Читать книгу Все науки. №3, 2023. Международный научный журнал - Ибратжон Хатамович Алиев - Страница 4

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГИПОТЕЗЫ КОЛЛАТЦА В ЛИЦЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ФЕНОМЕНА

Алиев Ибратжон Хатамович

Студент 2 курса факультета математики-информатики Ферганского государственного университета

Ферганский государственный университет, Фергана, Узбекистан

Аннотация. Когда об этой задаче рассказывают молодым математикам – их сразу предупреждают, что не стоит браться за её решение, ибо это кажется невозможным. Простую на вид гипотезу не смогли доказать лучшие умы человечества. Для сравнения, знаменитый математик Пол Эрдеш сказал: «Математика ещё не созрела для таких вопросов». Однако, стоит подробнее изучить данную гипотезу, что и исследуется в настоящей работе.

Ключевые слова: гипотеза Коллатца, числа-градины, ряды, алгоритм, последовательности, доказательства.

Annotation. When young mathematicians are told about this problem, they are immediately warned that it is not worth taking up its solution, because it seems impossible. A simple-looking hypothesis could not be proved by the best minds of mankind. For comparison, the famous mathematician Paul Erdos said: «Mathematics is not yet ripe for such questions.» However, it is worth studying this hypothesis in more detail, which is investigated in this paper.

Keywords: Collatz hypothesis, hailstone numbers, series, algorithm, sequences, proofs.

Вкратце её суть состоит в следующем. Выбирается некоторое число и если оно не чётное умножается на 3 и прибавляется 1, если оно чётное, то делиться на 2.

Можно привести алгоритм данного ряда для числа 7:

7 – 22 – 11 – 34 – 17 – 52 – 26 – 13 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Далее получается цикл:

1 – 4 – 2 – 1 и т. д.

Из этого вытекает гипотеза о том, что если взять любое положительное целое число, если следовать алгоритму обязательно попадает в цикл 4, 2, 1. Гипотеза называется именем Лотара Коллатца, который как считается пришёл к этой гипотезе в 30 годах прошлого века, но у этой задачи много имён, она также известна как гипотеза Улама, теорема Какутани, гипотеза Тойца, алгоритм Хасса, Сиказузская последовательность или просто как «3n+1».

Как эта гипотеза обрела такую славу? Стоит отметить, что в профессиональной среде слава такой гипотезы весьма дурная, поэтому сам факт того, что кто-либо работает над этой гипотезой, может привести к тому, что этот исследователь будет наречён сумасшедшим или незнающим.

Сами числа, которые получаются, при этом преобразовании называются числами градинами, поскольку, подобно граду в облаках числа то опускаются, то поднимаются, но рано или поздно, все падают до единицы, по крайней мере так считается. Для удобства, можно сделать аналогию, что значения, вводимые в этот алгоритм, являются высотой над уровнем моря. Так, если взять число 26, то оно сначала резко уменьшиться, потом поднимается до 40, после чего за 10 шагов понижается до 1. Тут можно привести ряд для 26:

26 – 13 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Однако, если взять соседнее число 27, оно будет скакать по самым разным высотам, добравшись до отметки в 9 232, что, продолжая аналогию, выше горы Эверест, но даже этому числу суждено рухнуть на Землю, правда ему потребуется уже 111 шагов, чтобы дойти до 1 и застрять в этой же петле. Таким же интересными числами могут быть числа 31, 41, 47, 54, 55, 62, 63, 71, 73, 82 и др. Можно для сравнения проанализировать таблицу (Табл. 1) и график (Рис. 1) для этих интересных чисел.

Табл. 1. Ряд длинных чисел для интересных значений чисел-гранул (первая строка – исходное значение)

Рис. 1. График значений для интересных чисел-гранул алгоритма

Когда путь одного числа настолько сильно отличается даже от соседнего, как вообще подступиться к доказательству подобной гипотезы? Разумеется, все математики были в растерянности и абсолютно никто не мог решить эту задачу. Так Джефри Лагариас – мировой эксперт по этой проблеме, и он говорил, что никому не стоит браться за эту проблему, если он хочет стать математиком. Была проведена масштабная работа и изучено огромное количество чисел-градин, стараясь найти закономерность. Здесь можно утверждать, что все значения приходят к единице, однако, что можно сказать о пути, который совершают все числа? Интересно то, что этот путь абсолютно случаен.

Для примера можно привести график всех значений данного алгоритма от 1 до 100 (Рис. 2).

Рис. 2. График значений для чисел-гранул от 1 до 100

Как можно увидеть, чаще всего изначально начинается рост и после резкий спад, при этом значение числа просто не рассмотреть, однако, если сделать график логарифмическим, в его колебаниях прослеживается нисходящий тренд. Его также можно наблюдать на рынке акций в день обвала, что не случайно, ибо это примеры геометрического броуновского движения, то есть, если взять логарифмы и вычислить линейную компоненту, колебания кажутся случайными, как если бы на каждом шаге бросали монетку. И если рассматривать данный анализ функции, как часть математического анализа, то тут начинает прослеживаться явная связь с теорией вероятности. Откуда получается, что когда получается орёл – линия идёт вверх, а когда решка – вниз, откуда и получается особый график.

Если же рассматривать данный график при сопоставлении с той же биржей, то это скорее в краткосрочном анализе, хотя в долгосрочной перспективе, акции всё же растут, а «3x+1» падает. Ещё можно обратить внимание на старший разряд чисел градиент – это означает гистограмму, который получается, подсчитать количество цифр, с которых начинаются числа в ряде гранул для того или иного числа алгоритма. Если каждый раз добавлять эти значения, для 1, 2, 3 и т.д., получается всё больше и больше данных, при этом соотношение высоты столбиков становиться всё более упорядоченным.

Так для первого миллиарда последовательностей самым частым значением оказывается единица, 29,94% всех случаев, 2 – 17,47%, 3 – 12,09%, 4 – 10,63%, 5 – 7,94%, 6 – 6,16%, 7 – 5,76%, 8 – 5,31%, 9 – 4,7% и чем цифра больше, тем реже она оказывается впереди.

Подобный расклад характерен не только для чисел-градин, примером много, это и население стран, и стоимость компаний, все физические константы или числа Фибоначчи, и много чего ещё. Этот закон называется законом Бенфорда. Удивительно, но если проследить в налоговых декларациях нарушение закона Бенфорда, можно даже определить факт мошенничества. Этот закон также помогает определить аномалии при подсчёте голосов на выборах или многом другом.

Самое лучшее действие этого закона происходит тогда, когда числа, вводимые в нём, имеют разброс в несколько порядков, как в данном случае, но закон Бенфорда, к сожалению, не может сказать, все ли числа попадают в конце в цикл 4-2-1. Для этого нужно использовать другой метод. Изначально странно, что этот алгоритм приводит все числа к 1, учитывая, что чётных и не чётных чисел поровну и не чётные возрастают более чем в 3 раза, а чётные уменьшаются в 2 раза.

Тут напрашивается вывод о том, что все последовательности по идее должны идти вверх, а не вниз. Но стоит обратить внимание и на то, что всегда, когда производиться операция с не чётным числом, то есть, когда его умножают на 3 и прибавляют 1, оно обязательно превращается в чётное, следовательно, следующим шагом он всегда будет делиться на 2. Получается, что не чётные числа не утраиваются, а умножаются на (3x+1) /2 или точнее на 1,5, ибо 0,5 для больших чисел можно игнорировать. Значит максимальный рост из этого составляет именно 1,5.

Ранее уже был приведён график для всех чисел от 1 до 100, но стоит рассмотреть небольшой случай для всех не чётных чисел. Как известно, во втором шаге они превращаются в чётные значения, а затем ровно половина из них сразу приведён, после деления опять же к не чётному. Но каждое 4 число, придётся делить на 2 дважды, значит, уже эти не чётные числа это ¾ от предыдущего. Каждое 8-е число придётся делить на 2 трижды, чтобы получить не чётное. Каждое 16 четырежды и т. д.

