Читать книгу ¡Ajá! Paradojas que te hacen pensar - Martin Gardner - Страница 5

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PARADOJAS SOBRE MENTIROSOS, VERACES, COCODRILOS Y BARBEROS

En vista del indispensable papel que la lógica desempeña, no sólo en matemática, sino en todo el pensamiento deductivo, sorprende descubrir que la lógica se encuentra acribillada de razonamientos aparentemente impecables que conducen a contradicciones obvias. En tales razonamientos se demuestra algo así como que 2 + 2 son 4, y en seguida se da otra demostración igualmente buena de que es imposible que 2 + 2 sean 4. ¿Qué error se ha cometido? ¿Será posible que los procesos mismos del pensamiento deductivo oculten fallos irremediables?

Los esfuerzos por resolver las paradojas clásicas han hecho avanzar la lógica a zancadas de gigante. Bertrand Russell dedicó a ellas muchos años de parcos frutos antes de colaborar con Alfred North Whitehead en Los principios de la matemática, monumental tratado que proporciona fundamento unificado a la matemática y la lógica moderna.

Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas. Entre las cuestiones que las paradojas de este capítulo permiten resolver tenemos:

1. ¿Hay situaciones donde sea un imposible lógico la predicción correcta de un suceso futuro?

2. ¿Por qué la teoría de conjuntos prohíbe con carácter general construir conjuntos entre cuyos elementos tendríamos que contar al propio conjunto?

3. Cuando hablamos de un lenguaje, ¿por qué es preciso distinguir el lenguaje del cual hablamos (nuestro lenguaje objeto) y el lenguaje en que hablamos (nuestro metalenguaje)?

Las paradojas que responden a tales preguntas contienen todas indicios de razonamiento circular o autoalusión. En lógica, la posibilidad de autoalusión tanto puede enriquecer una teoría como destruirla. El problema consiste en dar a nuestras teorías las formas justas que consienten enriquecer el tema y al tiempo excluyen toda posibilidad de contradicción interna. El instrumento primario para someter a prueba nuestras ideas lógicas y comprobar si les hemos impuesto los límites correctos es precisamente la invención de paradojas.

No se imagine el lector que todas las paradojas de la lógica moderna están resueltas ya. ¡Lejos de eso! En cierta ocasión, Immanuel Kant afirmó imprudentemente que en su tiempo la lógica se encontraba ya tan desarrollada que nada nuevo podría decirse acerca de ella. Todo cuanto Kant pudiera conocer de lógica no es sino una parte reducida y elemental de la lógica moderna. Hay niveles profundos donde los más grandes lógicos están en desacuerdo, niveles donde no han sido resueltas todavía cuestiones paradójicas, y donde tendrán que formularse aún muchas preguntas más.

LA PARADOJA DEL MENTIROSO

Epiménides fue un legendario poeta griego que vivió en Creta hacia el siglo VI a. de J. C. Uno de los mitos que de él se cuentan dice que en cierta ocasión estuvo durmiendo durante cincuenta y siete años.

La frase que se le atribuye da pie a una contradicción lógica si se admite que los mentirosos mienten siempre, mientras que las personas que no son mentirosas —las llamaremos veraces— dicen siempre la verdad. Con estas hipótesis, la declaración: «Todos los cretenses son mentirosos» no puede ser verdadera, porque entonces Epiménides sería mentiroso, y, por tanto, esto que él nos dice tiene que ser falso. Por otra parte, tampoco puede ser falsa, porque se deduciría entonces que los cretenses son veraces, y, por consiguiente, lo que Epiménides dice sería verdad.

A los antiguos griegos les tenía perplejos que enunciados de apariencia perfectamente clara no pudieran ser ni verdaderos ni falsos sin contradecirse a sí mismos. Un filósofo estoico, Crisipo, escribió seis tratados acerca de la paradoja del mentiroso, de los que ninguno ha llegado a nuestros días. Filetas de Cos, otro poeta griego, tan flaco que se decía de él que llevaba los zapatos lastrados con plomo para no ser arrastrado por el viento, se cavó temprana tumba de tanta angustia que le causaba. En el Nuevo Testamento, san Pablo reproduce la paradoja en su epístola a Tito:

Dijo uno de ellos, su propio profeta: «Los cretenses, siempre embusteros, malas bestias, panzas holgazanas».

Verdadero es tal testimonio...*

TITO 1:12-13

* La traducción es la de Nácar-Colunga, en la Biblia de la BAC. (N. del T.)

No sabemos si san Pablo cayó en la cuenta de la paradoja implícita en estas frases.

Se atribuye a Epiménides haber afirmado: «Todos los cretenses son mentirosos». Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?

¿Por qué al presentar la paradoja de esta forma, donde una frase habla de sí misma, nos parece más clara? La razón es que así redactada se eliminan todas las ambigüedades acerca de si los mentirosos mienten siempre y de si los veraces dicen siempre la verdad.

Existen infinidad de variantes. En cierta ocasión, Bertrand Russell manifestó estar convencido de que el filósofo George Edward Moore había mentido tan sólo una vez en su vida. Al preguntársele a Moore si siempre decía la verdad, éste se lo pensó un instante y respondió: «No».

Distintas formas de la paradoja del mentiroso han merecido papel central de varios cuentos. Mi favorito es Toid Under Oath («Declarado bajo juramento»), de Lord Dunsany. Podemos encontrarlo en una antología reciente de escritos suyos poco conocidos, The Ghost of Heaviside Layer and Other Fantasies. En este cuento, Dunsany conoce a un individuo que declara bajo solemne juramento que la historia que va a referir es toda la verdad y nada más que la verdad.

