Читать книгу Супермастерство. 12 принципов усиления навыков и знания - Скотт Янг, Scott H. Young - Страница 4

• Как люди решают сложные задачи?

• Существуют ли общие методы, подходящие для решения любых задач?

• Как мы решаем задачи, которые до нас никто никогда не решал?

«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Одним этим предложением Пьер Ферма создал загадку, над которой более трех столетий ломали голову математики. Она завела в тупик великого Леонарда Эйлера: почти через век после смерти загадочного ученого он обыскал его старый дом, надеясь найти там хоть какой-нибудь обрывок доказательства[34]. Головоломка также обманула математиков Огюстена Коши и Габриеля Ламе, которые заявили было, что нашли ответ, но позже в их логике обнаружили фатальный изъян[35]. Немецкий промышленник Пауль Вольфскель даже назначил премию в сто тысяч марок для того, кто разрешит эту загадку[36]. Тем не менее, несмотря на все усилия, доказательство Великой теоремы Ферма оставалось тайной.

Рис. 2. Два квадрата можно сложить и получить еще один квадрат: 32 + 42 = 52. А вот из двух кубов точный куб не составить. Здесь, например, 63 + 83 = 93 – 1

Утверждение Ферма легко понять, пусть и нелегко доказать. Из теоремы Пифагора нам известно, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c². Поиграв с этим выражением, можно подобрать целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Например, 3, 4 и 5 (9 + 16 = 25) или 5, 12 и 13 (25 + 144 = 169). На самом деле таких «пифагоровых троек» существует бесконечное количество; их так назвали потому, что это доказал еще сам древнегреческий математик. Но что, если изменить выражение и подставить в него вместо квадратов кубы? Получится ли тогда найти три подходящих целых числа? Ферма утверждал, что нельзя. Более того, он считал, что это невозможно для любой степени больше второй. Математическим языком, по словам Ферма, уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет целочисленных решений для любого n больше 2.

Эндрю Уайлс впервые услышал о загадочной Великой теореме Ферма в десять лет. «Она казалась такой простой, но ее не смог решить никто из великих математиков в истории, – вспоминал он. – В тот момент я понял, что никогда не отступлюсь»[37].

Уайлс отучился в школе, затем в Кембриджском университете, где специализировался на разделе математики, известном как эллиптические кривые. Делая карьеру, Уайлс не выпускал из виду последнюю загадку Ферма. Однако он, как и многие другие математики, тоже не видел никакого пути к доказательству.

Все изменилось в 1984 году. Ученый Герхард Фрей предположил неожиданную связь между Великой теоремой Ферма и знаменитой гипотезой, выдвинутой дуэтом японских ученых[38] Ютакой Таниямой и Горо Шимурой. Они заявили, что две с виду очень далекие друг от друга ветви математического дерева на самом деле тесно переплетены: по их мнению, у любой модулярной формы имелась соответствующая эллиптическая кривая. Это предположение стало настоящей «рабочей лошадкой» для математиков тех лет – во многих научных работах по умолчанию подразумевалось, что она верна. Тем не менее это было лишь подозрение. Фрей же предположил нечто еще более неожиданное: если верна гипотеза Таниямы – Шимуры, то верна и Великая теорема Ферма. Уайлс, уже ставший тогда специалистом по эллиптическим кривым, наконец-то нашел путь к реализации своей детской мечты: нужно было всего лишь доказать, что догадка Таниямы и Шимуры верна.

Он решил работать в обстановке полной секретности. Накопив определенный объем материала, ученый стал публиковать его не спеша, в серии статей, чтобы создать впечатление, будто по-прежнему работает над старыми проектами. Уайлс перестал ездить на конференции и до минимума сократил преподавательские обязанности. Все время на работе и не посвященное семье он работал над доказательством. Также ученый применил рискованную стратегию: полностью изолировался от помощи коллег, утверждая, что одиночество помогает ему лучше сосредоточиться. На самом деле он, скорее всего, отлично осознавал, что, работая над задачей в одиночку, не будет вынужден ни с кем конкурировать, если откроет доказательство.

Первые полтора года Уайлс провел в библиотеке, изучая все математические материалы, как-либо связанные с модулярными формами и эллиптическими кривыми. Словно искатель приключений, входящий в джунгли, которых нет на карте, он решил вооружиться всеми возможными инструментами. Проштудировав основы, он начал самостоятельно исследовать математический аппарат в поисках закономерностей, которые привели бы его к доказательству. После двух лет такой работы он добился прорыва: нашел способ продемонстрировать, что первый элемент каждой модулярной формы связан с первым элементом каждой эллиптической кривой. Оставалось «всего лишь» разобраться с остальной бесконечностью составляющих.

Застряв в тупике, Уайлс обратился за помощью к коллегам, тщательно скрывая природу своего проекта: не слышали ли они о каких-нибудь неопубликованных математических работах, не замеченных им? Тогда его старый наставник Джон Коутс упомянул работу одного из своих учеников, Матиаса Флаха[39], который углубил методику другого математика, Виктора Колывагина. «Я почувствовал: это ровно то, что нужно, – вспоминал позже Уайлс, – хотя и знал, что мне придется дальше разрабатывать этот метод Колывагина – Флаха»[40].

Уайлс был уже близок к разгадке, но ему «пришлось иметь дело с множеством сложных механизмов», с которыми он «не был особенно знаком. Ученый с головой погрузился в алгебру, что вынудило его выучить много нового математического материала»[41]. Тогда он наконец решил нарушить молчание. Доверившись своему другу и коллеге-математику Нику Кацу, Уайлс получил необходимые подсказки, чтобы завершить доказательство. После семи лет работы он добился успеха там, где другие триста лет терпели неудачу.

«Это был самый важный момент моей рабочей жизни, – вспоминал Уайлс в документальном фильме о своем триумфе, снятом BBC. – Ничто из моих будущих достижений уже не будет настолько же важным»[42].

КАК ЛЮДИ РЕШАЮТ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ

Очень немногие задачи настолько же сложны, как Великая теорема Ферма. Тем не менее история Эндрю Уайлса многое говорит о способе мышления, который помогает справляться с трудностями. В 1972 году когнитивные психологи Герберт Саймон и Аллен Ньюэлл издали эпохальную книгу Human Problem Solving (Как человек решает задачи), в которой исследовали эти мыслительные процессы. Они попросили участников своих экспериментов рассказать, о чем те думают, когда решают задачи, а затем, сравнив их результаты с эталоном, скрупулезно описали, как люди справляются со сложными головоломками. Их открытия стали отправной точкой для множества новых исследований и десятилетиями применялись в таких разных областях, как шахматы, литература, наука, математика и медицина.

Центральное место в теории Саймона и Ньюэлла занимает идея, что решение задач – это поиск в задачном пространстве. Оно подобно лабиринту: вы знаете, где находитесь, и можете понять, дошли уже до конца или нет. По пути, однако, вы время от времени заходите в тупики, что ограничивает свободу передвижения. Сложность в том, что вы не можете сразу пройти к финишу – ведущий к нему извилистый путь нужно поискать.

В лабиринте задачное пространство – физическое, хотя обычно они абстрактны. Представьте, что вы собираете кубик Рубика: начальное положение – случайный набор цветов; конечное положение – один оттенок с каждой стороны; доступные вам движения – повороты граней в разных направлениях. Здесь вы имеете дело не с буквальным пространством, а с пространством конфигураций: каждый поворот несколько изменяет состояние задачи, не решая ее. Цель тут, как и в случае с лабиринтом, состоит в том, чтобы сориентироваться в этом абстрактном пространстве и добраться от старта до финиша.

Доказательство Великой теоремы Ферма тоже представляло собой поиск в задачном пространстве. Для Уайлса отправной точкой служили ранее доказанные математические теоремы, а конечной целью было вывод, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет целочисленных решений, если n больше двух. Трудность при этом заключалась в том, что каждое движение в задачном пространстве должно было быть корректным, основанным на предыдущих результатах. Ограничения логики работали для Уайлса как стены лабиринта, не давая ему просто написать то, что хочется. Ученому нужно было проложить сквозь извилистые коридоры математики путь к утверждению, что Ферма был прав.

Привыкнув к существованию задачных пространств, вы начнете замечать их везде. Например, ученые выискивают в них новые законы[43]. Отправная точка для них – непонятный набор данных; конечная точка – теория, которая их объясняет; решение задачи – поиск в пространстве гипотез, которые могут расшифровать данные, и в пространстве возможных экспериментов, которые могут проверить теорию. Так же архитектор, проектирующий здание, ведет поиск в задачном пространстве возможных конструкций, чтобы найти среди них ту, которая вписывается в его ограничения – цену, размер, строительные нормы, – и при этом стремится оптимизировать ее функциональную и эстетическую ценность. Даже написание этой главы тоже было процессом решения задачи: моей отправной точкой был пустой документ, а конечной целью – законченная глава, в которой объяснялись бы идеи, которые я хотел представить.

