Читать книгу Sobre las líneas indivisibles. Mecánica. Óptica. caóptrica. Fenómenos. - Aristoteles - Страница 11

¹ Comienza en este punto la presentación de los argumentos de quienes defienden la existencia de las líneas indivisibles.

² Se refiere a una línea «ideal» en el sentido platónico del término.

³ También aquí se refiere a cuadrados, triángulos, planos y cuerpos «ideales», previos, en tanto que ideas, a los existentes en el mundo perceptible.

⁴ Aristóteles en Física 187a3 hace referencia a este argumento, «el argumento de la dicotomía, que supone magnitudes indivisibles». Para comprender adecuadamente y situar en su contexto el párrafo conviene recurrir a ciertos pasajes de la Física aristotélica que nos transmiten el pensamiento de ZENÓN (239b9, 239b11, 233a21, 239b14, 239b30, 239b33), reunidos, traducidos y comentados en G. S. KIRK y J. E. RAVEN , Los filósofos presocráticos, Madrid, Gredos, 1981, págs. 408-15.

⁵ Para interpretar correctamente este argumento es necesario tener presente el valor de los conceptos matemáticos que en él se utilizan. La mayor parte de las veces encontramos las aclaraciones que nos son precisas recurriendo a los Elementos de Euclides, si bien lo más posible, como señala HEATH (Mathematics in Aristotle, Oxford, 1949, pág. 256) es que este tratado sea de fecha anterior a Euclides y, por tanto, su autor tomara esas nociones de otros matemáticos. Por ejemplo, términos como «binomial» y «apótoma» pueden haber sido tomados de Teeteto, a quien se atribuye, según una noticia de Papo, el descubrimiento y estudio de las irracionales compuestas. La definición que se da aquí de «líneas conmensurables» coincide con la que ofrece EUCLIDES , Elementos X, def. 1.

⁶ En cuanto a las rectas racionales e irracionales, hay que recordar que, para la matemática griega, las nociones de racionalidad e irracionalidad son relativas y de carácter geométrico. Así lo señala EUCLIDES en Elem. X, def. 3: «...existen rectas, infinitas en número, conmensurables e inconmensurables, unas sólo en longitud, otras también en cuadrado, con una recta propuesta: llámese, pues, «racional» a la recta propuesta y «racionales» a las que son conmensurables con ella ya sea en longitud y en cuadrado, ya sea sólo en cuadrado, y llámese «irracionales» a las inconmensurables con ella». Para explicar la noción de «conmensurabilidad en cuadrado» resulta aclaradora la nota de HETT : «Dos líneas, cuyas longitudes son respectivamente son conmensurables en cuadrado porque sus cuadrados, 3 y 6, son conmensurables», aunque hay que tener presente que trasladar el pensamiento geométrico euclidiano a términos numéricos comporta siempre cierta falsedad.

⁷ Apótomas y binomiales son dos de los tipos de rectas irracionales estudiadas por EUCLIDES en el libro X (de ahí que, como han indicado Heath y Timpanaro, debamos rechazar la conjetura textual de Apelt).

⁸ La definición de la binomial aparece en EUCLIDES , Elementos X 36: «Si se suman dos rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado, la recta resultante es irracional: llámesela binomial»; las Segundas Definiciones y las proposiciones 42 y 48-66 se ocupan de la clasificación y características de las binomiales. La definición de la apótoma aparece en X 73: «Si se quita de una recta racional otra racional que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la restante es irracional: llámesela apótoma»; las proposiciones 74-75 dan la clasificación de las apótomas; las proposiciones 79-81, las Terceras Definiciones y lo que sigue, proposiciones 85-104 y 108-114 describen sus características y propiedades.

⁹ Aquí comienza la enumeración de los argumentos con los que el autor pretende refutar a los sostenedores de las líneas indivisibles. La edición de Apelt presenta la conjunción disyuntiva ḗ , que probablemente hay que corregir, a tenor del sentido y de lo expresado por DENNISTON , (The Greek Particles, Oxford, 1978, rp. de la segunda edición, pág. 279 y ss.) por la partícula ê . De hecho, los restantes traductores también han obrado como si lo hubieran corregido.

¹⁰ Se refiere a las «razones que surgirían entre las partes de estas líneas divisibles si éstas fueran cortadas».

¹¹ Tendrá «las divisiones finitas», se sobreentiende.

¹² En el de los números enteros.

¹³ «Las opiniones de los matemáticos», se entiende.

¹⁴ Es decir: «estos argumentos, supuestamente matemáticos, no tienen fuerza bastante como para escapar...».

¹⁵ Es decir, el movimiento del radio que recorre un semicírculo recorre —dice el tratadista— todos los puntos de líneas divisibles, en lugar de—como pretenden sus oponentes— ir saltando del extremo de una indivisible al extremo de la indivisible siguiente.

¹⁶ JOACHIM (op. cit., nota ad loc.) interpreta este párrafo de la siguiente manera : «En otras palabras: la geometría, asumiendo que el movimiento es un hecho, muestra que el objeto que se mueve atraviesa en efecto la infinidad de puntos intermedios y muestra que no puede haber movimiento en el que esto no se produzca. Quienes defienden las líneas indivisibles no han llevado a cabo intentos de refutar estas pruebas geométricas. Su postulado de ‘líneas indivisibles’, incluso si esquivan los argumentos de Zenón, entra en colisión con los mucho más sólidos datos de la geometría: porque la geometría muestra que es imposible la clase de movimiento que tendría lugar si existieran las líneas indivisibles. El texto está tan corrupto que parece imposible aclarar el argumento en detalle.» Las enmiendas al texto propuestas por FEDERSPIEL («Notes exégétiques...», págs. 504-7) no producen cambios en el sentido del pasaje.

¹⁷ Da comienzo aquí la serie de argumentos matemáticos contra la existencia de las líneas indivisibles.

¹⁸ Referencia a dos definiciones que a nosotros nos han sido transmitidas por EUCLIDES , Elem. I, def. 3 («Los límites de una recta son puntos») y PLATÓN , Parménides 137e («Recto es aquello cuyo medio queda enfrente de ambos extremos»).

¹⁹ Las cuestiones relativas a la conmensurabilidad de las rectas en longitud y en cuadrado son la materia de la que trata Elem. X. Véase nota 6.

²⁰ Así, la aceptación de la existencia de las líneas indivisibles entraría en conflicto con las teorías matemáticas —ya bien asentadas en esta época— sobre lo conmensurable y lo inconmensurable y lo racional y lo irracional, y más concretamente con la irracionalidad existente entre el lado del cuadrado y su diagonal.

²¹ «En las líneas se usa la de un pie como si fuera indivisible», afirma Aristóteles en Metafísica 1052b33.

²² De acuerdo con la explicación, ABCD es el cuadrado que tiene por lado la línea indivisible. AE = 2AB y el rectángulo AEFG ha sido construido de tal maneraque AE × EF = AB ² . Si eso es posible, afirma el tratadista, EF = ½AB ; es decir: se habría dividido por la mitad la línea indivisible, que dejaría de ser tal.

²³ EUCLIDES , en Elementos I 22 ofrece la solución al problema de «construir un triángulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas», pero con la precisión de que «es necesario que dos de las rectas, tomadas juntas de cualquier manera, sean mayores que la restante», teniendo en cuenta que en I 20 se ha demostrado que esto último es propiedad de todo triángulo. La objeción a la existencia de las indivisibles es la misma que en el argumento anterior.

²⁴ «La perpendicular a cualquiera de sus lados», se entiende. En EUCLIDES , Elementos I 10 y 11 se plantean como problemas «dividir en dos partes iguales una recta finita dada» y «trazar una línea rectaperpendicular a una recta dada desde un punto dado en ella». Ambos se resuelven mediante la construcción de un triángulo equilátero, de tal manera que la afirmación que se lee en el texto resultaría corolario de las dos proposiciones mencionadas. Sea ABC el triángulo formado por tres indivisibles y AD la perpendicular al lado BC : la supuesta indivisible BC habría resultado dividida en dos partes iguales por la altura del triángulo, luego no sería indivisible.

²⁵ Es decir, que tenga por lado una recta indivisible.

²⁶ En efecto, en aplicación del teorema de Pitágoras (EUCLIDIES , Elementos I 47), en el cuadrado de AB (que es una línea indivisible) podemos trazar la diagonal AC y una perpendicular a ésta, BE ; entonces, AB ² = AE ² +EB ² , de donde resulta que AB no es la menor y, por tanto, tampoco sería indivisible.

²⁷ Sobreentiéndase «la teoría que sostiene la existencia de las líneas indivisibles». Con esta frase se introduce la segunda serie de argumentos matemáticos contra la existencia de las líneas indivisibles.

²⁸ Cf. más adelante 971a27 y ss. y nota a ese pasaje.

²⁹ «Una línea indivisible», se entiende.

³⁰ Con «estas cosas» se refiere fundamentalmente al espacio y el tiempo, aunque el argumento podía también emplearse para justificar la existencia de indivisibles en otros géneros de magnitudes.

³¹ Nueva referencia a las definiciones de EUCLIDES , en este caso a Elem. I, def. 3 (v. más arriba, nota 18).

³² Se abusa de la polisemia de «último» (éschaton) al emplearlo en su primera aparición en la frase con sentido local-temporal y como sinónimo de «elemental» en la segunda.

³³ Tras la conclusión que se da al primer tema en el párrafo anterior, se aborda la segunda cuestión de las que componen el tratado. Los argumentos que se exponen en ella coinciden en parte con los ya expresados y en parte con los que se contienen en Fís. 231a20-232a22.

³⁴ Es decir, «como principio general». Ese principio general aparece en ARISTÓTELES , Fís. 231b2: «Y en cuanto al contacto, dos cosas sólo pueden estar en contacto recíproco si el todo de una toca al todo de la otra, o si una parte de una toca a una parte de la otra, o si una parte de una toca el todo de la otra. Pero como los indivisibles no tienen partes, tendrían que tocarse entre sí como un todo con un todo». El pasaje citado forma parte de la argumentación con la que Aristóteles pretende demostrar que «es imposible que algo continuo esté hecho de indivisibles, como, por ejemplo, que una línea esté hecha de puntos, si damos por supuesto que la línea es un continuo y el punto un indivisible».

³⁵ Como señala JOACHIM (nota ad loc .) si B y C están en contacto con K , puesto que el contacto entre los puntos sólo puede ser del tipo «el todo con el todo», también B y C estarán en contacto entre sí y también en la modalidad «el todo con el todo».

³⁶ Por las razones aducidas en el párrafo anterior.

³⁷ Tal es la traducción literal del texto de Apelt que tomo como base. HETT , que emplea el mismo texto, refleja sin embargo en su traducción la versión latina de Julius Martianus Rota. JOACHIM considera insalvable el corrupto estado del pasaje y prefiere dejarlo en griego sin traducir. M. TIMPANARO CARDINI sugiere invertir el orden de los dos párrafos que nosotros hemos incluido en IX, pero ni aun así, a nuestro entender, se salva el problema de la relación de este argumento con lo anterior y posterior. Entendemos, más bien, que es FEDERSPIEL («Notes exégétiques...», págs. 511-12) quien da la interpretación más acertada al pasaje: de 971a30 a 971b31 el refutador examina tres modos de relación entre los puntos de acuerdo con lo que aparece en ARIST . Fís. V 3, 226b18 y ss. «El último argumento mostraba que la hipótesis de una relación de consecutividad entre los puntos de una línea o bien nos hacía caer de nuevo en los absurdos de la relación de contacto o bien nos obligaba a cambiar la definición de continuo, lo cual es absurdo. El nuevo argumento prolonga el precedente estudiando una relación aún más general que la de consecutividad, la relación de yuxtaposición. Al revés de lo que se ha venido diciendo, el lazo con el argumento anterior es evidente». Con esta frase Federspiel rechaza la propuesta de M. Timpanaro a la que aludíamos más arriba, y lo justifica de la manera siguiente: la segunda parte del argumento viene a demostrar el aserto contenido en la primera parte, puesto que si esta relación de yuxtaposición tiene consecuencias absurdas, la teoría que afirma que la línea se compone de puntos es falsa. La demostración, igual que en el argumento anterior, se hace en dos tiempos, expresados en las dos frases del segundo párrafo de nuestro argumento IX.

³⁸ El tratadista da por demostrada su tesis, pero aún ha de abordar otra cuestión en relación con ella: aunque no esté compuesta de puntos, los puntos forman parte de la recta como extremos de la misma, como poco tiempo después recogería Euclides en sus definiciones. Tanto esta segunda cuestión (la línea no está compuesta de puntos) como la tercera (el punto no es lo más pequeño que hay en la recta ni tampoco una articulación indivisible) aparecen ya suscitadas en ARISTÓTELES , Física 215b12-22: «Pero no hay ninguna proporción según la cual el vacío sea superado por un cuerpo, como no hay ninguna proporción entre la nada y el número... por esto tampoco la línea supera al punto, a menos que la línea esté compuesta de indivisibles».

³⁹ En la tercera parte del tratado, que comienza aquí, se tratará la naturaleza del punto de manera negativa, mediante la refutación de dos definiciones que el tratadista considera erróneas: el punto como «lo más pequeño que hay en la recta» y el punto como «articulación indivisible». Más adelante también EUCLIDES formularía su definición de punto en forma negativa (Elementos I, def. 1): «Punto es lo que no tiene partes».

⁴⁰ Los puntos estarían en la línea como extremos de la misma.

⁴¹ «En el espacio».

⁴² «La línea».

⁴³ Algunos autores consideran que este pasaje, corregido de manera diversa pero con sentidos no lejanos por Diels y Timpanaro, debía formar parte de un texto sobre las articulaciones de los animales.

⁴⁴ Aceptar la corrección propuesta por M. Timpanaro para la cita de Empédocles un poco más arriba es lo que nos permite interpretar esta última frase, que de otro modo resulta incomprensible: las articulaciones serían exclusivas de los seres vivos. Tal característica haría imposible definir el punto como ninguna clase de articulación.