Al parecer, este hombre se tropezó con Satanás en una fiesta, cerrando con él un trato. Acordaron que el hombre, quien hasta la fecha había sido el peor de los jugadores de golf de su club, haría siempre hoyo en un golpe. Tras cierto número de hoyos a la primera, los demás jugadores llegaron a convencerse de que el sujeto se las apañaba para hacer trampa, y lo expulsaron del club. El cuento termina cuando Dunsany le pregunta qué exigió Satanás a cambio de tan extraordinario don. Contesta el hombre: «Extirpó de mí la capacidad de nunca más decir la verdad».

Estamos atrapados en la famosa paradoja del mentiroso.

He aquí su versión más sencilla: «Esta frase es falsa».

¿Es la frase verdadera? ¡En tal caso, sería falsa! ¿Es entonces falsa?

Si tal fuera, ¡sería verdadera!

Las declaraciones contradictorias como ésta son más corrientes de lo que se cree.

CHAPAS Y PINTADAS

¿Por qué son contradictorios estos enunciados? En cada uno de ellos se practica lo contrario de lo que se predica. Hay abundantes ejemplos del mismo estilo. En un parachoques dice una pegatina: «¡Ya está bien de pegatinas en los parachoques!». Dice un anuncio de prensa, en grandes letras: «No lea este anuncio». Un solterón manifiesta estar dispuesto a casarse con sólo una mujer: la bastante lista como para plantarle a él. Groucho Marx gustaba de decir que no estaba dispuesto a ingresar en ningún club que le quisiera por socio. Una etiqueta engomada dice: «Si esta etiqueta se desprendiera en tránsito, notifíquenoslo inmediatamente, por favor».

Más cercanas a la paradoja del mentiroso están las declaraciones autoinvalidantes del estilo de: «Todo conocimiento es dudoso», o el aforismo de Bernard Shaw, a saber, que: «La única regla áurea es que no existen reglas áureas».

Érase una jovencita muy rotunda

cuyos ripios concluían en la línea segunda.

Este pareado anónimo no es paradójico, pero sirve para provocar este otro:

Érase un jovencito muy perverso.

¿En qué consiste la paradoja? ¿Tal vez mentalmente el lector ha completado el pareado, añadiendo «cuyos ripios terminaban en el primer verso»? ¿Tal vez en la idea misma de que un pareado no puede tener menos de dos versos?

Humorísticamente se han dado normas de buen estilo literario expresadas en forma paradójica. He aquí un decálogo recogido por Harold Evans, redactor jefe del Sunday Times londinense:

No utilice nunca doble negación.

Esfuércese en que cada pronombre concuerde con sus antecedentes.

Al dejar frases colgando, atención a los participios.

No use comas, que no sean necesarias.

El verbo tienes que concordar con el sujeto.

Con respecto a frases fragmentadas.

Procurar nunca los infinitivos separar demasiado.

Es importante usar los apóstrofo’s correctamente.

Relea siempre lo escrito, y vea si palabras.

¡Mucha atención a la hortografía!

¿Se acuerda de aquellas chapas que decían «Chapas no»? Llegaron a hacerse bastante populares.

¿Y de las pintadas que clamaban «¡Basta ya de pintadas!»?

Un despacho de la agencia UPI (24 de abril de 1970) daba cuenta de que en unas elecciones de Oregón se permitía a los candidatos imprimir en las papeletas de voto un lema de hasta 12 palabras debajo de su nombre. He aquí el de Frank Hatch, candidato al Congreso por los demócratas: «No deberían figurar aquí quienes pierden tiempo ideando lemas de doce palabras».

En 1909, el renombrado economista británico Alfred Marshall escribía: «Toda frase breve acerca de economía es intrínsecamente falsa».

Una lectora me contó que un día ella y su niño pequeño jugaron al hueso del deseo. Ganó el niño, quien preguntó a su madre qué había ella deseado para él. La madre contestó que su deseo había sido que él ganara. ¿Fue ella quien ganó? ¿Habría ganado la madre si hubiera logrado arrancar el mayor de los dos trozos?

¿Qué significado tendría una declaración ex cáthedra del papa, que afirmase que ningún papa, pasado, presente o futuro, es infalible?

Un anuncio de una revista dice: «¿Quiere usted aprender a leer? Aprenda rápidamente por correspondencia. Escríbanos a la dirección adjunta».

La autoalusión puede ser divertida aun cuando no sea paradójica. En el índice de Finite Dimensional Vector Spaces, de Paul R. Halmos, vemos la referencia «Hochschild, G. P., 198». Excepto en esta entrada, para nada se menciona a Hochschild en todo el libro. La llamada se encuentra en la página 198.

Raymond Smullyan dio a un libro de rompecabezas lógicos el título ¿Cómo se llama este libro? Dos años más tarde ha hecho un segundo libro, esta vez de paradojas de la vida ordinaria, titulado This Book Needs No Title («Este libro no precisa título»).

Puede verse un divertido artículo sobre autoalusión, con muchos ejemplos nuevos, en la sección Temas matemágicos de Investigación y Ciencia (marzo de 1981), que escribe Douglas R. Hofstadter.

UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO

Veamos ahora otra paradoja acerca de valores de veracidad o falsedad, de autor anónimo.

Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz el lector de descubrir cuáles?

1. 2 + 2 = 4

2. 3 × 6 = 17

3. 8 / 4 = 2

4. 13 – 6 = 5

5. 5 + 4 = 9

Solución: únicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por consiguiente, la afirmación de hay tres enunciados falsos es falsa. Tenemos así el tercero de los enunciados falsos. ¿No es verdad?

¿Cuántas palabras tiene la frase de la viñeta? Seis. Está claro que su enunciado es falso. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

¡Es falso! La oración contraria está formada exactamente por siete palabras. ¿Cómo resolver estos raros dilemas?

