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Capítulo 1 Introducción a la didáctica de la matemática

Comiencen por lo tanto por estudiar mejor a sus estudiantes; dado que ciertamente no los conocen para nada.

Jean-Jacques Rousseau,

Emilio o de la educación.

1.1. El sustantivo didáctica

No busquen satisfacer su vanidad, enseñándoles demasiadas cosas. Despierten en ellos su curiosidad. Es suficiente abrir la mente, no sobrecargarla. Pongan sólo una chispa. Si existe buena materia inflamable, se prenderá.

Anatole France,

Le jardin d’Épicure.

Parece ser que, tradicionalmente, el término didáctica deba necesaria y únicamente referirse a la actividad de la enseñanza. En una reciente edición del Vocabulario de la lengua italiana de N. Zingarelli [Bolonia, Zanichelli, 1999], en la voz didáctica se halla: “Sector de la pedagogía que tiene por objeto el estudio de los métodos de enseñanza”.

El término “didáctico” sólo aparece como adjetivo, mientras que hoy en día tiende a ser usado, entre los estudiosos que pertenecen al sector, incluso como sustantivo precisamente para distinguir a aquellos que se ocupan de la didáctica como ámbito científico de investigación5.

No muy diferente es la situación en el Gran diccionario de la lengua italiana, obra monumental aún incompleta (escribo estas páginas entre 1995 y 1999), iniciada por Salvatore Battaglia [Turín, Utet; el Tomo IV, que cito, es nada menos que de 1966]; pero aquí, se hace referencia a una didáctica general (que implícitamente parece ser la misma que aparece en el Zingarelli) y a una especial (que parece ser la que hoy en día se llamaría disciplinaria)6.

Puede ser interesante una muy breve e introductoria reseña acerca del uso y de las ideas expresadas por famosos Autores del pasado con este propósito (evito aquí y en lo sucesivo hacer referencias bibliográficas completas dado que se trata de obras que no son estrictamente pertinentes con el tema del libro, con el fin de no cargar demasiado la lectura y la ya amplia bibliografía específica):

Antonio Rosmini [1797-1855]:

El método didáctico se halla contenido en un complejo de reglas subordinadas entre ellas y reducidas a una, principio de las demás, observando las cuales el maestro, que comunique la verdad por medio de signos, ordinariamente por la palabra, obtiene que sean recibidas por el discípulo con la mayor posible facilidad, distinción, convencimiento y persuasión.

Niccolò Tommaseo [1802-1874]:

Las normas de la didáctica; no las enseñan los libros de método, sino el corazón, el ejemplo, la experiencia.

Giovanni Gentile [1875-1944]:

Toda la didáctica, como didáctica general y como didáctica especial, se ha reducido así a una crítica del concepto de escuela, como objeto propio de la didáctica.

Una reseña de este tipo podría continuar largamente, incluso considerando otras voces no italianas. Pero me detengo aquí porque mi objetivo era sólo el de introducir de alguna manera el discurso sobre el término. Debe decirse una vez más que la raíz etimológica es voz docta griega, didakticós, participio pasado de didáskein (enseñar), de no cierto origen indoeuropeo; y en eso parecen estar todos de acuerdo.

Como se ha visto, el sustantivo didáctica tiene varias acepciones y significados, tanto que su traducción en algunas lenguas extranjeras presenta muchas veces inconvenientes. Basta pensar que a la denominación académica italiana “didáctica de la matemática” corresponde”casi siempre, en inglés, “mathematics education” en cuanto “didactics” (que también existe) parece tener otro sutil tipo de significado que incluye características hoy del todo indeseables, por ejemplo la directividad7.

Cuando quise parafrasear en broma a Agostino de Tagaste por acuñar el lema: “¿Qué es la didáctica de la matemática? Si nadie me lo pregunta, lo sé; si quiero explicarlo a quien me lo está preguntando, ya no lo sé”, un colega latinista de gran fama en mi Universidad, al cual me dirigí para un consejo, desaprobó el “didáctica”, muy poco... del estilo de Cicerón, proponiéndome en cambio varias alternativas, entre las cuales aconsejaba “docendi ars”, “el arte de enseñar”. Ahora, ese “ars” comporta desde mi punto de vista una situación de ambigüedad en la que nos hemos hallado a debatir por muchos años toda didáctica disciplinaria (en particular, precisamente la de la matemática); algunos estudiosos, en efecto, solían afirmar: “La didáctica no es una ciencia, sino un arte”, una posición que, aún siendo para nada trivial, cercana a la de Tommaseo (vista antes) o de otros estudiosos de pedagogía, como Edmondo De Amicis [1846-1908], crea no pocos problemas de identificación cultural, precisamente en la vertiente científica...

Afortunadamente nadie me obliga a referirme al latino de Cicerón; para mí estaba bien incluso el latín tardío del Renacimiento; por lo que decidí que mi fuente etimológica sería, declaradamente, Jan Amos Komensky [1592-1670] y (precisamente) su Didactica magna (1632).

Todo esto sólo para confirmar la primera, y más bien trivial, dificultad en la que se hallan todos aquellos que deben usar el término “didáctica”.

Cierto, de nada sirve buscar verificaciones o desmentidos de todo eso en un diccionario de lengua extranjera: no hay modo de tener al paso las voces que pueden rastrearse (con una cierta estabilidad consolidada) con el cambio continuo ligado a los resultados de la profundización de los estudios de las varias disciplinas. Las palabras nacen y se estabilizan al interior de una estrecha comunidad que las usa en un modo nuevo, y sólo a distancia de años se expanden y se vuelven comunes incluso al externo de la primitiva comunidad.

Por ejemplo en una reciente edición del Diccionario inglés-italiano italiano-inglés de G. Ragazzini [Bolonia, Zanichelli, 1999], en la voz italiana didattica corresponde didactics y basta; pero después, al adjetivo didáctico se halla didactic; educational; teaching. Será el culto y atento traductor a escoger las diferencias de significado (por demás sutiles), en el momento de la traducción.

Un ejemplo más, en una reciente edición del Diccionario francés-italiano italiano-francés de R. Boch [Bolonia, Zanichelli, 1999], en corres­pondencia de la voz italiana didattica se halla didactique, pero es señalada todavía como neologismo; el término aceptado y propuesto en su lugar es pédagogie; el adjetivo didactique en cambio se proporciona sin reservas y con varios ejemplos. Y sin embargo, ningún estudioso francés de estas cosas, desde finales de los años 70, tenía duda alguna en usar tal palabra.

El “caso” de la lengua francesa es particularmente interesante. En efecto, precisamente en Francia se ha desarrollado el uso de este término, a partir de reflexiones sobre el debate acerca de las finalidades y objetivos diferentes que parecían tener la pedagogía general y la pedagogía especial. En los años 60, la pedagogía general parecía corresponder esquemáticamente a la teoría que se ocupa de los problemas de organización, desde varios puntos de vista, pero siempre generales, de la clase antes y de la escuela después, también entendidas en sentido abstracto; la pedagogía especial parecía referirse en cambio de manera específica a cada disciplina. Pero dada la excesiva generalidad del sentido de la pedagogía general y su refugiarse en el seno de la filosofía, en Francia se desarrolló y se usó después cada vez más el término “didáctica” para distinguir, al interior de la pedagogía, todo lo que concierne a la instrucción, y de cualquier manera a la relación con la enseñanza.

Como ejemplo, nótese la definición múltiple que P. Foulquié (1971) da, en su Dictionnaire de la langue pédagogique, del término “didáctica”: “-que se refiere o tiene por objetivo la enseñanza; -técnica o arte de la enseñanza; -estudio de los métodos de enseñanza”; se halla el doble aspecto de prácticas de enseñanza y de investigación sobre tales prácticas.

Es quizás desde 1700, y sobretodo con las primeras obras sobre la enseñanza del latín, que en Francia comienza a hacerse uso explícito del sustantivo “didáctica” y del adjetivo “didáctico”. Pero es mucho más reciente el debate sobre el sentido que tiene una didáctica general y sobretodo lo que representa, sus contenidos, sus objetivos8. Pero, en este punto, desde hace algunas décadas el nombre de “pedagogía especial” se ha reservado en todo el mundo a la pedagogía que se ocupa de situaciones particulares (sobretodo de desventaja, de malestar o de limitación física) mientras que el nuevo nombre de “didácticas disciplinarias” se dio a aquellas didácticas que se ocupan de cada una de las materias.

Debe señalarse además el hecho que ninguna de estas denominaciones es estable. Es obvio que una más difundida reflexión crítica no puede más que llevar a consideraciones siempre más sutiles y a precisas puntualizaciones. Por ejemplo, desde hace algún tiempo se está abriendo paso otra terminología, la de “matemática educativa”, que parece tener todo otro significado aún y es el que se refiere al estudio de la matemática en ámbito didáctico, pero entendida no como “disciplina que debe ser enseñada y aprendida”, sino como “disciplina apta para educar”. Es decir: el interés no estaría tanto en las proble­máticas relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, sino en la matemática misma, entendida como instrumento para la educación.

1.2. Los contenidos de la didáctica

Recuerden siempre que el principio de mi educación no es el de enseñar al joven muchas cosas, sino el de no permitir jamás penetrar en su cabeza ideas que no sean claras ni precisas. Aunque no supiese nada, poco me importa, basta que no se engañe: las verdades que le inculco deben sólo protegerlo del riesgo de acoger los errores correspondientes, porque la razón y el juicio se forman lentamente, pero mientras tanto de todas partes los prejuicios asedian al joven, y es de ellos que se necesita preservarlo. Si en cambio miran a la ciencia como fin en sí mismo, entrarán en un océano sin fondo, sin riberas, lleno de escollos, de donde ya no saldrán.

Jean-Jacques Rousseau,

Emilio o de la educación.

Si así de complejo es hablar del término, no diferente situación parece reservada a los contenidos. Para discutir este punto, debo necesariamente regresar a cuestiones generales relativas a la pedagogía.

Es compartida la idea que el término pedagogía se deriva de la palabra griega paidagogós que indicaba al esclavo que tenía la tarea de conducir al estudiante a seguir sus clases, llevando en su lugar los objetos necesarios. Pero ya en el siglo VIII a.C. el término había asumido la idea metafórica de educador: el maestro acompaña al estudiante en su crecimiento, sobretodo ocupándose del comportamiento y de la educación del estudiante mismo; pero, mientras el esclavo griego tenía papeles bien delimitados y simples, en la acepción moderna la relación entre acompañador y acompañado ha sufrido sustanciales modificaciones: de relación individual se transformó en colectiva y luego en institucional. En los siglos XVI y (sobretodo) XVII nacen exigencias que llaman a la pedagogía a ocuparse del oficio de instruir al interior de instituciones.

Me parece poder sostener que existen dos raíces muy diversas de estas caracterizaciones teóricas:

• la especulación filosófica alrededor de este tipo de problemáticas más bien nuevas;

• la institucionalización de las problemáticas de la enseñanza (es decir al interior de verdaderas y propias escuelas).

Quizás, como dice Emile Durkheim [1858-1917], es al interior de estas nuevas instituciones que se desarrolla la idea de “teoría práctica”, ni sólo arte ni sólo ciencia: conocimiento de los hechos educativos y reflexión sobre la práctica de la enseñanza colectiva institucionalizada. Sin entrar en demasiados detalles, es obvio entonces que la pedagogía haya desarrollado el interés por cultivar contemporáneamente dos tipos de aspectos concernientes la educación colectiva institucionalizada:

• aspectos descriptivos (por ejemplo el conocimiento de las instituciones)

• aspectos normativos (por ejemplo los principios generales de la educación: métodos y finalidades).

Es más, a largo andar, la continua militancia en este tipo de estudios ha llevado a la pedagogía, más que a cualquier otra disciplina, a volverse promotora de renovaciones institucionales, tanto en lo que concierne a los aspectos descriptivos como a los aspectos normativos.

Esta doble característica, con un espectro tan amplio, es evidente también en los casos en los que el estudio se considera esencialmente ligado a los aspectos prácticos: se halla bajo el nombre de pedagogía una cantidad enorme de teorizaciones con exigencias más o menos elaboradas y con varias pretensiones, que van desde la banal “receta”9 hasta enunciados y reglas didácticas profundas y generales; se va de técnicas de estudio a metodologías de enseñanza; etcétera; lo que atestigua, por una parte la variedad inmensa de los campos posibles, y por la otra la ambición científica de este tipo de estudios, evidenciada aún más por los múltiples intentos de crear modelos o de efectuar verificaciones experimentales.

Desde mi punto de vista aquí está la diferencia que se ha venido reforzando cada vez más entre los teóricos (pedagogistas) y los prácticos (pedagogos):10 esta distinción, no del todo entrada aún en la práctica cotidiana, es historia muy reciente de cualquier lengua, tan es así que aparece sólo en algunos diccionarios de las lenguas y no en todos (por ejemplo, aparece en el Zingarelli, vocabulario de italiano, pero sólo en ediciones recientes), y no existe en ciertas lenguas modernas, indepen­dien­temente de cuanto se hallen difundidas.

Ahora, se podría pensar que, así como la pedagogía logró finalmente liberarse del “yugo” de la filosofía y llegó a constituirse como disciplina autónoma, la didáctica logró en el mismo sentido liberarse del “yugo” de la pedagogía y llegó a constituirse como disciplina autónoma. Aquí el discurso sería largo y complejo, también porque, mientras tanto, han nacido las ciencias de la educación reivindicando una fuerte autonomía con respeto a la pedagogía. Debe decirse para ser correcto que es verdad que existe quien ve a la didáctica como parte de las ciencias de la educación, pero que también existe quien ve el viceversa (Mialaret, 1982)11.

¿Qué comprende?, ¿de qué se ocupa la didáctica? No es fácil contestar estas preguntas, tan simple, quizás tal vez a causa de su simplicidad e inmediatez.

Según diferentes Autores

• la didáctica es la parte de las ciencias de la educación que tiene como objetivo el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje en su globalidad independientemente de la disciplina en objeto, pero teniendo en cuenta la relación institucional;

• otros eliminarían la citación de la relación institucional, pero darían en cambio más peso a las disciplinas;

• otros insisten en la peculiaridad del hecho que la relación tenga lugar en instituciones formalizadas;

• otros hablan de didáctica de todas formas, en cualquier situación de enseñanza-aprendizaje;

• otros más dicen que la didáctica sería de nuevo la pedagogía pero sin filosofía;

• ...

En Brun (1996a) se halla: “La didáctica, en cuanto ciencia de la producción, organización y gestión de los bienes del sistema de enseñanza-aprendizaje, se reconduce a la cuestión epistemológica relativa a la transformación de los conocimientos”.

En Schubauer-Leoni (1996) se hace una doble distinción entre:

• ciencias cognitivas y didáctica;

• psicología y didáctica.

La primera se obtiene aceptando las tesis de Conne (1996): “El reto del epistemólogo genético consiste en mostrar cómo el desarrollo de los conocimientos de un sujeto epistémico, que responde a los mecanismos de adaptación al ambiente y de equilibrio de las estructuras cognitivas, impone su marca hasta en la construcción social de los saberes científicos más elaborados (…); el reto que se refiere al didacta es, por el contrario, mostrar como las formas y las normas preestablecidas del saber, considerado en cuanto producto histórico-cultural, pueden a su vez adaptarse a estos mecanismos sin desnaturalizar el conocimiento y sobretodo sin hacer perder el sentido cultural del saber”.

La segunda distinción es explicada por la misma Schubauer-Leoni (1996): “El individuo, sujeto de la psicología cognitiva o socio-cognitiva, es por lo tanto estudiado en cuanto estudiante frente a una situación didáctica y por lo tanto con un saber específico. Asistimos entonces a un desplazamiento de la función de la cognición en los estudios de didáctica respecto a los de la psicología. En efecto, en el caso de la didáctica, los procedimientos cognitivos, los “gestos mentales” de los sujetos, la emergencia de concepciones nuevas se analizan no sólo en cuanto productos de los controles internos que los sujetos ejercitan sobre el problema, si no también en función de los controles externos provenientes de la situación. No se trata por lo tanto de producir una teoría psicológica del sujeto frente a un problema matemático pretexto; se necesita en cambio progresar en la comprensión de las condiciones que vuelven posible el encuentro del estudiante con el problema y la relativa asunción por parte del estudiante mismo”.

La tentación más fuerte para mi sería la de partir de las didácticas disciplinarias, independientemente de lo que éstas sean12, e intentar definir la didáctica general por abstracción respecto a las didácticas disciplinarias; algunos estudiosos de didáctica general parecen aprobar este modo de pensar (Genovesi, 1996), otros son contrarios porque, dicen, haciendo así se volvería a dar a la didáctica general (en las comparaciones con las didácticas disciplinarias) el papel pernicioso que fue de la pedagogía (precisamente en las comparaciones con la didáctica).

Ahora, no es mi tarea definir y resolver esta cuestión tan espinosa y aún tan violentamente debatida: pienso por el contrario que quedará abierta durante un largo tiempo...

Creo en cambio que interese sobretodo saber que, en un cierto sentido, este debate comenzó desde hace siglos; intentaré demostrarlo.

En el siglo XVIII se apasionaron con la pregunta: ¿qué quiere decir “simple de entender”? El “simple” ¿es un hecho absoluto o relativo? El “simple” ¿es tal indiferentemente tanto para el científico como para el niño? ¿O existe diferencia? Si es así, ¿cuál?

Estas preguntas hallan intentos de respuesta incluso en la Encyclopédie de Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert [1717-1783] y Denis Diderot [1713-1784], y sobretodo en los artículos Análisis, Síntesis, Método, Elementos de las ciencias. Se trata, desde mi punto de vista, ya de un estudio de didáctica que se diferencia de los intereses de la pedagogía. [Insisto: si, por ejemplo, se tratara de ejemplos tomados de la química, sería didáctica de la química (es decir la especificidad viene del objeto de conocimiento tratado)]. Podría ser interesante, tanto para tener una idea de la cosa, ver como d’Alembert, autor de la voz Elementos de las ciencias, trata de hacer nacer ideas didácticas de la hipótesis cartesiana de síntesis, de lo simple a lo complejo, pero como se halla obligado él mismo a admitir que la cosa se complica inmediatamente.

Soy consciente de forzar un poco las cosas, comenzando por admitir que existe una profunda diferencia entre:

• la disciplina en sí (prosiguiendo con nuestro ejemplo, la química) a partir de cómo se le conoce y de cómo es practicada por los especialistas, por los científicos, por parte de los químicos, en resumidas cuentas;

• la didáctica general en sí, por como consta de aserciones generales creíbles y garantizadas por reflexiones significativas conducidas por expertos en el sector;

• la didáctica disciplinaria en sí, que tiene otros parámetros, paradigmas y objetivos.

El verdadero punto en discusión se evidencia cuando d’Alembert trata de ver qué significa que un concepto precede a otro: ¿de cuál partir, de dónde comenzar los primeros movimientos, cuáles son los conceptos primarios?

Por ejemplo, en matemáticas, el científico acostumbra comenzar con ideas tales como espacio, plano, recta, punto, número... y algunas “conexiones” entre ellos; ¿estamos seguros que en la didáctica de la matemática esto es conveniente? ¿Los elementos primarios del científico son o deben ser necesariamente los elementos primarios del estudiante?

Más que aceptar los elementos primarios del científico, ¿no vale la pena quizás recorrer la generación de las ideas que han llevado a escoger esos objetos como objetos primarios? No es aquí el caso de profundizar, pero es singular como precisamente este debate de tipo didáctico haga pasar a d’Alembert de una posición totalmente cartesiana a una lockiana y después como intenta conciliar ambas: “Las ideas simples pueden reducirse a dos categorías: unas son las ideas abstractas (...) el segundo tipo de ideas simples se halla en las ideas primitivas que nosotros adquirimos por medio de nuestras sensaciones”.

Pero: los elementos que los niños (que se acercan por primera vez al estudio de las ciencias) se hallan en grado de comprender, ¿son o no los elementos de las ciencias? O: ¿son al menos de la misma naturaleza?

• Si se responde que sí, entonces el método didáctico es una reestructuración, una sistematización, una puesta en escena progresiva de los elementos de las ciencias, del saber de los científicos (Kintzler, 1989);

• si se responde que no, ¿cómo se pasa de las competencias infantiles, de los elementos cognitivos en posesión de un niño, al saber científicamente entendido?

En todo caso, ¿qué vínculo existe entre los elementos primarios adquiribles por el niño y los elementos primarios de las ciencias?

[Estas preguntas son relativamente modernas; es bien conocida la frase atribuida a Euclides según la cual no existen caminos reales a la matemática. A esta frase han sido atribuidos en el tiempo varios significados, uno de los cuales es el siguiente: el único modo de aprender la matemática es repetirla y ejercitarse en sus textos, hasta… absorberla. Esto requiere tiempo, esfuerzo y no se trata ciertamente de un proceso que se pueda acortar (por otra parte, no estamos lejos de la posición de G. Gentile, aún hoy bastante compartida por muchos maestros en este campo, el específico de la matemática: no existe un problema de la didáctica de la matemática; el maestro no debe hacer otra cosa más que repetir sus teoremas, y los estudiantes aprenderlos)].

