Читать книгу Факультет. Курс второй - Владислав Картавцев - Страница 3

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

Рис. 5

«На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс.

Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4).

Рис. З

Рис. 4

Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток i₃ равен сумме токов i₁ и i₂ двух ветвей:

i₃ = i₁ + i₂.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Результирующий ток также будет синусоидален:

Определение амплитуды¹^ и начальной фазы ψ₃ этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным

Рис. б

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения I_3m и ψ₃ из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения i₃ путем формального учета угловой частоты:

– Господи! – Кирилл в сердцах швырнул ручку через всю комнату и схватился за голову. – Скажите мне, пожалуйста, это, в принципе, возможно понять и возможно выучить?

Он подпер лоб руками и уставился в никуда затуманенным взглядом. Пресс учёбы давил все сильнее и сильнее, и Кириллу лишь огромным напряжением сил удавалось не выбиваться из графика.

ДЗ, курсовые работы, практические занятия сыпались, как из рога изобилия, и требовали постоянной концентрации и самоотдачи. Но ладно бы только ДЗ и курсачи – массу времени отнимали лекции, перемещение между корпусами МГТУ, ежедневные занятия физкультурой – к ФЗ на факультете добавлялось ФЗ по инженерной специальности – и вот получаем: шесть раз в неделю! Как у претендента в сборную университета.

– Мне не хватает минимум пяти часов в сутки, чтобы всё успевать! – Кирилл еще пару месяцев назад пришел к такому безрадостному выводу, и каждый прожитый день добавлял ему уверенности – здесь он прав. И чтобы компенсировать эти часы ему пришлось отказаться от поездок на выходные домой к родителям и занять субботу и воскресенье исключительно учебой. Кроме того, в субботу был МИД.

Щербень оставался непреклонным – Кирилл должен приезжать к нему раз в неделю!

– Я не могу разбрасываться по пустякам и обращать внимание на твою великую занятость в университете! Служба родине требует от каждого из нас многого, заруби на носу. И если бы ты знал, в каком темпе сорок-пятьдесят лет назад трудились наши инженеры и рабочие, когда создавали и запускали в космос ракеты, если бы ты знал, что они месяцами жили на производстве и спали по три часа в сутки, твои временные трудности показались бы тебе смешными! Тем более, сейчас такое напряженное время – и каким образом развернутся события в стране (и в целом в мире), никто точно не знает. И мы должны сделать всё, чтобы они – события – пошли благоприятным для нас путем. И в этом ты нам поможешь.

– Конечно! – при общении с Павлом Ивановичем Кирилл все-таки старался выглядеть оптимистически настроенным. Его внутренние метания не должны слишком часто выплескиваться наружу – никто не оценит, и никто не примет. Только заряженность на успех, только hardcore!

– Вот и славно. Я рад, что ты понимаешь всю сложность момента, рад, что мы можем рассчитывать на тебя. Ну – пора к делу!

* * *

С формальным наступлением нового сезона работы МИД (как известно, новый сезон всегда стартует после окончания летних отпусков) Кирилла освободили от обязанности копаться в архивах, и Щербень торжественно объявил ему, что его труд был чрезвычайно эффективным.

– Ты хорошо поработал, молодец! Проявил терпение и целеустремленность. Проявил навыки профессионала – кропотливо разбирался в материале, преодолевая скуку и равнодушие. Еще раз – молодец! А теперь мы должны сосредоточиться на одной неотложной проблеме. Следуй за мной!

Щербень повел его по коридорам МИД – в самые дебри здания (здесь Кирилл никогда не бывал). Они миновали два поста наружной охраны, три толстенные железные, похожие на сейфовые, двери и оказались в небольшом актовом зале, рассчитанном примерное человек на двадцать – с мягкими креслами и проекционным экраном на стене.

– Отличное место, чтобы поговорить! И главное, обеспечивает полную защиту от даже самой высокотехнологической прослушки, которую так любят использовать наши заокеанские недрузья-непартнеры. А речь у нас пойдет вот о чем!

Щербень подошел к стоящему в дальнем углу зала компактному холодильнику и достал оттуда пару бутылок минералки.

– На, промочи горло и слушай внимательно! В конторе назрела необходимость проверить сотрудников на предмет двойной игры. В принципе, проверкой мы занимаемся постоянно, но сейчас – с твоей помощью – можем подключить альтернативные источники получения информации. Если ты не понял – я собираюсь натравить тебя на отлов американских шпионов!

