Читать книгу Основы квантовых вычислений и базовые состояния кубитов. Формула - - Страница 6
Создание и вращение матрицы Pauli Y
ОглавлениеОписание матрицы Pauli Y
Матрица Pauli Y (Y-матрица) является одной из трех базисных матриц Паули и представляет операцию вращения вокруг оси Y. Она обычно обозначается как $\sigma_y$ или $Y$.
Матрица Pauli Y имеет следующий вид:
$Y = \begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end {bmatrix} $
Она является комплексно-сопряженной матрицей Pauli X (X-матрицы). Это значит, что элементы матрицы Y получаются путем взятия комплексного сопряжения элементов матрицы X.
Матрица Pauli Y представляет операцию вращения вокруг оси Y на угол π (180 градусов). В квантовой механике, вращение на угол π вокруг оси Y обратит состояние кубита. Например, если у нас есть кубитное состояние |0⟩, после применения матрицы Pauli Y мы получим состояние |1⟩.
Вместе с X- и Z-матрицами, матрица Y используется для описания любых однокубитных вращений вокруг произвольной оси в трехмерном пространстве. Например, вращение вокруг оси, направленной вдоль вектора единичной длины \ (\hat {n} = \sin (\theta) \cos (\phi) \hat {i} + \sin (\theta) \sin (\phi) \hat {j} + \cos (\theta) \hat {k} \), на угол α может быть представлено как:
\ (R (\theta,\phi,\alpha) = \cos\left (\frac {\alpha} {2} \right) I – i \sin\left (\frac {\alpha} {2} \right) (\cos (\theta) X + \sin (\theta) \cos (\phi) Y + \sin (\theta) \sin (\phi) Z) \),
где I является единичной матрицей, а X, Y и Z – матрицами Паули.
Изменение матрицы Y вращением вокруг оси Y
Матрица Pauli Y описывает вращение вокруг оси Y на угол π (180 градусов). Вращение вокруг оси Y может быть представлено с помощью матрицы поворота Яванского R_y (π).
Матрица поворота Яванского для вращения вокруг оси Y с углом θ имеет следующий вид:
R_y (θ) = [[cos (θ/2), -sin (θ/2)],
[sin (θ/2), cos (θ/2)]]
В нашем случае, для вращения на угол π вокруг оси Y, подставляем θ = π:
R_y (π) = [[cos (π/2), -sin (π/2)],
[sin (π/2), cos (π/2)]]
= [[0, -1],
[1, 0]]
Матрица Pauli Y представляет вращение вокруг оси Y на угол π и имеет вид:
Y = [[0, -i],
[i, 0]]
Чтобы изменить матрицу Pauli Y для вращения на произвольный угол вокруг оси Y, можно воспользоваться формулой Эйлера для квантовых гейтов поворота.
Например, для вращения вокруг оси Y на угол α, мы можем использовать следующую операцию поворота:
R_y (α) = exp (-iαY/2)
где exp (x) – это экспонента. Подставив матрицу Pauli Y, получаем:
R_y (α) = exp (-iα/2) [[cos (α/2), -sin (α/2)],
[sin (α/2), cos (α/2)]]
Это будет матрица вращения вокруг оси Y на угол α.
Вычисление вращения с использованием параметра Y
Предположим, у нас есть кубитное состояние |ψ⟩ = [0.6, 0.8], то есть, кубит находится в суперпозиции состояний |0⟩ и |1⟩ с коэффициентами 0.6 и 0.8 соответственно. Мы хотим применить вращение вокруг оси Y с использованием параметра Y.
Мы можем использовать формулу для оператора поворота вокруг оси Y, используя параметр Y:
R_y (α) = exp (-iαY/2)
где α – параметр вращения.
В нашем случае, мы хотим применить вращение с определенным параметром Y, предположим α = π/3.
Подставляем параметр в формулу: