Читать книгу Нейронный сети. Эволюция - Каниа Алексеевич Кан - Страница 17

Дифференцирование суммы

(u+v)′ = u′ + v′, где u и v – функции.

Пусть f(x) = u(x) + v(x). Тогда:

∆f = f(x+∆x) – f(x) = u(x+∆x) + v(x+∆x) – u(x) – v(x) = u(x) + ∆u + v(x) + ∆v – u(x) – v(x) = ∆u + ∆v

Тогда имеем:

Дроби ∆u/∆х и ∆v/∆х при ∆х->0 стремятся соответственно к u′(x) и v′ (x). Сумма этих дробей стремится к сумме u′(x) + v′ (x).

f′(x) = u′ (x) + v′ (x)

Дифференцирование произведения

(u*v)′ = u′ v + v′u, где u и v – функции

Разберем, почему это так. Обозначим f(x) = u(x) * v(x). Тогда:

∆f = f(x+∆x) – f(x) = u(x+∆x) * v(x+∆x) – u(x) * v(x) = (u(x) + ∆u) * (v(x) + ∆v) – u(x) * v(x) = u(x)v(x) + v(x)∆u + u(x)∆v + ∆u∆v – u(x)v(x) = v(x)∆u + u(x)∆v + ∆u∆v

Далее имеем:

Первое слагаемое стремиться к u′(x) v(x). Второе слагаемое стремиться к v′(x)* u(x). А третье, в дроби ∆u/∆x, в пределе даст число u′(x), а поскольку множитель ∆v стремиться к нулю, то и вся эта дробь обратится в ноль. А следовательно, в результате получаем:

f′(x) = u′ (x) v(x) + v′ (x) u(x)

Из этого правила, легко убедиться, что:

(c*u)′ = c′ u + c u′ = c u′

Поскольку, с – константа, поэтому ее производная равна нулю (c′ = 0).

Зная это правило мы без труда, найдем изменение скорости второго примера.

Применим к выражению правило дифференцирование суммы:

s′ (t) = (0,2t) ′ + (1,5) ′

Теперь по порядку, возьмём выражение – (0,2t) ′. Как брать производную произведения константы и переменной мы знаем:

(0,2t) ′ = 0,2

А производная самой константы равна нулю – (1,5) ′ = 0.

Следовательно, скорость изменения скорости, второго примера:

s′ (t) = 0,2

Что совпадает с нашим ответом, полученном ранее во втором примере.

Дифференцирование сложной функции

Допустим, что в некоторой функции, y сама является функцией:

f = y²

y = x²+x

Представим дифференцирование этой функции в виде:

Нахождение производной в этом случае, осуществляется в два этапа.

Мы знаем, как решить производную типа: dy²/dy = 2y

А также знаем, как решать производную суммы: х² + х = (х²)′ + х′ = 2х+1

Тогда:

2(x²+x) * (2х+1) = (2х²+2х) * (2х+1) = 4х³+6х²+2х

Я надеюсь, вам удалось понять, в чем состоит суть дифференциального исчисления.

Используя описанные, методы дифференцирования выражений, вы сможете понять механизм работы метода градиентного спуска.

В качестве небольшого дополнения, приведу список наиболее распространённых табличных производных: