Читать книгу Sobre las líneas indivisibles. Mecánica. Óptica. caóptrica. Fenómenos. - Aristoteles - Страница 8

INTRODUCCIÓN

LA AUTORÍA Y EL MARCO ANTIGUO DEL DEBATE

La tradición atribuye a Aristóteles los escritos de tema matemático que ofrecemos ahora, que llevan por título Sobre las líneas indivisibles y Mecánica, que han sido publicados en los últimos tiempos como parte de lo que se ha dado en llamar las Obras menores ¹ . Considerados generalmente espurios, presentan ciertos rasgos comunes, como la brevedad y el ocuparse de materias muy precisas. Coinciden además en que todos ellos tratan temas que el propio Aristóteles no había abordado específicamente en sus obras, con lo cual vienen a colmar lagunas que habrían redundado en perjuicio de los trabajos de la escuela y contribuyen, en sentido general, a redondear el carácter enciclopédico del Corpus.

El tratado, que sólo en los últimos cien años ha sido objeto de la atención que merece, despertará sin duda el interés de los filólogos y los historiadores de la filosofía y las matemáticas.

Los manuscritos lo atribuyen unánimemente a Aristóteles. Los autores antiguos, sin embargo, no lo mencionan entre las obras del Estagirita, sino que Diógenes Laercio, Simplicio y Filópono lo citan entre las obras de Teofrasto. El acuerdo de estas fuentes no ha convencido, sin embargo, a los especialistas: Zeller opina que el tratado parece haber sido escrito en época de Teofrasto aunque no puede ser obra suya; Heath participa de esa opinión, pero considera también la posibilidad de que el propio Estagirita hubiera encargado a un discípulo la redacción. Los especialistas en Aristóteles en general se refieren a él como pseudo-aristotélico y rechazan tanto la autoría de Teofrasto como la de Eudemo ² , a quien también se había atribuido.

Al plantear la cuestión de la autoría hemos de tomar en consideración las siguientes evidencias textuales: en primer lugar, Aristóteles rechaza en varios pasajes de sus obras la existencia de líneas indivisibles; en segundo lugar, en el tratado aparecen múltiples expresiones que revelan que el autor conocía la obra de Aristóteles ³ ; por último, las fuentes tardías afirman unánimemente que la teoría de las líneas indivisibles era obra de Jenócrates. De todo ello cabe deducir que en tiempo de Aristóteles y sus sucesores inmediatos la cuestión debía de ser de completa actualidad. Estos hechos pueden ser tomados como argumentos —aunque secundarios y no concluyentes— a favor de la teoría de Heath según la cual este escrito sería el resultado del encargo hecho por Aristóteles a un discípulo.

Sea quien sea su autor, ha construido una obra de intención polémica sobre una cuestión que afecta a las bases teóricas de la geometría, tratándola en términos de lógica más que de matemática. A pesar de que no se menciona a Jenócrates, es sumamente verosímil que la polémica fuera dirigida contra él, puesto que era el principal sostenedor de la teoría de las líneas indivisibles.

Timpanaro-Cardini plantea el origen de la cuestión del siguiente modo: los pitagóricos más antiguos consideraban que la estructura de la realidad espacial era un reflejo de la naturaleza discreta de la serie de los números. La mónada, la unidad, no número ella misma, pero generatriz de la serie numérica, podía, una vez transferida al espacio, identificarse con el punto. En la concepción monádica de la realidad, la mónada-punto sería la medida mínima común a dos líneas y éstas, por tanto, serían siempre conmensurables, pero el descubrimiento de los inconmensurables —la diagonal del cuadrado respecto al lado del mismo, el diámetro del círculo respecto a la circunferencia— rompió esta correspondencia y la unidad originaria se transformó en la antinomia finitoinfinito.

Lógicamente, los conceptos de punto y línea entraron en crisis de inmediato. Los intentos de avance en el conocimiento de los inconmensurables suscitaron a lo largo del siglo V a. C. debates que dieron origen a diversas especulaciones filosóficas, como las paradojas de Zenón en las que, admitiendo la infinita divisibilidad del continuo, deduce que el ser es uno e inmóvil y, una vez admitido esto, niega la evidencia del movimiento. Las especulaciones eran, otras veces, de carácter matemático, como los estudios de Hipócrates de Quíos sobre la cuadratura de las lúnulas, el intento de Antifonte de cuadrar el círculo mediante sucesivas aproximaciones de polígonos inscritos y circunscritos o las investigaciones geométricas de Demócrito en relación con el continuo ⁴ . La polémica sobre la existencia de líneas indivisibles debió de surgir en el marco de estos debates.

Contamos con tres grupos de fuentes que nos permiten reconstruir los argumentos empleados. El primer grupo, el más antiguo y muy próximo en el tiempo al origen de la cuestión, está formado por las referencias que nos han quedado en las obras de Aristóteles; en segundo lugar tendríamos a los comentaristas de la Antigüedad tardía, como Alejandro de Afrodisias, Proclo, Simplicio, Temistio o Filópono ⁵ ; en tercer lugar, el documento que nos ofrece la información más completa, aunque desde luego podría estar dándonos una visión parcial, es el propio tratado Sobre las líneas indivisibles.

Aristóteles pone en boca de Platón el término «líneas indivisibles» e indica que éste trató el tema muchas veces, lo que retrotrae el origen del debate al primer tercio del siglo IV a. C., dos generaciones antes de la fecha más probable de nuestro escrito —fines del siglo IV o principios del III a. C.—; testimonia también que Platón consideraba el punto una «mera noción geométrica», lo llamaba «principio de una línea» y utilizaba como sinónimo de «punto» la expresión «líneas indivisibles» (Metafísica I 9, 992 a 20).

Frente al testimonio aristotélico, los comentaristas tardíos concuerdan en señalar como autor de la teoría de las líneas indivisibles a Jenócrates, contemporáneo de Aristóteles algo mayor que él y sucesor de Espeusipo al frente de la Academia. Insisten en afirmar que la intención de Jenócrates era la de refutar las teorías eleáticas que aceptaban la infinita divisibilidad del continuo, y en indicar que al rechazar la divisibilidad infinita mediante la suposición de las líneas indivisibles, Jenócrates incurría en una contradicción aún mayor, la de hacer que una sola cosa fuera al mismo tiempo magnitud y no magnitud.

EL TRATADO Y SU VALORACIÓN

La obra consta de tres partes de extensión desigual y decreciente. En la primera, la más extensa, se intenta refutar la teoría de la existencia de las líneas indivisibles; en la segunda, notablemente más breve, se intenta probar que la línea no está compuesta de puntos; en la tercera, sólo unas pocas frases, se intenta tirar por tierra dos definiciones de «punto», la que dice que el punto es «lo más pequeño que hay en la recta» y la que lo presenta como una «articulación sin partes».

Todos estos temas están ya anunciados en la Física aristotélica: el primero en 206a16-18: «y ya se ha dicho que la magnitud no es actualmente infinita, aunque es infinitamente divisible —no es difícil refutar la hipótesis de las líneas indivisibles» y en 220a30: «toda línea es siempre divisible»; el segundo y el tercero en 215b12-22: «no hay ninguna proporción según la cual el vacío sea superado por un cuerpo, como no hay ninguna proporción entre la nada y el número… por esto tampoco la línea supera al punto, a menos que la línea esté compuesta de puntos».

El contenido preciso del escrito puede ser resumido de la manera siguiente:

Primera parte (968a1-971a5): ¿Existen las líneas indivisibles?

968a5-968b22: Exposición de los cinco argumentos de quienes defienden la existencia de las líneas indivisibles.

968b22-969b26: Refutación de los argumentos anteriores.

969b26-971a2: Exposición de las dos series de argumentos matemáticos que contradicen la existencia de las líneas indivisibles. La primera serie (969b26-970a18) contiene seis argumentos y la segunda (970a18-971a2) añade otros once argumentos más.

971a2-971a5: Conclusión: es evidente que no existe una línea indivisible.

Segunda parte (971a6-972a31): La línea no se compone de puntos.

971a6-972a12 Contiene diez argumentos; unos son matemáticos, otros lógicos y otros de carácter analógico con hechos físicos.

972a12-972a31: Conclusiones.

Tercera parte (972a32-972b33): El punto no es lo más pequeño que hay en la recta ni tampoco una articulación indivisible.

972a32-972b24: Cinco argumentos tendentes a probar que el punto no es lo más pequeño que hay en la recta.

972b24-972b33: Cinco argumentos en contra de la definición del punto como «articulación indivisible».

Para Heath ⁶ el autor «se dedica a desmenuzar la lógica más que a contribuir seriamente a la filosofía de las matemáticas» y «el interés de la obra para la historia de las matemáticas es ínfimo». Por el contrario, Hett afirma que «sin el punto de vista moderno sobre el infinito, hay mucha brillantez matemática, y el autor parece probar su tesis en sus propios términos». Esta opinión no ganó, sin embargo, muchos partidarios, hasta que el comentario de Timpanaro-Cardini planteó la cuestión en términos más acordes con el valor de la obra.

Esta autora lamenta que no nos haya llegado otro opúsculo semejante en el que se defendiera la tesis contraria y observa que el título figura entre las obras atribuídas a Teofrasto, deduciendo de ello que «no es improbable que tomase esta cuestión como argumento de lecciones y discusiones escolásticas, lo que demostraría que esta cuestión se contaba entre las más debatidas en el ambiente cultural de la época y estaba relacionada con los mismísimos principios de las doctrinas físico-matemáticas».

La cuestión debatida afecta a las bases teóricas de la geometría. Por ello merece especial consideración, si tomamos en cuenta que la naturaleza y la definición de puntos y líneas son cuestiones fundamentales en el sistema geométrico euclidiano. En efecto, las dos primeras definiciones del libro I de Euclides son precisamente las de «punto» y «línea», temas centrales de este tratado. Dado que todos los autores consultados parecen datar el tratado en fecha previa a la aparición de los Elementos de Euclides ⁷ , no parece desatinado considerar que este tratado es testimonio de los múltiples debates que debieron preceder a dicha obra.

Ciertos rasgos de estilo y pensamiento parecen confirmar la idea señalada por Heath de que nos enfrentamos a un texto de carácter escolar, sin introducción ni recapitulación; los argumentos han sido recogidos y presentados ordenadamente, pero se introducen de modo abrupto, sin previa introducción, y se enumeran de modo mecánico con la ayuda de la fórmula éti dè kaì («y además»); la exposición pretende ser clara y completa y da, en efecto, esa sensación, pero carece de brillantez: un útil trabajo de escuela, aparentemente complementario de las palabras del maestro, pero muy lejos de la agudeza de sus análisis.

EDICIONES Y TRADUCCIONES

La primera edición del tratado fue la de Henricus Stephanus (Henri Étienne, París, 1557), seguida por la de Bekker (Berlín, 1831). Debido al lamentable estado de los manuscritos el texto se presentaba lleno de pasajes incomprensibles; uno de los copistas se desahoga en el margen: «El modelo está demasiado estropeado; y que no me echen la culpa: como lo veo, así lo escribo». En 1874 Hayduck publicó un artículo (cf. bibliografía) en el que pasaba revista al texto: sus acertadas y elogiadas propuestas dieron pie a una nueva edición, que fue preparada por Apelt (Leipzig, 1888). En ella se han basado todos los editores y traductores posteriores hasta la fecha presente. Los esfuerzos por sanar el texto no habían concluido: Joachim, Timpanaro-Cardini, Harlfinger y Federspiel han dedicado importantes trabajos a este intento. Las enmiendas a la edición de Apelt son ya tan numerosas que se hace tarea indispensable elaborar una nueva edición. En cuanto a comentarios, son dignos de mención los de Joachim y Timpanaro-Cardini. El primero es sobre todo un comentario textual y exegético, mientras que el segundo procura situar la obra en el contexto de la historia de las matemáticas y del debate intelectual de los siglos IV y III a. C.

En España será ésta la primera traducción directa del griego. Para prepararla he seguido el texto de Apelt en la versión editada por Hett, si bien he alterado la puntuación procurando hacer coincidir los puntos y aparte con los finales de la exposición de cada argumento.

Para la numeración marginal he seguido, como es tradicional, la de la edición de Bekker; la numeración que figura en el cuerpo del texto en romanos, es obra mía y pretende facilitar la intelección de la secuencia argumental.

PASAJES EN LOS QUE ME APARTO DE LA EDICIÓN DE HETT