– Каким образом? – Кирилл скрутил крышку с бутылки и сделал приличный глоток из горлышка.

– Обыкновенным! Пойдем прямо по отделам – с первого до последнего! Каждую субботу я буду выдавать тебе фотографии сотрудников, а ты станешь мне докладывать, внушает ли кто-нибудь из них подозрения на предмет связи с иностранными разведками, или же они все чисты, как агнцы божии! Если чисты – хорошо, если есть сомнения, займемся этим человеком плотнее – например, изучим его с близкого расстояния. На выбор – поговорим в открытую, пустим за ним хвоста, прогоним через детектор лжи, установим телефоны на круглосуточную прослушку и т. д.

Щербень рассмеялся и подмигнул Кириллу:

– А в конце отправим в ГУЛАГ, чтобы осознал вину и раскаялся! Но я думаю, ты понимаешь, что это шутка. Твою информацию и твои ощущения мы примем к сведению и никого без проведения надлежащих проверочных и оперативных мероприятий мы, конечно, трогать не станем. Но ты должен ясно осознавать – если с твоей помощью мы сможем вскрыть «крота» или даже «кротов», это будет замечательно. Усёк?

– Еще бы! – у Кирилла вдруг пересохло в горле. Как тут не «усечь» – кажется, его назначают ответственным за судьбы других людей, и цена его ошибки может быть очень высокой!

– Мне понятно твое состояние! – Щербень внимательно и долго посмотрел на Кирилла. – Тебя доверяют очень, очень и еще раз очень ответственное дело! Да, ты все правильно понимаешь – ошибаться тебе никак нельзя. Но у тебя есть веская причина успокоиться и просто делать то, что ты умеешь. Ведь, как я уже сказал, твоя информация будет не единственной. И если она и повлияет на принятие нами решений, то только как дополнение. У нас вообще никогда не делают окончательных выводов, если нет подтверждения их правильности из множества источников. И поверь, в любом случае, я тебя поддержу!

– Спасибо! – Кирилл благодарно кивнул. – Когда нужно приступать?

– Да прямо сейчас! Что тянуть-то? Пошли в мой кабинет, там выдам тебе первую порцию фотографий. – Щербень встал. – И не забудь забрать пустую бутылку. Мусорного бака у нас здесь нет, тару выносим с собой. И сдаем под роспись. Секретность, понимаешь, превыше всего!

* * *

Кирилл положил толстенький конверт с фотографиями на низенький кофейный столик и с удовольствием лег на мягкий длинноворсный ковер, ставший для него уже почти родным. В потайной комнате из «Тысячи и одной ночи» за три месяца отсутствия Кирилла ничего не изменилось – и даже сорт печенья на столе был таким же.

Кирилл расслабился – прежде чем приниматься за работу, необходимо отдохнуть и чуть-чуть отстраниться. Судя по всему, в конверте было никак не меньше пятидесяти фотографий, так что сил от Кирилла потребуется довольно много!

– Итак! Что мы имеем? – Кирилл сел в позу для медитации и взял конверт в руки. Настроился на него, стараясь понять, какие чувства он вызывает. По ладоням побежали мурашки, конверт некоторое время сопротивлялся, но потом стал как будто продолжением Кирилла – как говорят видящие, изменился под воздействием энергии Кирилла. Кирилл вынул фотографии и принялся рассматривать их одну за другой.

На обратной стороне фотографий были карандашом написаны инициалы хозяев – только первые буквы. Щербень и в случае с Кириллом не спешил выдавать всю информацию сверх положенного. Странным было уже то, что инициалы все же присутствовали!

Первым делом Кирилл отделил мужские фотографии от женских – «справиться» с мужчинами (т. е. увидеть, кем они в реальности являются) было значительно легче, чем с женщинами. Видение женщин вообще давалось Кириллу очень тяжело – наверное, потому, что требовало дополнительного смещения восприятия в женскую область. В мужскую же область смещать восприятие не было необходимости – Кирилл и так постоянно там находился. Он же мужчина!

– Ну и? С кого начать? – Кирилл настроился на пространство и сразу почувствовал – начинать нужно именно с дам. Он взял со стола шариковую ручку – он будет записывать все, что увидит, прямо на обороте фотографий. А если ему не хватит места, использует дополнительные чистые листы, лежащие аккуратной стопкой рядом.

