Читать книгу Основы квантовых вычислений и базовые состояния кубитов. Формула - - Страница 5

Описание матрицы Pauli X

Матрица Поля (Pauli) X представляет собой один из базисных операторов в квантовой механике, используемых для описания вращения квантовых состояний. Он также известен как оператор «флип» или «негация» и представляет вращение квантового состояния вокруг оси X.

Матрица Поля X имеет размерность 2x2 и выглядит следующим образом:

X = [[0, 1],

[1, 0]]

где элементы матрицы описывают действие оператора X на базисные состояния. В данном случае, оператор X меняет состояние |0⟩ на состояние |1⟩ и наоборот.

Для произвольного вектора состояния кубита |ψ⟩, применение оператора X дает следующий результат:

X |ψ⟩ = [[0, 1],

[1, 0]] * |ψ⟩

|ψ»⟩ = [[0 * ψ0 +1 * ψ1],

[1 * ψ0 +0 * ψ1]]

где |ψ0⟩ и |ψ1⟩ являются компонентами вектора состояния |ψ⟩.

Матрица Поля X позволяет нам осуществлять вращение и манипуляцию состояниями кубитов, что является важной задачей в квантовых вычислениях. Кроме того, операторы Поля X, Y и Z являются базовыми операторами Поля, используемыми для построения различных квантовых гейтов и алгоритмов.

Изменение матрицы X вращением вокруг оси X

Матрица Pauli X (X-врощения) описывает операцию вращения вокруг оси X.

Операция вращения вокруг оси X может быть описана с использованием преобразования поворота Яванского (известного также как поворот Зайферта).

Общая форма поворота Яванского для вращения вокруг оси X на угол $\theta$ имеет следующую матрицу:

$R_x (\theta) = \begin {bmatrix} \cos (\frac {\theta} {2}) & -i \sin (\frac {\theta} {2}) \\ -i \sin (\frac {\theta} {2}) & \cos (\frac {\theta} {2}) \end {bmatrix} $

То есть, для кубитного состояния $|\psi\rangle$, после вращения вокруг оси X на угол $\theta$, новое состояние будет $|\psi’\rangle = R_x (\theta) |\psi\rangle$.

Например, если у нас есть кубитное состояние $|\psi\rangle = \begin {bmatrix} a \\ b \end {bmatrix} $, после вращения вокруг оси X на угол $\theta$, новое состояние будет $|\psi’\rangle = \begin {bmatrix} \cos (\frac {\theta} {2}) a – i \sin (\frac {\theta} {2}) b \\ -i \sin (\frac {\theta} {2}) a + \cos (\frac {\theta} {2}) b \end {bmatrix} $.

Матрица Pauli X не изменяется вращением вокруг оси X, она описывает только саму операцию вращения.

Вычисление вращения с использованием параметра X

Для вычисления вращения с использованием параметра X можно использовать матрицу поворота Яванского (R_x), которую я упоминал ранее. Это позволяет применять вращение вокруг оси X на кубитные состояния.

Допустим, у нас есть кубитное состояние |ψ⟩, и мы хотим применить вращение вокруг оси X с параметром X. Мы можем использовать матрицу поворота Яванского для этого оператора вращения.

Матрица поворота Яванского для вращения вокруг оси X с параметром X имеет следующую форму:

R_x (X) = [[cos (X/2), -i*sin (X/2)],

[-i*sin (X/2), cos (X/2)]]

Теперь мы можем выполнить умножение матрицы поворота Яванского на вектор состояния кубита:

|ψ»⟩ = R_x (X) * |ψ⟩

Произведение будет выглядеть следующим образом:

|ψ»⟩ = [[cos (X/2), -i*sin (X/2)],

[-i*sin (X/2), cos (X/2)]] * |ψ⟩

Результатом вращения состояния кубита с использованием параметра X будет новое состояние |ψ»⟩.

Обратите внимание, что параметр X может быть произвольным углом, что позволяет нам осуществлять вращение с различными силами и в различных направлениях вокруг оси X.

Примеры вычисления вращения X

Приведены два примера вычисления вращения с использованием оператора Pauli X (X-вращения) в квантовых системах:

Пример 1:

Предположим, у нас есть кубитное состояние |ψ⟩ = [0, 1] (то есть, кубит находится в состоянии |1⟩). Мы хотим применить вращение вокруг оси X с углом π/2 (90 градусов). Для этого нам понадобится матрица Поля X:

X = [[0, 1],

[1, 0]]

Умножим матрицу X на состояние |ψ⟩:

|ψ»⟩ = X * |ψ⟩

= [[0, 1],

[1, 0]] * [0, 1]

= [1, 0]

После вращения вокруг оси X на 90 градусов, состояние кубита изменяется с |1⟩ на |0⟩.

Пример 2:

Допустим, у нас есть кубитное состояние |ψ⟩ = [0.6, 0.8], то есть, кубит находится в суперпозиции состояний |0⟩ и |1⟩ с коэффициентами 0.6 и 0.8 соответственно. Мы хотим применить вращение вокруг оси X с углом π/3 (60 градусов).

Сначала вычислим матрицу поворота Яванского R_x (π/3):

R_x (π/3) = [[cos (π/6), -i*sin (π/6)],

[-i*sin (π/6), cos (π/6)]]

= [[√3/2, -i/2],

[-i/2, √3/2]]

Умножим матрицу поворота на состояние |ψ⟩:

|ψ»⟩ = R_x (π/3) * |ψ⟩

= [[√3/2, -i/2],

[-i/2, √3/2]] * [0.6, 0.8]

= [√3/2 * 0.6 – i/2 * 0.8, -i/2 * 0.6 + √3/2 * 0.8]

= [0.3√3 – 0.4i, -0.3i +0.4√3]

После вращения вокруг оси X на угол π/3, состояние кубита изменяется на [0.3√3 – 0.4i, -0.3i +0.4√3].