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Оглавление1. Axiomática
Inmediatamente después de que Georg Cantor publicara su Teoría de Conjuntos, surgieron serias objecciones que pusieron en tela de juicio la consistencia lógica de la misma. Entre ellas, es célebre la paradoja de Russell, propuesta por el eminente filósofo y matemático en 1902. Bertrand Russell define el “conjunto” formado por los conjuntos que no son elemento de sí mismo. Aunque a simple vista pueda parecer retorcido este tipo de objetos, si nos paramos a pensar un momento nos daremos cuenta de que no lo son, y no sólo eso, sino que se puede llegar a creer que todos los conjuntos gozan de esta propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto B constituido por los libros de una biblioteca. Está claro que B no es un libro, y esto conduce a que B (como elemento) no pertenezca a B (como conjunto). No obstante, mientras que no se establezca algún axioma que excluya los conjuntos que sean elementos de sí mismos, consideraremos esta posibilidad.
Volvamos a la discusión del “conjunto” de Russell, que representaremos por R, y nos planteamos si R pertenece o no a R. Si R es miembro del “conjunto” de Russell R, resulta (por la misma definición del “conjunto” de Russell) que R no es elemento de sí mismo, lo que es una contradicción. Si, por el contrario, consideramos desde principio que R es un conjunto del tipo como el de la biblioteca B, es decir, que no sea elemento de sí mismo, pertenecerá por definición al “conjunto” de Russell R, y es de nuevo contradictorio. Al final de este razonamiento, somos incapaces de asegurar si R pertenece o no a R.
Era tal la enconada virulencia que se desencadenó en contra de la labor científica de Cantor, que se llegó al hecho inaudito de que fuera calificado de “corruptor de la juventud' por parte del influyente matemático berlinés L. Kronecker. Pronto Cantor, acosado por la incomprensión y la tenaz negativa del mundo científico de la época por reconocerle valor alguno a su obra, dio muestras de quebrantos mentales que empezaron a la edad de 39 años, y que se manifestaron intermitentemente hasta su muerte (acaecida en 1918 a los 73 años de vida).
Faltaríamos a la verdad históricà si no mencionáramos que Cantor tuvo partidarios, como Hilbert que defendió esta innovación matemática, aduciendo que, con la. Teoría de Conjuntos, Cantor había creado un paraíso para los matemáticos del que difícilmente serían expulsados.
1.1 Clases y conjuntos
Efectivamente David Hilbert acertó en su profecía: la Teoría de comjunto tuvo paulatinamente nás aceptación entre los matemáticos. Y no sólo eso, sino que, veinte años después de la formulación de la citada paradoja, se dio con la solución satisfactoria.
El error de Cantor fue no imponer ninguna restricción a la construcción de conjuntos. Evidentemente, sin hipótesis previas no se puede en absoluto coordinar los objetos que provienen de la percepción y del pensamiento. Y es precisamente eso lo que generaba paradojas y contradicciones en la Teoría de Conjuntos. En varias ocasiones, Cantor se limitó a decir que el concepto de conjunto era primario y, como tal, no podía ser delimitado. No obstante, su utilidad era manifiesta, porque permitía abordar con más rigor un gran número de pruebas en matemáticas (además de obtener numerosos resultados nuevos, pensemos por ejemplo en el hecho de que IR no es numerable), lo que compensaba la falta de consistencia de la teoría. Ahora bien, los detractores de la misma salían al paso contraatacando, pues, si es precisamente rigor lo que se pretende, seamos rigurosos en todo, incluso en los conceptos primarios.
Después de varios intentos de formalizar esta teoría, como el de Bertrand Russell en su Principia Mathematica y el sistema de Zermelo- Fraenkel, debemos a John von Neumann la superación definitiva de la paradoja de Russell con la distinción entre clase y conjunto.
Definición 1.1: Un concepto C se dirá que es una clase si permite decidir si un elemento pertenece o no a C.
Un ejemplo de concepto que no sea clase es el de la Belleza. Efectivamente cada ser humano entiende más o menos lo que es la belleza; pero es prácticamente imposible delimitarla en sus justos términos. Los atributos de la misma no son los mismos en cada hombre. Incluso cada atributo (que podríamos considerarlo como elemento del concepto Belleza) no tiene el mismo valor en cada individuo, lo cual hace que este concepto no sea una clase, de acuerdo con la definición precedente. En cambio, el concepto de vivienda, como formada por sus inquilinos, sí es una clase.
Pero una definición, como la anterior, está formada por conceptos más primitivos. Estos conceptos primarios empleados son el de “elemento” y el de “pertenencia”, cuyos significados serán tomados del lenguaje ordinario. Estos serán nuestras ideas primarias e intuitivas.
Representaremos indistintamente por letras mayúsculas y minúsculas tanto clases como elementos. Y expresaremos que “a pertenece a x” por
En este caso se tiene que entender que a es un elemento de (o que pertenece a) x.
Con ello ya estamos en condiciones de delimitar el concepto de conjunto:
Definición 1.2: Una clase A se dirá conjunto si existe otra clase C tal que A sea elemento de C, es decir,.
Una clase se dice que es propia si no es conjunto.
Está claro que no puede existir la clase de todas las clases propias, puesto que si existiese sus elementos no serían clases propias. Incluso tampoco puede existir la clase formada por clases propias y conjuntos, pues si uno de sus elementos fuera clase propia, ésta dejaría de serlo por ser elemento de otra clase. (Por eso las clases propias también son llamadas no- elementos). Esto hace que sólo tenga sentido hablar de clases de conjuntos. Con ello, la paradoja de Russell queda superada si aceptamos que R es clase propia, es decir, clase que no es conjunto.
El lector atento se habrá percatado de que, si bien con la distinción entre clase y conjunto se ha solucionado la pardoja de Russell, esta misma distinción plantea nuevos y copiosos interrogantes, como es, por ejemplo, si la unión y la intersección (términos empleados en el sentido ordinario) de conjuntos son conjuntos, o que una parte de un conjunto es conjunto, etc.
Para poder contestar satisfactoriamente estas cuestiones, necesitamos un cuerpo axiomático que, con ayuda de las inferencias, las leyes y constantes de la Lógica, permita desarrollar la Teoría de Conjuntos. En esencia la Axiomática que vamos a seguir es la de Zermelo-Fraenkel con aportaciones sustanciales del sistema desarrollado por Neumann-Bernays- Gödel como, entre otras, fue la de función proposicional, es decir, funciones que tomen dos valores: el de “verdadero” y el de “falso” (llamados valores de verdad); y con algunos retoques dados por J.L. Kelly, cuando insiste que una fórmula que defina una clase debe comprender los conjuntos que la satisfagan.
Puesto que vamos a utilizar operaciones lógicas, no está de más recordar las más elementales. En la Lógica Matemática se las distinguen entre juntores y cuantores. Los juniores empleados son: el negador -> (niega la proposición en donde aplica, es decir, si p es verdadera, ->p es falsa; y viceversa), el conjuntor A (la sentencia p A q es verdadera si p y q lo son, y falsa en los demás casos), el disyuntor V (p V q es falsa si p y q son falsas, y es verdadera en los restantes casos), el implicador =>? (p q es falsa si p es verdadera y q es falsa, la sentencia será verdadera en las otras posibilidades), el coimplicador p = q es veradera si p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas, y será falsa si una es verdadera y la otra falsa). Hemos de resaltar que en el lenguaje ordinario el conjuntor corresponde a la conjunción y, el disyuntor se asocia a la conjunción disyuntiva inclusiva ó, el implicador responde a la oración gramatical si…, entonces... y el coimplicador se refiere a si y sólo si.
Respecto a los cuantores, haremos uso del cuantificador universal V (para todo) y del cuantificador existencial 3 (existe un).
Otras constantes que se emplean en matemáticas, como es G y otras que iremos utilizando a lo largo del texto.
El plan de nuestra exposición es introducir paulatinamente los axiomas a medida que se necesiten, con el fin de llegar a una teoría conjuntista si no completa (que no lo es, y tampoco podría serlo 1), al menos carente de contradicciones lógicas en el momento actual.
En primer lugar partimos de dos axiomas básicos :
I Axioma de extensión
Dos clases son iguales si los elementos de la primera pertenecen a la segunda; y los elementos de la segunda también son miembros de la primera clase. Dos clases x, y son iguales, se representará por
Un segundo axioma que necesitamos es
II Axioma de clasificación
La sentencia
es equivalente afirmar que
En realidad el Axioma de clasificación nos dice que la variable X sometida a propiedades específicas, sentencias definitorias o fórmulas clasificatorias (simbolizadas por una función proposicional Px) puede ser sustituida por el conjunto u, Pu, es decir que u goza de las mismas propiedades que la variable x (además de ser conjunto).
Definición 1.3: Sean x, y clases,
En la primera definición se lee “x unión y” y el símbolo U es conocido por unión. En la segunda se entiende “x intersección y” y el símbolo fl es llamado intersección.
Las propiedades que se desprenden de estas definiciones se deducen inmediatamente del Axioma de clasificación :
Las siguientes propiedades se prueban a partir del Axioma de extensión con la ayuda de las Propiedades
Definición 1.4: si y sólo si es falso
se lee “x no pertenece a y”.
Definición 1.5:Sea x una clase. La clase complementaria se define como
Proposición 1.6: = x.
Demostración :
Tomemos Luego es falso que . Por la Definición 1.4, Y por la Definición 1.5, Con ello hemos probado que los elementos de la clase pertenecen a la clase x.
Invirtiendo el orden de la demostración, se prueba que los elementos de la clase x también pertenecen a la clase
En virtud del Axioma de extensión, las dos clases son iguales.
Teorema (De Morgan): .
Demostración :
Sólo probaremos una de ellas, por ejemplo la . Tomemos , luego es falso que , es decir que . En virtud de la Definición 1.3, Luego .
La inclusión contraria se obtiene invirtiendo el orden de la demostración.
De nuevo aplicamos el Axioma de extensión para afirmar que las dos clases son iguales.
Definición 1.7: Por complementario de y relativo a x, entenderemos
Con frecuencia se simboliza x ~ y por Cxy.
Proposición 1.8: .
Trivial
Definición 1.9: Esta clase es llamada clase vacía.
Teorema 1.10:
Demostración :
Puesto que x = x, es falso que Y por la Definición 1.4 y la Definición 1.9, .
Esta propiedad nos permite afirmar que la clase vacía no contiene ningún elemento.
Se tiene de inmediato de que
Definición 1.11: Se llama clase universal a
En virtud del Axioma de clasificación, es la clase de todos los conjuntos.
Se cumple :
Se puede probar utilizando la difinición de , la Propiedad , el Teorema de De Morgan y la Proposición 1.6.
Definición 1.12:
Obsérvese que los elementos de x no son en general elementos de x; sino que son elementos de y, aunque éstos sean elementos de x. Un ejemplo aclarará este aserto :
Pensemos en una Federación de pueblos. Cada pueblo será miembro de la Federación, representado por su alcalde; pero los ciudadanos de un pueblo no son miembros de la Federación, salvo su alcalde que lo es, no como ciudadano, sino en calidad de representante de su municipio.
En cuanto a , pensemos en la comunidad europea, que la representaremos por x. Esta está formada por naciones. Pero cada nación estará definida por sus habitantes y las leyes con que se rige. Está claro que estos estados, por pertenecer a la comunidad, tendrán leyes comunes. Pues bien, estas leyes comunes a todos ellos serán x. Por otra parte, x estará formada por los miembros de todos los países que configuran la comunidad, así como las leyes vigentes en cada una de ellos. ¡Desde luego x no sería muy aconsejable políticamente!
Teorema 1.13:
Demostración :
Tomemos un . De su definición y del Axioma de clasificación, se sigue que 2 es conjunto que tiene que verificar que
Pero es falsa. Esto conduce a que (1.13.1) es verdadera en virtud de la definición del implicador . No sólo eso, sino que (1.13.1) es verdadera para cualquier conjunto z de .
