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Capítulo 1

INTRODUCCION AL DISEÑO ESTRUCTURAL

1.1 ASPECTOS BASICOS DEL DISEÑO ESTRUCTURAL

1.1.1 Diseño Estructural

El objetivo final del diseño estructural es proveer una estructura segura y económica para satisfacer una necesidad específica. Por seguridad entendemos la capacidad resistente de la estructura para servir sin fallas durante su vida útil. Por cierto, el diseño incorpora consideraciones de orden económico, ya que siempre pueden haber soluciones alternativas, y para cada una de ellas un óptimo, o costo mínimo, al que se procura llegar.

En cualquier proyecto podemos distinguir las siguientes etapas:

• Identificación de una necesidad

• Anteproyecto (Ingeniería Conceptual e Ingeniería Básica)

• Proyecto (Ingeniería de Detalle)

• Ejecución

La necesidad puede ser de cualquier índole: vivienda, hospital, infraestructura de transporte, o una planta industrial, entre infinitos ejemplos. En cualquiera de estos casos habrá de realizarse un anteproyecto que requiere la identificación de todos los elementos necesarios y sus características fundamentales, o etapa de ingeniería conceptual, para realizar una estimación preliminar de los costos con el objeto de evaluar la justificación económica del proyecto (pre-factibilidad). Esta estimación se realiza en base a datos existentes y experiencia de proyectos similares, por ello puede tener un margen de error del orden del 25 a 30 %.

Si la pre-factibilidad da resultado positivo, se pasa a la etapa de ingeniería básica, que consiste en pulir el anteproyecto, definiendo en forma más precisa los componentes (especificaciones de equipos, necesidades de energía, layout, obras civiles y especificaciones en general). En esta etapa hay que realizar estudios simples preliminares, pero ellos ciertamente implican un gasto en horas-hombre. Como resultado, el anteproyecto quedará mejor definido reduciéndose el margen de error en los costos al rango de un 15 a 20 %.

En un proyecto civil, la construcción de un puente por ejemplo, los estudios preliminares comprenderán diversas disciplinas como: Transporte, Hidrología, Hidráulica, Geotécnica, Estructural, Eléctrica, Derechos (servidumbre de paso y expropiaciones), Impacto Ambiental, Impacto Social, Sistema Constructivo, etc. El anteproyecto producido sirve de base para el estudio de factibilidad definitivo, después del cual podrá tomarse la decisión de realizar el proyecto y pasar a la etapa de ingeniería de detalle o proyecto definitivo. La ingeniería de detalle comprende la ejecución de los planos y especificaciones completas para la construcción, equipamiento, montaje y puesta en marcha del proyecto. El diseño estructural interviene en la etapa de anteproyecto primero con la concepción de una forma estructural apropiada al caso y una estimación de su costo, y posteriormente con la producción de un prediseño de estructuración. En la etapa de proyecto se desarrollará el diseño definitivo incluyendo planos de detalles estructurales.

Las etapas del diseño estructural son las siguientes:

• Estructuración

• Análisis

• Dimensionamiento

La estructuración comprende la definición de la forma, o tipo estructural, incluyendo el material a usar. Por ejemplo, un edificio de hormigón armado se puede estructurar en base a marcos, en base a muros, o a una combinación de ambos; en cada uno de estos casos hay que optar entre alternativas, por ejemplo, en el caso de estructura de marcos habrá que definir cuántas columnas tendrá cada plano resistente, es decir, decidir el espaciamiento entre ellas. En el caso de un puente, puede estructurarse como un reticulado de acero, un arco de hormigón armado, una losa sobre vigas de hormigón pretensado, una losa sobre vigas de acero o una infinidad de alternativas que dependen principalmente de la luz a cubrir. En todo caso, la estructuración que prevalecerá en definitiva será aquella que, satisfaciendo todas las condiciones de seguridad y funcionalidad de la obra, tenga el mínimo costo.

El análisis comprende la modelación de la estructura y el cálculo de deformaciones y esfuerzos internos de sus elementos. Este es un campo bien desarrollado de la Ingeniería Estructural en el que se dispone de herramientas computacionales poderosas. Tales herramientas, sin embargo, están en constante revisión según progresa el conocimiento del comportamiento real de los materiales.

El dimensionamiento, comúnmente llamado también “diseño” de los elementos, requiere la consideración del tipo de solicitación (carga axial, flexión, corte, torsión), del comportamiento del elemento frente a tal solicitación, en lo que obviamente incide el material a usar, y del nivel de seguridad que es razonable adoptar. Cabe destacar que el diseño no es exclusivamente un problema de resistencia, ya que con frecuencia pueden controlar las condiciones de serviciabilidad, por ejemplo, la limitación de deformaciones para el adecuado funcionamiento o prestación de servicio de un elemento.