Desde mi punto de vista, a partir de este debate se comienza a delinear una terna de contenidos:

• los contenidos de la disciplina d, establecidos por ella misma, por su historia;

• los contenidos de la didáctica de esa disciplina, digamos para entendernos: Dd; esta tiene como objeto de estudio la sistema­tización (en la óptica: enseñanza → aprendizaje eficaz) de los elementos de la disciplina d, pero los contenidos específicos de Dd no son más los contenidos de la disciplina d, son nuevos con respecto a d;

• los contenidos de otra teoría, más general, que se podría identificar en la que pone el problema de como pasar, más allá del caso específico, de los contenidos de d a los contenidos de Dd, independientemente de la disciplina d; se podría entonces comenzar a pensar en una especie de didáctica general, entendida en este sentido.

Yo, aquí, me ocuparé sólo de didáctica de la matemática, aunque me permitiré muchas divagaciones hacia la didáctica general un poco en todos lados, pero en particular en el cap 13. Por lo tanto suspendo la historia del nacimiento de una didáctica general, para decir en cambio algo sobre el nacimiento de las didácticas disciplinarias.

Casi todos hoy consideran los Elementos de Euclides una obra con objetivos didácticos; pero también el contenido del Papiro de Rhind (en su forma original, 1850 a.C.) podría ser una obra destinada a la didáctica en cuanto que posee varias características de este tipo de obra. Esto para decir que el problema tiene miles de años de historia. No sólo, sino que al paso de los siglos se han desarrollado ideas y concepciones diferentes relativas a la didáctica de la matemática (en particular de la geometría). Sin embargo toda propuesta didáctica se resolvía siempre en propuestas concretas de recorridos, modalidades, cambios de axiomáticas, proyectos, y por lo tanto perspectivas diferentes; es por esto que se usa decir que sólo en las primeras décadas del siglo XX nacieron verdaderos y propios estudios sobre la didáctica entendida como disciplina en sí (Chervel, 1988). Por medio de los estudios de historia de las didácticas disciplinarias, se aprende que la escuela sólo ha tendido desde entonces a “escolarizar los saberes”, dándoles una apariencia particular, precisamente con el objetivo de volverlos enseñables. Dicho en otras palabras, el esfuerzo del docente en precedencia había sido siempre el y sólo el de repetir la disciplina, en la lengua, en los modos y en las formas consideradas peculiares de ella, si acaso de manera personal, por lo tanto exponiendo implíci­tamente un propio modo de ver las cosas. Quien, por alguna forma misteriosa de... osmosis, aprendía, bien: podía considerarse un afortunado. Quien no hubiese aprendido, daba con toda probabilidad de sí mismo la simple idea de no tener la famosa “predisposición natural” para la disciplina (y, en el caso de la matemática, es fácil constatar a cuantos les falta la famosa “predisposición natural”, dado que parece ser que son muy pocos los que están dispuestos a admitir de haber siempre ¡comprendido la matemática!).

Chervel discute además de la libertad de la creación de la disciplina, con fines escolares, por parte del maestro: “en el cuadro de una finalidad bien definida, la libertad teórica de creación disciplinaria del maestro se ejercita en un lugar y sobre un público determinado, el aula por una parte, los estudiantes por la otra” (Chervel, 1988).

Este punto, una vez más, me empuja por un lado a confirmar que sólo consideraciones de este tipo (sobre la disciplina) permiten decir que, desde mi punto de vista, se está desarrollando un discurso crítico que define los contenidos de una didáctica disciplinaria; por otro lado que existen necesidades de reconocer una teoría que garantice la legitimidad de estudios generales de este tipo, su coherencia, las fronteras entre lo posible y lo correcto (y esto, para mí, no se refiere a la disciplina en sentido estricto y podría en cambio constituir un puente entre la didáctica disciplinaria y la didáctica general).

Es por medio de las formas del saber escolarizado (o, mejor: que deben escolarizarse) que se concretiza la necesidad de las fases de transición: ¿Cuáles son las claves de acceso al saber disponibles? ¿Cómo usarlas? ¿Porqué? ¿Con qué objetivos?

Preguntas de este tipo deben tener respuestas disciplinarias; sería un desastre si no fuera así: tendríamos una didáctica vacía, inaceptable. Pero no sería correcto ni responsable confiar la respuesta a estas preguntas sólo a los expertos de didáctica disciplinaria: es necesario haber hecho reflexiones mucho más amplias, incluso independientes de cada disciplina. Aún más temible, en un cierto sentido, es pretender confiar las respuestas a estas preguntas a los que sólo son disciplinaristas, sin otra experiencia de didáctica de su disciplina sino la rutinaria de sí mismos como estudiantes o como docentes o basada en la observación de los propios hijos vistos a la obra. El experto de disciplina podría no tener la sensibilidad (afinada en los años, gracias a una investigación específica constante) o mejor la capacidad para distinguir entre las dos formas de elementos primarios, o entre las diferentes acepciones de simple, y por lo tanto proponer soluciones didácticas destinadas al fracaso (desgraciadamente, la historia de la didáctica de la matemática está llena de ejemplos de este tipo)13.

Aún más interesante parece ser la perspectiva que se delinea cuando se tiene el valor de aceptar la idea de “simplicidad” y de “elementos” en la fase de primer aprendizaje, llamando conceptos a todo eso y aceptar de estudiar directamente el desarrollo de los conceptos en la enseñanza. Este es ciertamente el punto de vista de Vigotsky que estudia la diferencia entre el concepto científicamente entendido y el que podríamos llamar (que llamaremos en algún capítulo) “misconcepción” poseída por el estudiante: entonces, en este sentido, se puede decir que el aprendizaje escolar produce la transformación del pensamiento conceptual (Vigotsky, 1966, cap. IV).

Para entender plenamente los contenidos de los que se trata en didáctica de la matemática, se necesita hacer algunas distinciones y un poco de historia muy reciente; es lo que haré, en los párrafos siguientes.

Antes de abandonar las consideraciones generales y adentrarme cada vez más en el dominio de la didáctica de la matemática, haré aún algunas consideraciones que tomaré en cuenta más adelante. La didáctica general, con el sentido aludido precedentemente, tiene varios reenvíos:

• remite a un cierto tipo de discusión acerca de cuestiones de pedagogía, que se refieren al aprendizaje y a la enseñanza, específicas de la formación de los maestros;14

• remite a unas actitudes teóricas y prácticas concernientes al “oficio de maestro”; afronta la cuestión de la clase y de la enseñanza por medio de consideraciones de tipo general, si se le problematiza en modo general; no se dan, es decir, las ya citadas “recetas”, sino que se evidencian los problemas y se enseña a reconocerlos y a circunscribirlos;

• remite a un programa que se refiere a la didacticización de la ciencia de la educación; en particular, la didáctica reivindica para ella la cuestión de la formación inicial de los maestros y no la remite a las ciencias de la educación, consideradas demasiado generales.

La investigación en didáctica tiene por lo tanto objetivos requeridos con base en necesidades, con base en exigencias concretas que se pueden expresar por ejemplo a través de las siguientes preguntas: ¿qué se debe hacer y saber para hacer más eficaz la enseñanza? ¿Cómo aprenden los estudiantes? ¿Cuáles son los instrumentos metodológicos para adaptar la enseñanza a las capacidades individuales? ¿Cómo valorar la eficacia de la elección metodológica? ¿Cómo y con cuáles instrumentos evaluar? (Sólo para dar un contraejemplo, el “qué” evaluar, desde mi punto de vista, se refiere a la didáctica disciplinaria; pero el análisis de los instrumentos posibles para la evaluación puede estar a cargo del teórico de la didáctica general) (Fandiño Pinilla, 2002).

Pero todo esto es banal si no se basa en profundas y sólidas bases teóricas. Se deben construir tales bases a partir de investigaciones en las que estudiosos de didáctica general y disciplinaria colaboren, para entender la teoría y las ejemplificaciones, útiles a ambos. Por ejemplo, es obvio y aceptado por todos hoy en día que la epistemología disciplinaria es el fundamento para estudiar los obstáculos al aprendizaje y la naturaleza de los errores, lo que tiene fuertes repercusiones en las valoraciones de la eficacia de la acción didáctica y en las evaluaciones del nivel de aprendizaje alcanzado. Pero la epistemología disciplinaria debe ser estudio y objetivo no sólo de los didactas de la disciplina: el estudioso de didáctica general que ignora las características peculiares fundamentales de las epistemologías disciplinarias corre el riesgo de hablar al vacío de la misma didáctica general. Obviamente eso no significa que el estudioso de la didáctica general deba saberlo todo: estoy sólo diciendo que ¡necesita informaciones peculiares de las cuales poder extraer ejemplos significativos en el caso de necesidad!

Esto ha llevado a desarrollar una larga serie de paradigmas metodoló­gicos en el mundo de la didáctica de la matemática, y dado que de esto hablaré largamente después, aquí evito toda cita; pero ha llevado también a evidenciar estudios y papeles de la investigación en didáctica general.

• Según Vergnaud (Vergnaud, Holbwachs, Rouchier, 1977): “Se necesita descartar todo esquema reduccionista: la didáctica no es reducible ni al conocimiento de una disciplina ni a la psicología, ni a la pedagogía, ni a la historia, ni a la epistemología. Supone todo eso, pero no se le puede reducir; tiene su identidad, sus problemas, sus métodos. Este es ahora un punto aceptado por los investigadores que se hallan empeñados en este camino”;

• según Brun (1981): “La renovación del término “didáctica” en ciencias de la educación contiene la voluntad de volver a dar importancia al análisis de los contenidos de enseñanza”;

• según Lacombe (1985): “La didáctica se refiere esencialmente a la transmisión de los conocimientos y de las capacidades; esta constituye, como consecuencia, el núcleo cognitivo de las investigaciones sobre la enseñanza”;

• según Audigier (1990): “La didáctica se diferencia de la pedagogía por su tomar en cuenta de manera sistemática los contenidos disciplinarios”.

Esto en lo que respecta a la didáctica general y su interés por las disciplinas. Si en cambio se quiere intentar definir, al menos para iniciar, qué es una didáctica disciplinaria, veamos qué afirman otros autores:

• Douady (1984): la Didáctica de la matemática es “el estudio de los procesos de transmisión y de adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia (la matemática) [y] se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su enseñanza y su aprendizaje. No se reduce a buscar una buena forma de enseñar una determinada noción”;

• Vergnaud (1985a): “La didáctica de una disciplina estudia los procesos de transmisión y de adquisición relativos al dominio específico de esta disciplina, o de las ciencias cercanas con las cuales esa interactúa”.

Pero creo que la mejor forma para evidenciar el contenido, los objetivos y las metodologías de la didáctica de la matemática y, al menos en parte, de la actual investigación en didáctica de la matemática, es el de profundizar, paso a paso, algunos de sus contenidos sobresalientes. Incluso porque acerca de la especificidad de la investigación en didáctica de la matemática el debate fue en el pasado reciente tan fuerte que se han producidos estudios interesantes. En vía preliminar, podrían leerse Brun y Conne (1990) y Boero (1992a).

Para una historia de la idea de didáctica, tal como se le entiende hoy, remito a Artigue y Douady (1986) que, aunque con algunas diferencias, remontan su nacimiento en Francia en 1974.

Todo lo expuesto antes ha abierto varias veces la cuestión de que no es para nada trivial la preparación de los maestros de matemática. Las diferentes naciones del mundo han decidido recorrer caminos diferentes, muchas veces incluso muy diferentes entre ellas, aunque no es aquí el caso de entrar en particulares (Fandiño Pinilla, 2003). Este libro quisiera contribuir a desmontar la idea, aún viva, que para enseñar matemática basta saber matemática. No puede ser así, nunca ha sido así: ya en el siglo XVIII se había entendido que no es así.

Mientras que remito a Godino (1996) y a D’Amore y Martini (1999) para una profundización, aquí me limito a observar que el gran matemático Felix Klein [1849-1925] se lamentaba ya a finales del siglo XIX de la falta de una preparación a la profesión de maestro de matemáticas en las universidades (Loria, 1933).

Según Klein el período de los estudios universitarios constituye simplemente un paréntesis, al que él llamó el paréntesis universitario. Antes, el futuro maestro es un estudiante de escuela secundaria superior, después vive este paréntesis, y finalmente regresa, como maestro, a la escuela secundaria; no habiendo tenido ninguna preparación para esta profesión, no puede más que adecuarse al modelo preuniversitario que había ya vivido (Bernardi, 1995a).

1.3. La didáctica de la matemática como arte

De lo que sabemos a partir de los documentos disponibles, podemos decir que Wittgenstein se dedicó a la enseñanza con una intensidad desconocida y con el sentido de un deber absoluto. No perdonó ni siquiera a sí mismo; y fue severo con sus estudiantes. (…) Vivió pobre con los pobres; los respetó; hizo de tal manera que sus muchachos llegasen a pensar por sí mismos; les dio lo que tenía: su saber, su abnegación, y su canasta de naranjas.

Dario Antiseri,

Introducción a la Edición italiana de: Ludwig Wittgenstein, Dizionario per le scuole elementari.

La didáctica de la matemática como arte produjo, como veremos, resultados interesantes. El objeto del trabajo de quien eligió esta forma de didáctica es esencialmente el siguiente: la enseñanza de la matemática; y el objetivo: crear situaciones (bajo forma de clases, actividades, objetos, ambientes, juegos...) para una mejor enseñanza de la matemática. La suposición más o menos explícita parecía ser la siguiente: si mejora la enseñanza, mejorará también el aprendizaje, y la validez de dicha suposición se daba por descontada. El peso “artístico” de la actividad de enseñanza, por lo tanto, pesa completamente en los hombros del maestro. Pero en el fondo de esta elección se halla la convicción que la atracción ejercida sobre la atención y sobre la motivación del estudiante son las características esenciales para que éste último aprenda. Eso ¿corresponde a la verdad o se trata de una ilusión, un poco ingenua? A este propósito escribe Moreno Armella (1999): “La enseñanza, como simple proceso de instrucción, agravada por hipótesis sobre la capacidad del estudiante de absorber lo que se dice “bien”, no es una concepción: es una ilusión”.

Nótese la acentuación del “bien”: dirigir todo hacia la enseñanza, independientemente de que se le conciba como resultado de una reflexión artística, no ofrece garantías en el plano de los aprendizajes. Esta es la opinión compartida hoy en día, por parte de los estudiosos de didáctica. Sin embargo, en el pasado, más de un autor ha sostenido que enseñar es un arte, fruto de dotes personales que no se pueden ni aprender ni transmitir, con la conclusión que la investigación didáctica no sirve. Se trata de una concepción perniciosa que ciertamente no abre el camino a reflexiones interesantes y que por el contrario cancela toda esperanza de mejorar los aprendizajes por medio de estudios específicos, constituyendo una involución que no se puede evitar. Afortunadamente los indudables éxitos obtenidos por la investigación contemporánea han mostrado que se trata de una posición ampliamente superada sobre la cual no vale la pena perder más tiempo.

Como es normal, es necesario hacer algunas distinciones para no caer en equivocaciones: lo afirmado líneas arriba no significa que no existan docentes que muestran indudables dotes naturales en la comunicación y en el atraer la atención de los estudiantes (¡cada uno de nosotros tiene, afortunadamente, memoria de su vida escolar!). Lo que se quiere decir es que

• la eficacia de los aprendizajes no es exclusiva sólo de estos “artistas de la didáctica” aunque si, obviamente, partiendo de una base de atención e interés, es fácil que crezca la motivación y por lo tanto la volición;

• no se da por descontado que un maestro perfecto obtenga, sólo por este motivo, el resultado deseado en el plano de la calidad del aprendizaje por parte de sus propios estudiantes.

Regresemos a los resultados de la didáctica dirigida exclusivamente a la enseñanza; dije líneas arriba que ella obtuvo, en las últimas décadas, resultados interesantes.

¿Cómo no reconocer, por ejemplo, los obtenidos con la matemática viviente de Zoltan P. Dienes (1972) que tanto éxito tuvo en las décadas pasadas, en todo el mundo? El estudiante vive la matemática, no se limita a aprenderla: el maestro crea para él un ambiente favorable, adecuado, perfectamente estructurado; y actividades, por ejemplo juegos lógicos, juegos de movimiento, incluso bailes, cuya estructura es matemática. Los famosos “bloques lógicos” dieron la vuelta al mundo y muchos maestros los consideraron incluso como prototipo y sinónimo de lógica; se trata de objetos predispuestos, confeccionados previamente para efectuar activamente ejercicios de lógica, de diferentes tipos; por ejemplo juegos en los cuales se evidenciaba una parte proposicional y una parte predicativa, operaciones sobre conectivos y sobre cuantificadores, operaciones en una versión ingenua de la teoría de conjuntos elemental, etcétera. El maestro preordenaba la actividad, el estudiante encontraba placer en hacerla porque podía manipular objetos, dialogar en modo activo con el maestro y con sus compañeros, sentirse en el centro de la atención, un protagonista.

En esta misma categoría pondría el muy famoso trabajo de Emma Castelnuovo, a quien dediqué los trabajos de un Congreso nacional en noviembre de 1990 sobre la didáctica de la matemática (D’Amore, 1990). En aquella ocasión, llamándola por primera al palco de los oradores, declaré que Emma había sido ciertamente para todos los investigadores italianos en didáctica de la matemática una fuente de inspiración. Y pienso en verdad que es así. Entre las tantas maravillas que Emma ha regalado a la escuela y a la didáctica, recuerdo aquí sólo una de las más famosas, extraordinariamente precisa en su simplicidad y genialidad: el paralelogramo articulado con el cual se estudian muchas propiedades, entre otras algunas que ligan isoperimetría y equiextensión, o ciertas transformaciones geométricas, o rectángulos y paralelogramos. Emma, desde hace décadas activa, tiene miles de seguidores, grupos que llevan su nombre casi en todo el mundo, escuelas intituladas a ella. Algunas de sus intuiciones son verdaderamente geniales y son por tanto matemáticas como artísticas.

A propósito de ambientes artificiales creados a medida para ciertos aprendizajes específicos, ¿cómo no recordar los que se inspiran en Maria Montessori [1870-1952]? He tenido forma de dialogar con maestros que se inspiran en las ideas de este grande personaje y de admirar su trabajo; aseguran que los niños se hallan contentos con estas experiencias tan concretas, tan fascinantes, de exploración; y que los aprendizajes que poco a poco se realizan son estables y profundos, para nada epidérmicos.15

1.4. Dos modos diferentes de entender la didáctica de la matemática: didáctica A y didáctica B

Alguna vez de niños atravesábamos el bosque hasta su viñedo: fingíamos robar uvas e higos, él fingía enojarse y nos amenazaba, imagínense, con el libro que estaba leyendo a la sombra del higo. Terminada la broma, nos sentábamos en la tierra alrededor de su sillón de bejuco; y su esposa, ánima dulce también ella, nos llevaba el pan para comer con higos. Él creía de divertirnos, en realidad era él quien se divertía con juegos matemáticos; nosotros fingíamos de interesarnos para darle gusto.

Giulio Carlo Argan, Presentación a: Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti.

Antes de proseguir con otros ejemplos significativos, quisiera intentar una descripción general en primera aproximación, por ahora más bien banal, de lo que se entiende hoy acerca de la investigación en didáctica de la matemática16.

Se podría hipotizar un doble modo de ver a la didáctica de la matemática:

A: como divulgación de las ideas, fijando por lo tanto la atención en la fase de la enseñanza (A aquí esta por Arte);

B: como investigación empírica, fijando la atención en la fase del aprendizaje (algo que más adelante definiré mejor y que podríamos llamar: epistemología del aprendizaje de la matemática).

Ahora, todas las experiencias vistas hasta este punto y brevemente consideradas en el párrafo precedente, son pertinentes a la tipología A, en cuanto que el esfuerzo del estudioso e investigador está totalmente dirigido a transformar un discurso especializado (y por lo tanto complejo dado que hace uso de un lenguaje técnico no natural) en uno comprensible y más adecuado a la naturaleza del estudiante. Quien se ubica en la tipología A es sensible al estudiante, lo pone al centro de su atención, pero su acción didáctica no está en el estudiante sino en el argumento en juego.

La didáctica A puede servir a plantear y a veces a resolver problemas de grande importancia como: mejorar la imagen de la matemática, mejorar la imagen de sí mismo al hacer matemática, mejorar la atención, activar interés y motivación.

A este propósito, creo poder afirmar que todo esto, visto y considerado siempre como algo relativo a los estudiantes, pueda, en cambio, transferirse también a los maestros. En otras palabras: me parece que también hay maestros de matemática, en todos los niveles escolares, que tienen problemas de imagen de la matemática por cuanto concierne a sí mismo, a los estudiantes, y frente a los colegas, a las familias, a la sociedad.