En cuanto a la segunda igualdad, está claro que no posee ningún elemento. Luego por el Axioma de extensión debe coincidir con .
Definición 1.14: Se dice que x está contenido en y si y sólo si para cada z
Entonces se dirá que la clase x es subclase de la clase y. Se simboliza
y se lee “x está contenido en y”.
Fijémonos: el símbolo (llamado también relación de inclusión) es totalmente distinto al símbolo de pertenencia . Veamos el ejemplo de los pueblos :
Si definimos un pueblo como una clase de casas. Está claro que los inquilinos de las casas no son elementos del pueblo, sino que son miembros de sus respectivas casas (los elementos del pueblo son sus casas, según la definición que hemos dado de pueblo).
En cambio si definimos el pueblo como una clase de individuos. Cada habitante será elemento del pueblo, y las casas dejarían de serlo. Pero cada casa posee sus inquilinos (sus elementos), que son a su vez elementos del pueblo. En tal caso, las casas serían subclases de la clase pueblo.
Teorema 1.15:
Demostración :
En cuanto a la primera inclusión, tomemos un z arbitrario y analicemos la siguiente implicación
Al ser falsa , resulta que esta implicación es verdadera, independientemente del valor de verdad que tenga z x.
En la inclusión se razona del siguiente modo: Sea z x., entonces z es conjunto y, por tanto, z . En virtud de la Definición 1.14,
Obsérvese que de la definición de la clase vacía es falso que en cambio, sí tiene sentido , en virtud de este teorema.
Para finalizar esta Sección enunciaremos algunas propiedades más, de las que omitiremos sus demostraciones por considerarlas inmediatas si nos atenemos a las definiciones establecidas.
1.2 Subconjuntos
Los dos axiomas establecidos en la sección precedente resultan insuficientes para estudiar todas las propiedades de los conjuntos. Así por ejemplo, todavía no podemos saber si las subclases de un conjunto son conjuntos, o que la intersección de dos conjuntos es conjunto. Igualmente desconocemos qué sucede con la unión de dos conjuntos. Necesitamos, pues, de más axiomas. Uno de ellos se refiere a los llamados subconjuntos, que son subclas propias
III Axioma de subconjuntos
Si x es un conjunto ,existe un conjunto Y tal que para cada z
Teorena 2.1: Si x es un conjunto y z x, entonces z es un conjunto.
Demostración :
Tomemos un z x. Al ser x conjunto, podemos aplicar el axioma III, con lo que existe un conjunto Y tal que z Y. Esto hace que z sea un conjunto, en virtud de la Definición 1.2.
Entonces se dirá que z es subconjunto de x.
Corolario 2.2: no es conjunto.
Demostración :
La clase de Russell R es subclase de (falta por ver si coincide con ). Entonces R . Si fuera conjunto, R sería conjunto. Y ello conduciría directamente a la paradoja de Russell. Luego no es conjunto.
Corolario 2.3: Si una de las clases x, y es un conjunto, x y es un conjunto.
Demostración :
Supongamos que x sea un conjunto. De la Definición 1.3, 2- y la Definición 1.14, tenemos que x y x. Entonces el Teorema 2.1 asegura que x y es un conjunto.
Teorema 2.4: .
Demostración :
, resulta que x es un conjunto, y dado que x (Teorema 1.15), sería un conjunto. Ahora bien, de la Definición 1.12,, todo elemento de es elemento de pero según vimos en el Teorema 1.10, no tiene elementos, de lo que resulta que tampoco posee elementos. Por el Axioma de extensión, y son iguales.
En virtud del Teorema 1.15,
Veamos la inclusión contraria: , se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U, por la Definición 1.12, 1a, x . Esto hace que . Finalmente apliquemos la Propiedad .
Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.
Demostración :
Si , existe un . Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad . Resulta del Teorema 2.1 que x es un conjunto.
Definición 2.6: Sea x una clase, llamaremos a la clase formada por los subcon5juntos de x, es decir,
Teorema 2.7: (Axioma de potencia) Si x es conjunto, es conjunto.