Una característica esencial de la formulación de un proyecto o del desarrollo de un diseño estructural es que se trata de problemas cuyas variables están inicialmente indefinidas y su conocimiento va progresando a medida que se avanza en la solución del problema. Este es un aspecto importante de destacar, pues marca una diferencia con el tipo de problema al que los estudiantes se han visto enfrentados a este nivel de sus estudios de Ingeniería: generalmente han resuelto problemas matemáticos o físicos bien definidos previamente mediante un número de datos fijos, y cuya solución se expresa en función de tales datos. En diseño, en cambio, se parte de un problema indefinido, es decir, hay que proponer una forma (estructuración o dimensión), lo que corresponde a darse los “datos” antes de poder proceder al análisis y al dimensionamiento mismo. La primera proposición generalmente podrá perfeccionarse, corrigiendo los “datos” iniciales, o incluso volviendo a comenzar con una nueva “forma”. Ello hace que el diseño se pueda interpretar como un proceso de aproximaciones sucesivas, en que una primera solución se va mejorando en la medida en que los datos” mismos se van precisando, como se muestra en la Fig. 1.1.

Figura 1.1 Etapas del proceso de diseño estructural

Por cierto, siempre es posible plantear el conjunto completo de ecuaciones que rigen un problema, y escoger entre las infinitas soluciones posibles aplicando algún criterio de optimización. Pero este no es el objetivo de este curso, ni es la forma de trabajo usual en la práctica; la idea es que el estudiante aprenda a trabajar apegado al sentido físico del problema, ponderando la influencia de las variables que intervienen y desarrollando la capacidad de prever el resultado. Así, antes de plantear el conjunto de ecuaciones complejas que eventualmente resuelven el problema, él debe tener una idea o estimación de cuál será el resultado, o el orden de magnitud de la solución; así, los cálculos le ayudarán a perfeccionar o pulir su estimación inicial, mientras tal estimación le permitirá juzgar los resultados analíticos que obtenga y resguardarse de un eventual error de cálculo.

En esta perspectiva también, se pretende que el estudiante se familiarice con conceptos fundamentales de validez permanente, y con los parámetros más relevantes de cada problema de diseño, sin necesidad de ir al detalle propio de un curso de diseño en un material específico conforme a una normativa particular, normativa que, por lo demás, es cambiante en el tiempo. En tal sentido, el curso no se orienta a especialistas en diseño estructural sino a sentar bases sólidas en aspectos fundamentales del diseño que son esenciales para el Ingeniero Civil.

1.1.2 Factor de Seguridad y Confiabilidad Estructural

En términos muy generales, entendemos por seguridad el evitar que la estructura o elemento alcance o sobrepase un estado límite hasta el cual se considera que el comportamiento de la estructura es aceptable. Tal estado límite es el de falla o colapso de un elemento o de la estructura completa. Para establecer una medida cuantitativa de la seguridad se introduce el concepto de factor de seguridad cuya evaluación requiere comparar la “demanda” de resistencia (solicitación o carga) con la capacidad “suministrada” a la estructura (su resistencia máxima).

La concepción más simplista del factor de seguridad puede ilustrarse con el siguiente ejemplo: el cable de una grúa debe ser capaz de resistir una carga de 3 toneladas, y se ha seleccionado un cable de acero de calidad y sección tal que su resistencia nominal de rotura es de 5 toneladas. Decimos entonces que el factor de seguridad (FS) a la rotura del cable es:

El hipotético problema anterior nos induce de inmediato a pensar que si existiera certeza de que la carga máxima no excederá de 3 toneladas, bastaría con una resistencia levemente superior para evitar la rotura, y por tanto se podría usar un cable más económico. Sin embargo, en la realidad hay incertidumbre respecto al valor preciso de la carga que el operador puede ser requerido de alzar, como también respecto de la resistencia última real del cable utilizado en esa grúa en particular. En rigor se trata de un problema probabilístico, ya que tanto la solicitación como la capacidad resistente son variables aleatorias. El campo del análisis que comprende la evaluación de la seguridad por medio de modelos probabilísticos de la solicitación y de la resistencia es el de la Confiabilidad Estructural.

Para el análisis de la seguridad estructural se considera separadamente la solicitación S, o carga aplicada, y la resistencia R, o capacidad de un elemento. Como variables aleatorias sus valores no son determinísticos, es decir, no pueden ser fijados con precisión, sino que deben describirse por una función de distribución de probabilidades o función de densidad de probabilidades (FDP). En referencia a S, la Fig. 1.2 muestra la FDP f_s(s), en que S es una variable continua que incluye todos los posibles valores de s. Para recordar algunos conceptos elementales de la teoría de probabilidades nótese que por definición, la probabilidad de que S tome un valor igual o menor que un valor so dado es:

en que la función Fs(s) = P(S ≤ s) se conoce como función de distribución acumulada (FDA). La probabilidad dada por la Ec. 1-1 corresponde al área oscura en la Fig. 1.2. La probabilidad que S sea mayor que s_o es:

Figura 1.2 Función de densidad de probabilidades

Notar que de la Ec. 1-1 se infiere que P(S=s_o) = 0, porque la longitud del intervalo es nula. O sea, la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor dado es nula, y por tanto fs(s_o) no es una probabilidad, sino la intensidad de la función densidad en s_o. A su vez, por definición f_s(s) ≥ 0, e implícita en la Ec. 1-2 está la condición:

Parámetros o indicadores para describir una variable aleatoria son el valor medio us (o media o valor esperado) de la variable dado por la Ec. 1-4, el que representa el centro de gravedad del área bajo la curva f_s(s),

y la varianza σs² que es una medida de la dispersión de la variable en torno a su valor medio, la que geométricamente corresponde al momento de inercia del área bajo f_s(s) con respecto a μs:

Usualmente la dispersión se expresa en términos de la desviación estándar σs (raíz cuadrada de la varianza) o del coeficiente de variación Ω_S = σ_S/μ_S. Este último descriptor tiene la ventaja de ser adimensional, por lo que frecuentemente se expresa en tanto por ciento.

Aunque la discusión acerca de cuáles modelos matemáticos se ajustan mejor a las variables en consideración escapa al objetivo de esta sección, cabe mencionar que la distribución log-normal es frecuentemente usada para modelar distribuciones asimétricas de variables que no adoptan valores negativos, como la resistencia R por ejemplo. A su vez, cabe recordar que si una variable (R) tiene distribución logarítmico-normal, significa que el logaritmo natural de la variable (In R) es normal (Gaussiana).

Asimismo, variables que representan el máximo entre un número de observaciones tienen distribuciones de las llamadas extremas. Ciertos tipos de carga tienen estas características: por ejemplo, las cargas de viento y las sobrecargas de uso. En el caso del viento, no interesa un diagrama de frecuencias (FDP) de la velocidad del viento en todo instante o acada hora en un sitio en particular, lo que sí interesa es la velocidad máxima diaria o la velocidad máxima anual. Con la FDP de esta última variable se podrán calcular velocidades de viento asociadas a condiciones relevantes para el diseño, especificadas en términos como los siguientes: la velocidad del viento que se excede en promedio cada 50 años. En este caso, 50 años corresponde a lo que se denomina período de retorno medio, y el valor de diseño asociado “el viento de 50 años”. Este problema se puede modelar con una distribución extrema Tipo II (ver Benjamin y Cornell, 1970).

(*) para área tributaria de 36 m²

Igualmente, en relación con las sobrecargas (o cargas vivas) que se superpondrán a las cargas permanentes (o cargas muertas) que actúan sobre una estructura, interesará la intensidad máxima de la carga durante la vida útil de la estructura o típicamente un período de referencia de 50 años. Las sobrecargas de piso comprenden las cargas sostenidas de ocupación normal (como mobiliario, equipos y personas) y las cargas extraordinarias de corta duración (como la congregación de personas durante una fiesta, o la acumulación de muebles durante una remodelación). En el caso de edificios, las normas especifican sobrecargas de piso uniformemente distribuidas que se supone representan el efecto de cargas concentradas y distribuidas reales que, por cierto, pueden ocurrir en infinitas formas en cuanto a su distribución espacial. Las sobrecargas de diseño especificadas en los códigos pueden reducirse para determinar las cargas sobre elementos afectos a áreas tributarias muy grandes (ver Sección 1.1.5.a). La Tabla 1.1 muestra valores especificados en las normas chilena (NCh1537.Of86), mexicana (RDF-76), y norteamericana (ANSI A58.1, 1981). Como referencia puede indicarse que las cargas dadas por esta última norma conducen a cargas vivas ligeramente inferiors al valor medio de la carga viva máxima en 50 años.

En el caso de los materiales, las resistencias nominales o características son tales que una mínima fracción de la producción no cumple con el valor especificado. Considérese por ejemplo el hormigón, cuya resistencia se mide mediante ensayos de compresión realizados sobre probetas cúbicas o cilíndricas de 28 días de edad, curadas en ambiente húmedo. En particular, el código ACI 318-95 considera probetas cilíndricas de 6x12 pulgadas (diámetro x alto), cuya resistencia de compresión de diseño se especifica como f_c’. Esta resistencia es menor que la resistencia promedio del concreto producido f_cr’, como se aprecia en la Fig. 1.3. En efecto, el ACI requiere que el f_cr’ sea el mayor de los valores dados por las ecuaciones:

con σ igual a la desviación de la producción de acuerdo a lo especificado en el código. La Ec. 1-6, como la interpreta el código ACI, da el menor valor promedio f_cr’ tal que, asumiendo distribución normal, asegure una probabilidad de 99 en 100 que la resistencia promedio de tres ensayos consecutivos exceda f_c’. Otra forma de interpretar esta ecuación es, como ilustra la Fig. 1.3, que f_c’ corresponde al percentil 9, i.e. la probabilidad de que la resistencia del hormigón sea menor que f_c’ es de un 9%. A su vez, la Ec. 1-7 corresponde a asegurar que la resistencia de un ensayo cualquiera tiene una probabilidad de 1 en 100 de ser menor que (f_c’ - 35).

Figura 1.3 Distribución de resistencias de compresión del hormigón

En el caso del acero rigen varias normas, tanto para el caso de barras de refuerzo a utilizarse en hormigón armado como para planchas utilizadas para producir perfiles metálicos. Típicamente, la resistencia de interés es la correspondiente al punto de fluencia, encontrándose en general que la probabilidad de que la tensión de fluencia sea menor que la nominal especificada por el fabricante es del orden de 3 a 5 %.

Volviendo al problema de confiabilidad estructural hay que aclarar que al referirse a la resistencia R de un elemento se piensa no sólo en la capacidad del material que lo constituye, sino en el conjunto de variables que intervienen en la resistencia, en efecto:

en que las r_i son todas variables aleatorias que representan las propiedades mecánicas, los parámetros que pueden afectar dichas propiedades, las propiedades geométricas del elemento y su sección, las condiciones de vinculación del elemento, etc. A su vez, el modelo no sólo debe incluir la incertidumbre implícita en la aleatoreidad de las variables r; sino también aquella asociada con la relación funcional g, es decir, con la imperfección del modelo analítico utilizado para predecir la resistencia R, y el posible sesgo asociado a la calidad de construcción según la práctica usual y el grado de inspección a nivel local o nacional.

Del mismo modo, la solicitación S no corresponde simplemente a un valor especificado de carga, como aquellos en la Tabla 1.1, sino a un efecto, por ejemplo, “al momento flector máximo en una viga”, que depende de la carga de peso propio, de la intensidad de la sobrecarga, del área en que actúa la carga y tributa sobre la viga, del largo de la viga, etc, es decir, de un conjunto de variables aleatorias S_i, tal que:

Supóngase que se desea evaluar la seguridad de un diseño. Para ello se considerará primero la formulación conocida como margen de seguridad, en que el margen Z se define como:

La confiabilidad, o medida de seguridad, puede cuantificarse en términos de la probabilidad:

mientras que la probabilidad de falla corresponde a:

Si la FDP de Z es conocida, la probabilidad de falla según la Ec. 1-1 es simplemente:

Suponiendo que R y S son variables aleatorias estadísticamente independientes y normalmente distribuidas, con medias μ_R y μ_S y desviaciones estándar σ_y σ_S respectivamente, es fácil demostrar que Z=R-S es también gaussiana con media:

y varianza:

Siendo Z normal, su FDP es:

En notación abreviada se refiere a esta distribución como N(μ_z,σ_z). La integración definida por la Ec. 1-13 para el cálculo de la probabilidad de falla puede realizarse directamente; sin embargo, es usual realizar un cambio de variable para utilizar las tablas disponibles para la FDA Φ (x) de la distribución normal estandarizada a media nula y desviación estándar unitaria, es decir, la distribución N(0,1);

Entonces, haciendo x = (z-μ_z,)/σ_z, y dz = σ_z dx la distribución de la Ec. 1-16 se estandariza a la N(0,1) dada por la Ec. 1-17. Por lo tanto, la integral de la Ec. 1-13 es:

que por la simetría de la distribución N(0,1) puede escribirse como:

Finalmente, en virtud de las Ecs. 1-14 y 1-15:

en que los valores de Φ se presentan en la Tabla P.1 del Anexo P. La Ec. 1-21 ilustra el importante hecho que la seguridad no sólo depende del margen entre Ry S, representado por sus valores medios, sino también de la dispersión o incertidumbre respecto del valor de tales variables. Este hecho se ilustra esquemáticamente en la Fig. 1.4, donde las líneas continuas representan funciones de distribución hipotéticas de R y S y las líneas de guiones distribuciones tales que los valores medios se han mantenido, pero las desviaciones estándar se han duplicado. El efecto es que ha aumentado el área traslapada entre ambas curvas, lo que refleja un aumento de la probabilidad de falla. Notar, sin embargo, que P_F no corresponde al área traslapada, pero si tal área crece, P_F también crece.