Так взяв, среднее геометрическое, можно увидеть, что для того, чтобы добрать от одного не чётного числа до другого через все чётные числа, нужно умножить его на ¾, что меньше единицы, отсюда и получается, что статистически, эта последовательность уменьшается чаще, чем растёт.

Приведём пример для большого числа, к примеру 341. Его ряд выглядит следующим образом:

341 – 1024 – 512 – 256 – 128 – 64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1.

У него было только одно не чётное и все чётные числа, чем этот ряд и примечателен. Однако, можно их изображать, как в виде графиков, так и в виде деревьев, показывая, как одно из чисел связано с последующим в своей последовательности, создавая граф.

И если гипотеза верна, значит любое число должно оказаться в этом огромном графе, состоящее в бесконечном количестве «ручейков» образуя в одном потоке цикла 4-2-1. Существует интересная визуализация такого графа, в котором используется алгоритм того, что на не чётных числах, он поворачивается на выбранный угол по часовой стрелки, а на чётных – против часовой стрелки.

В итоге получается интересная изогнутая, чаще в одну сторону структура. Напоминающая коралл, водоросли или дерево на ветру. Но это лишь на малое количество чисел, для огромных массивов, меняя углы поворота можно создавать огромные и ослепительно красивые фигуры, словно порождённые природой.

Гипотеза кажется не верной только в 2 случаях:

1. Если будет найдено число, которое в алгоритме даст бесконечность, то есть на него по неизвестной причине эта «сила притяжения» к 4-2-1 не должно будет действовать;

2. Где-то есть последовательность, которое бы образовало собственный замкнутый цикл, и все числа в нём должны оказаться вне основного графа.

Однако, ни один из этих вариантов пока не найден, хотя уже простым перебором проверены все числа до 2 в 68 степени, что равняется 295 147 905 179 352 825 856 чисел. Точно известно, что все числа из этих значений приходят к циклу 4-2-1. Более того, на основе этих данных рассчитано, что даже если и существует такой особый цикл данных, он должен состоять как минимум из 186 миллиардов чисел. И получается, что все работы указывают на то, что гипотеза верна, но всё ещё не доказывает.

Избирался и другой путь. Был построен график рассеивания, взяв на одной оси сами числа, а на другой значения. Если можно доказать, что в любой последовательности алгоритма есть число меньшее исходного, можно подтвердить гипотезу Коллатца. Но любое исходное числа приведён к числу поменьше, которое по своей же последовательности приведёт к числу ещё меньше и т.д., вплоть до 1.

То есть единственный возможных исход для этого частного случая – это цикл 4-2-1, но доказать это до сих пор не удалось.

Хотя в 1976 году Рихо Террас показал, что почти все последовательности включают в себя значения ниже исходного. В 1979 году показали, что значения будут меньше исходных на эти значения, возведённые в степень 0,869. Позднее, в 1994 году, степень стала точнее – 0,7925. Здесь почти все числа означают, что при стремлении исходных значений к бесконечности, доля ограничивающей функции стремиться к 1. В 2019 же году, математик Терри Тао смог доказать, что этот алгоритм подчиняется ещё более строгим ограничениям.

Ему удалось показать, что все числа будут меньше, чем значения функции в любой точке, при условии, что предел функции, при стремлении переменной к бесконечности будет равна бесконечности. При этом функция может расти сколь угодно медленно, тот же логарифм, или логарифм логарифма, или логарифм логарифма-логарифма и т. д. Это позволяет утверждать, что сколь угодно малые числа есть в ряде любого исходного числа. И как было сказано в 2020 году, лучше этого может быть только прямое доказательство гипотезы.

Использованная литература

1. Хэйес, Брайан. Вздёты и падения чисел-градин. American. – 1984. – №3. – С. 102—107.

2. Стюарт, Иэн. Величайшие математические задачи. – М.: Альпина нон-фикшн, 2015. – 460 с.

3. Jeff Lagarias. The 3x+1 and its generalizations. American Mathematical Monthly. – 1985. – Vol. 92. – P. 3—23.

Все науки. №3, 2023. Международный научный журнал

Подняться наверх