Читать книгу En defensa del raonament - Enric Trillas Ruiz - Страница 13

Si simbolitzem la conjunció i pel signe. (punt), aleshores es pot simbolitzar la conjunció p de les premisses per p₁. p₂ …. p_n i, com ja s’ha dit, per p ≤ q l’enunciat condicional «Si p, aleshores q». Que no valgui l’enunciat «Si p, aleshores no q» (per exemple, «Si n = 12, aleshores n no és divisible per 3’) es representarà per p q’ i, per tant, simbòlicament es pot escriure

C(P) = {q; p q’},

com una representació simbòlica del conjunt de les conjectures de P = {p1, …, pn}.

Amb això es pot provar matemàticament, amb certes condicions imposades a l’operació binària., a la relació ≤ i a l’operació unària ’, que el conjunt

Cons(P) = {q; p ≤ q}

pot ésser ‘identificat’ amb el de les conseqüències febles de P , car verifica les propietats abans enunciades com a característiques de la deducció feble. Per exemple, d’acceptar com s’ha dit que p ≤ p1, p ≤ p2, …, p ≤ pn, aleshores P està contingut a Cons(P):

P ⊆ Cons(P),

on el símbol ⊆ es llegeix com a «contingut a».

D’altra banda, no poden alhora valer p ≤ q i p ≤ q’, car la segona relació, sota propietats usualment acceptades de la negació (q” ≤ q i si p ≤ q, aleshores q’ ≤ p’), i de p ≤ q i q ≤ r segueix p ≤ r (llei transitiva de la relació), implica q’’ ≤ q ≤ p’, amb la qual cosa de p ≤ q i q ≤ p’ resultaria p ≤ p’, que és absurd per hipòtesi. Per tant, Cons(P) és coherent, automàticament és Cons(P) ⊆ C(P) i, per tant, és P ⊆ Cons(P) ⊆ C(P). Les conseqüències febles són un tipus particular de conjectures.

Finalment, P ⊆ Q ⇒ Cons(P) ⊆ Cons(Q), és a dir, C és un operador monotònic. En efecte, com que si és P = {p₁, …, p_n} és Q = {p₁, …, p_n, p_n+1, p_n+2, …, p_m}, resulta

q = p1 … pn · pn+1 … pm ≤ p1 … pn = p,

amb la qual cosa, si r és a Cons(P), és a dir, p ≤ r, també hi és q ≤ r. Per tant, el conjunt Cons(P) està contingut tot ell en el conjunt Cons(Q).

Naturalment, que l’operador Cons verifiqui les propietats característiques de la deducció feble, només ens diu que Cons retrata «una manera» de fer deduccions febles, però no diu que sigui l’únic operador que ho permet. De fet, n’hi ha d’altres i només en el cas de fer servir enunciats precisos, l’operador Cons és el més gran possible.

Vegem, per acabar aquest breu apartat, que l’operador C és anti-monotònic; és a dir que si P ⊆ Q , és C(Q) ⊆ C(P) . Suposem que r és a C(Q) , és a dir, que és q r’; si r no fos també a C(P), seria p ≤ r’ i, com que és q ≤ p, resultaria q ≤ r’, que és absurd. Per tant, r és a C(P) i el conjunt C(Q) és una part del conjunt C(P). Quan augmenten les informacions consistents, les conjectures no augmenten; fins i tot, poden disminuir.

NOTES

1) El símbol relacional ≤ , escollit per tal d’abreujar els condicionals, permet molt més que una simplificació d’escriptura. Per exemple i partint de la conjunció p de les premisses, si hi hagués algun «camí» entre els enunciats p i q de l’estil

p ≤ a1, a1 ≤ a2, …, an ≤ q,

podríem estar segurs que és p ≤ q, que q és una conseqüència de P, sempre que es faci la hipòtesi que la relació ≤ gaudeix de la llei transitiva, cosa que aquí ja hem fet explícitament. Aquest camí dóna, alhora, un algorisme (una via pas a pas) per tal de trobar q. No obstant això, com veurem, no totes les conjectures poden trobar-se de forma algorísmica, sistemàtica, a partir de p.

2) No és sempre segur que el conjunt Cons(P) es pugui prendre com un de noves premisses car, per exemple, pot no ésser finit. En tot cas, com que està clar que existeix l’ínfim dels seus elements, Inf Cons(P) = p, si fos finit aquest ínfim seria la conjunció de tots els seus elements p i, aleshores, si el poguéssim prendre com a un conjunt de premisses, també podríem tornar-li a aplicar l’operador Cons i, de P ⊆ Cons(P), seguiria Cons(P) ⊆ Cons(Cons(P)). Aparentment, en la deducció feble hi ha la possibilitat d’anar augmentant el nombre de conseqüències.

3) Cal notar que, en general, no és p ∈ P, però és p ∈ Cons(P), amb el signe ∈ que es llegueix ‘pertany a’.