Figura 1.4 Distribuciones esquemáticas de la resistencia Ry la solicitacións

Alternativamente la confiabilidad puede evaluarse mediante una formulación basada en el cuociente R/S, la que se asocia al concepto de factor de seguridad. En este caso es común asumir que Ry S son variables aleatorias independientes, con distribución log-normal. Cabe recordar que si una variable aleatoria X es lognormal, inX es normal, por tanto la FDP de X es:

donde λ = E(InX) y ξ²= Var(InX) son los parámetros de la distribución y corresponden respectivamente a la media y a la varianza de In X. Estos parámetros se relacionan con la media μ= E(X) y la varianza σ² = Var(X) a través de las relaciones (Ang y Tang, 1975):

Si el coeficiente de variación Ω = σ /μ es pequeño, ξ ≈ Ω

Refiriendo la seguridad en términos de la variable aleatoria Z tal que:

variable que tiene distribución normal pues Ry S se asumieron log-normales, el estado de falla se asocia a la condición (R-S) ≤ 0, es decir Z ≤ 0, y la probabilidad de falla queda igualmente expresada por las Ecs. 1-12 y 1-19.

De las Ecs. 1-25 y 1-23 se tiene que la media de Z es:

y su varianza:

Luego, la probabilidad de falla según la Ec. 1-19 es:

Si Ω_R y Ω_s son pequeños (≤ 0,3), la raíz del numerador en la ecuación anterior puede aproximarse a 1, y el denominador a (Ω_R² + Ω_S²)^1/2, de modo que:

Al cuociente μ_R/ μ_S se le denomina usualmente factor de seguridad central, mientras que Ω = (Ω_R² + Ω_S²)^1/2 corresponde a la incertidumbre total subyacente al diseño.

Para tener una idea del significado de los valores de las probabilidades de falla, puede considerarse que p_F> 10^-3 revela una situación de alto riesgo, posiblemente inaceptable, mientras que p_F < 10^-5 refleja una condición de bajo riesgo. Cabe notar también que para valores pequeños de la probabilidad de falla, ésta es muy sensible a la distribución considerada para la variable Z, lo que puede exigir utilizar la correcta FDP de Z para una determinación realista del riesgo. Sin embargo, aun cuando se use una distribución aproximada, las probabilidades de falla calculadas son aún útiles como medidas relativas de la seguridad. Valores grandes de PF, en cambio, no varían sustancialmente al cambiar la FDP de Z; sin embargo, en este caso se requiere una acción inmediata para reducir el riesgo. Para poner los valores de las probabilidades de falla en la perspectiva de otras situaciones de riesgo, la Tabla 1.2 muestra las tasas anuales de muerte en varias actividades.

Ejemplo 1.1

Sea una columna sometida a una carga axial de 40 toneladas correspondiente al peso propio de la estructura que soporta, con coeficiente de variación estimado en un 10 %, más una sobrecarga de 60 toneladas con coeficiente de variación estimado en un 25%. La columna se ha diseñado de manera que su resistencia última de compresión es el triple de la carga de servicio total. Asumiendo que el coeficiente de variación de la resistencia es de un 15 %, y que todas las variables son gaussianas y estadísticamente independientes, calcular la probabilidad de colapso de la columna utilizando la formulación conocida por margen de seguridad.

Solución: La carga total S = PP + SC es también gaussiana porque PP y SC lo son, por lo tanto:

La resistencia última nominal es μ_R = 300 toneladas con σ_R = (0,15)(300) = 45 toneladas como desviación estándar. La probabilidad de falla según la Ec. 1-21 es:

Ejemplo 1.2

Una viga de acero simplemente apoyada de 9 metros de luz (perfil IN 35x53) soporta una carga uniformemente distribuida de intensidad media = 2 ton/m y coeficiente de variación Ω_q = 15 %. El material de la viga tiene una tensión de fluencia media _y = 4000 kg/cm² y COV Ωσ_y = 20 %. Suponiendo que q y σ_y tienen distribución log-normal, determinar:

a) La probabilidad de falla, definida la falla como el evento de alcanzar o exceder la resistencia límite de fluencia.

b) La tensión admisible de flexión o el factor de seguridad central requerido para limitar a 1/1000 la probabilidad de falla.

Solución: a) El valor medio del momento flector máximo es:

Como q es log-normal, M también lo es. La tensión máxima de flexión en una sección simétrica está dada por:

en que W es el módulo resistente de la sección, variable supuesta determinística. Por ser M log-normal, σ es log-normal. El perfil dado tiene W = 883 cm³, luego:

y:

Definiendo la función rendimiento conforme a la formulación “factor de seguridad”:

que tiene distribución normal (ver Ec. 1-25); la probabilidad buscada es:

Utilizando las Ecs. 1-27 y 1-28 se obtienen la media μ_z y la desviación standard σz:

Entonces, según la Ec. 1-29, y de la Tabla P.1 se obtiene:

b) Se desea p_F = 0,001, o sea, usando ahora la Ec. 1-30 se obtiene:

El cuociente del primer miembro de la ecuación anterior corresponde al factor de seguridad central, luego en este caso:

y la tensión admisible correspondiente a este factor de seguridad es:

1.1.3 Criterios de Diseño para Seguridad

Dado el estado del arte actual, las normas de diseño están planteadas en términos determinísticos. Independientemente de que ciertos modelos probabilísticos han sido utilizados para definir la intensidad de las cargas, el enfoque es deterministico porque no se requiere hacer un análisis de confiabilidad estructural, es decir, evaluar la seguridad de un diseño (elemento o estructura completa) en términos de probabilidades. La situación actual resulta en diseños que no son consistentes con un nivel uniforme de seguridad, en el sentido que ciertos elementos pueden resultar diseñados en condiciones considerablemente más conservadoras, o inversamente más inseguras, que otros. Solamente un enfoque global probabilístico, tanto en los métodos de análisis con variables aleatorias, como en la consideración de las resistencias (incluyendo las incertidumbres implícitas en las propiedades de los materiales, diseño y construcción), puede conducir a un enfoque racional global. Este tipo de enfoque es por el momento parte del futuro.

En términos generales puede decirse que las normas enfocan el problema de seguridad según dos filosofías o criterios diferentes de diseño: el método de diseño elástico o de tensiones admisibles y el método de diseño a la rotura o de capacidad última.

a) Diseño Elástico o de Tensiones Admisibles

Este criterio establece que para las cargas de trabajo ningún punto de la estructura puede tener una tensión superior a un valor admisible” que garantice que la estructura se mantenga en el rango elástico.

Para el diseño, se considera separadamente cada elemento estructural, y en él las secciones más críticas, es decir, aquéllas sometidas a los esfuerzos internos mayores. Sea una sección sometida al esfuerzo S*, el que se ha obtenido combinando las diversas cargas que actúan sobre la estructura, que puede interpretarse de magnitud del orden del valor medio de la carga máxima durante la vida útil de la estructura (Fig. 1.5), y sea R* la resistencia del material correspondiente al esfuerzo considerado; el criterio de diseño establece que debe cumplirse:

en que FS es el factor de seguridad convencional, y R* debe interpretarse como un valor característico de la resistencia, es decir, uno de alta probabilidad de ser satisfecho (Fig. 1.5). Típicamente, el criterio de diseño de tensiones admisibles no se aplica en términos de “esfuerzos internos” sino a nivel de "tensiones internas” en una sección. Por ejemplo, si se considera una viga de hormigón armado construida con hormigón de resistencia f_c’ y acero de refuerzo con tensión de fluencia σ_y, debido al esfuerzo de flexión S* en una sección de la viga hay una tensión de compresión máxima en el hormigón σ_c^max y una tensión de tracción en el acero σ_s, la condición de diseño definida por la Ec. 1-31 se expresa en términos de tensiones como:

en que los factores de seguridad de 3 y 1,8 respectivamente son valores típicos en normas de diseño de hormigón armado que usan el criterio de tensiones admisibles (NCh429.Of57). Como puede apreciarse en las dos últimas ecuaciones, las tensiones máximas de los materiales σ_c^max y σ_s se encontrarán en el rango de comportamiento elástico de ambos, de allí el nombre de criterio de diseño elástico.

Típicamente en diseño elástico la combinación de cargas antes referida corresponde simplemente a la suma de los distintos tipos de cargas S_i, es decir:

Figura 1.5 Representación esquemática de las FDP de la solicitación Sy de la resistencia Ryde los valores determinísticos de estas variables según el criterio de diseño utilizado

Por ejemplo, si se tratara del momento flector en una viga para las cargas de peso propio y sobrecarga:

en que M_pp y M_SC son los momentos flectores en la sección crítica debido a cargas de peso propio y sobrecargas de uso respectivamente. Naturalmente hay combinaciones de carga más complejas en las que intervienen cargas eventuales como viento, nieve o sismo; por cierto, dependiendo de cada caso, se usarán factores de seguridad distintos (Ec. 1-31) como se verá más adelante.