EL ORDENADOR MAJARETA

El primer ordenador electrónico proyectado exclusivamente para resolver problemas de lógica binaria fue construido en 1947 por William Burkhart y Theodore Kalin, a la sazón todavía estudiantes en Harvard. Cuando le pidieron a su máquina que calculase el valor lógico de veracidad o falsedad que debía atribuirse a la paradoja del mentiroso, la máquina se puso a oscilar, creando, como dijo Kalin, «un follón de todos los demonios».

Un cuento de Gordon Dickson, The Monkey Wrench, publicado en Astounding Science Fiction (agosto de 1951), nos relata cómo unos científicos consiguen salvar la vida inutilizando un ordenador. La técnica que emplearon fue decirle a la máquina: «Tienes que rechazar el enunciado que te estoy proponiendo, porque todos los enunciados que yo propongo son incorrectos».

Hace muchos años, a una computadora ideada para comprobar la veracidad o falsedad de proposiciones le fue propuesta la paradoja del mentiroso: «Esta frase es falsa».

La pobre máquina se volvió tarumba, oscilando sin cesar entre verdadera y falsa.

Computadora: Verdadero-Falso-Verdadero-Falso-Verdadero...

REGRESIÓN INFINITA

La clásica paradoja del huevo y la gallina es seguramente el más conocido ejemplo de regresión infinita, como se la conoce en lógica. Una conocida marca de leche condensada presentaba en sus botes el dibujo de una lechera que sostiene un bote donde vemos dibujada otra lechera, que sostiene un bote... y así indefinidamente, a modo de juego infinito de cajas chinas o muñecas rusas. Vemos abajo la portada de abril de 1965 de Scientific American. La portada está reflejada en la pupila de un ojo. En el reflejo, un ojo menor reproduce una portada aún más pequeña, y así sucesivamente.

En muchas peluquerías hay dos espejos situados uno frente a otro. En ellos podemos ver el comienzo de una regresión infinita de reflejos.

En las obras literarias no faltan los ejemplos de regresión infinita. En Contrapunto, de Aldous Huxley, uno de los personajes, Philip Quarles, está escribiendo una novela acerca de un novelista que escribe una novela acerca de un novelista... Hay regresiones parecidas en una novela de André Gide, Los monederos falsos, en una obra teatral de E. E. Cummings, Him; y en cuentos cortos como The Notebook, de Norman Mailer, donde a un joven escritor se le ocurre la idea de un cuento, que es el mismo cuento que Mailer está escribiendo.

Jonathan Swift describió en un poema una regresión infinita de pulgas, poema que el matemático Augustus de Morgan recompuso así:

Las pulgas grandes

a lomos cargan pulguitas,

quienes las pican.

Y las pulguitas

transportan a otras menores,

ad infinítum.

Y las más grandes van a su vez

a cuestas de otras mayores,

y éstas,

aún cabalgan sobre otras,

y así una vez y otra.

Dos cuestiones científicas de nuestra era, concernientes a regresiones infinitas, seguramente no pueden ser contestadas nunca. ¿Es nuestro universo, en su continua expansión, todo cuanto existe, o es sólo parte de un sistema más vasto todavía, del que nada sabemos? La segunda cuestión va en sentido contrario, hacia lo pequeño. ¿Es el electrón una partícula última, o, por el contrario, tiene estructura interna, y está compuesto por partes aún menores? Los físicos opinan ahora que muchas partículas están formadas por combinaciones de quarks. ¿Estarán los quarks formados por entidades aún más pequeñas? Hay físicos que consideran verosímil que no haya fin en ninguna de estas dos direcciones. El universo total de universos sería como un inmenso juego de cajas chinas, en el que no hubiera ni caja mínima ni caja máxima, al igual que no existe un entero positivo que sea máximo ni un quebrado menor que los demás.

Pretendiendo resolver el clásico dilema «¿Qué fue antes, el huevo o la gallina?», el ordenador estaba pasándolo tan mal como una persona.

¿La gallina? No, pues tuvo que nacer de un huevo empollado. ¿El huevo, entonces? No. Una gallina tuvo antes que ponerlo.

LA PARADOJA DE PLATÓN Y SÓCRATES

Esta variante de la paradoja del mentiroso, que fue muy analizada en tiempos medievales, es importante porque muestra que la fuente de confusión de las paradojas reside mucho más profundamente que la mera autoalusión. Si la oración A es verdadera, la oración B será falsa, y si B es falsa, entonces A tiene que ser falsa. Pero si A es falsa, entonces B es verdadera, y si B es verdadera, entonces A es verdadera. Ahora estamos de vuelta en el punto de partida, repitiéndose el proceso cíclicamente, como dos polis de historieta persiguiéndose uno al otro en torno a un edificio. Ninguna de las frases alude a sí misma, pero tomadas conjuntamente cambian continuamente el valor de verdad asignado a la otra, incapacitándonos para decir si alguna de ellas es verdadera o falsa.

Puede resultar entretenido preparar para los amigos la siguiente variante de la paradoja, ideada por P. E. B. Jourdain, un matemático inglés.

En una cara de una ficha en blanco escribimos en letras de molde:

LA FRASE ESCRITA EN LA OTRA CARA DE ESTA TARJETA ES VERDADERA

Y en el reverso de la misma ficha escribimos:

LA FRASE ESCRITA EN LA OTRA CARA DE ESTA TARJETA ES FALSA

Mucha gente tiene que darle vueltas a la ficha, una y otra vez, antes de caer en la cuenta de que ha sido atrapado en una regresión sin fin, donde cada proposición va siendo alternativamente verdadera y falsa.

Pensemos por un momento en la frase del dibujo. Un cretense habla de los cretenses. Una proposición alude a sí misma. Una chapa habla de las chapas. Todos estos enunciados parecen hablar de sí mismos. ¿Será la autoalusión culpable de sus males?

No. Ya los antiguos griegos sabían que no basta con eliminar la autoalusión. He aquí un diálogo que lo demuestra.

Platón: La próxima declaración de Sócrates será falsa. Sócrates: ¡Platón ha dicho la verdad!

