Читать книгу Múltiples aspectos del aprendizaje de la matemática - Martha Isabel Fandiño Pinilla - Страница 7

Capítulo 1 El aprendizaje de la matemática como objeto unitario y múltiple

1.1. Unicidad y multiplicidad de factores

El aprendizaje de la matemática, tal vez, el más estudiado entre los aprendizajes disciplinares, se presenta como un factor múltiple, rico de miles de aspectos: salta a la vista de todos los docentes el hecho que un aprendizaje concluso con éxito en matemática es de considerarse una óptima combinación de aprendizaje específicos y diferentes. En matemática, de hecho, no basta haber construido un concepto, sino que es necesario saberlo usar para efectuar cálculos o dar respuesta a ejercicios; combinarlo con otros o con estrategias oportunas para resolver problemas; es necesario saber explicar a sí mismo y a los otros el concepto construido o la estrategia seguida; se requiere un uso sapiente de las transformaciones semióticas que permiten pasar de una representación a otra.

Incluso estas primeras palabras, confirmadas por la práctica sea en la didáctica como en el proceso de evaluación, muestran tanto la absoluta complejidad como la especificidad del tema.

Para evitar equívocos, lo hemos dicho y volveremos a decirlo, estas “componentes” del aprendizaje no son ni independientes, ni separables, ni con intersección vacía: el resultado positivo en el aprendizaje se logra sólo gracias a una serie de concausas, a un conjunto holístico de componentes.

Sin embargo, en este libro, gracias a la práctica concreta que se encuentra a la base de la acción didáctica de los docentes, y respaldada por la experiencia ya sea como docente, como investigadora y como formadora (inicial y en servicio) de docentes, propondré un análisis detallado y específico de estos aprendizajes, como si fueran independientes, conciente de que no lo son del todo.

¿Cuál es el objetivo? Sucede, en más de una ocasión, que un estudiante manifiesta no haber logrado el aprendizaje en matemática, en forma confusa y no muy bien delineada. Es más, el mismo error, de dos estudiantes diversos, no dice cuál fue la causa que indujo dicho error, cuál fue el malestar cognitivo, qué no funcionó en el proceso de enseñanza - aprendizaje. Lo que parece ser “el mismo error”, puede tener causas diversas; un docente, no debe intervenir sobre el error, si desea poner remedio a una situación negativa, debe intervenir sobre la causa que lo generó.

Si el alumno no alcanza el éxito en una prueba de matemática, sería oportuno entender a cual de las precedentes componentes se debe adscribir el fracaso; ¿el estudiante no entendió el concepto que habría debido usar?, ¿no entendió el proceso algorítmico que se auspiciaba de él? Etcétera.

Por tanto, consideramos que un análisis detallado de las componentes del aprendizaje en matemática pueda ser de gran ayuda para encontrar las causas del error y remediar en forma específica.

Pero no nos limitaremos a esto únicamente. ¿Cómo se puede evaluar en matemática? ¿Tiene sentido hacerlo en forma burda y no específica? ¿Qué significa: «Bruno no entiende la matemática»? ¿Ha fracasado en matemática, no tiene conocimiento matemático? Imposible que Bruno sea absolutamente... privo de todo aspecto del aprendizaje matemático.

Si entendió el concepto y no lo sabe usar, inútil insistir en el aprendizaje del concepto: si no lo entendió, pero de cualquier forma logra manejar las fórmulas, en la primera ocasión, diferente de aquella rutinaria, cederá; se vuelve entonces necesario ayudarle en la construcción del concepto; y así sucesivamente.

Por tanto, para cada uno de los cinco capítulos de este libro, del 2 al 6, no sólo se presentarán cada una de las componentes del aprendizaje de la matemática, sino que se propondrán, además, algunas actividades centradas en esta componente y en su evaluación de forma específica, separándola de la evaluación de las otras componentes.

No obstante los límites de esta división, consideramos que dicha propuesta podrá ayudar a los docentes en su acción cotidiana de formación de futuros ciudadanos en matemática.

1.2. Diversas componentes en el aprendizaje de la matemática

El aprendizaje de la matemática comprende como mínimo 5 tipologías de aprendizajes diferentes, aunque no libre de superposiciones:

• aprendizaje conceptual (noética);

• aprendizaje algorítmico (calcular, operar, efectuar, solucionar,...)

• aprendizaje de estrategias (resolver, conjeturar, deducir, inducir,...)

• aprendizaje comunicativo (definir, argumentar, demostrar, validar, enunciar,...)

• aprendizaje y gestión de las representaciones semióticas (tratar, convertir, traducir, representar, interpretar,...)

Esta división no debe ser tomada literalmente, dado que, como ya lo hemos dicho, estas componentes se entrelazan reforzándose la una con la otra; sin embargo, dicha división ofrece una indudable comodidad de análisis y de lectura interpretativa de los errores, es decir, de aquellas manifestaciones de malestar cognitivo a las cuales sería bueno remediar positivamente, de forma eficaz. No es ni menos garantizado que su unión logre abarcar todas las componentes del aprendizaje matemático y que, por lo tanto, un análisis mucho más profundo no evidencie otras componente necesarias.

Sólo como ejemplo; junto a docentes de la escuela primaria hicimos una lectura específica de cada una de las componentes de la matemática de dicho nivel escolar, dado que se usaba identificar, hace algunos años, la matemática con el conjunto de componentes disciplinarios como números, figuras, medidas, datos y pensamiento racional (transversal), entonces cada una de dichas componentes disciplinarias puede ser analizada a través de las cinco componentes enunciadas líneas arriba y de proporcionar útiles indicaciones sobre como actuar didácticamente y como remediar a situaciones de fracaso en el aprendizaje.

A continuación entraremos en detalle en cada una de estas componentes, una por capítulo, del capítulo 2 al 6. En este capítulo 1, pero, necesitamos aún de algunas consideraciones preliminares.

1.3. Saber y saber hacer: unicidad y diferencias

Iniciamos haciendo una distinción terminológica, muy discutida, sobre la cual es necesario aún reflexionar.

Saber. Hoy todos concordamos, por lo menos genéricamente, en el carácter “constructivo” del aprendizaje: aprender un concepto matemático, aprender a hacer uso de un algoritmo, a comportarse en modo estratégico, a comunicar la matemática y con la matemática,... son todos comportamientos a través de los cuales se construye un objeto matemático. El primer interprete de la construcción de un aprendizaje es quien lo construye; por tanto, una de las primeras acciones didácticas consiste en enseñar, en promover, en reflexionar sobre las propias estrategias personales, para percibirlas como propias, para evaluarlas. Quien está aprendiendo es el autor principal de su (propia) construcción de aprendizaje.

Saber hacer. Pero, consideramos que el saber por sí sólo, extrapolado de su contexto de uso, no llega a ser considerado saber, y esto vale no sólo para la matemática. Parece absolutamente necesario saber usar en contextos oportunos el concepto construido. El saber hacer sin el saber no es un saber, dado que carece del componente fundamental del saber, que es aplicativo y constructivo. Así, viceversa, el saber sin el saber hacer es vacío y estéril.

Para mayor claridad recurrimos a un ejemplo.

Aún admitiendo que existan sutiles diferencias entre un objeto como “recta” y uno como “demostración” y uno como “operación de división”, consideramos que en la fase de aprendizaje no haya, o no requiera, demasiadas distinciones; creemos que la operatividad (el llamado “saber hacer”) exija tanto del uso de conceptos, como de estrategias (el “saber resolver”,...) como de actividades algorítmicas (el “saber calcular”, el “saber operar”,...) etc.

Por tanto, el “saber” se mezcla con el “saber hacer” y sólo una sabia mezcla de estos tiene el derecho de ser llamado: aprendizaje consciente, saber.

Una antigua distinción que separaba el “saber” del “saber hacer” tiene el sabor de cosa superada, al menos en el campo específico del aprendizaje matemático en el cual el concepto no es nunca el concepto únicamente sino que incluye el uso que de este se hace a cualquier nivel.

A partir de este momento no se harán más distinciones entre “saber” y “saber hacer” pues estos dos aspectos se engloban en el saber mismo sin hacer diferencias.

1.4. Evaluar: un proceso

Una de las funciones que caracterizan con mayor fuerza la acción del docente en el aula es la constante “evaluación”; para decirlo brevemente, este proceso consta de por lo menos tres componentes distintas pero, aún una vez más, estrechamente relacionadas entre ellas (Fandiño Pinilla, 2002): evaluación

• de la propia acción didáctica

• del segmento curricular elegido y

• del proceso de aprendizaje de sus propios estudiantes.

Con relación con este último aspecto, el término “evaluación” se entiende aquí como el conjunto de las acciones mediante las cuales se reconocen las características del aprendizaje de los estudiantes y se determinan los aspectos en los cuales se debe centrar la ayuda que permite garantizar mejor este aprendizaje.

Obviamente dichas “acciones” conllevan un juicio sobre la eficacia de la propia acción didáctica y sobre el segmento curricular sobre el cual se está construyendo el aprendizaje.

En este marco de acción, el docente debe prestar atención a los instrumentos a través de los cuales mide el juicio de cada uno de los estudiantes, en relación con el aprendizaje de la matemática. No se puede y no se debe pensar en un único instrumento para esta evaluación; la investigación ha evidenciado la necesidad de hacer uso de varios y diversificados instrumentos.

Entrando con profundidad, analizamos adjetivos que, generalmente, se asocian al sustantivo “evaluación”.

Una distinción pedagógica que tuvo fortuna es aquella que concierne a la distinción entre evaluación “formativa”, “sumativa” y “evaluativa”; y que internacionalmente están definidas así (DES, 1987):

• la “evaluación formativa” toma en examen el desempeño de un estudiante en relación con sus objetivos cognitivos, en modo de favorecerla sobre la base de los resultados; se incluye en esta, por lo general, la “evaluación diagnóstica” en la cual se identifican las dificultades del estudiante, sea en lo relacionado con el aprendizaje, sea por lo que respecta la falta de comprensión;

• la “evaluación sumativa” mide y sintetiza las realizaciones del estudiante de forma sistemática; esta se reduce generalmente a un adjetivo, un número, una letra, y está destinada no sólo al estudiante y al docente, sino también al externo, a la familia, a la institución escolar;

• la “evaluación evaluativa” (que en español parece una repetición, pero que en inglés es llamada “evaluative assessment”) comprende una evaluación en relación con el trabajo del docente, sobre la escuela, sobre el currículo o sobre un parte de este,..., históricamente esta última tiene como mínimo las siguientes cuatro funciones (Cardinet, 1983):

– efectuar un balance sobre aquello que el estudiante está en grado de realizar en un determinado momento del proceso de enseñanza y aprendizaje;

– guiar la sucesiva fase del aprendizaje sobre la base del balance precedente (sea en relación con los contenidos, sea en relación con las metodologías);

– descubrir las causas de las dificultades del estudiante;

– estimular el éxito del estudiante, con el objetivo de encontrar la forma de favorecer el aprendizaje.

Una terna con significados deferentes del término “evaluación” aparece también en Frabboni (1999) quien distingue entre “predictiva”, “formativa” y “sumativa”; pero, a estas tres acepciones, que se refieren al estudiante, él agrega explícitamente una «evaluación de la escuela como sistema».

Respecto a estas tendencias “clásicas” de interpretar la idea misma de evaluación, el momento actual exige, cada vez con mayor fuerza, tener presente la didáctica de la matemática en la formación docente dado que ya son muchos los jóvenes docentes que entran en el mundo de la educación y docentes en servicio que han frecuentado cursos específicos de esta disciplina.

La disciplina “didáctica de la matemática” tiene por lo menos tres decenios de historia, un gran número de investigadores activos en el mundo, un lenguaje compartido, revista propias (tanto de investigación, como de divulgación, como “mixtas”), seminarios de investigación y de divulgación propios, congresos,..., lo cual hace que su difusión real sea cada vez más amplia.

¿Qué sucede, desde un punto de vista profesional, al docente que hace investigación o al docente que, simplemente, viene a saber de los resultados de la investigación?

Gracias a la llamada difusión, la comunidad de estudiosos de didáctica de la matemática tiene finalmente la posibilidad de responder a esta pregunta; aquí lo presentaremos de la forma menos complicada posible: el docente y/o investigador, una vez conocidos los resultados de la investigación, cambian (D’Amore, Fandiño Pinilla, 2004; Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006). Cambian radicalmente su comportamiento, el cual se hace mucho más atento, más crítico, menos disponible a dar por descontado que ciertas actividades garantizan el aprendizaje sólo por que fueron sugeridas por alguien de alto nivel (o así considerado) o porque dicha actividad es ya una práctica consolidada por la tradición.

Por ejemplo, veamos como la “teoría ingenua de conjuntos”, fuertemente cuestionada por serios estudios en el ámbito de la investigación en epistemología del aprendizaje (Pellerey, 1989), fue lentamente abandonada de la práctica didáctica, posición sostenida incluso por algunos de sus más aguerridos sostenedores; o, por lo menos, fue redimensionada la fe ciega de la cual gozaba en los años ’70 y ’80: de disciplina - panacea se transformó en un lenguaje que se usa sólo cuando es estrictamente necesario;

como el uso de instrumentos didácticos pre-confeccionados, cuya utilidad didáctica era incondicionalmente aceptada por muchos docentes; hoy, este uso es menos a-crítico (D’Amore, 2002a);

como se han modificado las expectativas de los docentes de la escuela secundaria después de los estudios sobre el aprendizaje de la demostración: mientras que hasta hace algunos años se daba por descontada la competencia lingüística - lógica de los estudiantes de 14 años y como consecuencia la idea de demostración, por lo menos para la geometría; hoy se considera que dicha idea necesita de una práctica didáctica explícita (y no es a 14 años precisamente, sino mucho más tarde) (Duval, 1991, 1992-93; Hoyles, 1997).

Cambian, decíamos, la actitud: fatalmente, el docente que entra en contacto con ciertos resultados de investigación no los puede ignorar después; ve, reconoce en el comportamiento de sus estudiantes en aula y en el propio actuar profesional, la confirmación de aquellos resultados y de consecuencia la propia interpretación de las conductas debe ser modificada:

Examinaremos en detalle estos “cambios” de actitud.

Este cambio afecta el currículo.

El docente se vuelve más atento a la congruencia de las propias elecciones didácticas; consciente que existen, por ejemplo, obstáculos didácticos y epistemológicos, o reconoce la influencia del contrato didáctico; no acepta la aparente congruencia, en el sentido de consecutividad de los argumentos, que antes lo satisfacía y lo tranquilizaba, sino que comienza a ponerse el problema del análisis del currículo sobre la base de los resultados cognitivos de sus estudiantes, de su propia acción didáctica, aceptando de consecuencia una revisión crítica y metodológica simultáneamente (Fandiño Pinilla, 2002).

Este cambio afecta la definición de las tareas del docente y del estudiante.

El docente que entra en contacto con los resultados de la investigación, pone en discusión, eficaz y significativamente:

• sus tareas, sus expectativas;

• las tareas del estudiante, sus expectativas, las imágenes que se hace de la disciplina y de su enseñanza.

Se vuelve por lo tanto, más en general y en todo momento, atento a lo que sucede en el frente de quien podríamos definir el actor empeñado en la acción de construir conocimiento, su estudiante (muchas veces, en precedencia, ignorado como actor).

Este cambio afecta las nuevas exigencias que el docente pide a su preparación profesional. Tenemos la prueba en los siguientes hechos:

• el docente en servicio pide a la universidad siempre menos actividades de actualización y formación cuyo foco sea el contenido matemático y se dirige siempre más a especialistas de la didáctica, conciente del hecho que entre más conozca los resultados de la investigación didáctica mayor será, en primer lugar su capacidad crítica de análisis de la situación de aula, y en segundo lugar su propia profesionalidad;

• el docente en formación inicial no lo sabe, precisamente porque está en formación inicial, pero la elección ganadora de la sociedad contemporánea de todos los países es centrar la formación de los docentes de matemática en la didáctica de la matemática, obviamente después de una salda preparación disciplinar la cual resta de todas formas la base de toda la preparación cultural y profesional.

Este cambio afecta las expectativas que la práctica docente tiene de la sociedad y viceversa. Parece inútil que la sociedad exprese sus expectativas generales con respecto a la escuela, si estas expectativas no están en relación con los resultados de la investigación en didáctica. La profesionalidad nueva y atenta del docente informado lo lleva a redefinir esta relación y, en particular, a rediseñar su papel como eficiente ejecutor de los planes educativos que la sociedad le ha asignado.

Este cambio afecta la evaluación (y es sobre este aspecto que pretendemos hacer una mayor reflexión):

• la evaluación del trabajo realizado por el estudiante: el docente, informado de los resultados de la investigación en didáctica mira con diferente óptica, más analítico, crítico, observador, el trabajo de construcción del conocimiento de cada uno de sus estudiantes; incluso, la más banal de las evaluaciones, entendida como medida del conocimiento, como “nota” de asignar al estudiante sobre la base del resultado de su empeño, cambia notablemente;

• la evaluación del propio trabajo hecho en aula: de acuerdo con los resultados de aprendizaje obtenidos por sus estudiantes, el docente informado de los resultados de la investigación en didáctica está en grado de analizar críticamente su actuar al interno del aula, rediseñando sus estrategias metodológicas y sus elecciones;

• la evaluación del currículo: el docente informado de la investigación en didáctica está en grado de re-pensar al desarrollo curricular en cada uno de sus aspectos, asumiéndose en primera persona la crítica a dicho desarrollo y creando condiciones constructivas oportunas para una seria y en ocasiones profunda transformación.

Debemos hacernos preguntas de base: ¿Por qué se evalúa y qué se evalúa?, no obstante las respuestas parezcan obvias; dicha obviedad es muchas veces el resultado de una forma ingenua de afrontar el problema.

Se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología de trabajo en aula (ingeniería didáctica). A partir de los datos recogidos gracias a observaciones en el aula (hechos que describen los alumnos durante el trabajo matemático) y gracias al análisis de los resultados de las tareas (entendidas en general: tanto las “clásicas” escritas u orales, como las menos tradicionales), se pueden identificar puntos fuertes y puntos débiles de cada uno de los estudiantes (esto depende en gran parte del tipo de instrumento de evaluación que se adopta) y así decidir de consecuencia por las elecciones relativas a la transposición didáctica y por una determinada ingeniería didáctica, adecuadas a las necesidades de cada uno de los componentes del grupo clase.

Se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente clase. En una hipótesis constructivista, es dado por cierto que la implicación personal es el primer paso hacia la construcción de un conocimiento, hacia el aprendizaje; por tanto, evaluar si esta fue alcanzada es un paso de extraordinaria importancia. De esto deriva, como consecuencia, que el ambiente dominante en aula es fundamental. Esto significa que es de vital importancia que haya, por así decirlo, en una primera instancia, confianza en la acción del docente. Preguntas como: ¿Los alumnos se dan cuenta si al docente le gusta enseñar matemática?, ¿La resolución de los problemas y el descubrimiento son aspectos habituales en la hora de matemática?, ¿Los alumnos tienen la oportunidad de explorar y de experimentar sin sentir la presión de estar bajo juicio? ¿En el momento de dar una nota, se tiene en cuenta algo más que la respuesta correcta a un ejercicio?,... asumen importancia estratégica en la formación del ambiente de clase adecuado.

Se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante. Los alumnos son capaces (es más, son habilísimos) de reconocer aquello que implícitamente el docente considera importante; por ejemplo, si frente a un trabajo escrito el docente revisa el proceso seguido por el estudiante, sólo cuando la respuesta final no es la correcta, con el fin de encontrar el error, implícitamente está enseñando que el proceso no es importante, que es secundario respecto al resultado (es decir al producto).

