Читать книгу Основы квантовых вычислений и базовые состояния кубитов. Формула - - Страница 6

Описание матрицы Pauli Y

Матрица Pauli Y (Y-матрица) является одной из трех базисных матриц Паули и представляет операцию вращения вокруг оси Y. Она обычно обозначается как $\sigma_y$ или $Y$.

Матрица Pauli Y имеет следующий вид:

$Y = \begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end {bmatrix} $

Она является комплексно-сопряженной матрицей Pauli X (X-матрицы). Это значит, что элементы матрицы Y получаются путем взятия комплексного сопряжения элементов матрицы X.

Матрица Pauli Y представляет операцию вращения вокруг оси Y на угол π (180 градусов). В квантовой механике, вращение на угол π вокруг оси Y обратит состояние кубита. Например, если у нас есть кубитное состояние |0⟩, после применения матрицы Pauli Y мы получим состояние |1⟩.

Вместе с X- и Z-матрицами, матрица Y используется для описания любых однокубитных вращений вокруг произвольной оси в трехмерном пространстве. Например, вращение вокруг оси, направленной вдоль вектора единичной длины \ (\hat {n} = \sin (\theta) \cos (\phi) \hat {i} + \sin (\theta) \sin (\phi) \hat {j} + \cos (\theta) \hat {k} \), на угол α может быть представлено как:

\ (R (\theta,\phi,\alpha) = \cos\left (\frac {\alpha} {2} \right) I – i \sin\left (\frac {\alpha} {2} \right) (\cos (\theta) X + \sin (\theta) \cos (\phi) Y + \sin (\theta) \sin (\phi) Z) \),

где I является единичной матрицей, а X, Y и Z – матрицами Паули.

Изменение матрицы Y вращением вокруг оси Y

Матрица Pauli Y описывает вращение вокруг оси Y на угол π (180 градусов). Вращение вокруг оси Y может быть представлено с помощью матрицы поворота Яванского R_y (π).

Матрица поворота Яванского для вращения вокруг оси Y с углом θ имеет следующий вид:

R_y (θ) = [[cos (θ/2), -sin (θ/2)],

[sin (θ/2), cos (θ/2)]]

В нашем случае, для вращения на угол π вокруг оси Y, подставляем θ = π:

R_y (π) = [[cos (π/2), -sin (π/2)],

[sin (π/2), cos (π/2)]]

= [[0, -1],

[1, 0]]

Матрица Pauli Y представляет вращение вокруг оси Y на угол π и имеет вид:

Y = [[0, -i],

[i, 0]]

Чтобы изменить матрицу Pauli Y для вращения на произвольный угол вокруг оси Y, можно воспользоваться формулой Эйлера для квантовых гейтов поворота.

Например, для вращения вокруг оси Y на угол α, мы можем использовать следующую операцию поворота:

R_y (α) = exp (-iαY/2)

где exp (x) – это экспонента. Подставив матрицу Pauli Y, получаем:

R_y (α) = exp (-iα/2) [[cos (α/2), -sin (α/2)],

[sin (α/2), cos (α/2)]]

Это будет матрица вращения вокруг оси Y на угол α.

Вычисление вращения с использованием параметра Y

Предположим, у нас есть кубитное состояние |ψ⟩ = [0.6, 0.8], то есть, кубит находится в суперпозиции состояний |0⟩ и |1⟩ с коэффициентами 0.6 и 0.8 соответственно. Мы хотим применить вращение вокруг оси Y с использованием параметра Y.

Мы можем использовать формулу для оператора поворота вокруг оси Y, используя параметр Y:

R_y (α) = exp (-iαY/2)

где α – параметр вращения.

В нашем случае, мы хотим применить вращение с определенным параметром Y, предположим α = π/3.

Подставляем параметр в формулу: