Читать книгу Репетитор по математике. Алгебра - М. Л. Фартушняк - Страница 5

Одночлен. Многочлен. Преобразование алгебраических выражений. Формулы сокращённого умножения. Разложение многочлена на множители

Мы подошли к одной из самых важных тем алгебры. Ведь без задания на преобразование алгебраических выражений не обходится практически ни один экзамен по математике. Сразу предупреждаю, такие преобразования сложны и требуют не только знаний, но и внимания, смекалки, терпения.

Для начала мы ознакомимся с понятиями «одночлен» и «многочлен».

Одночленом называется произведение двух или нескольких сомножителей каждый из которых есть либо число, либо буква, либо степень буквы.

Например, 6a²x, 2c, 3b³c², -10y⁷, -7abc.

Одночлены состоят из коэффициента (числового множителя) и буквенной части.

6a²x = 6 (коэффициент) × a²x (буквенная часть).

Отдельно взятое число, буква или степень буквы тоже рассматриваются как одночлен. Например, -5 (одночлен без буквенной части), с и c⁵ (одночлены, в которых коэффициент равен 1).

Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.

Например, 7x²y³, -5x²y³, -x²y³ – подобны.

Сложение двух или нескольких одночленов возможно только тогда, когда среди слагаемых имеются подобные.

Например, 6x²y² +9x²y² – 7x²y² = 8x²y².

Здесь мы суммировали коэффициенты, оставив буквенную часть без изменений. Такое действие называется приведением подобных членов.

Можно этот пример решить иначе, вынеся общий множитель за скобки:

6x²y² +9x²y² – 7x²y² = (6+9—7) x²y² = 8x²y².

Как мы видим, вынесение общего множителя за скобки – операция, идентичная приведению подобных членов.

Произведение двух или нескольких одночленов можно упростить лишь тогда, когда в них входят некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатели степеней у соответствующих букв складываются, числовые коэффициенты перемножаются.

Пример: -10x²y×3x³y² × (-xy³) = -10×3× (-1) (x²x³x) (yy²y³) = 30x⁶y⁶.

Для лучшего понимания, мы расписали это действие более подробно, хотя оно довольно прозрачное и может делаться устно.

Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель содержат некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. При этом показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

Пример: 6x³y⁸z⁷: 2xy⁵z³ = 3x²y³z⁴.

Здесь числовой коэффициент делимого разделили на числовой коэффициент делителя, вычли показатели степени буквы x (3—1=2), буквы y (8—5=3) и буквы z (7—3=4).

При делении двух одночленов могут возникнуть две ситуации, которые требуют дополнительного пояснения.

1.Если показатели степени у некоторой буквы в делимом и делителе одни и те же, то в частное эта буква не войдёт (ведь нулевая степень любого числа равна единице).

Пример: 12x³y⁴: 4x³y² =3y².

2.Если показатель степени какой-нибудь буквы в делимом меньше, чем показатель степени той же буквы в делителе, то вычитание даёт отрицательную степень этой буквы.

Пример: 8x³y⁵: 2x⁵y³ = 4x^-2y² = (4y²) / (x²)

При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень.

Пример: Возведём одночлен 2a⁴b² в четвертую степень.

(2a⁴b²) ⁴ = 2⁴ (a⁴) ⁴ (b²) ⁴ = 16a¹⁶b⁸.

Не забывайте, что показатели степеней при данном правиле перемножаются.

Сумма одночленов называется многочленом.

Например, 4x²y +3a -7b² – многочлен, состоящий из суммы одночленов 4x², 3a, -7b².

При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Пример. Сложим многочлены x³ +2x²y² – 7x² + y и 3x³ – x²y² +5x² – 3y.

Составим сумму многочленов, затем раскроем скобки и приведём в полученном многочлене подобные члены.

(x³+2x²y²—7x²+y) + (3x²– x²y² +5x² – 3y) = x³ +3x³ +2x²y² – x²y² – 7x² +5x²+ y – 3y = 4x³ + x²y² – 2x² – 2y.

Здесь одновременно с раскрытием скобок мы сгруппировали подобные члены (для удобства вычислений).

Аналогично, производится и вычитание многочленов. Не забывайте, если перед скобкой стоит знак «минус», то все члены, заключаемые в скобки, меняют свой знак на противоположный.

Пример. (4x²y – 7x³ +5y – 3) – (-2x²y +5x³– 3y +2) =4x²y – 7x³ +5y -3 +2x²y -5x³ +3y – 2 = 6x²y – 12x³ +8y – 5.

Произведение многочленов.

Произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Схема: a× (b+c) =a×b+a×c (открытие скобок)

Например:

– 4x³ (2y³– x +6) = -4x³2y³ + (-4x³ (-x)) + (-4x³ ×6) = -8x³y³ +4x⁴ – 24x³.

