Читать книгу Wprowadzenie do teorii obliczeń - Michael Sipser - Страница 26

Twierdzenia i dowody to ciało i krew matematyki, a definicje są jej duszą. Te trzy byty stanowią podstawę każdego działu matematyki, w tym naszego.

Definicje opisują obiekty i pojęcia, którymi się posługujemy. Definicja może być prosta, jak w przypadku definicji zbioru przedstawionej wcześniej w tym rozdziale, albo złożona, jak definicja bezpieczeństwa w systemie kryptograficznym. Zasadniczą cechą każdej definicji matematycznej jest precyzja. Gdy definiujemy jakiś obiekt, musimy zapewnić jednoznaczność tego, co określa dany obiekt, a co nie.

Po zdefiniowaniu różnych obiektów i pojęć zazwyczaj formułujemy zdania matematyczne (stwierdzenia) na ich temat. Typowe stwierdzenie głosi, że pewien obiekt ma określoną własność. Zdanie może być prawdziwe lub nie; jednak ponownie jak definicja, musi być precyzyjne. Żadna niepewność co do jego znaczenia nie jest dopuszczalna.

Dowód jest przekonywającą logiczną argumentacją, że określone zdanie jest prawdziwe. W matematyce argumentacja ta musi być ścisła; inaczej mówiąc, musi być przekonywająca w znaczeniu absolutnym. W codziennym życiu czy w prawie standardy stawiane dowodom są niższe. W procesie o morderstwo wymagany jest dowód „wykraczający poza uzasadnione wątpliwości”. Waga świadectwa (zeznania czy materialnego faktu) może przekonać przysięgłych, by uznali niewinność lub winę oskarżonego. Jednak takie świadectwa nie odgrywają żadnej roli w dowodzie matematycznym. Matematyk domaga się dowodu poza wszelkimi wątpliwościami.

Twierdzeniem nazywamy zdanie matematyczne, którego prawdziwość została dowiedziona. W ogólności rezerwujemy użycie tego słowa dla zdań o szczególnym znaczeniu. Od czasu do czasu dowodzimy stwierdzeń, które są interesujące tylko dlatego, że są pomocne w dowodzeniu innych, bardziej znaczących zdań. Tego typu zdania nazywane są lematami. Niekiedy zdarza się, że twierdzenie lub jego dowód pozwala łatwo wywnioskować, że inne powiązane stwierdzenia są prawdziwe. Takie zdania nazywamy wnioskami z twierdzenia.