Demostración :
Tomemos z . Por definición de , z x. En virtud del Axioma de subconjuntos, existe un conjunto Y tal que z Y. Entonces Y, de acuerdo con la Definición 1.14. Finalmente el Teorema 2.1 nos conduce a que es conjunto.
Cuando x es un conjunto, el conjunto se le suele llamar el conjunto partes de x.
Teorema 2.8:
Demostración :
Tomemos un elemento , que será, por tanto, un conjunto. En consecuencia z G U. Por otra parte, cada elemento x de U es un conjunto y el Teorema 1.15 nos asegura que x C U. Por la Definición 2.6, se concluye que x
1.3 Singuletes y pares ordenados
Estudiemos ahora un tipo especial de clases formadas a partir de un solo elemento, entendiendo en este caso por “elemento” una clase o un conjunto. Estas nuevas clases jugarán un papel preponderante en la definición de par ordenado.
Definición 3.1: {x} = {z : x z = }La clase {x} es llamada singulete de la clase x.
Teorema 3.2:
1º Si x es un conjunto, entonces, para cada y, y º {x} si y sólo si y = x.
2º Si x es un conjunto, entonces {x} es un conjunto.
3º {x} = si y sólo si x no es un conjunto.
Demostración :
1º Tomemos y {x}. Al ser x un conjunto es verdadero x G U. Por el Axioma de clasificación, y = x.
2º Al ser x un conjunto, y {x} es un conjunto contenido en x, y x (pues al ser x = y podemos aplicar la Propiedad de la Sección ). Por la Definición 2.6, y , es decir que {x} ), en virtud de la Definición 1.14.
Por otra parte, según vimos en el Teorema 2.7, es un conjunto. Finalmente recurrimos al Teorema 2.1, que conduce a que {x} es un conjunto.
3º Si x no es un conjunto es falso x U y que z = x, ya que por el Axioma de clasificación z es conjunto. Entonces es verdadera la implicación x => z = x para todo z .
Proposición 3.3: Si x es un conjunto, entonces {x} = x y {x} = x ; si x no es un conjunto {x} = y {x} = .
Demostración :
Si x es un conjunto, por el Teorema 3.2,1º, sólo tiene un elemento y = x, que es subconjunto de x. Entonces {x} = x y {x} = x ; .Potra parte, si x no es un conjunto, el Teorema 3.2,3º nos asegura que {x} . En virtud del Teorema 2.4,
Introduciremos a continuación un cuarto axioma :
IV Axioma de unión
Si x e y son conjuntos, entonces también lo es x y.
Definición 3.4 : {xy} = {x} {y}. Esta clase se dice que es un par no ordenado.
Teorema 3.5:
1º Si x e y son conjuntos, {xy} es conjunto, y dado z {xy} si y sólo si z = x o z = y.
2ºSi x ó y no son conjuntos, {xy} = .
Demostración :
1º En virtud del Teorema 3.2, {a;}, {y} son conjuntos; y por el Axioma de unión, {xy} es conjunto.
2º Si uno de x ó y no es un conjunto, por ejemplo x {x} = , . En consecuencia,
Con idénticos razonamientos se prueba los siguientes resultados :
Teorema 3.6:
1ºSix e y son conjuntos, entonces {xy} = x y, {xy} = x y.
2º Si x ó y no son conjuntos, entonces {x} = , {xy} =
Definición 3.7: Consideremos x, y clases. Se llama par ordenado (x,y) de x e y a la clase
Como propiedad inmediata que poseen los pares ordenados tenemos
Proposición 3.8: Un par ordenado (x,y) es conjunto si y sólo si x e y son conjuntos; si (x,y) no es un conjunto, entonces (x,y) = .
Proposición 3.9: Si x e y son conjuntos, entonces
En el caso de que lóyno sean conjuntos, (x,y) = , (x,y)= , (x,y) = , y (x,y) = . Obviamos las demostraciones de todas estas propiedades, por ser inmediatas a partir de sus respectivas definiciones.
Definición 3.10: Sea z una clase. Llamaremos primera componente de z a z; y segunda componente de z a ( z ) (( z) ~ z )
Teorema 3.11:
1º Si x e y son conjuntos, la primera componente del par (x, y) es x; y la segunda componente es y.
2ºSi x ó y no es conjunto, la primera y la segunda componentes de (x, y) son U.
Demostración :
1º La primera componente de (x,y) se obtiene directamente de la
Proposición 3.9,4º.
En cuanto a la segunda, calculemos
Pero
y sustituyendo
Si x ó y no es un conjunto, hemos visto que = , decir que la primera componente del par es .
Calculemos la segunda componente :
Corolario 3.12: Si x e y son conjuntos y (x,y) = (u, v), entonces x = u, y = v.
Demostración :
En virtud de la Proposición 3.8, (x,y) es un conjunto, y por tanto (w, v) también es conjunto. Y la misma proposición conduce a que u y v son conjuntos. El resto de la demostración es aplicación trivial del Teorema 3.11.
1.4 Relaciones binarias
Iniciamos el estudio de las relaciones binarias. En pocas palabras consisten en algumos tipos de clases de pares ordenados. Daremos en esta Sección sus propiedades generales. A continuación nos dedicaremos a desarrollar las relaciones binarias más importantes como son el concepto de función o aplicación, y el de relación binaria de equivalencia.
Definición 4.1: Una clase se dice que es una relación binaria si para cada elemento z existen x e y tales que z = (x,y).
El concepto composición de relaciones binarias viene dado por :
Definición 4.2: Sean R y S relaciones binarias. Llamaremos R o S a la clase
Si una relación binaria permite ser compuesta consigo misma de nanera que = o , se dice que posee la Propiedad transitiva.
De esta última definición se deduce directamente :
Corolario 4.3: .
Proposición 4.4:
Demostración :
Probemos la segunda. Sea (x,z) . Existe un y de manera que . En consecuencia, (y, z) S, (y,z) T. Es decir que (x,z) R o S y (x, z) R o T. Esto hace que .
Para la primera expresión, se procede del mismo modo.
Definición 4.5: Sea un una relación binaria. Se define la relación inversa -1 de como
Si una relación binaria cumple que = -1, se dirá que posee la
Propiedad simétrica.
Consecuencias inmediatas de esta última definición son
Para terminar esta Sección, enunciaremos algunas propiedades adicionales que pueden poseer las relaciones binarias :
Definición 4.6: Una relación binaria R se dice que está dotada de la Propiedad reflexiva, si dado (x,y) R, se cumple (x,x),(y,y) R .
Definición 4.7: Una relación binaria R posee la Propiedad antisimétrica si dados (x,y),(y,x) se tiene x = y.
Definición 4.8: Una relación binaria 1Z posee la Propiedad asimétrica cuando siempre que suceda que (x, y) R sea falso que (y, x) R.
1.5 Aplicaciones o funciones
En algunos tratados de álgebra se hace distinción entre aplicación y función. Hemos preferido no incorporarla en este libro, puesto que en todo este contexto no precisamos emplearla.
Definición 5.1: Una relación binaria f se dice función o aplicación si dados (x, y), (x, z) f se cumple y = z.
Definición 5.2: Se llama dominio de una aplicación f a
Rango o imagen de f se define como
Una aplicación f se dice que es inyectiva si la relación binaria inversa f-1 es aplicación, es decir,
De las Definiciones 4.2 y 5.1 se desprende trivialmente que
Proposición 5.3: Sean f, g funciones. Entonces f o g es función.
Notación 5.4: En lo sucesivo representaremos (x, y) f por
que es el modo habitual de representar las funciones. Además, si X es un conjunto, se define el “conjunto imagen de X por la aplicación f” como
La notación inicial, como pares ordenados, se llamará gráfica de la aplicación, y será representada por el símbolo si la aplicación en cuestión es /.
También se define
Los elementos de f-1(Y) son llamados “antiimágenes de Y por la aplicación f” mientras que los elementos de f(X) se conocen con el nombre de “imágenes de X por f”.
Proposición 5.5: Sean f y g dos funciones. Entonces f = g si y sólo si f(x) = g(x), ∀x.
