Читать книгу Уникальная формула и алгоритм в квантовых вычислениях. Открытие новой парадигмы - - Страница 5

Определение оператора Адамара ($H^ {n} $) в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

Оператор Адамара $H^ {n} $ является одним из основных операторов в квантовой информатике и применяется к системе из $n$ кубитов. Он приводит каждый кубит в равновероятное суперпозиционное состояние.

Определение оператора Адамара для системы из $n$ кубитов:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $

Оператор Адамара применяется ко всем кубитам в системе и выполняет следующие действия:

– Каждый кубит переходит в состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $

– Входные данные $\boldsymbol {x} $ используются в операции сложения по модулю 2, чтобы определить, будет ли на кубите выполняться операция инверсии (смены знака)

Оператор Адамара $H^ {n} $ является важной частью формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $. Он создает начальное состояние системы кубитов и подготавливает их для последующих операций в формуле.

Оператор Адамара $H^ {n} $ для системы из $n$ кубитов

Определение оператора Адамара ($H^ {n} $) для системы из $n$ кубитов в формуле $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $:

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется ко всем $n$ кубитам в системе и приводит каждый кубит в равновероятное суперпозиционное состояние.

Математически, оператор Адамара для системы из $n$ кубитов ($H^ {n} $) задается следующим выражением:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^n}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$.

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $.

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе и приводит его в равновероятное суперпозиционное состояние $\frac {1} {\sqrt {2}} (|0\rangle + |1\rangle) $. Это значит, что каждый кубит имеет вероятность 1/2 быть измеренным в состоянии $|0\rangle$ и вероятность 1/2 быть измеренным в состоянии $|1\rangle$.

Оператор Адамара является важным элементом формулы $\mathcal {F} (\boldsymbol {x}, \boldsymbol {\theta}) $ и используется для преобразования состояний кубитов в начальной и конечной стадиях формулы. Он создает начальное состояние системы кубитов и играет важную роль в обработке и манипуляции с квантовой информацией.

Описание оператора Адамара в виде суммы последовательностей битовых строк

Оператор Адамара ($H^ {n} $) для системы из $n$ кубитов можно также представить в виде суммы последовательностей битовых строк.

Математически, оператор Адамара $H^ {n} $ может быть записан следующим образом:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^ {n}}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где:

– $\boldsymbol {y} $ – битовые строки длины $n$.

– $\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y} $ – скалярное произведение битовых строк $\boldsymbol {x} $ и $\boldsymbol {y} $.

– $|\boldsymbol {y} \rangle$ – состояние кубитов, соответствующее битовой строке $\boldsymbol {y} $.

Оператор Адамара выражается в виде суммы последовательностей битовых строк и может быть представлен следующим образом:

$$H^ {n} = \frac {1} {\sqrt {2^n}} \sum_ {\boldsymbol {y}} (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} |\boldsymbol {y} \rangle,$$

где каждая битовая строка $\boldsymbol {y} $ пробегает все возможные комбинации подходящего размера $n$. Значение $ (-1) ^ {\boldsymbol {x} \cdot \boldsymbol {y}} $ вносит фазовый фактор в каждый элемент суперпозиции.

Оператор Адамара $H^ {n} $ применяется к каждому кубиту в системе, преобразуя его в состояние с равными вероятностями $|0\rangle$ и $|1\rangle$. Это обеспечивает создание равновероятных суперпозиций в системе из $n$ кубитов.