Los lógicos han simplificado la paradoja de Platón-Sócrates reduciéndola a las frases de la viñeta. Cualquiera que sea el valor de verdad que se asigne a cualquiera de ellas quedará contradicho por la otra. Ninguna de estas proposiciones se refiere a sí misma; empero, tomándolas conjuntamente la paradoja del mentiroso subsiste.

ALICIA Y EL REY

El episodio en que Alicia conoce al Rey Rojo se halla en el capítulo 4 de Alicia en el país de las maravillas: a través del espejo. El Rey está dormido, y Tweedledee le dice a Alicia que el Rey sueña con ella, y que ella no tiene existencia excepto como «una especie de cosa» del sueño del Rey.

«Si el Rey se despertase —añade Tweedledee— te esfumarías —bang!— como la llama de una vela.»

Pero todo este diálogo tiene lugar en el propio sueño de Alicia. ¿Es el Rey «una cosa» del sueño de la niña, o es ella «una cosa» del sueño del Rey? ¿Cuál es real y cuál es ensueño?

El doble sueño suscita profundos problemas filosóficos acerca de la realidad. «Si no fuera planteado humorísticamente —dijo Bertrand Russell en cierta ocasión—, nos resultaría excesivamente penoso.»

La paradoja de Platón y Sócrates tiene dos regresiones infinitas, lo mismo que Alicia y el Rey Rojo, en Alicia en el país de las maravillas: a través del espejo: Alicia: Estoy soñando con el Rey Rojo. También él duerme y sueña conmigo, que estoy soñando con él, quien sueña conmigo... ¡Cielos! ¡Esto se repite sin cesar!

Huevos y gallinas retroceden en el tiempo a través de interminables generaciones de huevos y gallinas; en el caso de Alicia y el Rey, la regresión es circular. Una obra de Maurits Escher, Drawing Hands («Manos que dibujan») ilustra gráficamente esta paradoja circular.

Douglas Hofstadter, en su libro Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle, llama «bucles extraños» a estas paradojas circulares. Su libro rebosa de sorprendentes ejemplos de bucles extraños en la ciencia, las matemáticas, las artes y la filosofía.

EL COCODRILO Y EL NIÑO

A los filósofos griegos les gustaba referir el caso de un cocodrilo que le arrebató su bebé a una mujer.

Cocodrilo: ¿Voy a comerme a tu niño? Responde correctamente y te lo devolveré ileso. La madre: ¡Ay, ay, ay! ¡Te vas a comer a mi hijito!

Cocodrilo: Humm... ¿Qué debo hacer? Si te devuelvo el nene lo que has dicho será falso. Debería habérmelo comido ya... Decidido, no te lo devuelvo. La madre: ¡Tienes que hacerlo! Si te comieras a mi nene yo habría contestado correctamente, así que tienes que dármelo.

El pobre cocodrilo estaba tan embrollado que dejó escapar al niñito. La madre lo asió de un brazo y huyó.

Cocodrilo: ¡Cáscaras! ¿Por qué no me diría que le devolviera el chiquillo? ¡Ahora estaría yo disfrutando de un bocado exquisito!

El cocodrilo tiene un dilema: tiene que comerse al niño y tiene que devolverlo, las dos cosas al mismo tiempo.

La madre fue muy lista. Supongamos que hubiera contestado: «Vas a devolverme a mi hijito». En tal caso el cocodrilo hubiera podido devolverlo o comérselo, a su capricho, sin contradecirse. Si lo devolviera, la madre habría contestado correctamente, y el cocodrilo, cumplido su palabra. Por otra parte, de ser lo bastante malvado, puede comerse al nene. De esta forma, lo afirmado por la madre sería falso, liberando al cocodrilo de la obligación de soltar al niño.

LA PARADOJA DEL QUIJOTE

En la novela Don Quijote se nos cuenta de una isla donde regía una curiosa ley. Un guardia pregunta a cada visitante: Guardia: ¿Para qué viene usted aquí? Si el viajero contesta con verdad todo va bien. Pero si dice mentira es ahorcado allí mismo.

Un día, un visitante contestó:

Visitante: ¡He venido aquí para ser ahorcado! Los guardias quedaron tan perplejos como el cocodrilo. Si no ahorcasen al sujeto, éste habría mentido, y por ello debería ser colgado. Pero si lo ahorcan habrá dicho la verdad, y no debería ser ajusticiado.

Para decidir la cuestión, el visitante fue llevado ante el gobernador de la isla. Tras pensarlo largamente, el gobernador tomó una resolución:

Gobernador: Decida lo que decida tendré que vulnerar la ley. Así pues, seré clemente y dejaré libre a este hombre.

La paradoja del ahorcamiento puede verse en el capítulo LI del libro segundo del Quijote. Sancho Panza, escudero y servidor de don Quijote, ha sido nombrado gobernador de una «ínsula», y ha jurado respetar la curiosa ley del lugar acerca de los visitantes. Cuando el hombre es llevado ante él, falla el caso con clemencia y buen sentido.

La paradoja, aunque similar a la del cocodrilo, queda oscurecida por la ambigüedad de la declaración del visitante. En efecto, ¿está manifestando su intención, o está hablando de un suceso futuro? En el primer sentido, el hombre pudo haber dicho la verdad respecto de su intención, y las autoridades podrían no ahorcarlo sin contradecir la ley. Por otra parte, tomada su afirmación en el segundo sentido, cualquier cosa que hagan las autoridades será una contradicción.

LA PARADOJA DEL BARBERO

Bertrand Russell propuso su paradoja del barbero para divulgar y destacar una famosa paradoja sobre conjuntos que él había descubierto. Ciertas construcciones parecen conducir a conjuntos que tendrían que ser miembros de sí mismos. Por ejemplo, el conjunto de todas las cosas que no son manzanas no puede ser una manzana, y por tanto tiene que ser elemento de sí mismo. Fijémonos en el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. ¿Es tal conjunto elemento de sí mismo? Cualquiera que sea la respuesta, es seguro que nos contradiremos.

Esta paradoja suscitó uno de los momentos más cruciales y dramáticos de la lógica. Un eminente lógico alemán, Gottlob Frege, acababa de concluir el segundo volumen de la obra a que sin interrupción había dedicado su vida, Fundamentos de la aritmética, donde creía haber desarrollado una teoría de conjuntos coherente, capaz de ser cimiento de la matemática toda. En 1902, estando el volumen en prensa, Frege recibió una carta de Russell dándole cuenta de la paradoja. La teoría de conjuntos de Frege permitía la formación del conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Como claramente exponía la carta de Russell, este conjunto en apariencia bien formado es contradictorio. Frege tuvo el tiempo justo de insertar un breve apéndice que comienza: «Difícilmente puede un científico tener que afrontar nada más indeseable que ver hundirse los cimientos justamente cuando da fin a su obra. Tal es la situación en que me encuentro tras la carta de Mr. Bertrand Russell...».

El giro que Frege da aquí al término indeseable es —se ha dicho— el mayor eufemismo de la historia de la matemática.

Exploraremos algunas paradojas más de este tipo, y mencionaremos algunos procedimientos para eliminarlas. Una de las posibles salidas del dilema anterior consiste en declarar que la descripción «el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos» no denota un conjunto. Una solución más radical, y de mayores consecuencias, consistiría en obstinarse en que la teoría de conjuntos no consiente formar conjuntos que sean elementos de sí mismos.

La famosa paradoja del barbero fue propuesta por Bertrand Russell. Si en la luna de la peluquería vemos el cartel de la viñeta, ¿quién afeita al barbero?

De afeitarse él a sí mismo formaría parte del conjunto de hombres que se afeitan a sí mismos. Su anuncio dice que él nunca afeita a miembros de tal conjunto. Por tanto, el barbero no puede afeitarse a sí mismo.

Si otra persona afeita al fígaro, él no se afeita a sí mismo. Pero su anuncio dice que él sí afeita a todos estos hombres. Por consiguiente, no es otra persona quien rasura al barbero. ¡Parece como si nadie pudiera afeitarle!

ASTRÓLOGO, ROBOT, CATÁLOGO

Todas las paradojas anteriores son variantes de la paradoja de Russell. En cada caso, para formar cierto conjunto S, la definición que se propone es que el conjunto S habrá de contener a todos los objetos, y solamente a aquellos objetos, que no se encuentran en cierta relación R con respecto a sí mismos. En cuanto nos preguntamos si S es o no es miembro de sí mismo, queda manifiesta la paradoja. He aquí tres clásicas variaciones sobre el mismo tema.

1. La «paradoja de Grelling», así llamada en recuerdo de su descubridor, el matemático alemán Kurt Grelling. Dividamos la colección de todos los adjetivos en dos conjuntos, según sean autodescriptivos o no-autodescriptivos. Palabras como español, corto y polisílabo son autodescriptivas. Otras, como alemán, monosílabo y largo son no-autodescriptivas. Preguntamos ahora: ¿a qué clase pertenece el adjetivo no-autodescriptivo?

2. La «paradoja de Berry» recibe su nombre de G. G. Berry, un bibliotecario de la Universidad de Oxford, quien se la comunicó a Russell. La paradoja se plantea al considerar el «mínimo entero que no puede ser descrito con menos de trece palabras». Como esta expresión consta de 12 palabras, ¿a cuál de estos conjuntos pertenece el entero descrito por ella: al conjunto de enteros expresables en español con menos de 13 palabras, o al conjunto de enteros que tan sólo podrán describirse usando 13 palabras o más? Cada una de estas alternativas conduce a contradicción.

3. El filósofo Max Black expresó la paradoja de Berry en manera análoga a la siguiente versión: En este libro son mencionados diversos números enteros. Fije su atención en el mínimo entero que no haya sido mencionado en este libro de ninguna forma. ¿Existe semejante número?

Un astrólogo hace predicciones para todos los astrólogos, y solamente aquellos astrólogos, que no hacen predicciones para sí mismos. ¿Quién le hará el pronóstico astrológico al nuestro?

¿Y qué pasará con el robot encargado de reparar a todos los robots que no se autorreparan? ¿Quién hará las reparaciones de tal robot?

¿Y con el catálogo que recoge la relación de todos los catálogos que no se mencionan a sí mismos? ¿Qué catálogo podrá dar cuenta de ese catálogo?

VULGAR FRENTE A INTERESANTE

Esta divertida paradoja es una variante de la «demostración» de que todo número entero positivo es interesante. Su inventor, Edwin F. Bechenbach, la dio a conocer en una nota publicada por The American Mathematical Monthly (vol. 52, p. 211, abril de 1945), titulada «Interesting Integers».

¿Es la demostración válida o falaz? Al trasladar la segunda persona a la lista de interesantes, ¿volverá a ser nuevamente la primera una persona vulgar, o continuará siendo interesante? ¿Puede decirse que toda persona es interesante en algún sentido, porque es la más común de ciertos conjuntos especificados, al igual que todo entero es el mínimo entero de conjuntos especificados? Si todas las personas (o todos los números) son interesantes, ¿queda desprovisto de sentido el adjetivo interesante?

Hay personas interesantes. Otras no destacan por nada especial.

Un futbolista: Yo pertenezco a la selección nacional.

Un músico: Yo sé tocar la guitarra con los dedos de los pies.

Señor Corriente: Yo no sé hacer nada que valga la pena.

Tenemos aquí las listas de todas las personas corrientes y de todas las personas interesantes. En algún lugar de la lista de personas corrientes se encuentra la persona más anodina del mundo.

