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Unidad 1

Teoría del consumidor: conceptos básicos bajo la elección racional

La teoría del consumidor plantea un gran reto para el agente económico considerado: antes de tomar la decisión de comprar (demanda) debe tener en cuenta sus gustos por determinado bien o servicio, a partir de una cesta de consumo y la ordenación de sus preferencias, así como la cantidad de recursos económicos (monetarios) que dispone para su adquisición.

Con esta premisa, se parte del supuesto de que el consumidor es un agente que optimiza sus recursos en búsqueda de la satisfacción de sus gustos (necesidades), lo que permite utilizar los recursos de las matemáticas para tratar de encontrar ese óptimo. La estrategia es la maximización de la “utilidad” del consumidor, acorde al presupuesto disponible para dicho objetivo.

Lo expuesto implica que se deben analizar desde la microeconomía o teoría neoclásica los axiomas de las preferencias, la representación de una utilidad —desde una función matemática—, el presupuesto del agente representativo y los elementos matemáticos necesarios para su desarrollo, el cual tiene como resultado una función de demanda ordinaria de la cesta de consumo respectiva.

1.1. El consumidor representativo

El agente representativo del hogar o consumidor es un individuo que tiene un propósito de consumo unificado, quien, en competencia perfecta, “busca entender el proceso de formación de la demanda bajo los parámetros de la economía como ciencia natural” (Monsalve, 2016, p. 15); en esta, los consumidores son partículas y optimizan una función de utilidad, con el fin de obtener unas funciones de demanda.

Así, un plan de consumo —denominado también canasta o cesta— es un vector de mercancías en el conjunto de los números reales positivos ℝ+, el cual es no vacío, cerrado, convexo. En términos vectoriales, la cesta de consumo se define como x=(x1, x2, …, xn); x1 representa las cantidades de las n mercancías (bien o servicio) que puede comprar el consumidor o individuo representativo.

La teoría neoclásica dice que la función de utilidad se basa en el principio de que el consumo de un bien o servicio le genera “cierta felicidad” al individuo; por ende, los bienes o servicios son “útiles” para suplir una necesidad determinada. En este sentido, la utilidad se construye desde las preferencias de los individuos, lo cual implica revisar algunos axiomas que permiten identificar el proceso de elección a partir de la ordenación relativa de la multiplicidad de opciones o alternativas a la hora de consumir un bien o servicio.

1.2. Axiomas de las preferencias

El consumidor tiene múltiples opciones para elegir entre los diferentes bienes y servicios que existen en la economía; en consecuencia, debe ordenar las posibles elecciones acorde con las preferencias y las cestas de consumo disponibles. Se define una relación de preferencias (≿) sobre la cesta de consumo x: ≿ significa “ser al menos tan preferido como”; el símbolo ∼ corresponde a “tan bueno como” o indiferente. Esto permite plantear dos axiomas de orden y tres axiomas analíticos en un orden lexicográfico de las matemáticas, con base en lo planteado por Villar (1999) y retomado por Lozano (2017).

1.2.1. Axioma 1: completitud

Se dice que x1, x2 ∈ x es completa si se cumple que x1 ≿ x2, x2 ≿ x1 o ambas, lo que implica que “no pueden existir dos planes de consumo tales que ninguno de ellos sea al menos tan bueno como el otro”. Esto hace que el consumidor no “se declare indeciso entre cualquier par de planes de consumo” (Lozano, 2017, p. 103); es decir, “x1 es al menos tan preferido como x2” o viceversa, lo cual posibilita la comparación entre las mercancías de la cesta de consumo x. Por ende, cuando esta relación es completa, también es reflexiva: si x1 ~ x1, x2 = x1.

Sobre la base de lo planteado por Kreps (1995, p. 20), un consumidor puede elegir entre una cesta de consumo compuesta por botellas de cervezas y otra de botellas de vino. Si x1 =(40,2) y x2 =(20,8) son las cestas de comparación, el consumidor está en capacidad de ordenarlas y elegir a partir de su relación de preferencias ≿. Por otra parte, si un consumidor no es capaz de elegir una de las dos cestas, se puede declarar indiferente: x1 ~ x2, lo que involucraría que (40,2) ~ (20,8) desde las preferencias de este, las cuales involucran las cantidades que conforman cada cesta de comparación.

1.2.2. Axioma 2: transitividad

Se dice que x1, x2, x3 ∈ x es transitiva si x1 ≿ x2 y x2 ≿ x3; entonces, x1 ≿ x3. Esto significa que si el consumo de x1 es al menos tan bueno como x2 y x2 es al menos tan bueno como x3, x1 es al menos tan bueno como x3. El cumplimiento de los dos axiomas de orden se denomina preorden completo o relación racional, de acuerdo con lo expresado por Lozano (2017, p. 104), lo que necesariamente permite especificar dos aspectos adicionales en términos de las relaciones de preferencia.

Para x1, x2 ∈ x, se dice que x1 se prefiere ante x2 (x1 ≻ x2) si, y solo si, se cumple que x1 ≿ x2 y x2 ⋡ x1. Por otra parte, para x1, x2 ∈ x, se dice que x1 es indiferente a x2 (x1 ~ x2) o, lo que es igual, x2 es indiferente a x1 (x2 ~ x1); esto significa que x1 es igual a x2 en términos de preferencias (x1 = x2). Lo expuesto se enmarca en que la completitud de la relación ≿ implica que para cualquier par de planes de consumo x1 y x2 solo una de tres posibilidades mutuamente excluyentes ocurre: x1 ≻ x2, x2 ≻ x1 o x1 ~ x2 (Lozano, 2017, pp. 104-105).

1.2.3. Axioma 3: continuidad

Una relación de preferencias ≿ es continua si para todos los componentes de la cesta de consumo x (donde x ∈ ℝ+ ) los conjuntos de preferencias ≿ o ≾ en x son cerrados en ℝ+. De acuerdo con Lozano (2017), un conjunto cerrado se caracteriza porque “contiene todos sus puntos adherentes” (p. 41); es decir, “si dada una sucesión de puntos de” conjunto de las preferencias “que converja, su límite también será un elemento” de dicho conjunto. En este, las preferencias se pueden representar de manera numérica en una función de utilidad y asegurar “al menos una solución para todos los precios estrictamente positivos y niveles no negativos de renta” (Kreps, 1995, p. 35).

1.2.4. Axioma 4: convexidad estricta

De acuerdo con Villar (1999), la definición del axioma de convexidad estricta indica que si el consumo de una cesta xi es al menos tan preferido o al menos tan bueno como otra cesta x’i , todo consumo intermedio con ponderaciones positivas resultará preferido a x’i . Esto se sintetiza matemáticamente así: “definición 1: la relación de preferencias ≿i es estrictamente convexa si para todo xi, x’i ∈ X y para todo λ ∈ (0, 1), xi ≿i x’i ⟹ [λ xi + (1 - λ) x’i ] ≻i x’i ” (Villar, 1999, pp. 31-32). En términos prácticos, esto tiene tres implicaciones relevantes:

1. Los subconjuntos de cestas de consumo mejores o iguales a la cesta elegida también son conjuntos convexos1.

2. Las curvas de indiferencia, que representan las preferencias a partir de una función de utilidad, no pueden ser gruesas.

3. Las mencionadas curvas no deben contener tramos lineales, lo que implica que la curva de indiferencia “solo puede ser tangente en un punto a la restricción presupuestaria” (Villar, 1999, p. 30).

1.2.5. Axioma 5: monotonía

Se dice que una relación de preferencias es monótona cuando el consumidor analizado tiene una mejora en su bienestar al aumentar la cantidad de consumo de todas mercancías, lo cual necesariamente está relacionado con el concepto de no saciabilidad o insaciabilidad.

La no saciabilidad hace referencia a que un consumidor cualquiera preferirá siempre elegir “en un conjunto de oportunidades lo más grande posible” (Villar, 1999, p. 31). Esto se vincula con el problema económico de escasez en las mercancías —y los insumos con que se fabrican— y con las necesidades de los agentes —en este caso, los consumidores—, que se alinean con los múltiples deseos y aspiraciones en términos de bienestar.

Lo expuesto lo sintetiza Villar (1999): “un bien es deseable cuando el consumidor mejora al aumentar la cantidad consumida del mismo, sin disminuir las cantidades consumidas de los demás bienes” (p. 33), lo cual implica que si todas las mercancías son deseables, la relación de preferencias es monótona; pero no al contrario, a menos que se analice junto a los demás axiomas expuestos.

1.3. Utilidad y curva de indiferencia

El consumidor representativo de la economía bajo competencia perfecta mide de alguna manera su satisfacción, placer, felicidad y bienestar, a partir de una representación matemática o forma funcional relacionada con el consumo de una canasta o cesta de mercancías x. De acuerdo con Monsalve (2016), “esta es la ‘fuerza de atracción’ o ‘deseo de consumo’ hacia las diferentes combinaciones de bienes del mercado” (p. 16) e indica las preferencias de elección en función del consumo de mercancías.

El análisis gráfico de la función de utilidad que representa las preferencias del consumidor conlleva que se calcule una curva de nivel, en la cual se ven todas las cestas de consumo que tienen el mismo nivel de utilidad o, lo que es igual, que le generan el mismo grado de satisfacción al consumidor. Esta curva también se conoce como curva de indiferencia o isoutilidad. Aquí se representan las diferentes curvas de indiferencia que la teoría neoclásica ha adoptado de las matemáticas, con las funciones de utilidad del cálculo infinitesimal.

1.3.1. Función de utilidad tipo Cobb-Douglas: Ui (x1, x2 )= x1α x2β con α, β > 0

Esta función caracteriza la relación entre dos bienes o mercancías x1, x2 que componen la cesta de consumo x y tienen un grado de sustituibilidad entre ellos en términos brutos. Es importante recordar que dos bienes son sustitutos cuando al aumentar el precio de uno de ellos, se incrementa la cantidad demandada del otro. El grado de sustitución bruta está determinado por los parámetros α, β > 0. En este sentido, la sustitución entre x1, x2 no afecta el nivel de utilidad del consumidor (figura 1.1).

Figura 1.1. Función de utilidad tipo Cobb-Douglas

Fuente: el autor.

1.3.2. Función de utilidad tipo Leontief:

Ui (x1, x2) = Mín {αx1, βx2} con α, β > 0

Esta función identifica la relación entre dos mercancías x1, x2 que componen la cesta de consumo x y se consumen al mismo tiempo en proporciones fijas, acorde a los parámetros α, β; en la teoría económica, estas se denominan bienes complementarios perfectos. Dos bienes son complementarios si al aumentar el precio de uno de ellos, disminuye la cantidad demandada del otro. Son complementarios perfectos cuando las curvas de indiferencia tienen forma de ángulo recto (forma de L) y su relación marginal de sustitución es infinita (figura 1.2).

Figura 1.2. Función de utilidad tipo Leontief

Fuente: el autor.

1.3.3. Función de utilidad lineal:

Ui (x1, x2) = αx1 + βx2 con α, β > 0

Se refiere a las rectas de indiferencia que se forman cuando la relación entre dos mercancías x1, x2 que componen la cesta de consumo x corresponde a la sustituibilidad perfecta, es decir, se consume una mercancía o la otra, no ambas, y se mantiene la utilidad del consumidor constante. Los bienes sustitutos perfectos se caracterizan porque su relación marginal de sustitución es una constante. La decisión de consumir una mercancía y no ambas es el precio de mercado más bajo de las mercancías (figura 1.3).

Figura 1.3. Función de utilidad lineal

Fuente: el autor.

1.4. Restricción de presupuesto

Una vez consideradas las preferencias del consumidor, los axiomas que las caracterizan y su representación a partir de una función de utilidad, el segundo elemento del análisis en la elección racional es la recta de presupuesto que enfrenta el agente analizado. Dicha restricción tiene tres grandes componentes:

1. El ingreso del consumidor, que significa el poder de compra del individuo representativo al momento de tomar sus decisiones de demanda de la cesta de consumo x elegida.