Una imagen negativa de la matemática es nociva para el mismo maestro. Clases inútiles, repetitivas, aburridas, tienen consecuencias negativas en los estudiantes y en los otros componentes del mundo de la escuela, y terminan por dar al mismo maestro de matemáticas una mala imagen de la matemática, de sí mismo como maestro, lo que vuelve negativo el trabajo didáctico.

Pues bien: personalmente he visto varias veces como el entusiasmo por las propuestas didácticas de Dienes, Castelnuovo, Montessori es real y contagioso. Los maestros que aplican, convencidos, un método de divulgación que captura la atención y vuelve agradable el hacer matemáticas, resultan más activos, más positivos, más convencidos. Todo el mundo de la escuela se beneficia de las ventajas descritas.

1.5. Didáctica A, como divulgación de las ideas

¿Cómo se comporta un gato asustado?

Puede huir a la derecha o a la izquierda, puede subirse a un árbol, puede meterse en un agujero, también puede decidir de mantener su posición erizando el pelo y soplando. Para nosotros el gato parece indudablemente dotado de una facultad de elección que nos impide

hacer cualquier previsión precisa.

En cambio, ¿cómo cae una piedra dejada caer

desde una cierta altura?

Siempre de la misma manera;

da la impresión de no tener elección.

Pues bien, la actitud científica no consiste en el atormentarse alrededor de la pregunta –absolutamente irrelevante desde este punto de vista- si la piedra cae por voluntad de un algún espíritu congénito en la naturaleza

(o de un dios); consiste en cambio antes que nada en el observar y describir exactamente cómo se da el fenómeno y en segundo lugar en el preguntarse si no es consecuencia de un comportamiento más general de la naturaleza o, como se dice, de una ley a la cual este fenómeno obedece.

Maria Luisa Dalla Chiara y Giuliano

Toraldo di Francia, La scimmia allo specchio.

La didáctica A me parece ser de fundamental importancia. Es en esta tipología que pondría también algunas de las actividades que caen bajo el nombre de “uso de la historia de la matemática como instrumento didáctico”17. Tanto la Historia (como análisis crítico de la evolución de las ideas), la historia (como desarrollo de los hechos), como la historia anecdótica, tienen papeles interesantes en este sector A. Una primera distinción entre estos papeles diferentes y una concreta valorización de cada uno de ellos, se halla en D’Amore y Speranza (1989, 1992, 1995) y en Furinghetti (1993).

El primero (análisis crítico de la evolución de las ideas) constituye ciertamente un sector de interés por privilegiar si no precisamente para el estudiante (que, a veces, podría revelarse inmaduro y por lo tanto no preparado para afrontar situaciones mucho más grandes que él), al menos para el maestro. Parece oportuno admitir que el maestro, gracias al análisis crítico de la evolución de las ideas matemáticas, madure convicciones y reflexiones científicas, epistemológicas (en el sentido de: filosofía de la ciencia) y por lo tanto didácticas. Este por lo tanto, enfatizado por mi cursivo, no es inmediato, ni por todos compartido. En el debate internacional acerca de la preparación inicial de los futuros maestros de matemáticas, hay quien ve oportuno insertar cuestiones de carácter histórico y epistemológico, precisamente con la certeza de la validez de esa consecuencia.

La segunda (historia como desarrollo de los hechos) explica los orígenes de las ideas, de los problemas, de las teorías que han hecho de la matemática lo que es hoy y por lo tanto infunde la certidumbre que esta disciplina no es una colección anacrónica de cosas ya hechas y sistematizadas desde siempre y para siempre, sino algo en perpetua evolución, hecha por el hombre para el hombre, rica por lo tanto de referencias a la historia cultural y social entendida en el sentido más amplio.

Finalmente la tercera (que podría llamar con la sola palabra: anecdótica) fascina a los jóvenes (y no sólo a ellos...); desde mi punto de vista, tiene una función no banal: los matemáticos, personajes que dedican su vida a algo que para la mayoría es misterioso, son seres humanos que tienen una historia personal (que, muchas veces, se confunde con la científica); eso los vuelve menos ajenos a los estudiantes, creando una especie de fascinación ya no misteriosa, sino curiosa, alrededor de ellos y de su producto cultural. La matemática se desmitifica, precisamente gracias al hecho que quienes la crean no se hayan fuera del mundo, y se acercan al mundo de los estudiantes.

Un ejemplo: una vez en un grupo de cuarto de primaria (edad de los estudiantes: 9-10 años) conté (con bastantes particulares narrativos absolutamente inventados pero plausibles) la famosa historia (verdadera) con base en la cual, en una escuela primaria alemana, un niño de 8 años, que después se convirtió en un personaje tan famoso e importante digno de merecer el título de “príncipe de los matemáticos”, Carl Friedrich Gauss [1777-1855], resolvió de manera brillante e inesperada el problema aritmético de calcular la suma siguiente, formada por cien sumandos: 1+2+3+...+98+99+100. Al reto lanzado al grupo de hallar una forma rápida de realizar la operación, tuve muchas respuestas (entre las cuales la ingeniosa pero para nada rápida: ¡“Usamos la calculadora”!). Cuando revelé el método de Gauss niño (es decir: reconocer que para calcular la suma antes dicha se puede multiplicar 101 por 50, dado que 1+100 da 101, como 2+99, como 3+98, etcétera), todos los estudiantes se pusieron a inventar soluciones personales (algunas de las cuales más bien fantásticas e inútiles, otras ingeniosas), para emular a su famoso coetáneo de hace dos siglos. La anécdota indujo interés por el argumento y por lo tanto una motivación a la tarea que se trasformó inmediatamente en volición. Y ha desmontado la idea según la cual sólo adultos ingeniosos y muy inteligentes pueden trabajar con las ideas matemáticas. El mundo de la matemática, lejano y mítico, se acercó de repente a las experiencias vivas y reales de los niños.

Ahora, es indudable que la anecdótica no se puede interpretar como investigación histórica académicamente seria, pero es también verdad que, desde mi punto de vista, en una visión didáctica A es deseable poner en movimiento todos los mecanismos de... seducción posibles, con tal de obtener el objetivo (Furinghetti, 1993).

1.6. Otros ejemplos de didáctica A

Que el joven no tenga una fe ciega: que nada esté bien para él excepto aquello que siente que está bien. Incitándolo siempre hacia cosas que sobrepasan su comprensión se ilusionan de ser precavidos pero no lo son. Con tal de proporcionarle algún instrumento superfluo, que quizás no usará jamás, le quitan lo que es más universal para el hombre: el buen sentido;

lo acostumbran a dejarse guiar siempre,

a ser un autómata en las manos de otros.

Jean-Jacques Rousseau,

Emilio o de la educación.

Por lo tanto, forman parte de la didáctica de tipo A todos los estudios y las ideaciones de instrumentos (concretos o no) que pueden mejorar la enseñanza de la matemática, en el sentido que precisé líneas arriba.

Hemos visto el trabajo de Dienes, de Castelnuovo y los ambientes inspirados en las ideas de Montessori. Veamos otros ejemplos.

En la escuela primaria, recuerdo los así llamados “números en color”, pensados por Galeb Gattegno [1911-1988]. A los niños se les proporcionan unas reglas de madera coloreadas que sirven para hacer representaciones concretas de los valores numéricos; se ejercitan así dos estímulos visuales en la aproximación al número natural: altura, en cuanto que las reglas tienen base cuadrada constante pero altura diferente proporcional al número que representan; y color, en cuanto que cada regla se pinta en modo diferente dependiendo del número que representa. Existe también un intercambio entre número en sentido cardinal y número como expresión de una medida. En efecto, la regla más pequeña, la unitaria (se trata de un cubito), se considera como la unidad de medida es decir se asimila al número 1. Por lo que la regla-tres, por ejemplo, es alta tres veces la unidad de medida: para rehacer la regla-tres, a partir del color, se necesita sobreponer tres cubos-unidad (se pierde algo en la aproximación ordinal, pero quizás se le recupera con oportunas actividades de conteo). Este material, que tuvo una notable fortuna mundial en los años 70, se halla aún presente en las escuelas primarias, aunque ahora su papel didáctico me parece cada vez menos enfatizado.

Bastante difundidas, especialmente en los años 70 y 80, fueron salones equipados de manera particular llamados “laboratorios de matemática”. Se trata de verdaderos laboratorios didácticos en los que los estudiantes construyen (en el verdadero sentido concreto de la palabra) objetos relacionados con la matemática: máquinas eléctricas para hacer cálculos, instrumentos para estudiar las transformaciones geométricas, máquinas lógicas para estudiar los conectivos... (Caldelli, D’Amore, 1986). Hubo años muy intensos de trabajo alrededor de esta idea que tiene indudables frutos muy positivos en el plano didáctico – cognitivo, dado que se instauran mecanismos relacionales (maestro - estudiante) muy particulares y relaciones cognitivas (estudiante - matemática) de extremo interés teórico (D’Amore, 1988, 1990-91).

Es obvio que esta actividad en laboratorio se configura al interior de la así llamada’“pedagogía activa”: el muchacho construye, y en nuestro caso no sólo metafóricamente, sino concretamente, con las propias manos, objetos que demandan conocimiento. Los conceptos son el resultado de la elaboración de proyectos que deben ser examinados meticulosamente por la experiencia. El producto debe pensarse a priori porque tiene un objetivo declarado y esperado, pero después debe verificarse su eficacia.

Hubo años de gran interés social por estas iniciativas, entre finales de los años 70 y mitad de los años 80. Yo mismo coordiné el nacimiento de algunas decenas de laboratorios en Bolonia (escuelas primarias comunales, en ese entonces existentes), Osteria Grande18(escuela estatal, con descarga oficial de un maestro, precisamente con el objetivo de seguir las actividades de laboratorio), Imola (lo mismo), Lugo de Romagna y localidades limítrofes (donde realizamos varios centros), y así sucesivamente19. Dado que el instrumento matemático no era, como habitualmente, del todo realizado por un adulto y llevado a la clase ya confeccionado y listo para el uso, sino sólo propuesto por el maestro por medio de la necesidad de volver concreta una idea, pero después proyectado, realizado y verificado por el estudiante, se podría incluso pensar que esta actividad constituye un “puente” entre la tipología A y la B de la didáctica (que conoceremos en detalle dentro de poco).