El criterio de diseño elástico puede llamarse “clásico", porque en base a él se han diseñado muchas estructuras en el pasado. Posiblemente seguirá siendo utilizado por algún tiempo, aunque la tendencia moderna es que los criterios de diseño último lo vayan desplazando. La principal ventaja del método clásico es quizás su simplicidad, por el hecho de utilizar directamente fórmulas de cálculo de tensiones de la mecánica de sólidos elemental. Su principal debilidad, sin embargo, radica en el hecho que las tensiones de trabajo en el rango elástico no son indicativas del estado límite de la sección misma o del elemento. En efecto, que un material alcance su capacidad límite en un punto no implica necesariamente la falla de la sección: por ejemplo, en una viga metálica en flexión pueden fluir las fibras extremas de la sección sin que ello implique que se ha alcanzado su capacidad máxima, o en una viga de hormigón armado el acero puede fluir sin que ello signifique la rotura de la sección. En consecuencia, el factor de seguridad utilizado en este criterio de diseño (Ecs. 1-32 y 1-33 por ejemplo) no es equivalente al cuociente entre la capacidad última de la sección y la carga de trabajo.

b) Diseño a la Rotura o de Capacidad Ultima

Lo esencial en este criterio es fijarse en la capacidad última de la sección como un todo y no en las tensiones en los materiales individuales como en el criterio de diseño elástico. Para ello, las cargas deben llevarse a una condición extrema o última, es decir, a un nivel de carga de baja probabilidad de ser excedida durante la vida útil de la estructura. Se utilizan entonces factores de mayoración α_i > 1 que se aplican sobre los tipos de carga S_i que actúan sobre la estructura, de modo que el esfuerzo último S** se calcula como:

Por ejemplo, el código ACI usa los factores de mayoración 1,4 y 1,7 para las cargas de peso propio y sobrecarga respectivamente, de modo que el momento flector último en una sección, para la combinación de estas cargas se calcula como:

en que Mpp y Msc son los momentos flectores antes definidos.

Notar que en el criterio de diseño elástico o de tensiones admisibles no se usan factores de mayoración, es decir α_i ≡ 1, lo que marca la diferencia entre S* y S** dados por las Ecs. 1-34 y 1-35 (Fig. 1.5).

El uso de factores de mayoración diferentes según el tipo de carga tiene un fundamento probabilístico. En efecto, estos factores, que son parte del factor de seguridad, deben estar asociados al grado de incertidumbre en la variable considerada, por ello el factor de mayoración de las sobrecargas de uso es mayor que aquél de las cargas de peso propio, porque la incertidumbre implícita en las sobrecargas es mayor.

La resistencia última de la sección R** se estima en base a la resistencia última nominal R_n afectada por un factor de minoración ϕ < 1, de modo que:

La resistencia última nominal R_n corresponde a aquella calculada mediante un modelo mecánico del comportamiento del elemento, utilizando valores nominales de la resistencia del material (nominal se refiere a la resistencia determinística especificada como calidad del material, por ejemplo, las calidades nominales específicas f_c’ o σ_y). Se espera, por tanto, que la capacidad última real exceda R_n con alta probabilidad, de modo que o es un factor de seguridad adicional que se asocia a la incertidumbre del modelo mecánico en que se basa la determinación de R_n; por ejemplo, en el caso de elementos de hormigón armado en flexión se usa ϕ = 0,9 porque el modelo de resistencia flexural es muy confiable, como se ha comprobado experimentalmente, mientras que por la mayor dispersión de resultados en el caso de elementos en compresión se usa ϕ = 0,7. Por otra parte, R_n no necesariamente coincide con R* (Ec. 1-31), ya que la capacidad última de la sección no se alcanza exactamente cuando el material alcanza su resistencia característica nominal en algún punto (Fig. 1.5).

El criterio de diseño por capacidad última se expresa simbólicamente como la condición:

En conclusión, en el criterio de diseño último el factor de seguridad se incorpora a través de los factores de mayoración α_i y del factor de minoración ϕ, permitiendo discriminar entre variables y modelos con diferente nivel de incertidumbre.

Cabe destacar que cuando se habla de diseño último se refiere al diseño a nivel de la sección de un elemento. No debe confundirse con el método de análisis plástico, que permite justamente evaluar cuál es el mecanismo y carga de falla o colapso (parcial o total) de una estructura; este método permite determinar el factor de seguridad global entendido como el cuociente entre la carga de colapso y la carga de trabajo (Sección 3.3.3). A su vez, debe tenerse presente que cuando se alcanza la capacidad última de una sección no significa que falle o colapse el elemento en cuestión; por ejemplo, en una viga de acero se puede alcanzar su capacidad máxima en flexión, o momento plástico, en una sección, y la viga puede seguir recibiendo más carga por su capacidad para redistribuir esfuerzos. En conclusión, deben reconocerse diferentes niveles o tipos de "estados límite” en el comportamiento de una estructura como los que aquí se han referido: alcanzar la tensión máxima o característica de un material en una sección de un elemento, alcanzar la capacidad última de una sección de un elemento, alcanzar la carga de colapso de un elemento, alcanzar la carga de colapso de la estructura completa.