ПОЧЕМУ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ СЛОЖНЫЕ

Формулировка термина «решение задач», предложенное Саймоном и Ньюэллом, имела одно непосредственное следствие: большинство задач не решаемы. Пространство возможностей слишком огромно, чтобы найти ответ, и без использования хитроумных методов случайные догадки просто не сработают. Например, у кубика Рубика более сорока трех квинтиллионов различных комбинаций[44]. Если исследовать их все одну за другой, тратить на каждую всего секунду, это займет время, в пять тысяч раз превышающее возраст Вселенной. А вот перед Эндрю Уайлсом стояла задача проложить курс в куда более необъятных водах: компьютерную программу, которая механически соберет кубик Рубика, написать возможно, но вот создать – даже в принципе – устройство, которое сможет доказать любую математическую гипотезу, нереально. Математик, вооруженный ограниченными знаниями, вынужден ориентироваться в неограниченном море цифр и переменных, не имея гарантии, что сможет безопасно добраться до берега. Сам Уайлс хорошо понимал возможность неудачи: «Методов, которые были необходимы мне для доказательства, еще не изобрели. Поэтому вполне вероятно, что я был на верном пути, просто родился не в то время».

Если большинство задачных пространств слишком огромны, чтобы их можно было полностью обыскать, то как же мы справляемся? Ответ Саймона был следующим: мы довольствуемся минимумом (satisfice). Вместо того чтобы искать лучшее возможное решение, человек выбирает то, что считает достаточно хорошим. Например, руководитель компании не изучает абсолютно всю информацию и не учитывает все возможности, прежде чем принять неотложное деловое решение, – он перебирает варианты, пока не найдет среди них приемлемый, учитывая свое ограниченное время и внимание. Но у довольствования минимумом есть два больших недостатка. Во-первых, выбрав «достаточно хороший» вариант, мы рискуем никогда не узнать, какой был лучшим. Для уникальных задач это, пожалуй, не проблема, но если нам придется сталкиваться с одной и той же задачей снова и снова, то склонность выбирать то, что сработает «прямо сейчас», может в итоге ограничить наш прогресс. Например, человек, который печатает на клавиатуре одним пальцем, ища взглядом каждую букву, в целом справляется со своей задачей, но из-за этого ему труднее научиться слепому методу печати. Во-вторых, найти даже просто приемлемое решение может быть очень сложно. Так, Уайлс в своих поисках мог довольствоваться минимумом в элегантности или длине доказательства, но точно не в математической строгости. Доказательство, несуразное внешне или слишком многословное, было бы для него удовлетворительным, а вот то, которое нарушало бы правила логики, – нет.

Кроме снижения стандартов, есть и другой способ убавить трудность задачи: использовать знания так, чтобы направить поиск в более плодотворном направлении. При этом апогеем может стать то, что задача вообще не потребует решения: например, мне не нужно проводить поиски в задачном пространстве, чтобы решить пример 5 + 7 – я просто помню, что ответ – 12. Именно поэтому наша повседневная жизнь по большей части свободна от проблем, ведь ключи к ним мы храним в памяти. Вождение машины, запись к врачу или стирка белья не составляют труда для большинства взрослых людей, потому что они отлично помнят, какой путь ведет к решению. Однако вы, возможно, еще помните те времена, когда запуск стиральной машины казался для вас настоящей загадкой: куда класть порошок? Какую одежду можно стирать вместе, а какую – ни в коем случае? Опыт превращает задачи в рутину.

В некоторых случаях память может подсказать метод, даже если не даст точного ответа. Например, я не помню, сколько будет 128 + 47, однако, следуя правилам сложения многозначных чисел, которым научился в начальной школе, легко найду ответ – 175. Но не у всех задач алгоритмы настолько удобны, и когда-то это стало для математиков большим сюрпризом. В 1900 году ученый Давид Гильберт составил список из двадцати трех проблем, которые, как он надеялся, должны были разрешиться в ближайшие сто лет. Одной из них как раз был поиск алгоритма, который смог бы определить, имеют ли уравнения, подобные Великой теореме Ферма, целочисленные решения[45]. И вот спустя семьдесят лет математики доказали, что такого алгоритма быть не может![46] Для других задач есть метод, который гарантированно найдет решение, но он не сильно лучше, чем перебор абсолютно всех возможностей. Именно к такому классу принадлежат судоку, шахматы и даже «Тетрис»[47]. Таким образом, наш опыт обучения в школе может быть обманчив, потому что подавляющее большинство задач в реальной жизни не имеют метода решения, гарантирующего правильный ответ.

