para (iv), aplicar el problema 1.12 (iv)).

15. Probar que ℚ es numerable, utilizando que f : ℤ × ℤ^× → ℚ, definida por f(n, m) = n/m, es suprayectiva.

16. Si A_n es finito o numerable para todo n ∈ ℕ^×, probar que

es finito o numerable.

(Ayuda: Por hipótesis, existe f_n : ℕ^× → A_n suprayectiva. Definimos

dada por f(n, m) = f_n(m). Probar que f es suprayectiva).

17. Sea ℚ[x] el conjunto de los polinomios con coeficientes en ℚ.

(i) Probar que ℚ[x] es numerable.

(ii) Un número complejo α es algebraico sobre ℚ si existe un polinomio 0 ≠ f con coeficientes en ℚ, tal que f(α) = 0. Utilizando que todo polinomio f de grado n tiene (como mucho) n ráıces complejas, probar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

(Ayuda: Para (i), agrupar los polinomios según grado y aplicar los problemas 1.16 y 1.14 (iv). Para (ii), volver a aplicar el problema 1.16).

18. Comprobar el siguiente argumento de D. Keyt para probar que ℝ no es numerable. Definimos una aplicación inyectiva f : P (ℕ) → [0, 1/9] de la manera siguiente. Si S ⊆ ℕ, entonces f(S) es el número real 0.a₀a₁a₂ … a_n …, donde a_n = 0 si n ∉ S, y a_n = 1 si n ∈ S. Por ejemplo, f(∅) = 0, f(N) = 0.11111 … = 1/9, f({0, 1, 3, 5}) = 0.110101, etc.

Utilizando los teoremas 1.8 y el problema 1.10, probar que [0, 1/9] no es numerable. Deducir que ℝ no es numerable.

19. Probar por inducción que

1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².

20. Definimos 0! = 1 y n! = 1 · 2 … (n − 1) · n para n > 0. Si 0 ≤ a ≤ n, definimos

Si 1 ≤ a < n, probar que

Deducir que

21. Probar que el producto de k naturales consecutivos es divisible por k!

22. (Binomio de Newton) Si a, b ∈ ℤ y n > 0, entonces

23. Sea p un primo, y sea 1 ≤ k < p. Probar que p divide a .

(Ayuda: Sabemos que p divide a , pero p no puede dividir a (p − k)!k!).

24. Probar las siguientes afirmaciones:

(i) Si n es impar, entonces n² − 1 es divisible por 8.

(ii) Si a ≠ 0 es un entero, entonces a divide a (1 + a)ⁿ − 1.

(iii) Si n es cualquier entero, entonces 4 no divide a n² + 2.

25. Si a, b, c son enteros no cero y mcd(a, c) = 1, probar que mcd(a, b) = mcd(a, bc).

26. Recordar que si a ∈ ℝ − ℚ, entonces a se dice irracional.

(i) Sean a ∈ ℚ y b ∈ ℝ irracional. Probar que a + b es irracional. Si a ≠ 0, probar que ab es irracional.

(ii) Si n ∈ ℕ, probar que es irracional.

(iii) Probar que es irracional.

(iv) Probar que no se puede escribir de la forma , donde r, s ∈ ℚ.

27. Comprobar que existen números irracionales a, b ∈ ℝ tales que a^b es racional.

(Ayuda: Si no es racional, volver a elevar a ).

28. Si z = a + bi, entonces el conjugado complejo de z es = a − bi. El módulo de z es , probar lo siguiente:

(i) z₁z₂ = z₂z₁.

(ii) z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃.

(iii) z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃.

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

(ix)

29. Hallar las ráıces 8-ésimas de la unidad.