Читать книгу Métodos numéricos - Francisco José Correa Zabala - Страница 8
ОглавлениеEl objetivo principal de este libro es proporcionar al lector un camino fácil y agradable para dar los primeros pasos en el estudio del análisis numérico. Presentamos una obra para que quien la siga disponga de un conjunto de recursos con una buena introducción al área, y de un manual de referencia ágil con herramientas prácticas para su uso.
Al finalizar la presente sección esperamos que el lector logre reconocimiento del alcance del curso y su importancia frente al proceso de formación como ingeniero. Para lograrlo, vamos a:
• Establecer criterios mínimos para un buen desempeño en el curso.
• Presentar las competencias especificas del área que los estudiantes deben demostrar al finalizar el curso.
• Plantear una primera definición de análisis numérico.
• Identificar cada una de las etapas que intervienen en la solución de un problema, determinando el papel de los métodos numéricos.
• Reconocer las posibles formas de solución de un problema.
Con este libro y el software anexo como material de apoyo se busca que los estudiantes dispongan de un conjunto de recursos que permitan el logro de las competencias planteadas. El software se encuentra disponible en la dirección www1.eafit.edu.co/cursonumerico/.
El texto ha sido pensado y diseñado bajo el enfoque de competencias siguiendo lo planteado por el proyecto Tuning (Beneitone et al., 2007) y por Tobón (2010a,b). Para ello, definimos las competencias que el estudiante debe adquirir al desarrollar los diferentes elementos que implican el seguimiento del texto y la utilización de sus herramientas de apoyo.
En cada uno de los ambientes de aprendizaje propuestos por el docente, se entrelazan las diferentes metas definidas por la institución educativa para la formación del estudiante en su profesión específica, a la luz del perfil profesional. En la realización de las actividades que planteamos y de las que se infieren de forma directa o indirecta se busca la formación, de forma transversal, del estudiante en las siguientes competencias genéricas del proyecto Tuning:1
• Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
• Capacidad para aplicar los conocimientos en la práctica.
• Habilidades en uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
• Capacidad de investigación.
• Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas.
• Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.
Planteamos estas competencias como una invitación al docente para que las reformule y genere un conjunto de acciones para su desarrollo. Además, esperamos que se incorporen en el proceso competencias relacionadas con valores sociales, habilidades interpersonales y el contexto internacional.
De forma similar, planteamos las competencias relacionadas con la formación de ingenieros:
• Aplicar conocimientos de las ciencias básicas y las ciencias de la ingeniería.
• Modelar y simular procesos y sistemas de la ingeniería.
• Concebir, analizar, proyectar y diseñar soluciones en relación con su profesión.
• Manejar e interpretar información de campo (de la realidad).
• Utilizar, elaborar programas o sistemas de computación para la solución de sus problemas. numéricos. Competencias Sistémicas Instrumental.
1.2 Descripción de la competencia
Diseñar y aplicar métodos numéricos, de manera eficiente y con herramientas computacionales, en la solución de problemas de aplicación que involucran modelos matemáticos, procurando que la solución obtenida mediante la aplicación de los diferentes algoritmos disponga de argumentos de calidad.
| Niveles | Criterios |
| Primero: conocimiento. Identifica, utiliza y reformula las nociones y conceptos que permiten generar y caracterizar los métodos numéricos | 1. Describe y utiliza las nociones matemáticas involucradas en la definición de un método numerico 2. Formula nociones matemáticas de forma discreta para la definición de métodos numéricos 3. Describe los alcances y dificultades de un método numérico apoyado en argumentos matemáticos |
| Segundo: comprensión. Analiza los métodos numéricos desde el punto de vista matemático y algorítmico | 1. Formula de forma detallada cada uno de los pasos de un método numérico utilizando argumentos matemáticos y/o computacionales 2. Elabora o utiliza algoritmos relacionados con métodos numéricos 3. Utiliza argumentos matemáticos para describir un método numerico 4. Reconoce argumentos teóricos para argumentar sobre la calidad de las soluciones obtenidas en la aplicación de un método numérico |
| Tercero: aplicación. Utiliza métodos numéricos para la solución de problemas | 1. Dado un problema, selecciona el método adecuado para su solución 2. Razona sobre la calidad de la solución obtenida por la aplicación de un método numérico |
Tabla 1. Competencias especificas para desarrollar en el curso
Pretendemos presentar de forma simple las competencias que el lector debe haber desarrollado. No es una lista exhaustiva de los problemas involucrados, y por estrategia metodológica trataremos en el desarrollo de cada tema de presentar los fundamentos que se necesiten para el logro de las metas de la actividad propuesta.
1. Disponer del manejo de un lenguaje de programación o herramientas computacionales en las que se puedan diseñar y ejecutar los algoritmos correspondientes a los métodos numéricos desarrollados.
2. Disponer de los fundamentos que proporciona el cálculo integral y diferencial.
3. Reconocer el significado básico en relación con cada una de las siguientes áreas o expresiones, aunque en general en el desarrollo del texto se exponen argumentos para que los temas sean autocontenidos.