Demostración :
Llamemos y = f(x) = g(x). Debido a
f = g en virtud del Axioma de extensión.
Vamos a introducir el quinto axioma :
V Axioma de sustitución
Si f es una función y su dominio def f es conjunto, entonces Imf es conjunto.
Proposición 5.6: Sean A, B dos aplicaciones. Entonces
Demostración :
Tomemos un z Im(AoB). Existe un x de manera que AoB(x) = z. Llamemos y = B(x) y por tanto z = A(y). Entonces y Im B, y def A, es decir,
En consecuencia,
La inclusión contraria prueba invirtiendo el proceso de la demostración.
Probemos la última expresión. Elijamos un x def(A o B) y llamemos y = B(x). Entonces y Im B con y def A, es decir,
y por tanto,
Veamos la inclusión contraria. Tomemos x B-1(def A Im B). Esto hace que B(x) def A Im B, de donde B(x) def A, y por tanto x def (A o B).
Definición 5.7: Una aplicación f que tome valores en X y sus imágenes estén en Y se escribe f : X → Y.
Una aplicación Ix : X → X se dice que es la aplicación identidad sobre X
si
Una aplicación f : X → Y se dice que es suprayectiva, si para cada y Y, existe un x X tal que
En virtud de la Proposición 5.5, la aplicación identidad es única.
Proposición 5.8: Consideremos f, g dos aplicaciones tales que
Entonces g es inyectiva y f suprayectiva. Demostración :
Consideremos
y componemos con f
de donde
Luego g es inyectiva en virtud de la Definición 5.2.
Dado un x existe un y = g(x) que verifica
Luego f es suprayectiva.
Teorema 5.9: .
Demostración :
Consideremos x def f, entonces
pero como
Si x def f,
entonces
y en virtud del Teorema 2.5 f(x) es conjunto. Esto hace que f(x) .
Para terminar enunciamos, sin demostrarlas, unas relaciones que poseen las aplicaciones, y que proponemos al lector como ejercicios :
Proposición 5.10: Sean A, B, A', B' conjuntos y f una aplicación,
Tomemos a continuación f.X >Y, entonces :
Terminemos esta sección introduciendo el concepto de biyección :
Definición 5.11: Una aplicación que sea a la vez inyectiva y suprayectiva se dice que es una aplicación biyectiva o es una biyección.
1.6 Producto cart esiano y leyes de composición
Para desarrollar los conceptos enunciados necesitamos un sexto axioma :
VI Axioma de amalgamación
Si x es conjunto, también lo es x.
Definición 6.1: Sean x e y dos clases. Se llama producto cartesiano de x e y a la clase de pares ordenados dada por
Teorema 6.2: Si u e y son conjuntos, también lo es {u} × y.
Demostración :
Construyamos una aplicación f: Y → {u} × y, cuya gráfica es
Entonces def f = y e Im f = {u} × y. Y por el Axioma de sustitución, {u} × y es conjunto.
Teorema 6.3: Si X e Y son conjuntos, X × Y es conjunto.
Demostración :
Definamos la aplicación
Debido al Axioma de sustitución, Im f es conjunto. Finalmente el Axioma de amalgamación conduce a que Im f es también conjunto, de donde
y por tanto X × Y es conjunto
Corolario 6.4: Si A es una aplicación y def A un es conjunto, A (entendiendo como relación binaria, y por tanto una clase) es un conjunto.
Demostración :
Puesto que Im A también es conjunto, def A × Im A es un conjunto. Esto hace que
Y el Teorema 2.1 permite asegurar que A es un conjunto.
Definición 6.5:
Proposición 6.6:
1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.
2º Dado A un conjunto, representaremos por 2A el conjunto {0,1}A Entonces existe una aplicación biyectiva entre .
Demostración :
1º Tomemos f , luego f C x × y es conjunto. Esto hace que , es decir que
Pero el Teorema 2.7 asegura que es un conjunto, puesto que x × y lo es. Entonces apliquemos el Teorema 2.1, y con ello afirmamos que xy es un conjunto.
