Читать книгу Ингенциальная математика. Монография - Ибратжон Хатамович Алиев - Страница 3

Глава 1. Понятие числа

Перед тем начать само исследование, важно остановится на нескольких основных понятиях и первым из них, конечно же является само «число». Число – это одно из основных понятий в математике, которое используется для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Для их обозначения используются цифры, а также символы различных математических операций. Сами числа возникли в первобытном обществе из необходимости к счёту, но с развитием науки значение этого термина конечно же расширилось.

Останавливаясь на этом понятии, нельзя не остановиться на основных множествах чисел, которые активно применяются в счёте и проведении различных операций, но в последующих главах некоторые из этих множеств будут рассмотрены уже более подробно со всеми свойствами.

Первым множеством является множество натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте, обозначаясь через N. При этом натуральные числа являются замкнутыми относительно сложения и умножения. А сложение и умножение натуральных чисел коммутативно и ассоциативно, также умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Второй множество – множество целых чисел состоит из чисел получаемые при объединении множества натуральных чисел с множеством чисел противоположных натуральным и нулём, обозначаются как Z. Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения. Также это множество является кольцом.

Третье множество – множество рациональных чисел, обозначаемых через Q, представляют собой числа, представимые в виде дроби m/n, где числитель – целое число, а знаменатель – натуральное. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль, эта операция уже принадлежит ингенциальному множеству); такое множестве или точнее алгебраическая структура является полем.

Четвёртое множество – действительные или вещественные числа, обозначаемые через R, это числа, представляющий собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначаются через R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, это множество также включает в себя множество иррациональных чисел I, не представимых в виде отношения целых.

И наконец, одно из самых известных на сегодня множеств, пятое множество – комплексное множество C, состоящее из чисел, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть представлены через вещественную и комплексные части, с участием мнимой единицы, которая в чётных степенях даёт -1. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число – действительным алгебраическим. Более общими классами чисел, чем алгебраические, являются периоды – числа, выражающие объём в n-мерном пространстве, вычислимые – число выводимое при помощи заданного алгоритма с сколь угодной точностью и арифметические числа – множество натуральных чисел, определяющиеся формулой первой степени.

Но перед тем, как будет совершён переход на следующий этап, важно несколько остановится на некотором из данных множеств.

Углубляясь в историю древних цивилизаций, можно сделать вывод что с древних времен люди ввели систему счета. В первобытные времена как можно догадаться уровень развитости людей на планете был на низшем уровне, несмотря на это они учились выживать в те суровые времена, учились охотиться, добывать еду. По древним рисункам на скалах, которые археологи находят посей день, можно сделать вывод, что система счета была неприемлемой частью жизни того народа.

Они считали: сколько (добычи) было собранно, сколько можно сегодня израсходовать, а сколько оставить до конца следующей охоты. Следовательно, множество натуральных чисел – это числа, используемые при счете. Обозначение их, как и было указано – N, и входят в это множество числа от {1,2,3,4… до бесконечности}. Множество натуральных чисел занимает первый ряд среди всех множеств чисел. Над натуральными числами можно проводить несколько арифметических операций:

Сложение (1.1):

Умножение (1.2):

Вычитание (1.3):

При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или ноль, то есть число уже не будет принадлежать множеству натуральных чисел;

Деление (1.4):

Деление с остатком (1.5):

При этом сложение и умножение коммутативны и ассоциативны. А умножение дистрибутивно на сложении и вычитании.

Также можно перечислить и некоторые алгебраические операции:

Возведение в степень (1.6):

Также важно знать, что натуральные числа пишутся в ряд по возростанию.1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д. Наименьшее натурально число – единица (1).

Класс – группа из трех цифр, на который разбито число, начиная справа. Последний класс может состоять из трех, двух или одной цифры. Первый класс – класс единиц; второй класс – класс тысяч; третий класс – класс миллионов; четвертый класс – класс миллиардов; пятый класс – класс триллионов; шестой класс – класс квадрильонов (квадриллионов); седьмой класс – класс квинтильонов (квинтиллионов); восьмой класс – класс секстильонов; девятый класс – класс септильонов и т.д.

Также имеют место числа вида:

1)      Четные числа – это те числа, которые оканчиваются цифрами 0; 2; 4; 6; 8, то есть числа, которые делятся на 2 без остатка;

2)      Нечетные числа – это те числа, которые оканчиваются цифрами 1; 3; 5; 7; 9 – числа не кратные 2.

Также по своей разновидности они делятся на 2 вида:

1)      Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

2)      Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, является либо простым, либо составным.

Целые числа – это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль.  Множество целых чисел обозначается буквой Z. Множество натуральных чисел входит в множество целых чисел, то есть является его подмножеством. Целые числа лежат на промежутке: (-∞; 0), то есть например: числа -1, -18, 0 – являются целыми. Над целыми числами можно проводить несколько алгебраических операций:

1)   Сложение. Для того, чтобы сложить два целых числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак большего по модулю числа.

2)   Вычитание. Вычитание целых чисел сводится к сложению уменьшаемого и числа, противоположному вычитаемому.

3)   Умножение. Для того, чтобы перемножить два целых числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс, если исходные числа были одного знака, и минус – если разного.

4)   Деление. Для того, чтобы разделить одно целое число на другое, нужно разделить модуль первого числа на модуль второго и поставить перед частным знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковые, и минус, – если разные.

Целые числа делятся на 2 вида: положительные и отрицательные. Положительные целые числа – это целые числа больше нуля. Например, число 67 – целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число большее нуля. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0. Другие примеры положительных целых чисел: 76,509, 87, 33, 12, 657.

Отрицательные целые числа – это целые числа меньшие нуля. Примеры целых отрицательных чисел: —987, —234, —1. Но стоит отметить, что само число (0) является не отрицательным и не положительным.

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число. Таким образом мы выяснили что (1.7).

Рациональные числа – числа представимые в виде дроби k/m, где m≠ 0 и k – целое число, а m – натуральное число. Над рациональными числами можно проводить арифметические действия такие как: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Обозначаются множество рациональных чисел буквой Q. Исходя из вышеперечисленных множеств можно сделать вывод что множество рациональных чисел охватывает два множества: натуральные и целые, то есть (1.8).