Всего фотографий женщин оказалось тридцать две. Мужчин – двадцать четыре. Кирилл и понятия не имел, где они непосредственно работают и чем занимаются. Он брал фотографии по одной, держал их несколько секунд в руках, делал пометки на обороте и откладывал в сторону. Простая, кажется, работа, но она отняла у Кирилла столько сил, что уже через сорок минут он почувствовал себя полностью опустошенным.

Он снова лег на ковер и закрыл глаза: «Итак, просмотрены все женские фотографии – только одна выделяется из общего ряда. Симпатичная породистая дама лет тридцати пяти, которая даже на первый взгляд отличается от остальных – как какая-нибудь английская герцогиня отличается от своих верных подданных из простого сословия».

Больше никто не оставил в видении Кирилла внятных зацепок – другие женщины с фотографий жили совершенно обыкновенной жизнью и считали свою работу рутинной и серой. И конечно, среди них не могло быть шпионов.

Какие уж тут шпионы – дом-работа, дети-школа, муж-продукты, проблемы с родственниками и уменьшение зарплаты!

Кирилл ненадолго задремал. Ковер был таким мягким и таким теплым, что мог с легкостью заменить любую постель. Кирилл распластался на нем, раскинув руки по сторонам, а через полчаса открыл глаза – полностью отдохнувшим и восстановившимся. Он отложил фотографию «герцогини» и взялся за мужчин.

Здесь не было ничего интересного – трое из общей массы «исследуемых» поначалу привлекли его внимание, но в итоге Кирилл пришел к выводу, что они не имеют никакого отношения непосредственно к его заданию. Вывод: «Иностранными разведками в мужской части коллектива и не пахнет!»

– Что ж, отлично! Из пятидесяти шести объектов нашелся один, достойный дополнительного изучения. – Кирилл посмотрел на фотографию «герцогини». Запас по времени у него еще есть, можно не торопиться и попытаться заглянуть поглубже – вдруг, выплывет нечто особенное?

* * *

– А после «герцогини» был еще «батька Махно» и «Кощей Бессмертный»! – Кирилл вынырнул из мыслей и снова обнаружил себя нависающим над конспектом лекций по «Электротехнике». Приступы задумчивости бывали у него нечасто и длились недолго, но если случались, он погружался в них полностью и без остатка.

– «Батька Махно» – смешной такой мужик с хитрым взглядом – я, как только настроился на него, сразу почувствовал, какую опасность он представляет! Просто поразительное двуличие! А «Кощей Бессмертный» – сухой длинный тип с вытянутым безэмоциональным лицом – точь-в-точь сушеный огурец. Отменное притворство и отменное показное равнодушие, но внутри – целый вулкан страстей! Очень неприятный господин – с непредсказуемыми поведенческими мотивами. Рассмотреть что-то подробно чрезвычайно трудно, но некоторые из мелькающих картинок могут свидетельствовать о его двойной игре.

Кирилл вышел из-за стола – размять затекшие мышцы. Сделал пару приседаний, несколько раз нагнулся вперед-назад и повращал шеей.

– Результат моей полуторамесячной «охоты» – трое подозреваемых, о чем доложено Щербеню. И без сомнения, меня скоро наградят очередным орденом «Плаща и Кинжала»! – Кирилл криво усмехнулся. – Если раньше голова не взорвется от неспособности усвоить всё, что задают в университете!

Кирилл посмотрел на часы – вот уже скоро время спать, а он еще толком ничего за сегодня не сделал. Поэтому – опять в забой:

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

«Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

Pue.7

Фазовый угол (ax ⁺ ψ_e) определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

В соответствие с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Параметр E_m, соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют

комплексной амплитудой:

, а параметр –

комплексом мгновенного значения.

Параметр e^jwt является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±а.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно

мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды E_m и оператора поворота e^jwt:

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

– то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу ^ψU, т. е. угол, который образует вектор Ūm с положительной полуосью + 1:

При записи выражения для определенности было принято, что Uⁱ_m>0, т. е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах.

Если Uⁱ_m<0, то при Uⁿ_m>0 (второй квадрант)

Если задано мгновенное значение тока в виде i=!_m sin{ωt+Ψi), то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока i₃ по рис. 5 получим: