Читать книгу Расчеты в квантовой механике. Исследование формулы H = ∫ΨΔ (dΨ) /Δt dV - - Страница 11

Математическое определение дельта-оператора

Дельта-оператор (δ) – это особый тип оператора в математике и физике, который обычно используется для описания импульса или положения частицы в точке.

Математически, дельта-оператор может быть определен следующим образом:

Для функции f (x) дельта-оператор действует следующим образом:

δ (f (x)) = f (0)

То есть дельта-оператор приравнивает значение функции к ее значению в точке, где аргумент равен нулю.

В контексте квантовой механики, дельта-оператор широко используется для измерения положения или импульса частицы в определенной точке. В этом случае, дельта-оператор представляет собой дельта-функцию Дирака (δ (x)), которая является обобщенной функцией, имеющей следующие свойства:

∫ δ (x) dx = 1, при условии, что интеграл берется от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Функция Дирака δ (x) равна нулю во всех точках, кроме x=0, где она имеет бесконечное значение, сохраняя интеграл равным 1. Это позволяет использовать дельта-функцию для точечных измерений положения или импульса частицы.

Использование идей дельта-оператора и дельта-функции требует аккуратного обращения с обобщенными функциями и интегралами. Они широко применяются в квантовой механике для моделирования и анализа квантовых систем.

Свойства дельта-оператора и его использование в вычислениях

Дельта-оператор (δ) обладает несколькими свойствами, которые делают его полезным инструментом в вычислениях и моделировании.

Представлены некоторые из этих свойств и примеры использования дельта-оператора в вычислениях:

1. Интеграция с дельта-оператором:

– Интеграл от произведения функции f (x) и дельта-оператора равен значению функции в точке, где аргумент дельта-оператора равен нулю:

∫ f (x) δ (x-a) dx = f (a)

2. Проверка функции на величину в точке:

– Если функция f (x) равна нулю вне определенной точки a и бесконечно большая в точке a, то ее можно проверить с помощью дельта-оператора:

f (x) = δ (x-a)

3. Бесконечное приближение:

– Дельта-оператор может использоваться для аппроксимации других функций. Например, дельта-оператор может быть записан как предел последовательности нормальных распределений с уменьшающейся дисперсией.