Pero eso justamente la hace muy interesante. Tendremos entonces que trasladarla a la otra lista. Señor Supercorriente: Muy agradecido. Ahora habrá otra persona que sea la más común de todas, convirtiéndose así en interesante. Al cabo, todo el mundo acabará por ser interesante, ¿no es verdad?

SEMÁNTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

La correspondencia entre paradojas semánticas (producidas por la asignación de valores de verdad) y las paradojas de la teoría de conjuntos resulta de que todo enunciado al que se asignen valores de verdad puede reconvertirse en un enunciado acerca de conjuntos, y recíprocamente. Por ejemplo, la frase «Todas las manzanas son rojas» puede transcribirse en «el conjunto de todas las manzanas es subconjunto del conjunto de todas las cosas rojas», que a su vez podemos reformular en lenguaje de valores de verdad, dando el enunciado semántico: «Si es verdad que x es una manzana, entonces es verdad que x es roja».

Fijémonos en la declaración de la paradoja del mentiroso: «Este enunciado es falso». Podemos traducirlo así a lenguaje conjuntista: «Esta aserción es elemento del conjunto de todas las aserciones falsas». Si este enunciado pertenece realmente al conjunto de todas las aserciones falsas, entonces lo que declara es verdadero, y, por tanto, no puede pertenecer al conjunto de los enunciados falsos. Y si el enunciado no pertenece al conjunto de los enunciados falsos entonces declara algo falso, y por tanto sí debe pertenecer al conjunto de enunciados falsos. Cada paradoja semántica tiene su homóloga en teoría de conjuntos, y cada paradoja conjuntista, su correspondiente versión semántica.

Las paradojas acerca del valor de verdad se llaman paradojas semánticas. Las relativas a conjuntos de cosas se llaman paradojas conjuntistas. Estos dos tipos están fuertemente emparentados.

METALENGUAJES

La noción de metalenguaje fue ideada y desarrollada por el matemático polaco Alfred Tarski. En el peldaño más bajo se encuentran los enunciados relativos a objetos, tales como «Marte tiene dos lunas». En este lenguaje no pueden aparecer calificativos como verdadero o falso. Para hablar de la veracidad o falsedad de frases formuladas en este lenguaje tenemos que emplear un metalenguaje, situado en el peldaño inmediatamente superior de la escala. El metalenguaje engloba la totalidad del lenguaje objeto, pero es más «rico», porque permite referirse a los valores de verdad de los enunciados del lenguaje objeto. Por citar uno de los ejemplos favoritos de Tarski, «La nieve es blanca» es un enunciado del lenguaje objeto. En cambio, «El enunciado “La nieve es blanca” es verdadero» es una proposición de un metalenguaje.

¿Puede hablarse de veracidad o falsedad de enunciados de un metalenguaje? Sí, pero sólo ascendiendo hasta el tercer peldaño de la escala, y hablando en un metalenguaje aún más alto, capaz de aludir a todos los situados bajo él.

Cada peldaño de la escala es un lenguaje objeto del peldaño situado inmediatamente sobre él. Cada peldaño, a excepción del más bajo, es metalenguaje del inmediatamente inferior. La escala continúa hacia arriba tanto cuanto deseemos.

Ejemplos de enunciados correspondientes a los cuatro primeros peldaños son:

A. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 180 grados.

B. El enunciado A es verdadero.

C. El enunciado B es verdadero.

D. El enunciado C es verdadero.

El lenguaje de nivel A enuncia sencillamente teoremas relativos a objetos geométricos. Un manual de geometría que contenga demostraciones de los teoremas está escrito en un metalenguaje de nivel B. Los libros que tratan de teoría de demostración están escritos en metalenguaje de nivel C. Afortunadamente, en matemáticas, raras veces es necesario ir más allá del nivel C.

En un artículo de Lewis Carroll, «What the Tortoise Said to Achilles», se discute con mucha gracia el carácter teóricamente infinito de la escala de metalenguajes. Puede verse una reimpresión de este artículo en The Magic of Lewis Carroll, por John Fisher, y también en Gödel, Escher, Bach, por Douglas Hofstadter.

Las paradojas semánticas se resuelven introduciendo metalenguajes. Los enunciados relativos al mundo, tales como «las manzanas son rojas» o «las manzanas son azules», se formulan en un lenguaje objeto. Los enunciados relativos a valores de verdad tienen que hacerse en un metalenguaje.

En este ejemplo no puede haber paradoja, porque la frase A, que se supone escrita en metalenguaje, habla del valor de verdad de la frase B, que está escrita en lenguaje objeto.

¿Cómo hablar de valores de verdad para enunciados de un metalenguaje? Es preciso utilizar un metalenguaje de nivel superior. Cada peldaño de esta escala infinita es metalenguaje del peldaño inferior inmediato, y es lenguaje objeto del peldaño situado sobre él.

TEORÍA DE TIPOS

La escala de metalenguajes de Tarski tiene su homóloga en teoría de conjuntos, a saber, la que Bertrand Russell llamó originalmente «teoría de tipos». Tecnicismos aparte, en esta teoría los conjuntos van ordenándose jerárquicamente por tipos, de tal manera que no es permisible decir que un conjunto es, o no es, elemento de sí mismo. Se consigue así prohibir la formación de conjuntos contradictorios; sencillamente, es imposible definirlos dentro de la teoría. Su equivalente semántico sería declarar que la paradoja del mentiroso, sencillamente «no es proposición», porque vulnera las reglas de construcción de enunciados legítimos.

