Читать книгу Фотонно-стимулированные технологические процессы микро- и нанотехнологии - Игорь Житяев - Страница 2

1.1. Оптические свойства полупроводниковой структуры

Как известно, излучение, падающее на поверхность пластины, частично отражается, поглощается и может также пропускаться. Поэтому справедливо выражение для плотности потока излучения

где Р_R, P_A, P_T – части плотности мощности потока облучения отраженного, поглощенного и пройденного сквозь пластину соответственно.

Первое слагаемое в правой части определяется коэффициентом отражения R_S, второе и третье – коэффициентом поглощения и толщиной пластины.

Проникновение излучения в глубину твёрдого тела описывается законом Бугера – Ламберта

где α – коэффициент поглощения, x – координата по глубине. Тогда часть излучения, поглощенная пластиной толщиной d_S, без учёта внутренних отражений будет равна

а выражение для плотности потока, прошедшего сквозь пластину, имеет вид

Уменьшение интенсивности фотонного излучения, проходящего через твёрдое тело, происходит за счёт взаимодействия с поглощающими центрами. Важнейшей оптической характеристикой облучаемой структуры является коэффициент поглощения.

В силу зависимости последнего от многих факторов (таких, как тип материала, концентрация легирующих примесей, дефектность структуры, температура, а также длина волны излучения) для адекватного моделирования рассматриваемых процессов необходим детальный анализ механизмов поглощения.

Полный коэффициент поглощения α равен сумме коэффициентов поглощения различными центрами:

В полупроводниках различают пять основных типов оптического поглощения:

– собственное;

– поглощение на свободных носителях;

– поглощение на локализованных состояниях;

– экситонное;

– решеточное [11, 12].

Световая волна, попадая в проводящую среду, воздействует на подвижные носители заряда. Электроны, ускоряясь, увеличивают свою энергию за счёт энергии волны. Сталкиваясь с решеткой, они отдают свою энергию решетке. Спектральная зависимость коэффициента поглощения свободными носителями заряда имеет вид

где е – заряд электрона; n, μ, m_ef – концентрация, подвижность и эффективная масса носителей заряда соответственно; с – скорость света в вакууме; ε₀ – диэлектрическая постоянная; – показатель преломления; λ – длина волны.

Если энергия фотонов больше ширины запрещённой зоны, то имеет место собственное поглощение, при котором электрон из валентной зоны может переходить в зону проводимости. При этом различают прямые и непрямые переходы электронов. В последних, характерных для кремния, наряду с фотоном и электроном участвует третья частица – фонон. Выражения для коэффициента собственного поглощения имеют вид

где hν – энергия фотона; E_g – ширина запрещенной зоны; E_P – энергия фонона; А – константа [11, 13].

Фотон может также поглощаться электроном или дыркой, находящейся в локализованном состоянии. При этом заряженная частица переходит либо в свободное, либо в другое локализованное состояние.

Локализованные состояния могут иметь различную физическую природу: атомы примеси в узлах или междоузлиях, вакансии и др. Поэтому в общем случае достаточно трудно получить выражение для коэффициента поглощения данного вида. Однако если локализованные состояния имеют водородоподобный спектр, то к ним можно применить теорию излучения (поглощения) атома водорода.

Тогда выражение для коэффициента поглощения на локализованных состояниях можно записать как

где N_L, E_I – концентрация и энергия ионизации рассеивающего центра; В – константа [11].

Входящие в (6-10) параметры E_g, n, μ сами являются функциями многих переменных. В частности, ширина запрещенной зоны Е_g с ростом температуры и концентрации примеси уменьшается. Наибольшее влияние E_g на α проявляется в диапазоне температур 600-750 К из-за смещения края собственного поглощения в коротковолновую область.

Известная зависимость (11) для кремния не учитывает влияние дефектности и термохимических напряжений, однако они могут быть учтены с помощью коэффициента поглощения в локализованных состояниях [14].

Концентрация свободных носителей заряда будет равна сумме собственной концентрации носителей n_i, носителей, образованных ионизированными атомами примеси N_I, и за счёт генерации неравновесных электронно-дырочных пар n_g, поэтому справедливо будет выражение

Первое слагаемое в правой части определяется выражением [15]

Как видно, n_i существенно зависит от температуры, что влечёт за собой высокую чувствительность α к температуре.

Концентрация ионизированных атомов примеси, определяемая коэффициентом активации, может изменяться в процессе лазерного нагрева, если происходит облучение ионно-легированных слоёв. Скорость же генерации неравновесных электронно-дырочных пар может быть найдена из выражения

где t_p – длительность воздействия импульса излучения [16, 17].

Подвижность носителей заряда в кремнии определяется в основном рассеянием на акустических фононах и на ионизированных примесях и может быть выражена следующей зависимостью, например, для дырок [18]:

На рис. 2 показаны спектральные зависимости коэффициента поглощения для различных температур (а) и концентраций примеси в подложке (б). Видно, что в диапазоне температур использования лазерной обработки α изменяется на 4-5 порядков. Введение примеси также существенно увеличивает α. Совпадение расчётных и известных экспериментальных значений α свидетельствует о его удовлетворительной интерпретации в широком температурном и спектральном диапазонах.

Поглощение фотонного излучения плёнками металлов (например, Mo, Al) удовлетворительно описывается одной из составляющих коэффициента α – поглощением на свободных носителях (α_fc), так как даже при низких температурах их концентрация велика.

Для диэлектрических слоёв коэффициент α определяется в основном собственным поглощением на локализованных состояниях, поэтому для этого случая может быть использовано выражение (12) при соответствующих подстановках входных параметров коэффициентов. Кроме того, при облучении слоистых структур имеют место интерференционные эффекты. В наибольшей степени они проявляются при использовании монохроматических источников излучения.

Второй важной оптической характеристикой облучаемой структуры является коэффициент отражения, также зависящий от многих параметров:

где χ – показатель поглощения, связанный с коэффициентом поглощения соотношением χ = αλ / 4π [11, 13]. Как видно, коэффициент отражения является функцией коэффициента поглощения.

Рис. 2. Спектральная зависимость коэффициента поглощения кремния: а – при различной температуре отжига (1 – Т = 300 К; 2 – Т = 500 К; 3 – Т = 1000 К); б – при различной концентрации примеси (1 – N_a = 10¹⁶ см^-3; 2 – N_a = 10¹⁷ см^-3; 3 – N_a = 10¹⁸ см^-3)

Все рассмотренные выше зависимости характеризуют взаимодействие монохромного излучения с твёрдым телом.

1.2. Распределение температурных полей в кремниевой подложке при сканировании лазерным лучом

Рассмотрим полубесконечную подложку, по которой непрерывно со скоростью ν вдоль оси Х сканирует лазерный луч с эллиптической формой пятна площадью А и мощностью Р. Профиль распределения плотности потока мощности по пятну описывается кривой Гаусса (рис. 3)

где r_x ,r_y – полуоси эллипса вдоль соответствующих направлений.

Рис. 3. Распределение интенсивности лазерного излучения по пятну эллиптической формы

Введём характеристический радиус r₀ и параметр эксцентриситета β

Уравнение теплопроводности может быть записано как

где первый член описывает изменение температуры Т во времени t, второй член описывает пространственное распределение Т, а третий является функцией теплового источника. Параметр К(Т) представляет собой коэффициент теплопроводности, зависящий от температуры, его размерность Вт/см·К.

Используя преобразование Кирхгофа

можно записать уравнение теплопроводности:

Для расчёта температуры в подложке при сканировании лазерного луча удобно использовать подвижные координаты: x’=x+νt. Однако далее будем использовать для удобства переменную х вместо х’, подразумевая её подвижной. В этом случае уравнение теплопроводности преобразуется к виду

Считая, что лазерное излучение полностью поглощается в тонком приповерхностном слое, функция источника имеет вид

Множитель 2 показывает, что рассматривается полубесконечное пространство. Общее решение уравнения (23), полученное методом функции Грина, имеет вид где

Координаты в этом выражении нормируются на характеристический радиус:

Зависимость T(θ) находится из преобразования Кирхгофа. Полученное соотношение является нелинейным, поэтому расчёт θ должен быть проведён итерационным методом. Однако при ν = 0 нелинейность исчезает, и температуру можно найти непосредственно прямым методом. При ν = 0 выражение (25) можно представить как произведение максимальной температуры (θ) в центре лазерного пятна на нормализованную функцию, определяющую вид температурного профиля по трём направлениям

где

Профили η вдоль осей X, Y и Z, полученные по выражению (31) для подвижного луча, показаны на рис. 4 для β = 1. Расчёты показывают, что для луча диаметром 40 мкм распределение температуры до глубины 1 мкм, внутри которой формируются элементы ИС, практически однородно. Зависимости K(T) и ς(T) для кремния хорошо аппроксимируются выражениями [19]

Рис. 4. Распределение относительной температуры вдоль нормированных координат при лазерном нагреве: 1 – Х, Y; 2 – Z

Это позволяет получить аналитическую зависимость

где Т₀ – температура подложки до лазерного облучения.

Для неподвижного пятна Т может быть выражено через Р и Т₀ следующим образом:

На рис. 5 показана зависимость максимальной температуры для неподвижного пятна при β = 1 как функция от Р. При скорости сканирования, отличной от нуля, θ зависит от параметров материала подложки, а также размеров пятна. Расчёт θ требует одновременного определения Т, поскольку θ = θ(σ(ς(T))) и T = T(θ).

Рис. 5. Зависимость максимальной температуры в центре пятна от нормированной мощности лазерного излучения

«Истинная» температура (Т) может быть определена итерационным способом. На рис. 6 показаны температурные профили вдоль оси х при сканировании с различными скоростями.

Рис. 6. Распределение температуры в кремниевой подложке вдоль направления сканирования луча с различной скоростью (Р = 4 Вт, r = 20 мкм, Т_подл