Otro instrumento que tuvo resonancia mundial fue la así llamada “minicomputadora” ideada por Georges Papy. En realidad, más allá del nombre, el instrumento nada tiene que ver con la (de ese entonces) nueva emergente realidad tecnológica, dado que consiste simplemente en un cuadrado de papel subdividido en otros 4 cuadrados (mediante las dos medianas). La minicomputadora de Papy se presta a juegos de transformación de la base numérica dos a la de base diez (y viceversa), utiliza exponentes de base dos y permite cálculos de un cierto interés, motivando, mediante una idea lúdica simple y genial, al estudiante a la tarea. Es más, el estudiante tiene siempre la impresión de crear por sí mismo algo nuevo, dado que descubre continuamente curiosos y fascinantes vínculos entre números escritos en las dos diferentes bases. Siempre a Papy y a sus seguidores se les atribuye un uso masivo del “lenguaje de las flechas”, una especie de ambiente lingüístico pre-formal, considerado por quien lo usa “neutro” y “espontáneo”, incluso pre-cognitivo porque su uso no requeriría de capacidades específicas.

¿Cómo no recordar el célebre geoplano, un cuadrado de madera idealmente cuadriculado, con clavos en los vértices de tal cuadrícula? También este simple y genial instrumento dio la vuelta al mundo y se difundió rápidamente, y se halla presente aún hoy en muchas realidades escolares, especialmente en la escuela obligatoria. Se presta a actividades bastante elementales, por ejemplo como base de figuras geométricas vueltas visibles con ligas de colores estiradas alrededor de los clavos-vértices. Pero también para ilustrar en modo muy sencillo resultados matemáticos más avanzados, como el teorema de Pick20, adecuado para realizar investigaciones incluso bastante serias de carácter inductivo y deductivo. Más en general, el plano cuadriculado se presta a varias actividades matemáticas: el estudio de la así llamada geometría del taxi, de la probabilidad, del triángulo de Tartaglia-Pascal etc. (Caldelli, D’Amore, 1986).

La lista podría continuar, dado que en tantos años de experiencias en la tipología A, la didáctica de la matemática ha parido muchas ideas concretas, algunas de las cuales son en verdad geniales.

Para concluir, quiero sólo recordar el ábaco multibase, un instrumento bastante difundido en la escuela primaria y secundaria en los años 70, pero ahora desaparecido, adecuado para hacer cálculos pasando de una base numérica a otra. La idea inspiradora era la siguiente: dado que usamos siempre la base diez, el estudiante podría ser inducido implícitamente a pensar que exista sólo dicha base y que estamos de alguna manera “obligados” a usarla (aunque los cálculos sobre la duración de los intervalos temporales y sobre las amplitudes de los ángulos constituyen algunos contraejemplos).

Puede por lo tanto ser útil sugerir, en el modo más concreto posible, que existen escrituras numéricas interpretables de manera diversa dependiendo de la base numérica elegida. Por ejemplo, la misma escritura “11” puede decir cosas diferentes, dependiendo del ámbito numérico seleccionado: querrá decir “tres” si elegimos la base dos, querrá decir “once” si escogimos la base diez, querrá decir “cinco” si elegimos la base cuatro, etcétera.

Desafortunadamente este instrumento y esta idea se malentendieron de una manera exagerada, creando una distorsión: más que limitarse a dar esta visión, de la posible multiplicidad de bases, algunos maestros entusiastas (pero un poco ingenuos) comenzaron a transformar esta actividad en una serie de ejercicios antipáticos y aburridos, que además no tuvieron resultados didácticos positivos ... Pero eso nada quita, desde mi punto de vista, a la idea inicial y al instrumento en sí.

1.7. Límites de la didáctica A

Que nada sepa él sólo por haberlo oído de ustedes, sino sólo por haberlo comprendido por sí mismo: que no aprenda la ciencia: que la descubra. Si logran sustituir en su mente la autoridad por la razón, no razonará más; no será más que el bufón de la opinión de los demás.

Jean-Jacques Rousseau,

Emilio o de la educación.

Este destino, el de los malentendidos y de la exageración acrítica, de la pérdida de la evidencia de la motivación didáctica que está en el origen de una idea y de un instrumento, parece ser común a muchas de las innovaciones que consideré ser parte de la didáctica A, quizás precisamente a causa del hecho que tanto los que proponían como los adeptos no tenían como base resultados de una investigación didáctica sobre los efectos cognitivos en relación a las modificaciones de los aprendizajes obtenidos con el instrumento; la confianza se derivaba del instrumento en sí, del grado de convicción operado por quien lo propone, del consenso que lograba, en todos los niveles, alrededor de las propuestas.

Así ha sido para muchos de los instrumentos presentados, para una versión ingenua de la teoría elemental de conjuntos (sobre la que regresaré explícitamente en 1.8.), para la introducción de la lógica de los enunciados (una exasperada puesta en obra de tablas de verdad y de conectivos) etc.

Uno de los problemas didácticos principales que liga entre sí todo el material presentado hasta ahora me parece ser el del transfer cognitivo. Me detendré en este punto por ahora muy brevemente, para después retomarlo más adelante en manera más profunda.

Muchos de los creadores de los instrumentos señalados han realizado ambientes de trabajo particulares, cerrados en sí mismos, ambientes artificiales; en ellos se potencian, evidenciándolos y aislándolos, los aspectos matemáticos de las actividades mismas.

Pero se trata de actividades por así decirlo con un fin en sí mismas, es decir “internas”. La apuesta pedagógica de fondo parece ser la siguiente: la motivación y el interés que la nueva actividad ha creado en el estudiante son tales que el aprendizaje del concepto “en juego” no será epidérmico sino profundo. En tal modo, cuando el estudiante se halle frente a un problema del mismo tipo, pero en un ambiente diferente, transferirá el saber de una situación a la otra, en modo natural, implícito, espontáneo, sin requerimientos cognitivos específicos para la nueva situación de aprendizaje. Se trata, dicho en palabras simples, del fenómeno del transfer cognitivo: de un conocimiento “artificial” construido sobre medida en un ambiente oportuno y específico, al conocimiento generalizado, es decir a la capacidad de producir habilidades cognitivas y de procedimiento en otras situaciones.

Pero, de hecho, las cosas no son siempre así; es más, si nos fijamos bien, difícilmente son así: muchas veces las capacidades cognitivas y de procedimiento se quedan ancladas en el ámbito en el cual se han logrado: no se sabe transferir el conocimiento, salvo en casos particulares.

Este límite ha redimensionado mucho los estudios hechos en ámbito A; estos, aunque prosiguen, se hallan hoy usualmente acompañados por una seria investigación empírica, bien fundada, cada vez más especializada, y entonces fatalmente tienden a convertirse en investigaciones de didáctica B; o no se les considera ya para nada hoy en día, sino como puros ejercicios retóricos, sin ninguna credibilidad didáctica (en realidad, como ya lo advertí, la problemática del transfer cognitivo no es tan banal. Deberé retomarla más adelante con detalles, mucho más profundos).

Pero, ¿se puede hacer investigación empírica en una didáctica de tipo A?

Debo decir inmediatamente que si únicamente se considera la tipología A como ambiente de investigación, entonces se necesita reconocer que esos estudiosos no han logrado elaborar su propio estatuto epistemológico global.

A esta afirmación alguien rebate llamando en causa al bourbakismo21; pero la referencia al estructuralismo bourbakista es incorrecta, porque ella no es, ni jamás ha pedido ser, una epistemología de la investigación en didáctica, siendo totalmente ajena a ella.

Tampoco es correcto referirse al estructuralismo en sentido piagetiano, que también al bourbakista hace referencias continuas: la teoría según la cual el aprendizaje se da “a estadios” jerárquicos lineales, en analogía con el modelo de la epistemología genética de Jean Piaget [1896-1980], se halla desde hace décadas en el centro de discusiones: se trata de una elegante y fascinante construcción teórica, pero que parece titubear al tratar de hallar serias y significativas verificaciones empíricas que la vuelvan aceptable; es más, las verificaciones empíricas hasta aquí realizadas parecen ir en direcciones muy diferentes y opuestas22.

Sin una verdadera y propia investigación empírica, ¿qué certeza tenemos acerca del hecho que el uso de un instrumento cualquiera entre los descritos en la tipología A vuelva a los estudiantes en verdad más hábiles en algo que no sea meramente específico? Por ejemplo, usar durante mucho tiempo y con la asistencia del maestro el ábaco multibase vuelve al estudiante, obviamente, más hábil en usar... el ábaco multibase; pero ¿estamos seguros que ese mismo estudiante será más hábil también en algo más, por ejemplo en la ejecución de una operación, en la resolución de un problema, en la demostración de un enunciado? O, al menos, ¿ha asumido una consciencia más profunda de los conceptos aritméticos de base y sobre la matemática en general?

Pero, por otra parte, si se efectúan pruebas empíricas, con oportunos y bien estudiados dispositivos experimentales, sobre los resultados cognitivos obtenidos con actividades de tipo A, entonces se pasa a la investigación considerada experimental, se entra en el campo de la epistemología del aprendizaje, es decir se pasa al punto que distingue a la tipología B.

Para cerrar este párrafo, señalo un par de trabajos histórico-críticos de Angelo Pescarini (1995, 1997) que presentan un buen panorama acerca de la investigación en didáctica de la matemática, deteniéndose en los años 80, y tratando de establecer algunos fundamentos de carácter epistemológico a las diferentes concepciones surgidas entre los años 50 y los 80.

El trabajo de Dienes, Papy y otros “monstruos sagrados” de los años 60 y 70 fue sometido a críticas radicales por parte de algunos didactas en los años 80; en particular, en modo muy lúcido y de forma tal de no permitir réplicas, por parte de Guy Brousseau (1986) (el nombre de este didacta francés aparecerá varias veces citado en lo que sigue). Remito a ese largo artículo de 1986, uno de los pilares del nuevo modo de entender la didáctica de la matemática, para tener los detalles de tales críticas. Véase también Sarrazy (1995; en la trad. it. en las páginas 136-137).

1.8. El “caso” de la versión escolar (ingenua) de la teoría elemental de conjuntos y las primeras investigaciones sobre la didáctica de la aritmética

Cualquiera que tenga la ambición de hacerse escuchar en medio de una multitud, deberá hacer presión, empujar, ponerse adelante y trepar con muchos esfuerzos, hasta que se habrá levantado a una cierta altura sobre los demás. Ahora, en toda asamblea, por una particular propiedad, se puede observar que, sobre las cabezas de los asistentes, por más que se hallen amontonados, existe siempre espacio suficiente; pero es difícil llegar, porque abrirse paso en una multitud es una fatiga dura, como salir del infierno; (…). A tal fin, en todas las épocas, la solución de los filósofos ha sido la de dar vida a construcciones en el aire.

Jonathan Swift,

Fábula del barril.