Se evalúa para dar una calificación. En esta enumeración, es la última de las razonas por las cuales se debe evaluar, pero ciertamente la de mayor difusión. Los alumnos deben por el contrario tener bien claro que evaluar no es sinónimo de dar una nota. Cuando se da una nota, se debe tener presente que:

• es necesario el uso de diversos instrumentos y técnicas, como lo veremos más adelante;

• es posible que el trabajo del estudiante sea diferente del trabajo usual cuando sabe que su trabajo será objeto de una calificación; y sin embargo los estudiantes deben saber con anticipación cuando un determinado trabajo que están por realizar será sometido a juicio;

• se requiere usar siempre un sistema de evaluación que tenga en cuenta tanto el proceso como el producto.

Las discusiones sobre los métodos y criterios de evaluación en matemática tienen raíces antiguas (en Jiménez Rodríguez, 1997 se ofrece una panorámica diacrónica y sincrónica de gran eficacia; véase también Fandiño Pinilla, 2002).

Consideramos necesario que sea claro que las modalidades concretas para realizar evaluaciones serias son muchísimas, no existen únicamente los cuestionarios o la solución de ejercicios o la resolución de problemas: hoy la investigación ha elaborado formas de evaluación sofisticadas, mucho más atendibles y significativas. Cuando llegue el momento, en el desarrollo de este libro, explicitaremos algunos de estos instrumentos.

En los apartados precedentes, privilegiemos la “evaluación para medir, para dar una calificación”. Pero no olvidemos que, como ya lo dijimos:

• se evalúa para tomar decisiones sobre el contenido (transposición didáctica) y sobre la metodología del trabajo en aula (ingeniería didáctica)

• se evalúa para tomar decisiones sobre el ambiente de clase

• se evalúa para comunicar a los alumnos lo que es importante,

como lo analizamos líneas arriba.

A través de oportunas técnicas de evaluación, el docente recibe informaciones claras sobre la eficacia de su acción didáctica en aula y por tanto de los contenidos tratados, de la metodología; obtiene además informaciones sobre el ambiente de clase; tiene la posibilidad, particularmente con pruebas que podemos llamar no tradicionales, de comunicar incluso explícitamente que es importante y que no lo es.

El análisis histórico de la evaluación, del sentido y de la función que le ha asignado la historia, de sus aspectos sociales etcétera, sería de gran interés, pero no es este el propósito de este libro; por lo tanto reenviamos a los textos enunciados precedentemente.

Así, existen varias teorías sobre la evaluación, teorías llamadas científicas, en sentido estricto, curricular, sobre las cuales invitamos a leer en los mismos textos citados precedentemente.

Precisamente, estas profundas reflexiones llevaron en el tiempo a establecer los criterios de tener presente en la evaluación, los métodos generales y específicos más adecuados, los instrumentos y sus funciones, el significado de validar los resultados que se obtienen con esta actividad.

Uno de los temas más interesantes es aquel de la relación entre convicciones de los docentes y evaluación; es obvio que diferentes convicciones impliquen diferentes evaluaciones. Pero, sobre todo esto, ya se hizo un profundo análisis por lo cual consideramos no sea necesario reportarlo aquí (Fandiño Pinilla, 2002).

Pero, una lectura como la que sigue, tiene sentido y es eficaz sólo si el docente que lee quiere hacer uso de los resultados reportados y si ya posee una buena capacidad crítica; deseamos aquí subrayar que, para nosotros, estas son las características de una innovación en la evaluación en matemática.

La forma más eficaz es la de hacer una breve lista de las condiciones que parecen determinar actualmente el sentido que tiene la innovación en la evaluación; lo haremos por puntos, buscando reutilizar algunos términos técnicos, evitando en lo posible largas explicaciones.

Las características principales de una innovación en la evaluación de un proceso sistemático de enseñanza - aprendizaje de la matemática, extrapoladas de los trabajos de investigación, son las siguientes:

• Una cuidadosa elección y descripción explícita de criterios y objetivos, con referencia a contenidos, en un modelo crítico - orientativo. Es así como la matemática debe ser considerada como una construcción significativa; la lista de los contenidos no es estática, por el contrario, ampliamente dinámica; debe ser incluida la valoración de los progresos locales de cada uno de los estudiantes; la elaboración de las actividades debe ser consecuencia del proceso o por lo menos relacionarse con este y no viceversa es decir fijada a priori de forma definitiva.

• La evaluación es vista como compleja y multidimensional, así como lo es el complejo proceso sistémico de enseñanza - aprendizaje.