Мы выписали здесь промежуточные вычисления, хотя, в принципе, без этой записи можно обойтись.

Умножение многочлена на многочлен.

Произведение многочлена на многочлен равно сумме всех возможных произведений каждого одночлена одного из многочленов на каждый одночлен другого.

Схема: (a+b) × (c+d) =a×c+a×d+b×c+b×d

Пример. (3x² – 6x +2) × (4x³ – 3x) = 12x⁵ – 9x³ – 24x⁴ +18x² +8x³ – 6x =

= 12x⁵ – 24x⁴ – x³ +18x² – 6x.

Существуют частные случаи умножения многочленов, которые называются формулами сокращённого умножения многочленов. Их желательно запомнить.

1. (a+b) ² =a²+2ab+b² (квадрат суммы)

2. (a-b) ²=a²—2ab+b² (квадрат разности)

3. (a-b) (a+b) =a²-b² (разность квадратов)

4. (a+b) ³=a³+3a²b+3ab²+b³ (куб суммы)

5. (a-b) ³=a³—3a²b+3ab²-b³ (куб разности)

6. (a+b) (a²-ab+b²) =a³+b³ (сумма кубов)

7. (a-b) (a²+ab+b²) =a³-b³ (разность кубов)

Примеры: (2ma² +0.1nb²) ² = 4m²a⁴ +0.4mna²b² +0.01n²b⁴

(5x³ – 2y³) ² = 25x⁶ – 20x³y³ +4y⁶

(0.2a²b + c³) (0.2a²b – c³) = 0.04a⁴b² – c⁶

(5ab² +2a³) ³ = 125a³b⁶ +150a⁵b⁴ +60a⁷b² +8a⁹

Предлагаю вам самим узнать, какие формулы были использованы в этих примерах.

Деление многочленов.

1. Деление многочлена на одночлен.

Частное от деления многочлена на одночлен равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого многочлена на одночлен.

Схема:

2. Деление многочлена на многочлен в общем случае можно выполнить с остатком, подобно тому, как это делается при делении целых чисел.

Разделить многочлен P на многочлен Q значит найти многочлен M (частное) и N (остаток) удовлетворяющий двум требованиям: 1) должно соблюдаться равенство MQ+N=P и 2) степень многочлена N должна быть ниже степени многочлена Q.

Процесс нахождения частного M и остатка N аналогичен процессу деления с остатком многозначного числа на многозначное. Перед делением члены делимого и делителя располагается в порядке убывания степеней главной буквы.

Например, разделим 6x³ +2x² – x +12 на 3x² – 2x +6

Запись деления:

1.Делим первый член делимого 6x³на первый член делителя 3x². Результат 2x – первый член частного.

2.Умножаем полученный член на делитель 3x² – 2x +6, результат 6x³ – 4x² +12x записываем под делимым.

3.Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого, получаем 6x² – 13x +12

4. Первый член остатка 6x² делим на первый член делимого, результат 2 есть второй член частного.

5. Множим полученный второй член частного на делитель, результат 6x² – 4x +12 подписываем под первым остатком.

6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка, получаем второй остаток: -9x. Его степень меньше степени делителя. Деление закончено.

.

Целая часть: 2x +2

Остаток: – 9x

Приведём более сложный пример без дополнительных пояснений.

Целая часть: 3t² – 7t +5

Остаток: 34t – 37

Среди частных случаев деления многочлена на многочлен выделим делимость двучлена x^m±a^m на x±a.

1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих чисел, т.е. x^m-a^m делится на x-a

Примеры.

(x²-a²): (x-a) =x+a

(x³-a³): (x-a) =x²+ax+a²

(x⁴-a⁴): (x-a) =x³-ax²+a²x+a³

(x⁵-a⁵): (x-a) =x⁴-ax³+a²x²+a³x+a⁴

2. Разность одинаковых чётных степеней двух чисел делится не только на разность этих чисел, но и на их сумму т.е. x^m-a^m при чётном m делится на x+a

Примеры.

(x²-a²): (x+a) =x-a

(x⁴-a⁴): (x+a) =x³-ax²+a²x-a³

(x⁶-a⁶): (x+a) =x⁵-ax⁴+a²x³-a³x²+a⁴x-a⁵

2a. Разность одинаковых нечётных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел.

Например, ни x³-a³, ни x⁵-a⁵ не делятся на x+a.

2б. Так как разность чётных степеней делится на x-a и на x+a, то она делится и на x²-a².

Примеры.

(x⁴-a⁴): (x²-a²) =x²+a²

(x⁶-a⁶): (x²-a²) =x⁴+a²x²+a⁴

(x⁸-a⁸): (x²-a²) =x⁶+a²x⁴+a⁴x²+a⁶

3. Сумма одинаковых степеней двух чисел никогда не делится на разность этих чисел.

Например, ни x²+a², ни x³+a³ не делятся на x-a.

4. Сумма одинаковых нечётных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел.

Примеры.

(x³+a³): (x+a) =x²-ax+a²

(x⁵+a⁵): (x+a) =x⁴-ax³+a²x²-a³x+a⁴

4а. Сумма одинаковых чётных степеней двух чисел не делятся ни на разность, ни на сумму этих чисел.

Например, x⁶+a⁶ не делится ни на x-a, ни на x+a.

Запомнить эти формулы необязательно, но уметь их применять необходимо.

Для удобства и упорядочивания вышеизложенных сведений можно составить такую таблицу.

Возведение в степень n двучлена a+b.

(a+b) ⁿ=aⁿ+k₁×a^n-1×b+k₂×a^n-2×b²+…+bⁿ (эта формула называется биномом Ньютона).

Где коэффициенты k (биноминальные коэффициенты) определяются из треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля – таблица бесконечная. Вершина таблицы и боковые стороны каждой строки имеют единицы. Остальные числа (в середине) равны сумме 2-ух чисел, которые находятся в предыдущей строке (над ними).Вы можете легко это проверить, а также потренироваться в составлении коэффициентов для степени 8. Теперь, зная секрет этой таблицы, вы можете без труда вычислить необходимые коэффициенты. Запомните только, что таблица начинается с нулевой степени.

Примеры.

(a+b) ⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b) ⁶=a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

Разложение многочлена на множители.

1 способ. Вынесение общего множителя за скобки.

Если все члены многочлена содержат в качестве множителя одно и то же выражение, его можно «вынести за скобки».

С этим способом мы косвенно ознакомились раньше. Приведём только пару примеров.

Примеры.

4x²y³+8xy²z=4xy² (xy+2z)

9a²b²—3ab²c+12abc²=3ab (3ab-bc+4c²)

2 способ. Способ группировки.

Многочлен разбивается на несколько групп, в каждой из групп выносится за скобки общий множитель, после чего в скобках оказывается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Примеры.

5x³+10x²+3x+6=5x² (x+2) +3 (x+2) = (x+2) (5x²+3)

20x³—12y³+8xy²—30x²y=20x³—30x²y+8xy²—12y³=10x² (2x-3y) +

4y² (2x-3y) = (2x-3y) (10x²+4y²)

При этом способе важно иметь в виду, что выражение a-b можно всегда представить в виде – (b-a). Поэтому, если множители отличаются только знаками, их всегда можно сделать одинаковыми.

Например:

6ab-2cb+9cd-27ad=2b (3a-c) +9d (c-3a) =2b (3a-c) -9d (3a-c) =

(3a-c) (2b-9d)

3 способ. С помощью формул сокращённого умножения.

Примеры.

9x²—1= (3x-1) (3x+1)

4x²+4x+1= (2x+1) ²

4 способ. Разложение квадратного трёхчлена ax²+bx+c=

=a (x-x₁) (x-x₂)

где x₁ и x₂-корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0

О решении квадратных уравнений мы поговорим позже.

А сейчас просто проиллюстрируем данный способ

одним примером.

Пример.

2x²+13x-24=2 (x-3/2) (x+8) = (2x-3) (x+8)

Сначала решается квадратное уравнение

2x² +13x -24 = 0 и находятся его корни x₁=3/2, x₂=-8

Потом по формуле делается разложение.

Как правило, при разложении многочлена приходится комбинировать вышеперечисленными способами, но начинать преобразования, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 36x³+24x+4x

Решение: Вынесем общий множитель 4x за скобки.

36x³+24x²+4x=4x (9x²+6x+1)

Трёхчлен 9x²+6x+1 можно представить в виде квадрата двучлена:

9x²+6x+1= (3x+1) ²

Таким образом, 36x³+24x²+4x=4x (3x+1) ²

Пример 2. Разложить на множители многочлен xy³—3y³+xy²z-3y²z

Решение: Вынесем за скобки общий множитель y²:

xy³—3y³+xy²z-3y²z=y² (xy-3y+xz-3z)

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, разложим на множители многочлен: xy-3y+xz-3z

xy-3y+xz-3z=y (x-3) +z (x-3) = (x-3) (y+z)

Окончательно получим:

xy³—3y³+xy²z-3y²z=y² (x-3) (y+z)

Пример 3. Разложить на множители многочлен: a²—4ab-9+4b²

Решение: Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены многочлена. Полученный трёхчлен можно представить в виде квадрата разности.

(a²—4ab+4b²) -9= (a-2b) ²—9

Полученное выражение не что иное, как разность квадратов:

(a-2b) ²—9= (a-2b) ²—3²= (a-2b-3) (a-2b+3)

Таким образом, a²—4ab-9+4b²= (a-2b-3) (a-2b+3).

Тестовые задания к теме 2

тест 1

тест 2

тест 3

тест 4

тест 5

тест 6

ЗАДАЧИ