2º Sea B un subconjunto arbitrario de A (B A). Por función característica de B se entiende una aplicación B : A →{0,1} definida por
Con esta clase de funciones, definimos la aplicación
Veamos que es biyectiva :
Estudiemos en primer lugar la inyectividad de Supo
Esto hace que si b B se tiene que c(b) = B(b) = 1, de donde b C.
Esto prueba que B C.
La inclusión contraria se prueba de la misma manera.
Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A→ {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente
En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por o por 2X.
Proposición 6.7:
Demostración :
Simple aplicación del Axioma de extensión y de las definiciones implicadas.
En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones, si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :
Definición 6.8: Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación
Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a + b.
Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :
Definición 6.9: Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e C si
Si sólo se verifica
se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que
será el elemento neutro por la izquierda.
Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si
Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a C posee elemento simétrico a' si
En el caso de que se verifique sólo
se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.
Definición 6.12: Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si
Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica
En la práctica no se ponen los paréntesis que aparecen en el segundo miembro, ya que se sobreentiende que el elemento a actúa por separado sobre los elementos b, c mediante la ley •, y luego los resultados se componen con la ley *
En cuanto a las leyes de composición externas sólo expondremos la definición, pues sus propiedades se irán introduciendo en los casos en que aparezcan :
Definición 6.14: Consideremos C y D dos conjuntos. Una ley de composición externa de D sobre C es toda aplicación
1.7 Relación de equivalencia
Definición 7.1: Una relación binaria S es una relación de equivalencia si posee las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Para expresar que dos elementos a y b pertenecen a la relación de equivalencia , (a,b) , se emplea la notación
y se lee “a (es) equivalente a b”. También escribiremos
que se lee “a congruente con (o equivalente a) b mòdulo e”.
Definición 7.2: Se llama clase de equivalencia de un elemento b a la clase formada por los elementos equivalentes a b.
Proposición 7.3: Sea C(a) la clase de equivalencia de a. Dos elementos arbitrarios b y c de C(a) son equivalentes.
Demostración :
Por ser b equivalente a a,b a, y por ser c equivalente a a, c£ a. En virtud de la Propiedad simétrica, a c. Y la Propiedad transitiva hace que b c. Luego b y c son equivalentes.
Proposición 7.4: Dos clases de equivalencia que tengan un elemento común son iguales.
Demostración :
Sea
y elijamos un . Entonce x£ a, y debido a que a£ c, se tiene por la Propiedad transitiva que x c. Luego . De igual forma se prueba que los elementos de C(c) son elementos de C(b). Por el Axioma de extensión,
Definición 7.5: Consideremos una relación de equivalencia en C. Se llama clase cociente a la clase formada por las clases de equivalencia de , y se representa por .
Entre C y existe una aplicación /i, llamada proyección canónica, definida por
Evidentemente esta aplicación es suprayectiva.
Proposición 7.6: Si es conjunto, es conjunto.
Demostración :
Debido a que es suprayectiva,
Ahora bien, dado que def , por el Axioma de sustitución, es conjunto.
Es frecuente en un principiante confundir conjunto de clases de equivalencia (conjunto cociente) con la unión de estas mismas clases de equivalencia. Para salir del error, pensemos de nuevo en el símil de los pueblos.
Establezcamos en una nación una relación binaria que consiste que dos individuos estén relacionados si se hallan empadronados en un mismo centro. Está claro que esta relación es de equivalencia. Sus clases de equivalencia formarán los pueblos que integran la nación. La unión de todos los pueblos será esta misma nación. En cambio, el conjunto cociente resulta ser la ¡Federación de pueblos!, que, desde luego, es totalmente distinta a la unión.
1 El Teorema de Incompletitud de Godei asegura que todo sistema lógico es incompleto. Esto quiere decir que simpre habrá proposiciones que no podrán ser confirmadas ni negadas en el marco del cuerpo axiomático en que se trabaja: proposiciones indecidibles. Si se tuviera una Teoría de Conjuntos completa, ésta no sería lógica, pues sería incompatible con el Teorema de Incompletitud, por lo que contendría contradiciones entre sus proposiciones.