2. Las demandas individuales de los bienes o mercancías, acorde a su cesta de consumo x= (x1, x2).

3. Los precios de mercado de los bienes que componen la cesta de consumo x, es decir, el vector p= (p1, p2): p1, p2 se asocian a las mercancías x1, x2, respectivamente.

Lo expuesto implica que los precios de las mercancías los determina el mercado, con base en la interacción entre los oferentes y demandantes de estas, bajo los supuestos de la competencia perfecta. La recta o restricción de presupuesto se define con una ecuación desde el punto de vista vectorial:

Donde:

I: ingreso del consumidor representativo, el cual es exógeno o dado.

px t: gasto del consumidor en las mercancías de la cesta de consumo.

En caso de dos mercancías, la restricción de presupuesto se corresponde con la ecuación de resta equivalente a p1 x1 + p2 x2 ≤ I. La restricción se plantea en términos de desigualdad, dado que un consumidor no puede gastar más del ingreso que percibe. Esto conlleva que el gasto debe ser menor o igual a dicho ingreso. Si el consumidor desea que su utilidad sea máxima, tiene que agotar todo su ingreso, por lo que la restricción se cumple en términos de igualdad, como se expresa en la ecuación p1 x1 + p2 x2 = I y se representa en la figura 1.4.

Figura 1.4. Restricción de presupuesto

Fuente: el autor.

1.5. Maximización de la utilidad: caso primal

En un mercado de competencia perfecta, el problema del consumidor representativo implica que sus “deseos” se deben satisfacer a partir de la demanda de la cesta de bienes, teniendo en cuenta sus ingresos; es decir, el consumidor quiere tener el mayor nivel de utilidad en concordancia con sus preferencias y su restricción de presupuesto. Desde el punto de vista matemático, el problema del consumidor se puede expresar como un proceso de optimización restringida donde:

•Ui (x1, x2) es la función de utilidad (función objetivo).

•p1 x1 + p2 x2 = I es la restricción presupuestaria.

En este caso, el problema se sintetiza en que el consumidor maximiza sus preferencias sujeto a su presupuesto de gasto en la cesta de consumo x:

Este problema se soluciona considerando la forma funcional de la curva de indiferencia del consumidor. El método de multiplicadores de Lagrange permite su solución con el cálculo diferencial en la medida en que la función de utilidad sea continua, diferenciable y cuasicóncava estricta, tal como la tipo Cobb-Douglas.

Para funciones de utilidad tipo Leontief o lineales, el método de solución puede ser gráfico o generalizarse a partir de técnicas de optimización, como el de Kuhn-Tucker (Monsalve, 2016). Aquí se solucionan tres casos, uno por cada forma funcional de la utilidad del consumidor, desde los puntos de vista matemático y analítico.

1.5.1. Caso 1: función Cobb-Douglas (x1, x2 > 0)

Sea la función de utilidad para el consumidor de la forma U(x1, x2 )= x1α x2β y la restricción de presupuesto de la forma descrita antes, es decir, p1 x1 + p2 x2 = I. La función lagrangiana que permite solucionar dicho problema es la ecuación (1):

Las condiciones de primer orden (necesarias) de la función de Lagrange para hallar las demandas óptimas de la cesta de consumo x corresponden a las derivadas parciales del lagrangiano con respecto a las mercancías x1, x2 y al multiplicador λ:

Hay que tener en cuenta que el consumidor toma decisiones en términos marginales, como lo expresan Acemoglu et al. (2016): “el principio de optimización marginal dice que una alternativa posible óptima tiene la propiedad de que, si pasas de cualquier alternativa a ella, te beneficias y, si la dejas por otra, te perjudicas” (p. 52). Esto quiere decir que la demanda de las mercancías se define sobre la base de la utilidad adicional que genera el consumo de una unidad más bajo el supuesto de ceteris paribus.

La expresión latina ceteris paribus significa “todo lo demás constante”. En la teoría del consumidor, el análisis marginal indica: si varía la demanda por una mercancía, las demás variables se consideran constantes (precios, cantidades de la otra mercancía, ingresos del individuo). En este caso, la utilidad adicional que genera el consumo adicional de la mercancía debe equivaler a su precio, lo cual se puede identificar en las ecuaciones (2) y (3) equivalentes del proceso de optimización realizado:

Ahora, la solución del modelo implica que al combinar las ecuaciones resultantes se obtiene la relación marginal de sustitución entre las mercancías (combinar ecuaciones):

La ecuación (5) indica que la relación de precios (precios relativos) es equivalente a la de utilidades marginales, denominada relación marginal de sustitución (RMS), definida por Pindyck y Rubinfeld (2013) como la “cantidad de un bien a la que está dispuesta a renunciar una persona para obtener una unidad más de otro” (p. 705):

De la ecuación (5), después de un poco de álgebra y de despejar para x1, se obtiene la ecuación (6):

Si se reemplaza la ecuación (4) en la (6) y se despeja para x2, se llega a la ecuación (7), que refleja la demanda ordinaria de la mercancía x2:

De nuevo, con un poco de álgebra, y combinando las ecuaciones (6) y (7), se tiene la demanda ordinaria de la mercancía x1 (ecuación 8):

Desde el punto de vista gráfico, el proceso de optimización restringido desarrollado se sintetiza en la figura 1.5.

Figura 1.5. Demandas ordinarias óptimas en el caso Cobb-Douglas

Fuente: el autor.

1.5.2. Caso 2: función tipo Leontief (x1, x2 ≥ 0)

El problema del consumidor se reduce a la maximización de U(x1, x2) = Mín{x1, x2}, sujeta a la restricción de presupuesto p1 x1 + p2 x2 = I. Dado que la función de utilidad U(x1, x2) = Mín(x1, x2) es no diferenciable y no continua, el método de Lagrange no aplica; así, la solución es analítica. La restricción de presupuesto y la forma funcional de la función permiten encontrar el óptimo (figura 1.6).

Figura 1.6. Demandas ordinarias óptimas en el caso Leontief

Fuente: el autor.

La solución analítica implica que la restricción de presupuesto debe “encontrarse” con el vértice de la función de utilidad, lo cual indica que las demandas en el óptimo para los dos bienes son equivalentes o de proporciones fijas, es decir, x*1 = x*2 . Esto se expresa en la ecuación (9) a partir de la restricción:

En microeconomía la demanda de cada una de las mercancías no solo depende del ingreso del consumidor y del precio de mercado, sino también del precio de la otra mercancía considerada en la cesta de consumo x. Esta situación refleja las condiciones de complementariedad perfecta entre x1 y x2, como ya se explicó.

1.5.3. Caso 3: función lineal (x1, x2 ≥ 0)

En este caso, la función de utilidad lineal de la forma U(x1, x2) = x1 + x2, bajo la restricción conocida, es diferenciable una sola vez; pero la condición de máximo conlleva que la derivada segunda debe existir, que el método de Lagrange no se puede implementar.

Lo expuesto significa que la solución es analítica (solución en la restricción), puesto que la función lineal de utilidad muestra que las mercancías son sustitutivas entre sí de manera perfecta. Esto se da “cuando un bien sustituye perfectamente al otro en el consumo, sin ninguna diferencia esencial” (Monsalve, 2016, p. 31).

La sustituibilidad perfecta implica que la decisión del consumidor, en términos de elección, se realiza según los precios de cada una de las mercancías: si p1 > p2, la demanda ordinaria se concentra en x2 y viceversa, como se especifica en las ecuaciones 10 y 11 (figura 1.7):

Figura 1.7. Demandas ordinarias óptimas en el caso lineal

Fuente: el autor.

1 Se dice que un subconjunto cualquiera que pertenece a ℝ+ es convexo “si el segmento de recta que une cada par de puntos del conjunto está dentro del conjunto” (Lozano, 2017, p. 41).