Однако даже если метод не может обещать решения, он все равно способен уменьшить объем поисков. Эвристика не дает гарантий, но во многих случаях работает неплохо. Например, при технических проблемах один из возможных эвристических методов – выключить устройство и снова включить его. Он не всегда дает нужный результат, но в удивительно многих случаях в самом деле помогает. Так, у Уайлса не было никакого готового алгоритма, который он мог бы применить: опровержение десятой задачи Хильберта показало, что его не существует, – но у него было достаточно эвристических методов, которые он изучил за время учебы и математической практики. Например, применение доказательства по индукции – это довольно общая математическая стратегия для подтверждения того, что некое свойство имеется у бесконечного количества элементов. Все, что для этого нужно сделать, – показать, что первый элемент обладает этим свойством, а затем, что оно не меняется при переходе к следующему. Этот трюк похож на сбивание ряда из костяшек домино: вы доказываете, что некая гипотеза истинна для бесконечного количества элементов, не проводя бесконечного числа проверок. Такой эвристический метод оказался для Уайлса ценнейшим способом связать каждый элемент эллиптической кривой с каждым элементом модулярной формы.

Еще один популярный математический эвристический метод – поиск инвариантов. Если вы находите в задаче что-то, что не меняется, как ни меняй условий, то можете избежать длительных поисков в задачном пространстве. Рассмотрим, например, загадку с подпиленной шахматной доской: в ней спрашивается, можно ли полностью замостить костяшками домино шахматную доску, у которой отпилены верхнее левое и правое нижнее поля[48].

Рис. 3. Можно ли полностью замостить подпиленную шахматную доску костяшками домино?

Учитывая, что на доске остается 62 поля, а каждая костяшка домино покрывает 2, на первый взгляд кажется, что решение задачи потребует длительных поисков. Можно перепробовать самые разные комбинации из 31 костяшки домино, чтобы проверить, выйдет ли их разместить на шахматной доске или нет. Однако если вы достаточно умны, то можете для начала поискать инвариант. Один из инвариантов этой задачи состоит в том, что костяшка домино, как ни клади ее на доску, всегда покрывает одно черное и одно белое поле. После того как мы поймем, что от доски отпилили два белых поля, сразу станет ясно, что замостить ее костяшками домино нельзя – одна из костяшек должна будет лежать на двух черных полях, а мы только что доказали, что это невозможно. Применение правильного эвристического метода избавило нас от длительных поисков.

Доказательство по индукции и поиск инвариантов часто используются в математике и логике. Тем не менее они работают только в довольно небольшом диапазоне задач относительно всего того, с чем мы можем столкнуться в реальной жизни: так, понимание математической индукции никак не поможет написать портрет или создать маркетинговый план. Психологи называют такие методы специфическими для предметной области, потому что они пригодны только для ограниченного круга задач. В таком случае возникает интересный вопрос: существуют ли эвристические методы или стратегии, которые работают для многих разных задач?

СУЩЕСТВУЕТ ЛИ СТРАТЕГИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВСЕХ ВИДОВ?

В своем исследовании решения задач Саймон и Ньюэлл рассматривали ряд общих стратегий, которые применялись людьми для разнообразных проблем. Ученые утверждали, что они применяются в качестве резервного варианта, когда недоступны более специфические методы. Саймон и Ньюэлл считали их слабыми методами, а сильными, по их мнению, были гарантированные алгоритмы или специфические для предметной области эвристики, значительно снижающие время поисков в задачном пространстве[49]. Слабые методы включают генерацию и проверку, анализ средств и целей, планирование и «подъем на холм».

Слабый метод № 1: метод перебора

Самой базовой стратегией, использование которой наблюдали Саймон и Ньюэлл, была следующая: просто что-нибудь попробовать и посмотреть, работает ли. Например, забыв пароль от аккаунта на старом компьютере, я попробую с полдюжины паролей, которыми пользовался раньше. Если мне повезет, один из них окажется верным, и мне не нужно будет прибегать к более сложным методам решения задач. Потеряв ключи, я сначала попробую поискать в нескольких случайных местах, а потом уже начну вспоминать, куда ходил и где мог их оставить. Пытаясь сочинить эссе, я могу преодолеть «боязнь чистого листа», просто начав писать хоть что-нибудь, а потом уже это отредактирую. Случайный набор фраз, скорее всего, окажется не очень хорош, но первая мысль, пришедшая в голову, при достаточной опытности может быть и неплохой. Все это говорит о том, что у метода перебора есть очевидный недостаток: он приводит к катастрофе, если задачное пространство слишком большое. Работает это, только когда задача уже достаточно ограничена или знакома нам, чтобы простые догадки могли дать разумный ответ.