Читать книгу Криптографические горизонты с формулой F. Инновационные методы безопасности - - Страница 4

Операция сложения по модулю 2 и операция XOR (исключающее ИЛИ) являются двумя взаимосвязанными концептами в математике и информатике. Рассмотрим каждую из них подробнее:

1. Операция сложения по модулю 2:

Операция сложения по модулю 2 (также известная как побитовое сложение по модулю 2) выполняется над двоичными числами и имеет следующие правила:

– Сложение двух нулей даёт 0: 0 +0 = 0.

– Сложение нуля и единицы даёт 1: 0 +1 = 1.

– Сложение единицы и нуля даёт 1: 1 +0 = 1.

– Сложение двух единиц даёт 0: 1 +1 = 0.

Эта операция выполняется над каждым битом (цифрой) двоичных чисел по отдельности. Если в результате сложения получается более одного бита, то используется только младший бит, а старшие биты отбрасываются. Например, результат 1 +1 даёт 0, а не 10.

Операция сложения по модулю 2 часто используется в различных областях, включая криптографию, обработку изображений и коррекцию ошибок в связи с её простотой и эффективностью.

2. Операция XOR (исключающее ИЛИ):

Операция XOR также выполняется над двоичными числами и имеет следующие правила:

– Если два бита равны, результат будет 0: 0 XOR 0 = 0 и 1 XOR 1 = 0.

– Если два бита различны, результат будет 1: 0 XOR 1 = 1 и 1 XOR 0 = 1.

В отличие от операции сложения по модулю 2, операция XOR не отбрасывает старшие биты и сохраняет все биты результата. Таким образом, результатом операции XOR над двоичными числами будет новое двоичное число, в котором каждый бит представляет результат XOR для соответствующих битов исходных чисел.

Операция XOR широко применяется в программировании и информатике в областях, связанных с проверкой четности, шифрованием, кодированием и контролем целостности данных.

Использование операции сложения по модулю 2 и операции XOR в формуле F (входные данные, параметры вращения) = H^n (входные данные ⊕ параметры вращения) H^n позволяет нам комбинировать эти математические операции с оператором Адамара, получая уникальное преобразование входных данных и параметров вращения в квантовых системах.

Определение операции сложения по модулю 2 и её свойства

Операция сложения по модулю 2 (также известная как побитовое сложение по модулю 2) является математической операцией, которая выполняется над двоичными числами по отдельности для каждого бита. Она имеет следующие свойства:

1. Замкнутость. Операция сложения по модулю 2 закрыта для двоичных чисел. Это означает, что результатом сложения двух двоичных чисел по модулю 2 также является двоичное число.

2. Коммутативность. Порядок слагаемых не влияет на результат операции сложения по модулю 2. Например, a + b ≡ b + a для любых двух двоичных чисел a и b.

3. Ассоциативность. Результат сложения трех или более двоичных чисел по модулю 2 не зависит от их порядка. Например, (a + b) + c ≡ a + (b + c) для любых трех двоичных чисел a, b и c.

4. Идемпотентность. Если двоичное число складывается по модулю 2 с самим собой, то результат будет 0. Например, a + a ≡ 0 для любого двоичного числа a.

5. Инверсность. Каждое двоичное число является инверсом самого себя относительно сложения по модулю 2. Например, a + a ≡ 0 и a +0 ≡ a для любого двоичного числа a.

6. Односторонняя обратимость. Операция сложения по модулю 2 обратима только для самого себя. Это означает, что если a + b ≡ c, то a остается единственным значением, которое можно восстановить, изменив только b и c.

Операция сложения по модулю 2 обычно используется в различных областях, связанных с цифровыми системами, криптографией, обработкой сигналов и протоколами передачи данных. Её простота и эффективность позволяют выполнять сложение двоичных чисел без переносов и использовать её для различных целей в информационных системах.

Как операция XOR работает и как она связана с операцией сложения по модулю 2

Операция XOR (исключающее ИЛИ) также является математической операцией, выполняющейся над двоичными числами. Она имеет следующие особенности:

1. XOR для одного бита:

– Если два бита равны, результат XOR будет 0.

– Если два бита различны, результат XOR будет 1.

Например:

0 XOR 0 = 0

0 XOR 1 = 1

1 XOR 0 = 1

1 XOR 1 = 0

2. XOR для нескольких битов:

Операция XOR может выполняться над каждым битом двух двоичных чисел по отдельности. Если двоичные числа имеют одинаковую длину, то результат XOR для каждого соответствующего бита будет образовывать новое двоичное число.

Например:

1010 XOR 1100 = 0110

Операция XOR связана с операцией сложения по модулю 2 следующим образом:

– XOR может использоваться в качестве операции сложения по модулю 2 для двоичных чисел. То есть, результат XOR между двумя битами будет равен результату их сложения по модулю 2.

Например:

0 XOR 0 = 0 (0 +0 ≡ 0)

0 XOR 1 = 1 (0 +1 ≡ 1)

1 XOR 0 = 1 (1 +0 ≡ 1)

1 XOR 1 = 0 (1 +1 ≡ 0)

Таким образом, операция XOR может использоваться вместо операции сложения по модулю 2 для выполнения побитовых операций над двоичными числами.

– XOR также используется для инвертирования битов. Если бит комбинируется с другим битом с помощью операции XOR, то результат будет инвертированным значением этого бита. Например, a XOR 1 даст инвертированное значение a.

Операция XOR является одной из основных операций в цифровых системах и информатике. Её связь с операцией сложения по модулю 2 и её простота в использовании находят широкое применение в областях, таких как криптография, кодирование, коррекция ошибок и контроль целостности данных.

Примеры применения операции XOR к двум числам

Проиллюстрируем примеры применения операции XOR к двум двоичным числам:

1. Пример 1:

Пусть у нас есть два двоичных числа: 10101 и 11010. Мы применяем операцию XOR для каждого соответствующего бита.

10101 XOR

11010

– — – —

01111

Результатом операции XOR для этих двух чисел будет 01111.

2. Пример 2:

Пусть у нас есть два двоичных числа: 0110 и 1011. Опять же, мы выполним операцию XOR для каждого соответствующего бита.

0110 XOR

1011

– — —

1101

Результат XOR для этих двух чисел будет 1101.

3. Пример 3:

Пусть у нас есть двоичные числа 1001 и 1001. Мы применяем операцию XOR для каждого соответствующего бита.

1001 XOR

1001

– — —

0000

В данном случае, так как все биты равны, результат операции XOR будет 0000.

Операция XOR позволяет нам вычислять различия между двумя двоичными числами, выявлять несовпадающие биты и инвертировать значения битов. Это основное свойство, которое находит широкое применение в различных областях, включая криптографию, кодирование и обнаружение ошибок.