Bertrand Russell pasó muchos años trabajando en teoría de tipos. En su libro La evolución de mi pensamiento filosófico, Russel escribe:

Una vez terminado Los principios de la matemática, llegué serenamente a la determinación de intentar decididamente resolver las paradojas. Era para mí casi un reto personal, al que estaba dispuesto a dedicar, si necesario fuera, el resto de mi vida con tal de responderlas. Mas hubo dos razones que me lo hicieron insoportablemente desagradable. En primer lugar, todo el problema me daba la impresión de ser trivial... En segundo, que, probara por donde probara, no conseguía avanzar. A lo largo de 1903 y 1904, mi trabajo estuvo casi totalmente consagrado a este tema, pero sin vestigio de éxito alguno.

Para depurar de paradojas la teoría de conjuntos se utiliza una jerarquía infinita parecida. Ningún conjunto puede ser elemento de sí mismo, ni de ningún conjunto de tipo inferior. Los barberos, astrólogos, robots y catálogos de antes, no existen, sencillamente.

LA PREDICCIÓN DEL «SWAMI»

¿Podrá un swami ver el futuro a través de su bola de cristal? La predicción del futuro puede llevarnos a un nuevo y curioso tipo de paradoja lógica.

Un día, el swami tuvo una discusión con su hija Sue, una adolescente. Sue: Mira, papá, sólo eres un engañabobos. La verdad es que no puedes predecir el futuro. Swami: ¡Claro que puedo! Sue: ¡Qué vas a poder! ¡Yo te lo demostraré!

Sue anotó algo en un papel, lo dobló, y lo pisó con la bola.

Sue: Ahí tienes descrito un acontecimiento que podrá suceder o no suceder antes de las tres de esta tarde. Si eres capaz de predecir si ocurrirá, no tendrás que comprarme el coche que me prometiste si aprobaba todo.

Sue: Aquí tienes una ficha en blanco. Si crees que el acontecimiento va a ocurrir, escribe SÍ. Si crees que no puede suceder, escribe NO. Si tu predicción es equivocada, ¿estarás de acuerdo en comprarme el coche ahora, y no a fin de curso? Swami: De acuerdo, Sue. Trato hecho.

El swami escribió algo en la ficha. A las tres en punto, Sue sacó el papel de debajo de la bola, y leyó en voz alta: «Antes de las tres de la tarde escribirás NO en la tarjetas».

Swami: ¡Eso es trampa! Yo escribí SÍ y me equivoqué. Pero si hubiera escrito NO, también habría perdido. No puedo acertar de ninguna forma. Sue: Papi, me gustaría un deportivo rojo. ¡Y con asientos anatómicos!

En su versión original, en esta paradoja se tenía un ordenador que sólo puede responder «sí» o «no». Se le pide al ordenador que prediga si su próxima respuesta será «no». Evidentemente, es imposible que la predicción sea lógicamente correcta. En su forma más concisa, la paradoja se plantea al preguntarle a otra persona: «¿Será “no” la próxima palabra que pronuncie usted? Por favor, responda diciendo “sí” o “no”».

¿Es esta paradoja igual a la del mentiroso? Cuando la persona responde, ¿qué significa «no»? Como es natural, significa «Es falso que yo esté diciendo ahora “Es falso”». Por tanto, la predicción del swami es apenas otra versión disfrazada de la paradoja del mentiroso.

Observemos que al igual que la frase «Esta frase es verdadera» no conduce a paradoja, tampoco la pregunta: «¿Será “sí” la próxima palabra que usted diga?» conduce a paradoja. La persona puede contestar indiferentemente «sí» o «no» sin contradicción, lo mismo que, en la paradoja del cocodrilo, éste puede comerse al niño o devolverlo, sin contradicción, si la madre dice: «Tú me devolverás a mi hijito».

TIGRE «SORPRESA»

La princesa: Padre, tú eres el rey. ¿Podré casarme con Miguel? El rey: Querida, podrás si es capaz de matar al tigre encerrado tras una de estas cinco puertas. Tiene que ir abriéndolas una tras otra, empezando por la número 1. Y no podrá saber en cuál se encuentra hasta que abra la puerta. Será un tigre sorpresa.

Cuando Miguel vio las puertas pensó:

Miguel: Si llegase a abrir las cuatro primeras y estuviesen vacías, yo sabría que el tigre me espera tras la quinta puerta. Pero el rey dijo que yo no podría saberlo por anticipado. Luego el tigre no podrá estar tras la quinta puerta.

La quinta está descartada, así que el tigre debe estar en alguna de las otras cuatro. Pero ¿qué sucedería si las tres primeras estuvieran vacías? Que el tigre debería encontrarse en la cuarta. Pero entonces no habría sorpresa. Así que también la número 4 está eliminada.

Con igual razonamiento, Miguel demostró que el tigre no podría encontrarse tras la puerta número 3, ni tras la número 2, ni en la número 1. Miguel saltaba de alegría.

Miguel: ¡Claro! ¡No hay tigres en ningún cuarto! Si lo hubiera en alguno no sería sorpresa, como aseguró el rey. Y el rey siempre cumple su palabra.

Habiendo demostrado que no había tigre alguno, Miguel fue abriendo las puertas osadamente. Para sorpresa suya, el tigre le saltó encima al abrir la número 2. Fue completamente inesperado. El rey había cumplido su palabra. Hasta hoy, los lógicos no consiguen ponerse de acuerdo acerca de en qué falla el razonamiento de Miguel.

La paradoja del tigre ha sido narrada como cuento de otras muchas formas. De origen desconocido, en su primera versión, de mediados de los cuarenta, se trataba de un profesor que anunciaba que un día de la semana siguiente haría un «examen sorpresa». El profesor aseguraba a sus alumnos que nadie podría deducir la fecha del examen hasta el momento de celebrarse. Un alumno «demostraba» entonces que tal día no podría ser el último de la semana, ni el penúltimo, ni tampoco el antepenúltimo, y así con los demás. El profesor pudo, sin embargo, cumplir su palabra, proponiendo el examen el miércoles, pongamos por caso.

Cuando en 1953 el filósofo W. V. Quine, de la Universidad de Harvard, dedicó un artículo a esta paradoja, la narró contando el caso del alcaide de una prisión que quería dar a un condenado una ejecución inesperada. Puede verse un análisis de la paradoja, más una bibliografía de 23 referencias, en el primer capítulo de un libro mío, El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos.

Casi todo el mundo concede que el primer paso del razonamiento de Miguel es correcto, es decir, que el tigre no puede estar en la última habitación. Pero una vez admitida como sólida esta conclusión, el resto del razonamiento parece inevitable. Pues si el tigre no puede estar en la última habitación, un razonamiento idéntico obliga a descartar la penúltima, e, igualmente, las demás.

Sin embargo, incluso el primer paso del razonamiento es falaz. Supongamos que Miguel haya abierto todas las puertas salvo la última. ¿Puede él deducir válidamente que el tigre no está en esta habitación? ¡No! De hacerlo, podría ser que al abrir la puerta se encontrase al tigre, ¡que sería ahora un tigre inesperado! Y más aún, ¡toda la paradoja subsiste de haber tan sólo una habitación!

Imaginemos que nuestra amiga Véritas, a quien tenemos por encarnación de la verdad, nos diera una caja, añadiendo: «Si la abres te encontrarás inesperadamente un huevo». ¿Podremos deducir algo acerca de la existencia o inexistencia de un huevo dentro de la caja? Si Véritas está diciendo la verdad, la caja tendrá que contener un huevo, pero puesto que esperamos encontrarlo, resulta que la afirmación de Véritas es falsa. Por otra parte, si esta contradicción nos hiciera suponer que la caja no puede contener un huevo (en cuyo caso Véritas ha dicho una mentira) y al abrirla encontramos inesperadamente un huevo, resulta que Véritas ha dicho la verdad.

Los lógicos convienen en que si bien el rey sabe que podrá cumplir su palabra, Miguel no tiene forma de saber que es así. Por consiguiente, no hay manera de que pueda sacar conclusiones válidas sobre la ausencia del tigre en ninguna habitación, ni siquiera en la última.

LA PARADOJA DE NEWCOMB

Un buen día, Omega, ser ultrahumano extraterrestre, tomó tierra en nuestro planeta.

Omega disponía de equipos muy perfectos para estudiar la mente humana. Gracias a ellos era capaz de predecir con mucha exactitud cómo decidiría una persona cualquiera frente a una disyuntiva.

Omega sometió a prueba a muchas personas con ayuda de dos grandes cajas. La caja A era transparente, y contenía 1.000 euros. La caja B era opaca, y podía estar, bien vacía, bien ocupada con 1 millón de euros.

Omega le decía a cada uno de sus sujetos:

Omega: Tiene usted dos opciones. Una, tomar ambas cajas y quedarse con su contenido. Ahora bien, de haber juzgado yo que eso es lo que usted piensa hacer, habré dejado vacía la caja B. Sólo ganará usted 1.000 euros.

Omega: La segunda es tomar solamente la caja B. Si yo he juzgado que eso es lo que usted va a hacer, habré dejado en ella 1 millón. Puede usted quedárselo.

Este señor ha decidido quedarse solamente la caja B, razonando así: Señor: He visto a Om realizar cientos de experimentos. En todos, su predicción fue correcta. Cuantos arramblaron con las dos cajas ganaron solamente 1.000 euros. Así pues, me llevaré la caja B y ganaré el millón.

Esta mujer ha decidido quedarse ambas cajas. He aquí su razonamiento:

Señora: Om ha hecho ya su predicción, y se ha ido. La caja B no va a cambiar. Si está vacía seguirá vacía. Y si está llena, así va a seguir. Por tanto, me llevaré las dos y me quedaré todo lo que tengan.

A juicio del lector, ¿quién tomó mejor decisión? No es posible que ambos razonamientos sean correctos. ¿Cuál, pues, es erróneo? ¿Por qué es erróneo? Esta paradoja es nueva, y los especialistas no saben aún cómo resolverla exactamente.

Ésta es la última y más aturullante de las muchas paradojas de predicción que están hoy analizando los filósofos. Su inventor fue un físico, William Newcomb, y por ello es conocida por su nombre. El primero en publicarla y analizarla fue Robert Nozick, un filósofo de Harvard. Su análisis descansa en buena medida sobre teorías matemáticas llamadas «teoría de juegos» y «teoría de la decisión».

La decisión del hombre, llevarse solamente la caja B, es fácil de comprender. Para ver más claro el razonamiento de la mujer, recordemos que Omega se ha ido ya. La caja B está, o bien llena, o bien vacía, y no va a cambiar. Si está llena, seguirá estando llena. Y si está vacía, así seguirá. Examinemos cada caso.

Si B estuviera llena, y la mujer se llevase solamente la caja B, conseguiría 1 millón de euros. En cambio, llevándose las dos, lograría una ganancia de 1 millón más 1.000 euros.

Si B estuviera vacía y solamente se llevase esta caja, la mujer no ganaría nada. Llevándose ambas cajas logrará al menos 1.000 euros.

En ambos casos la mujer gana 1.000 euros más si se lleva ambas cajas.

La paradoja viene a ser a modo de papel de tornasol que indica si una persona está convencida de que existe la conducta espontánea, nunca previsible del todo, o está convencida de lo contrario. Enfrentada a la paradoja, las reacciones de la gente se dividen casi por igual entre «espontaneístas», partidarios de llevarse ambas cajas, y «deterministas», partidarios de llevarse solamente la caja B. Otros arguyen que las condiciones exigidas para plantear la paradoja son contradictorias, independientemente de si el futuro está o no completamente determinado.

Puede verse una discusión de estas contradictorias opiniones en mi sección de Mathematical Games de Scientific American, julio de 1973, y en la misma sección, en marzo de 1974, donde cedo la pluma al doctor Nozick.

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