1) Ecuaciones de una variable. Dada una ecuación en la que esté involucrada una variable, se pretende encontrar el valor de la variable que hace cierta la ecuación. Por ejemplo, x = 2 es la solución de la ecuación
2x+3 − x4 + 3 = 3x + 10
2) Sistemas de ecuaciones lineales. Dado un conjunto de ecuaciones lineales, determinar el conjunto de valores que las hacen ciertas de forma simultánea. Por ejemplo, x = 0, y = 2, z = −1 es la solución del siguiente sistema
6x − 3y + 4z = −10 5x + 4y − z = 7 3x + 2y + 5z = −1
3) Ajustes de curvas. Reconocer los aspectos fundamentales de los polinomios en los números reales
p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0
4) Diferenciación. Determinar el significado y el valor correspondiente a la derivada evaluada en un valor. Por ejemplo, el valor de f′(2) dada la función f(x) = cos(x) − 3x2 − 1 es
f′(2) = −12.9092
5) Integración. Hallar el valor de una integral definida. Por ejemplo
6) Ecuaciones diferenciales. Dada una ecuación diferencial, se pretende hallar su solución (se utiliza la integración como una de las herramientas para la solución de una ecuación diferencial). Por ejemplo, la función f(x) = x3/3 + 4x − 5 es una solución de la ecuación diferencial
4. Reconocer los elementos matemáticos que fundamentan la solución y los correspondientes métodos analíticos para la solución de:
1) Ecuaciones de una variable. Propiedades de la igualdad, funciones de variable real y sus correspondientes inversas. Solución gráfica de una ecuación. Significado de ecuación y aplicaciones del concepto.
2) Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra de vectores y matrices, propiedades de la igualdad, métodos directos para la solución de sistemas de ecuaciones: sustitución, despeje, igualación, regla de Cramer, etc. Solución gráfica de un sistema de ecuaciones. Significado de los sistemas de ecuaciones y aplicaciones del concepto.
3) Ajuste de curvas. Teoría de funciones. Significado de función y aplicaciones del concepto.
4) Diferenciación. Significado de la derivada y aplicaciones del concepto. Cálculo de la derivada de una función dada. Propiedades de la derivada.
5) Integración. Significado de la integral y aplicaciones del concepto. Cálculo de la integral de una función dada. Propiedades de la integral.
6) Ecuaciones diferenciales. Significado de las ecuaciones diferenciales y aplicaciones del concepto. Métodos directos para la solución de ecuaciones diferenciales.
1.2.2 Competencias según sus áreas de aplicación
1. Errores en cómputos numéricos
1) Detectar la presencia de errores en cómputos numéricos al utilizar el computador como herramienta de trabajo, reduciendo su efecto y causas.
2) Reconocer la forma como se manejan los aspectos numéricos en un computador, determinando estrategias para minimizar sus efectos inadecuados.
2. Ecuaciones de una variable
1) Definir métodos numéricos para la solución de ecuaciones de una variable utilizando argumentos matemáticos y computacionales.
2) Determinar las raíces de una ecuación no lineal dada empleando los métodos numéricos de manera eficiente y analizando los problemas de convergencia que puedan presentarse.
3. Sistemas de ecuaciones lineales
1) Definir métodos numéricos para la solución de sistemas de ecuaciones utilizando argumentos matemáticos y computacionales.
2) Resolver problemas que se reducen a sistemas de ecuaciones lineales.
3) Emplear los diferentes algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales ahorrando tiempo de cómputo, posiciones de memoria y reduciendo los errores.
4. Interpolación
1) Definir métodos numéricos para determinar una función polinómica que aproxime el comportamiento de un conjunto de valores o una función no polinómica utilizando argumentos matemáticos y computacionales.
2) Determinar el polinomio que interpola un conjunto de valores o una función no polinómica.
5. Integración y diferenciación numérica
1) Definir métodos numéricos para la solución del cálculo de derivadas e integrales de forma numérica utilizando argumentos matemáticos y computacionales.
2) Aplicar las técnicas numéricas de derivación e integración numéricas en la solución de problemas específicos.
6. Ecuaciones diferenciales
1) Definir métodos numéricos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1 utilizando argumentos matemáticos y computacionales.
2) Aplicar técnicas numéricas en la solución de modelos basados en ecuaciones diferenciales.
Para el desarrollo del texto, recordamos utilizar el material que lo acompaña y que en adelante nos referiremos a él como “sistema interactivo de apoyo” al cual se accede desde internet en la dirección www1.eafit.edu.co/cursonumerico. Cada capítulo está dividido en secciones en las que se encuentra una variedad de materiales para el logro de las competencias propuestas al abordar el estudio del texto. En general, cada sección contiene videos introductorios, diapositivas con sonido, preguntas frecuentes y material de apoyo, evaluación y autoevaluación.
A lo largo del texto utilizamos dos imágenes a modo iconográfico. La de los delfines pretende llamar la atención sobre aspectos relevantes para la comprensión, propiciar el conocimiento significativo, destacar elementos de competencia y proporcionar relaciones con los saberes anteriormente adquiridos. La del puente representa aprendizajes, relaciones y competencias para desarrollar por parte del estudiante.