• La evaluación no se restringe a un punto o a una cierta acción, por el contrario, debe ser realizada a lo largo de todo el arco del proceso de enseñanza - aprendizaje, dado que esta se considera una parte integrante de dicho proceso. La evaluación, por tanto, es continua y global.

• La evaluación debe ser adapta al estudiante evaluado y debe tener presente la diversidad. Evaluar significa también reconocer y aceptar las características individuales. La atención por la diversidad se extiende a la evaluación del currículo y del trabajo del docente.

• La evaluación implica el desarrollo de habilidades de tipo comunicativo. Esta favorece la adquisición de competencias incluso de tipo instrumental. El estudiante podrá desarrollar conceptos, procedimientos, actitudes y mejores estructuras, siempre que se mueva en esquemas no fijos, de forma tal que todo sea aplicable de forma independiente en las situaciones particulares; desde esta interpretación hablamos de “competencias estructurales”. El proceso de aprendizaje, entendido en un este vasto sentido, debe ser autorregulado; es decir favorecido de momentos de análisis crítico del proceso, replanteamientos y evaluaciones de carácter meta-cognitivo. En todo esto juega un papel esencial la explicitación, por parte del docente, de todo aquello que él piensa que deba suceder en el aula, en el proceso de enseñanza - aprendizaje y en el proceso de evaluación. Por último, se debe agregar la solicitud de claridad, con el objetivo de evitar ambigüedades sea en la asignación de las tareas, sea en la explicitación de las expectativas. Esto no debe entrar en contraposición con la idea de situación a-didáctica: no se debe confundir el contexto de enseñanza, es decir la elección de “buenas situaciones” de proponer para lograr los objetivos cognitivos, con las reflexiones sucesivas, o con la explicitación de los momentos de evaluación.

• El conocimiento adquirido debe tener un alto grado de aplicabilidad no sólo endógena, sino, básicamente, de carácter exógeno. Pero no basta: el estudiante debe reconocer este hecho y saberlo expresar a través oportunas situaciones: debe tener la sensación que el conocimiento adquirido influencia su competencia que resulta útil y evaluable.

• ¿Qué sucede en el proceso, cómo viene analizado antes y registrado después el nivel de calidad de la evolución cognitiva? De este punto se ocupa el “control”. El control interviene, incluso si parece paradójico, en vía preliminar, en el momento de proyectar el currículo o, por lo menos, la parte específica del proyecto de la evaluación; pero está siempre presente para alcanzar una re-proyectación constante, para articular formas de regulación y de autorregulación. Precisamente estas son las características que determinan un sistema abierto respecto a uno cerrado. Esto implica una actividad de tipo diverso de las pruebas de evaluación “usuales”, recurriendo a la formulación de conjeturas, su verifica y su defensa, al análisis del dominio de situaciones diversas que caen bajo el mismo conocimiento, a la redacción de textos, diseños, gráficos,.. Pero ¿cómo reconocer si las técnicas de control (entendido en este sentido) son adecuadas? Podemos decir que un control es adecuado sí ese mismo produce informaciones adecuadas para ser usadas a fin de mejorar las competencias de cada uno de los estudiantes y el proceso individual de construcción de conocimiento.

• La investigación actual sobre la evaluación, reflejando una dirección general que podemos pensar común a toda la didáctica de la matemática, está dando mucha importancia a la motivación y a los aspectos afectivos. Sobre estos aspectos debemos centrarnos, para ayudar al estudiante a crecer también en el gusto de tomar decisiones. Por ejemplo, si el estudiante hace preguntas sobre el procedimiento que debe seguir en una actividad, es contraproducente, desde este punto de vista, sugerir como proseguir; por el contrario, es aún más productivo motivar, responder con otra pregunta que lleve a reflexionar sobre la situación, sugerir un análisis, una analogía, una estrategia que el estudiante no había visto o pensado; es inútil dar indicaciones que aumenten el nivel de la propuesta, dirigiéndola a un nivel mayor (de un ejemplo a la generalización; de un ejercicio a la comparación estructural; de la defensa de una conjetura a la demostración; sólo para dar algún ejemplo concreto). Siempre en este ámbito, queremos subrayar la importancia que tiene el hecho que el estudiante entienda que el docente decidió aceptar su situación personal, ya sea en términos de elecciones, ya sea en lo que respecta una eventual condición de objetiva diversidad.

• Una moderna idea de evaluación, que tenga en cuenta de los resultados de la investigación, debe plantearse el problema de la formación. De una parte, la formación de los estudiantes sobre el tema: explicitar las problemática, hacerlas evidentes y contribuir a hacer sí que incluso la evaluación sea elemento vivo y presente en la vida de aula. Por otra parte, no siempre obvio en la formación inicial o en servicio de los docentes.

• Una moderna idea de evaluación, que se proponga como innovadora, no puede prescindir de la exigencia que esta sea coherente y ecuánime, de forma tal, que se gane la confianza de todos, de los estudiantes, de sus familias, de los docentes, de la noosfera. La coherencia más compleja de obtener parece ser aquella entre lo que se hace en matemática y cómo este hacer viene evaluado; este punto debería ser desarrollado dando valoraciones explícitas. En cuanto a la equidad, esto implica que cada estudiante deba sentirse parte no sólo del proceso de enseñanza - aprendizaje, sino también del proceso de evaluación. La coherencia implica un desarrollo eficaz, el reconocimiento de valores diversos, la profesionalidad del docente. Por último, es importante que todos tengan confianza en el proceso de evaluación, porque este pueda ser reconocido como el producto externo en el cual se configura la ética de las intenciones didácticas.

Es en todo esto que se reconoce un tentativo de fundar una moderna visión de la evaluación sobre la base de los actuales resultados; lejos de ser, como podría pensarse, sólo un conjunto de palabras vacías, lo descrito hasta aquí es, por el contrario, un instrumento preciso y concreto que aporta un fundamento nuevo, riguroso y ágil, a la profesionalidad del docente.

1.5. Intervenir y evaluar la especificidad de un fracaso

Como ya lo habíamos dicho, seguirán los cinco capítulos del 2 al 6, en cada uno de los cuales se presenta uno de los cinco componentes del aprendizaje de la matemática; en cada uno de ellos, se harán propuestas de actividades centradas en la evaluación específica.

¿Por qué? Porque el fracaso de un estudiante en matemática puede ser, en más: la mayor parte de las veces lo es, específico. Es un hecho conocido y confirmado por muchos docentes.

Un estudiante pudo haber construido en concepto auspiciado, pero no sabe usarlo para realizar un algoritmo, o para revolver un problema; no lo sabe comunicar o sólo aprendió a representarlo semióticamente.

Otro estudiante pudo no haber construido el concepto deseado, sin embargo sabe operar algorítmicamente sobre aspectos relacionados con este concepto; por ejemplo, el estudiante de la escuela media no ha entendido el sentido conceptual de la proporción pero sabe que el producto de los medios es igual al producto de los extremos: y lo usa para efectuar algoritmos; pero, no sabe usar las proporciones cuando se trata de resolver problemas, no sabe comunicar el sentido de lo que está haciendo, sabe representar la proporción sólo si la reconoce en la forma algebraica. Un caso que se tiene con mucha frecuencia en la escuela superior o en al universidad: estudiantes que saben calcular límites o derivadas, pero que no han elaborado el concepto ni del uno ni de la otra.

Ahora que el sentido de lo que aquí proponemos ha sido clarificado, podemos ir un poco más rápido, con ejemplos aún más específicos, formulados de forma mucho más cercana a la cotidianidad: estudiantes que saben transformar semióticamente ecuaciones, pero que no saben conceptualmente que están haciendo; estudiantes que... La lista podría continuar, con ejemplos fácilmente evidenciados a cualquier nivel escolástico.

Esta es la respuesta a la pregunta: el análisis detallado de cada una de las componentes no es y no pretende ser la declaración falsa e ingenua que estos aprendizajes actúan de forma separada; este análisis es sólo un proyecto discursivo por comodidad para ayudar en la evaluación específica, en la recuperación, actuando directamente sobre las causas y no sobre los errores.