Читать книгу Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели - - Страница 8

Древняя Греция

Глава, в которой математика, наконец, появляется.

Рисунок 3.1: Фреска "Афинская Школа" Рафаэля Санти. Ватикан.

От математиков Египта и Междуречья до нас дошли только примеры решенных задач. В Древней Греции, наконец, мы видим появление математической науки. В чем разница? В математике появляются доказательства. Пока в математике нет доказательств, наукой она не считалась. Ремеслом, занятием, вспомогательным инструментом – да, может быть, но не наукой. Этот важнейший перелом, скачок на новый уровень, когда количество накопленных математических знаний (зачастую противоречивых) переходит в качество, случился приблизительно на рубеже VI и V веков до нашей эры.

3.1

Фалес. Начало.

Рисунок 3.2: Фалес. 624–546 гг. до н.э.

Кроме того, надо обязательно отметить и такой факт. В Египте и Месопотамии математика развивалась крайне медленно. Годами, да что там годами, столетиями, в математике ничего не происходило.

Чтобы изобрести цифру 0 (даже еще не число, а только лишь цифру обозначающую пропущенный разряд) у древних вавилонян ушло более тысячи лет! Свитки переписывались без изменений. А ведь это были учебники. И новые писцы учились по учебникам 1000-летней давности.

/*Сейчас в высших учебных заведениях России есть стандарт. Все учебники гуманитарных дисциплин должны быть не старше 5 лет. Вся учебная база естественно-научных дисциплин – не старше 10. Нельзя учиться по старым изданиям задачника Демидовича, нужно обязательно брать новые. В связи с этим в университете, где я работала, был забавный казус на факультете теологии. Весь "Ветхий завет" в библиотеке устарел! И включать его в учебную программу было нельзя.

Обратите внимание, что как нельзя использовать учебники старые, так нельзя использовать и слишком новые. Используемый учебник обязательно уже должен быть выпущен и одобрен УМО. Конечно же, я при написании этой книги, подобными ограничениями не руководствовалась – и поэтому с легкостью вам рекомендую к прочтению еще не дописанную и не выпущенную книжку [64].*/

А в Греции на протяжении примерно 300 лет с момента возникновения математики развитие ее идет взрывообразно. Очень быстро. В 6 веке до н.э. она появляется. А в 3 веке до н.э. уже Евклид пишет свои "Начала" – библию всех математиков, венец творения древних греков. В которой собрано безумное количество задач, теорем, алгоритмов по самым разным темам (мы на «Начала» посмотрим более пристально в главе 6). В этих самых «Началах» многие задачки очень нетривиальные! Математика от несуществования до очень высокого уровня, с доказательствами достаточной степени строгости, со многими приемами и методами, используемыми до сих пор, развилась в Древней Греции за 300 лет.

Как говорил про это Платон: "Все, что эллины переняли у варваров, они довели до совершенства".

Почему так? Почему именно тогда? В 6 веке до н.э. в греческих городах-государствах происходит смена власти с рабовладельческой аристократии на рабовладельческую же, но демократию. Все граждане государства могли принимать участие в управлении государством (ясное дело, никаких иноземцев, женщин и рабов – они гражданами не были; но право голоса появилось у всех граждан). Главный принцип демократии: каждый должен отстаивать, аргументировать, доказывать свою точку зрения. Никакие суждения без доказательства не могли пройти сквозь голосование. Греки учатся критическому мышлению, и помогает им в этом демократия. А как апофеоз критического мышления возникает математика.

Отцом математики считается Фалес Милетский. Фалес Милетский – древнегреческий мыслитель. Как был в Античности список Семи величайших Чудес Света, так был и список Семи Мудрецов. Хотя этот список и считался эталонным, каждый раз он был немножко разный, в зависимости от того, кто его озвучивал. Но в любой реинкарнации такого списка всегда был Фалес. Причем, всегда на первом месте!

Почему Фалес считается отцом математики? Считается, что Фалес первый применил в математике доказательства. Откуда это известно? В V веке нашей эры великий математик Прокл Диадох сочинил очень известный «Комментарий к первой книге "Начал" Евклида». Случилось это примерно 1200 лет спустя после того, как жил Фалес. В этом комментарии написано, что за 900 лет до Прокла (т.е. все равно не при жизни Фалеса) ученик Аристотеля Евдем письменно утверждал, что Фалес доказал следующие факты:

Первый доказал, что диаметр делит круг на равные части.

Доказал      равенство      углов      при      основании      равнобедренного треугольника.

Равенство треугольников по стороне и двум углам.

Текст Евдема до нас не дошел, и сами доказательства до нас не дошли (мы не имеем никакого понятия о том, какие они были), но раз так утверждается в письменном источнике Проклом (который, предположительно, видел-таки письменный источник, написанный Евдемом, у которого тоже были какие-то основания для подобного заявления) – то вот считается вот так.

Не надо воспринимать историю математики как математику. Тут почти не бывает (и в определенной степени не может быть) строгих доказательств исторических фактов.

/*По поводу исторических доказательств в истории математики сохранился также еще один анекдот. Андрей Николаевич Колмогоров, один из великих математиков 20 века, сначала хотел быть историком. И как-то раз, выступая на научном семинаре сделал доклад, полностью обосновав и доказав свою точку зрения. Руководитель семинара Колмогорова очень хвалил, но сказал, что для достоверности каждый исторический факт должен быть подтвержден несколькими разными доказательствами. Так и закончилась карьера Колмогорова-историка: он решил уйти в науку, где для доказательства истинности одного доказательства достаточно!*/

Фалес был великим мыслителем, и прославился не только математическими открытиями. Кроме вышеперечисленных фактов он доказал, что вертикальные углы равны и в каком-то виде знаменитую теорему Фалеса – скорее всего только прямую; первый описал круг вокруг прямоугольного треугольника и скорее всего, первый же доказал, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Кроме математических результатов, Фалес известен также своими астрономическими открытиями. Наиболее яркое из них – он предсказал солнечное затмение в 585 году до н.э.; указал морякам, что ориентироваться надо по Малой Медведице, как делали это вавилоняне, а не по Большой (как вслед за египтянами было принято у греков). А кроме того, Фалес был удачливым торговцем, торгуя оливковым маслом, он сколотил состояние.

В путешествиях Фалес познакомился как с египетской наукой (которая, кстати, была довольно известна в Древней Греции), так и с вавилонянской (вот с преемственностью от вавилонян у греков было хуже – они почему-то очень точечно получили от них знания). От одних он знал одну форумлу площади круга , от других – другую 3r². Так где же истина и кто же прав? Как отличить правильные знания от приближенных и ошибочных? С помощью логики и доказательств. Именно поэтому Фалес передоказывает "азбучные истины", факты и так всем хорошо известные (например, то, что диаметр делит круг на две равные части).

Вот так вот появляется математика. И все это, конечно, хорошо и замечательно. Но. Но Фалес – ученый и торговец. Он доказывает теоремы и торгует оливковым маслом. На самом деле, при всем уважении, но его труды никак не могли способствовать тому, что математика в Древней Греции мало того, что взрывообразно развивается, но еще и становится царицей наук и практически возводится в ранг религии. А вот за это все ответственен Пифагор.

3.2

Самосский тоннель

Тут мне бы очень хотелось упомянуть, что в прикладную математику древние греки тоже умели.

В середине 6 века до н.э. (приблизительно в 530 году до н.э.) Евпалин построил водопровод на острове Самос. Примечательность состоит в том, что водопровод строили сквозь гору Кастро, копая одновременно с двух сторон. А самое примечательное в точности наведения: благодаря ловким геометрическим рассчетам, проведенным Евпалином, расхождение по горизонтали (в точке схода двух кусков тоннеля) не более метра. Расхождение по вертикали и вовсе 4 сантиметра! Длина тоннеля при этом больше километра.

Когда за 100 лет до этого подобный тоннель строили возле Иерусалима, он получился зигзагообразным и длина тоннеля в два раза превышает расстояние между его концами.

С античных времен этот тоннель был забыт. Но в трудах Геродота был составлен список "Чудес света". Это самый первый в мире (известный сегодня) список чудес света, Геродот туда включил всего три объекта, среди которых этот самый Самосский тоннель. Прочитав о тоннеле в трудах Геродота, тоннель принялись искать – и нашли, раскопали в 1882 году. С тех пор это туристическая достопримечательность.