Mención a parte se merece la historia de la versión escolar, dicha a veces “ingenua”, de la teoría elemental de conjuntos que apareció en el mundo de la escuela en los años 60 empezando en los Estados Unidos, Francia y Bélgica, pero llegando a todos los continentes.

[A propósito de denominación, debe decirse explícitamente que “conjunto” es, en teoría de los conjuntos y por lo tanto en matemáticas, un término abstracto; pero cuando se usa didácticamente en los niveles escolares primarios, se le asimila a los nombres “reunión”, “colección” y otros semejantes, precisamente en el sentido concreto, de más... cosas, a veces verdaderos objetos materiales, reunidos en un todo único y pensadas colectivamente. Por lo que, aviso al lector lógico, que en lo que sigue de este párrafo, usaré el término “conjunto” en esta acepción no-matemática, tomada del lenguaje natural y del uso que de ella se hace desde hace décadas en una didáctica a veces ingenua y burda]23.

En realidad, me parece poder afirmar que la así llamada “teoría de conjuntos” era sólo la punta emergente de una más vasta visión estructuralista, de inspiración bourbakista, de la matemática, que tuvo varias denominaciones: Nueva Matemática, Matemática Moderna y otras más. Otras solicitudes de contenido y otras instancias de método casi no se notaron, pero el lenguaje de los conjuntos fue una novedad que se extendió como mancha de aceite, sobre la que se escribieron ríos de tinta, y que tuvo una fortuna primero lenta, pero después enorme, aún ahora no apagada del todo.

Para evitar equivocaciones, es necesario decir que el nacimiento de una teoría de los conjuntos consciente en matemática es cuestión más bien reciente, del siglo XIX24; y que está fuera de duda el hecho que, aún con todos sus límites25, el lenguaje de una ingenua teoría de los conjuntos, en matemática, es cómodo y, por ciertos aspectos, irrenunciable.

Pero aquí, no estoy hablando de la vertiente matemática, sino de la vertiente didáctica, que es otra cosa; aún más es otra cosa, dado que se habla de didáctica preuniversitaria...

Quizás (pero sólo quizás) toda esta aventura comienza con el muy famoso libro de J. Piaget y A. Szeminska, La genèse du nombre chez l’enfant (Piaget, Szeminska, 1941) publicado por primera vez en 1941 [y traducido 27 años después en Italia (Florencia, La Nuova Italia, 1968): lo que explica la difusión de estas ideas de amplio radio fue tan tardía en mi País]. Se debe decir también que fueron sobretodo psicólogos y pedagogos a ocuparse de este libro y, al menos inicialmente, de este tipo de cosas; por lo que, la difusión de estas ideas en didáctica y su distribución ramificada en el territorio, no fue obra de los matemáticos26. Sucesivamente, las ideas de Jean Piaget fueron recalcadas varias veces, por él mismo o por sus estudiantes; no puedo no recordar la obra colectiva de Gréco, Grize, Papert y Piaget (1960).

Se necesita además no olvidar la célebre conferencia que Jean Piaget impartió en Lyon en 1949 a maestros de escuela primaria y que contribuyó, en los años 50, a dar un impulso decisivo a la precedente didáctica de la aritmética (o, mejor, de la idea de número).

¿En qué consiste tal impulso? Piaget puso en evidencia algunas supuestas dificultades que el niño halla en su propia construcción del “concepto de número”, independientemente de lo que eso signifique. La primera se refiere al hecho que el niño no parece en grado de aferrar la equinumerosidad de una colección dada de objetos, en el momento en el que se dispongan perceptivamente en modos diferentes (hago referencia al célebre experimento sobre la así llamada “conservación del número”, cuando los objetos de un conjunto se desparraman sobre la mesa después de haber estado cerca entre sí). Otra consiste en el hecho que diferentes disposiciones de objetos de más conjuntos parecen hacer que el niño afirme que se trata de números diferentes de objetos, aunque no sea así.

Según Piaget, en la base de tales dificultades, se hallaría la incapacidad del niño de aferrar la “conexión uno-a-uno” entre objetos de diferentes conjuntos. He aquí entonces que la idea de correspondencia biunívoca entre conjuntos se elige como base, como piedra fundamental de toda la didáctica de los números, desde preescolar. Y eso comporta que haya existido una sobrevaloración del concepto cardinal de número con respecto al ordinal. Se vuelve institucional un gran retraso en la introducción del número en sus aspectos usuales, para poderlo construir por medio de complejos procedimientos “de abstracción”: concepto de equipotencia entre conjuntos finitos, clases de equivalencia, representante de cada clase27.

No entraré en ulteriores detalles técnicos, visto que ya existe sobre este argumento un trabajo muy profundo y detallado de Michele Pellerey (1989), al cual remito.

Quisiera sólo recordar brevemente lo que escribí ya en otros artículos (D’Amore, 1994a; Aglí, D’Amore, 1995). Rehice personalmente varias veces un experimento juzgado probatorio, en la dirección precedente. A niños entre los 5 y los 5 años y medio (último año de preescolar) mostré una fila de 5 platitos junto a otra fila de 5 tacitas. A la pregunta: “¿Hay más platitos o más tacitas?”, todos respondían correctamente (aunque, obviamente, con modalidades lingüísticas diferentes). Dejando en su lugar los platitos, redistribuía las tacitas sobre la mesa, dejando más espacio entre ellas. A la misma pregunta de antes, todos los niños efectivamente respondían, de acuerdo a las supuestas dificultades señaladas por Piaget, que ahora había más tacitas. Pero no concluía aquí mi prueba: volvía a colocar en su lugar las tacitas, acercándolas a los platitos, como estaban antes, y rehacía la misma pregunta. De nuevo todos los niños daban la respuesta correcta. Cuando de nuevo (por lo tanto: por segunda vez) separaba entre ellas las tacitas y rehacía la misma pregunta, ya la mitad de los niños presentes reconocía con absoluta, sorprendente, desconcertante seguridad que había tantas tacitas como platitos y buscaban convencer a los demás, anclados en la misma respuesta precedente “¿Hay más tacitas?”, con argumentos convincentes28.

La grande fortuna de este lenguaje de conjuntos se halla ligada también a los diferentes materiales predispuestos que la acompañaron, los así llamados “materiales estructurados”, que dieron la vuelta al mundo (alguien lo ha ya recordado precedentemente). Pero también a las teorizaciones de Zoltan Dienes y de Jerome Bruner. Si del primero ya he mencionado algo, el segundo fue sólo citado en una nota. Bruner, en su Teoría de la instrucción (1966), sostiene que se debe desarrollar en los estudiantes la estructura misma del conocimiento; en particular, en matemáticas no se debe dirigir hacia habilidades mecánicas o algorítmicas, ni limitarse a dar simples informaciones; se debe estructurar la mente exactamente como se halla estructurada la matemática misma, para poder después “componer” cada pieza, en el interior de esta estructura ya predispuesta.

Pero desde 1970 comenzaron a circular fuertes señales de rechazo de todas estas hipótesis didácticas.

En 1970 se publicó en francés el muy célebre artículo del matemático René Thom (1970), Matemáticas Modernas: ¿un error educativo y filosófico? Debe recordarse que en 1958 Thom había ya ganado la Medalla Fields, el equivalente del Premio Nobel para la matemática; por lo que su ingreso en campo tuvo un peso para nada despreciable. Tal artículo contenía, en muy pocas páginas, un conciso análisis sumamente crítico que despertó repentinamente el interés de los matemáticos en los problemas de la educación matemática. Sucesivamente, en 1972 el mismo Thom confirmó su pensamiento en el II Congreso Internacional sobre Educación Matemática que se tuvo en Exeter, Inglaterra (Thom, 1973).

Otro golpe decisivo llegó por parte de otro célebre personaje, el famoso histórico de la matemática estadounidense Morris Kline [1908-1992] (1973). El trabajo, con título: ¿Por qué Juanito no sabe sumar?, tenía como subtítulo un explícito: El fracaso de las Nuevas Matemáticas29.

Después del ataque de los matemáticos, llegó el ataque de los psicólogos que no hallaban para nada convincente la teoría piagetiana del número. Comenzó quizás, como ya he recordado, C. J. Brainerd (1973) y después fue S. Mogdil (1974) los que sacudieron el edificio “estructuralista”; pero después tantos otros intentaron experimentos para probar o desmentir las hipótesis piagetianas sobre la construcción de los conceptos, especialmente el de número, culminando con el célebre trabajo ya recordado hace poco, de Gelman y Gallistel (1978), hoy muy citado por doquier30.

Para decirlo brevemente, parece ser sólo un prejuicio el hecho que se deba considerar al niño como incapaz de usar símbolos o de pensar lógicamente, y circunscribir sus habilidades y sus capacidades sólo a los procesos empíricos, perceptivos y motrices. El hecho es que la capacidad lingüística se desarrolla más lentamente de estas habilidades y por lo tanto, si nos confiamos en las declaraciones verbales de los niños, se tienen informaciones distorsionadas acerca de la realidad de lo que piensan y de lo que saben hacer: es decir, tales declaraciones condicionan negativamente nuestras observaciones [véase también Gardner (1993), p. 57 de la edic. it.].

Otro grave error de evaluación es el relativo al juicio; se juzga lo que un niño pequeño no sabe hacer, con respecto a otros niños más grandes o a un adulto; falseando la lectura de los resultados de las pruebas empíricas. En resumidas cuentas, la unidad y sobretodo las modalidades de medida seleccionadas falsifican el juicio.

Ahora, no entraré en detalles de este tipo, para los cuales remito una vez más al texto ya citado de Pellerey (1989) (capítulo VII) y al libro de Resnick y Ford (1981).

Diré sólo que nacieron sucesivamente varios proyectos didácticos en todo el mundo y, sobretodo, una nueva visión de la investigación en didáctica de la aritmética y del número (como veremos, aunque sólo de manera aproximada, en lo que sigue de este libro). Ellos no sólo han dado una nueva vitalidad a la idea ordinal, al número al interior de la recursividad, sino también al número pensado como término del lenguaje por denominar, al número en sus acepciones temporales, en el uso del dinero, etcétera.

Muchas de estas instancias fueron recogidas en las diferentes naciones, al momento de reformar los programas nacionales de aritmética, sobretodo para las escuelas primarias.

Por ejemplo, en la escuela italiana, los programas ministeriales de 1985 citaban, en la voz Aritmética: “El desarrollo del concepto de número debe estimularse valorizando las precedentes experiencias de los estudiantes en el contar y en el reconocer símbolos numéricos, hechas en el contexto de juego y de la vida familiar y social. Debe tenerse presente que la idea de número natural es compleja y requiere por lo tanto de un acercamiento que utilice diferentes puntos de vista (ordinalidad, cardinalidad, medida, etcétera); su adquisición se da en niveles siempre más elevados de interiorización y de abstracción durante el entero curso de escuela primaria, pero también después”.

Es obvio que tales palabras fueron inspiradas por la precedente historia.

Ciertamente, lo mismo puede decirse del cambio histórico de los programas franceses en 1985 y que actualmente ya no rigen antes consagrados totalmente a la teoría elemental de los conjuntos, cuestión que ahora se halla totalmente ausente. Por lo demás, ninguna referencia a los conjuntos aparece en los programas ingleses nacionales [1988] que, como es sabido, son básicamente indicaciones de los requerimientos mínimos.

5 Por otro lado, es precisamente el continuo surgir de nuevas terminologías lo que distingue a las lenguas modernas con respecto a las lenguas muertas.

6 Sobre esta dicotomía, se puede ver D’Amore y Frabboni (1996). Regresaré varias veces sobre este tema, en particular en el capítulo 13.

7 Agradezco a varios colegas de lengua inglesa, por la consultoría y por las interesantes discusiones sobre tal cuestión. Sin embargo sobre este punto, de las varias denominaciones de la disciplina, deberé regresar, ampliamente, más adelante.

8 Sobre las relaciones entre didáctica general y didácticas disciplinarias regresaré continuamente y en particular en el capítulo 13, no casualmente el último, para intentar dar una personal vía de salida a la cuestión.

9 La “receta” está hoy muy presente en las revistas de difusión (es decir: no de investigación) o en los cursos para maestros impartidos por personas con experiencia didáctica pero carentes de capacidades científicas en didáctica de la disciplina (los que en ocasiones en Italia se llaman con un eufemismo “cursos de actualización”).

10 El lector habrá notado que hasta ahora me he esforzado de no usar el sustantivo “pedagogista”, usando el sustantivo “estudioso”.

11 Remito al lector interesado en este debate a seguir muchos de los trabajos que se publican sobre este tema, tan actualmente en fermento, especialmente en Italia. En particular, sugiero Calonghi (1993) (y ahí en particular el artículo de Cesare Scurati que, precisamente, se ocupa de la relación entre didáctica y ciencias de la educación justo en el sentido que estoy buscando de precisar); véase además Bertolini (1994).

12 Aquí al menos podría ponerse como base el hecho que, desde hace unos cuantos centenares de años, las disciplinas, de cualquier manera, se enseñan...

13 Me gusta afirmar que, en un cierto sentido, todo este libro sirve sólo para intentar convencer que la didáctica de la matemática es una disciplina autónoma, ni didáctica general ni matemáticas ni, sobretodo, banal recetario de buen sentido. No hay nada peor que una didáctica basada en la simple experiencia de enseñanza aunque sea de muchos años, es decir, no ligada a profundos estudios específicos y sobretodo de investigación en el sector.

14 Este es un punto sumamente delicado, sobre el cual regresaré críticamente varias veces en todo el libro.

15 Parece lícito manifestar alguna duda al respecto, no tanto por el ambiente creado, sino por una especie de ingenuidad crítica presente entre algunos de sus adeptos.

16 Estoy seguro, aunque no tenga una real competencia, que algo análogo se puede hacer también para algunas didácticas disciplinarias. Nótese el énfasis que quise dar a ese hoy: no tengo la mínima idea de cómo evolucionarán las cosas, mañana…

17 Este sector de estudios ha adquirido hoy un interés notable (sobretodo en didáctica B, como veremos). Lo atestigua la cantidad de Congresos y Seminarios internacionales de estudio, como el ICMI Study 1998, en Luminy (Marsella, Francia). Véase, por ejemplo, Weil (1980), Fauvel (1990, 1991), Fauvel y Van Maanen (1997), Furinghetti y Somaglia (1997) y Bagni, Barbin et al. (1999). Cito de Fauvel y Van Maanen (1997), p. 8: “Como todo proyecto educativo, el entender la historia de la matemática como una componente de la enseñanza de la matemática implica una esperanza más o menos explícita en términos de un mejor aprendizaje. La investigación acerca del uso de la historia de la matemática en la enseñanza es por lo tanto una parte importante de la investigación en didáctica de la matemática”. Cito de Furinghetti y Somaglia (1997, p. 43): “Nos parece que se pueden identificar dos niveles de trabajo en la introducción de la historia en la didáctica: uno que podríamos asociar a una imagen social de la matemática y otro que concierne más bien a una imagen ‘interna’ de la misma. El primer nivel se refiere a las intervenciones destinadas a proporcionar motivaciones al estudio de la matemática mediante la contextualización en lo social (geográfico, histórico, comercial, lingüístico) (…) El segundo nivel es aquel que recupera (…) la dimensión cultural de la matemática como método, también en estrecha conexión con métodos de trabajo propios también de otras disciplinas”.

18 [Ndt] Este nombre propio y los tres siguientes se refieren a localidades en la región italiana llamada Emilia-Romagna de la que Bolonia es la capital.

19 Debe decirse que a finales de los años 90 se asistió a un regreso al interés por la didáctica en los laboratorios, como lo atestigua el creciente número de publicaciones sobre el argumento.

20 Se trata de lo siguiente. Supongamos que tenemos un polígono cuyos vértices sean nodos de una cuadrícula (por ejemplo en el geoplano). Sean entonces: C el número de vértices del geoplano que se hallan en el Contorno del polígono; I el número de los vértices del geoplano Internos al polígono. Pues bien, en 1899 Georg Pick demostró que, tomando como unidad de medida el cuadrado del geoplano, el área del polígono vale: C: 2 + I - 1. Se puede ver el trabajo original de Georg Pick (1899) pero, no es tan fácil de hallar. Una investigación didáctica sobre el teorema de Pick se halla en Bagni (1996).

21 Se trata de una corriente que hoy podríamos llamar de epistemología de la matemática que obligó a reescribir desde el principio toda la matemática, buscando basarse en muy pocas estructuras algebraicas consideradas fundamentales (D’Amore, Matteuzi, 1975). Esta investigación, iniciada en los años 40 y aún hoy en curso (aunque ya sin el vigor y las violentas motivaciones iniciales), ha influenciado profundamente no sólo la matemática, sino muchas otras disciplinas que la tomaron como ejemplo (D’Amore, 1981, 1987a). El fenómeno estructuralista, que ha involucrado a múltiples disciplinas, tiene aquí ciertamente su origen; en él se inspiran, por ejemplo, muchos de los más célebres trabajos de Jean Piaget.

22 Sobre este muy delicado punto, me limito a citar sólo las primeras investigaciones críticas (las de la segunda mitad de los años 70, que hicieron tanto ruido en la medida en la que minaban las bases de teorías que parecían absolutamente indiscutibles) y, entre las últimas, sólo las nacidas al interior del Núcleo de Investigación que coordino; se pueden ver, por ejemplo, entre los precursores: Brainerd (1973), Mogdil (1974), Feldman y Toulmin (1976), Gelman y Gallistel (1978); y, entre las más recientes: Sandri (1992), Aglí, D’Amore, Martini y Sandri (1997) y Sbaragli (1999). Pero las investigaciones de este tipo son muy numerosas. Una crítica más general a las investigaciones de tipo piagetiano, se puede hallar en Gardner (1993), p. 57 y sig. de la edic. it.

23 Para análisis críticos en los planos lingüístico, fundacional y didáctico, se pueden ver: D’Amore y Plazzi (1990b, 1992, 1998) y D’Amore (1991a, 1991b). Para un resumen fuertemente crítico de una experiencia sobre este tema en la escuela primaria: D’Amore (1975), sobre el que regresaré en una nota sucesiva.

24 ¡Atención al adjetivo “consciente”! Denominaciones colectivas de entes matemáticos se hallan presentes también en obras precedentes.

25 Estoy pensando a límites técnicos, sobre los que por ahora no me extiendo. Véase, por ejemplo: Lolli (1985), Mangione y Bozzi (1993), D’Amore y Plazzi (1998).

26 En los años 1969-70 y 1970-71 hice un experimento de enseñanza de los y con los conjuntos con un primer año de primaria y luego con un segundo. Los resultados fueron muy satisfactorios desde el punto de vista humano, pero más bien negativos en el plano cognitivo (en la vertiente aritmética). Repetí entonces el experimento, con mayor cognición de causa, pero con resultados aún no muy diferentes, en los años sucesivos. En Italia, entonces, todo el ambiente didáctico que conocía parecía favorable a esta metodología y por lo tanto yo mismo tenía dificultades para admitir los resultados no precisamente positivos y para buscar las causas. No circulaban aún ideas sobre la didáctica B, que presentaré dentro de poco. Pero escribí un pequeño libro en el que contaba la experiencia en una especie de diario, poniendo en evidencia los lados negativos (D’Amore, 1975). El título de ese libro [La matematica inventata (La matemática inventada)] es un intento de explicar la metodología didáctica usada, entonces de gran moda: el estudiante que construye por sí mismo el propio conocimiento.

27 Hoy se sabe bien cuales son los límites lógicos de tal construcción (Lolli, 1985). Pero también desde el punto de vista puramente didáctico, la espera de varios meses para hacer usar el número natural en sus diferentes aspectos, ya tan presente en el lenguaje del niño, esperando una construcción formal (por otro lado en ruinas), es al menos bastante discutible. Es además obvio que corre el riesgo de volverse algo monstruoso si se le aplica, como alguien ha incluso intentado de hacer, con niños de 6 años, a su ingreso en primero de primaria. Hoy se tiende a mostrar el número en sus numerosos aspectos, en modo del todo informal, desde el nivel preescolar. Sobre este tema se han escrito numerosos artículos, tantos que me es imposible citarlos todos. Me limito por lo tanto a recordar sólo Bartolini Bussi (1992), Aglì y D’Amore (1995) y Martini (1998).

28 De esta experiencia hice varias pruebas en diferentes localidades. En particular, de la llevada a cabo en Ozzano Emilia (Bolonia) tengo disponible un videocasete que he mostrado al público en varias ocasiones, por ejemplo en algunos seminarios impartidos en los Congresos Nacionales de Castel San Pietro Terme.

29 [Ndt] De este texto existe una versión en español, publicada en México por la Editorial Siglo XX.

30 Una presentación de los principios didácticos que se pueden recuperar del trabajo de Gelman y Gallistel, se halla en Pontecorvo y Pontecorvo (1985), pp. 289-293. Ahí, todo el capítulo VI se halla dedicado a Matematización y capacidades lógicas y proporciona un cuadro de las investigaciones sobre este campo específico entre 1972-3 y 1985. Véase también Resnick y Ford (1981).