Читать книгу 100 задач с числом года. Часть 1. Выпуск 1 - Ирина Краева - Страница 3
Часть I.
ЗАДАЧИ
СО СТАНДАРТНЫМ УСЛОВИЕМ
И
УНИВЕРСАЛЬНЫМ
СПОСОБОМ РЕШЕНИЯ
ОглавлениеЧисловые выражения
Найдите значение предложенных числовых выражений
1. N 2 – (N – 1) 2.
Например, 20232 – 20222.
2. (100010001 × N) × (N – 1) – (100010001 × (N – 1)) × N.
Например, 202320232023 ∙ 2022 – 202220222022 ∙ 2023.
3. N lg (N – 1) – (N – 1)lg N.
Например, 2023lg 2022 – 2022lg 2023.
4. logN logN N.
Например, log2023log20232023.
Найдите сумму чисел
5. 1 +2 +3 + … + N.
Например, 1 +2 +3 + … +2023.
6. N + (N – 1) + … +2 +1.
Например, 2023 +2022 + … +2 +1.
7. 1 +2x +3x2 + … + NxN – 1 для x = 2.
Например, 1 +2 ∙ 2 +3 ∙ 22 + … +2023 ∙ 22022.
8. 2 ∙ 20 +3 ∙ 21 +4 ∙ 22 +5 ∙ 23 + … + N ∙ 2N —2 + (N +1) ∙ 2N – 1.
Например, 2 ∙ 20 +3 ∙ 21 +4 ∙ 22 +5 ∙ 23 + … +2024 ∙ 22022.
9. 12 ∙31 +22 ∙ 32 +32 ∙ 33 +42 ∙ 34 + … + N2 ∙ 3N.
Например, 12 ∙31 +22 ∙ 32 +32 ∙ 33 +42 ∙ 34 + … +20232 ∙ 32023.
10. 1∙1! +2∙2! +3∙3! + … + N ∙ N!.
Например, 1 ∙ 1! +2 ∙ 2! +3 ∙ 3! + … +2022 ∙ 2022!.
Разные задания на вычисление
11. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна N (например, 2023). Найдите уменьшаемое.
12. Среднее арифметическое (N – 1) чисел равно (N – 2), а среднее арифметическое других N чисел равно (N – 1). Найдите среднее арифметическое всех чисел.
Например, среднее арифметическое двух тысяч двадцати двух чисел равно 2021, а среднее арифметическое других двух тысяч двадцати трёх чисел равно 2022. Найдите среднее арифметическое всех чисел.
13. Известно, что p <1 и (1 + p) (1 + p2) (1 + p4) … = N.
Например, (1 + p) (1 + p2) (1 + p4) (1 + p8) … = 2023.
Найдите p.
14. Дана числовая последовательность, для которой известно, что x1 = x2 = 2, x3 = 8 и для любого натурального n выполняется xn+3 + xn+1 = 2xn+2 +2xn. Найдите xN (x2023).
15. Вычислите число p, если
log23 ∙ log34 ∙ … ∙ logp (p +1) = N.
Например, log23 ∙ log34 ∙ … ∙ logp (p +1) = 2023.
16. Какой коэффициент будет стоять при степени xN—1, в многочлене (1 + x) N?
Например, определить коэффициент при x2022 в выражении (1 + x) 2023.
17. На плоскости даны N (2023) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых, проходящих через эти точки, можно построить?
18. Сколько диагоналей имеет выпуклый N-угольник (например, 2023-угольник)?
19. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) две ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу?
20. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером N × N (например, 2023 × 2023) ладьи в количестве N (2023) штук так, чтобы они не угрожали друг другу?
Сравнение чисел
Сравните предложенные числа
21. (10000N + (N – 1)) × (10000N + (N +1)) и (10001N) 2.
Например, 20232022 ∙ 20232024 и 202320232.
22. N N +1 и (N +1) N.
Например, 20232024 и 20242023.
23. N N и (N +1) N – 1.
Например, 20232023 и 20242022.
24. N N и (N – 1) N +1.
Например, 20232023 и 20222024.
25. ((N – 1) N – 1 + N N) и ((N – 1) N + N N – 1).
Например, (20222022 +20232023) и (20222023 +20232022).
26. (N N +1 + (N +1) N) и (N N + (N +1) N +1).
Например, (20232024 +20242023) и (20232023 +20242024).
27. ((N – 1) N – 1 × N N) и ((N – 1) N × N N – 1).
Например, (20222022 ∙ 20232023) и (20222023 ∙ 20232022).
28. (N!) 2 и (N 2)!. Например, (2023!) 2 и (20232)!.
29. 2lg (N + (N +1)) и lgN + lg (N +1).
Например, 2lg (2023 +2024) и (lg2023 + lg2024).
30. logN – 1N 2 и logN +1 (N 2 – 1).
Например, log 202220232 и log2024 (20232 – 1).
Уравнения
31—42. Решить квадратные уравнения, коэффициенты которых являются «удобными» комбинациями чисел ± 1; ± (N – 1); ± N, то есть, чтобы либо сумма коэффициентов была равна нулю, либо сумма первого и третьего была равна второму.
Например,
31) 2023x2 – 2022x – 1 = 0;
32) 2023x2 +2022x – 1 = 0;
33) 2023x2 + x – 2022 = 0;
34) 2023x2 – x – 2022 = 0;
35) 2022x2 – 2023x +1 = 0;
36) 2022x2 +2023x +1 = 0;
37) 2022x2 + x – 2023 = 0;
38) 2022x2 – x – 2023 = 0;
39) x2 – 2023x +2022 = 0;
40) x2 +2023x +2022 = 0;
41) x2 – 2022x – 2023 = 0;
42) x2 +2022x – 2023 = 0.
Решите уравнения
43. (x + N – 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 2.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 2.
44. (x + N – 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 3.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 3.
45. (x + N – 1) 2 + (x + N) 2 + (x + N +1) 2 = 4.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 2 + (x +2024) 2 = 4.
46. (x + N – 1) 2 + (x + N) 3 + (x + N +1) 2 = 2.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 3 + (x +2024) 2 = 2.
47. (x + N – 1) 2 + (x + N) 3 + (x + N +1) 2 = 5.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 3 + (x +2024) 2 = 5.
48. (x + N – 1) 2 + (x + N) 3 + (x + N +1) 4 = 2.
Например, (x +2022) 2 + (x +2023) 3 + (x +2024) 4 = 2.
49. (x2 + x +1) + (x2 +2x +3) + … + (x
