Читать книгу Искусственный разум. Параллельная специализированная гибридная машина. Метод точного мгновенного решения NP задачи - Геннадий Васильевич Степанов - Страница 4
Задача о назначениях
ОглавлениеВведение
Задача о назначениях – одна из фундаментальных задач комбинаторной оптимизации. Задача состоит в поиске минимальной суммы дуг во взвешенном двудольном графе.
В наиболее общей форме задача формулируется следующим образом:
Имеется некоторое число работ и некоторое число исполнителей. Любой исполнитель может быть назначен на выполнение любой одной работы, но с неодинаковыми затратами. Нужно распределить работы так чтобы выполнить работы с минимальными затратами.
В настоящее время неизвестен эффективный точный метод решения задачи о назначениях.
Постановка задачи
Для задачи о назначениях даны два множества А и Т одного размера и задана функция стоимости
С: А × Т → R
Необходимо найти биекцию ƒ: А → Т такую, что целевая функция
Метод решения задачи о назначениях
Определяется в качестве числа угадывания (Nуг) определённое числа исполнителей и подмножеств исполнителей различной мощностью.
Первоначально осуществляется объединение исполнителей по два и упорядочение по затратам подмножеств исполнителей. В дальнейшем проводиться поэтапное объединение исполнителей в конечные подмножества исполнителей, с увеличением мощности подмножества с упорядочением этих подмножеств по возрастанию затрат, до получения подмножества исполнителей мощностью m, где
m = (М+1)/2 для нечётной мощности множества исполнителей (M) и
m = M/2+1 для M чётных.
Осуществляется итерационное угадывание количества этих подмножеств с различной мощностью.
В результате поиска, согласно данного метода путём увеличения значения Nуг, после получении первого подмножества с мощностью М процесс поиска заканчивается.
Индикатором нахождения оптимального решения является само появление первого подмножества исполнителей мощностью М.
Для данного метода существует зависимость, согласно закономерности, присущей задачам комбинаторной оптимизации, которая является объективной.
В общем виде её можно представить в виде положительного градиента со сдвигом относительно начала координат.
Рис. 4.15. Выявленная зависимость между Ки и Nm.
Где Ки – количество подмножеств исполнителей для всех работ, Nm – количество подмножеств исполнителей а Nуг – количество угаданных подмножеств исполнителей.
Алгоритм решения задачи о назначениях
Шаг 1) Определяем в качестве числа угадывания (Nуг) определённое числа исполнителей и подмножеств исполнителей различной мощностью.
Шаг 2) Производится сортировка и запоминание исполнителей в соответствии с их затратами.
Шаг 3) Выбирается значение Nуг, и запоминается…
Шаг 4) Выбирается множество исполнителей с мощностью согласно Nуг с соответствующими им наилучшими затратами.
Шаг 5) Производится объединения исполнителей в подмножества исполнителей по два и запоминание этих подмножеств исполнителей, с учётом их затрат.
Шаг 6) Осуществляется сортировка и запоминание подмножеств исполнителей по два с соответствующими им наименьшими затратами.
Шаг 7) Выбирается множество подмножеств исполнителей по два с мощностью согласно Nуг с соответствующими им наименьшими затратами
Шаг 8) Производится объединения исполнителей по два в подмножества исполнителей по три и запоминание этих подмножеств с их наименьшими затратами.
Рис.4.16. Объединение исполнителей по 3.
Данная процедура объединения подмножеств исполнителей меньшей мощности в подмножества исполнителей большей мощности, по различным правилам, должна повторятся до получения подмножеств исполнителей с числом исполнителей m = (М+1) /2 для М нечётных и с числом исполнителей m = M/2+1 для M чётных (пример объединения исполнителей в подмножество показан на рис.4.17.), где М является мощностью множества исполнителей.
Рис. 4.17. Пример объединения исполнителей в подмножество.
После каждого объединения, производится сортировка подмножеств исполнителей большей мощности в соответствии с их наименьшими затратами и запоминание этих подмножеств исполнителей большей мощности с их затратами, а затем выбор подмножеств исполнителей большей мощности с их наименьшими затратами согласно Nуг. Если множество подмножеств исполнителей большей мощности в результате объединения на каком-то этапе данного объединения будет пусто то увеличиваем Nуг