Por otra parte, cabe también señalar que es usual hoy en día diseñar al límite las secciones de los elementos de una estructura, pero la obtención de los esfuerzos internos se realiza por medio de un análisis elástico de la estructura, es decir, ignorando el efecto benéfico de la redistribución de esfuerzos internos que tiene lugar debido al comportamiento inelástico. Ciertamente es una inconsistencia, sin embargo, se acepta porque los métodos de análisis en el rango de comportamiento inelástico no se encuentran aún suficientemente desarrollados para su uso rutinario.

1.1.4 Normas de Cálculo y Diseño de Estructuras

En el ejercicio profesional es usual seguir las normas. Las normas establecen los requisitos mínimos que deben cumplir las estructuras y provienen de las fuentes siguientes:

• Estudios teóricos: Conjunto de disposiciones o resultados obtenidos sobre la base de una teoría (modelo matemático) del fenómeno físico en cuestión, y que han sido verificados con resultados experimentales. Es importante conocer las hipótesis en que se basan estos estudios teóricos, para poder extrapolarlos a otras condiciones con un grado de seguridad aceptable.

• Evidencias experimentales: Resultados empíricos para estudiar fenómenos muy complicados para ser modelados y analizados teóricamente. Estos estudios conducen a fórmulas que deben usarse con cautela pues no deben extrapolarse a situaciones que sobrepasan el marco de validez de los resultados experimentales.

En este texto se presentarán varios casos de fórmulas empíricas, como por ejemplo aquellas utilizadas para evaluar la resistencia al esfuerzo de corte del hormigón en función de su resistencia a la compresión. Similarmente ocurre con otras propiedades del hormigón como su módulo de elasticidad, el que puede correlacionarse con su peso específico y resistencia a la compresión mediante la formula empírica:

en que w es el peso específico del hormigón, que debe utilizarse en unidades de kg/m³ y f_c’ es la resistencia a la compresión, que debe usarse en kg/cm², resultando E_c en kg/cm². Esta condición para las unidades es típica de relaciones empíricas, ya que, como puede apreciarse en la Ec. 1-38, las unidades no son consistentes entre el primer y el segundo miembro. En efecto, si se cambian las unidades, la constante 0,1365 cambia; si se usan unidades inglesas (código ACI 318-95) la fórmula se expresa como:

con w en lb/pie³ y f_c’ en lb/pulg². Como ejercicio se propone comprobar que las Ecs. 1-38 y 1-39 son equivalentes.

Estas fórmulas, como otras basadas en evidencia empírica se derivan por medio de análisis de regresión (no-lineal en el caso de las Ecs. 1-38 y 1-39) de los resultados experimentales. Claramente los coeficientes de los parámetros w y f_c’ en las ecuaciones anteriores no provienen de la aplicación de un principio físico.

• Práctica profesional: Gran parte del conocimiento en ingeniería se debe a lo que se ha hecho en el pasado con buenos resultados. Esto representa el “arte” de la profesión comparada con la ciencia incorporada por los estudios teóricos y las evidencias experimentales. En este sentido, la experiencia a nivel local es particularmente valiosa, ya que conjuga parámetros autóctonos como las características de los materiales, la calidad de la mano de obra, y el grado de inspección de la construcción, entre otros, los que deben tenerse presente al utilizar o adaptar normas extranjeras basadas en otras realidades.

Los códigos son una ayuda para el ingeniero. Sus disposiciones no se pueden seguir ciegamente, sino que es preciso entender el porqué de ellas para poder aplicarlas correctamente, ya que usualmente se han derivado para las situaciones más comunes que no son extrapolables a cualquier caso. A su vez, como se ha mencionado, los códigos se refieren a los requisitos mínimos que deben cumplirse, quedando el ingeniero estructural llamado a utilizar su criterio para discernir cuando dichas disposiciones pudiesen ser insuficientes. Este curso tratará de entregar algunos de estos “porqué”, es decir, los conceptos fundamentales, los cuales deberán ser complementados posteriormente en los cursos de diseño específico.

Los códigos se renuevan a medida que el conocimiento avanza. Sin embargo, es necesario señalar que existen muchas áreas de la ingeniería estructural donde no existen códigos, y el ingeniero debe apelar sólo a sus conocimientos de teoría básica para resolver los problemas que se presenten. Por ello, el ingeniero estructural hace uso frecuente de la literatura técnica especializada, donde se presentan soluciones más sofisticadas de problemas resueltos hoy en forma aproximada.

Ya se ha mencionado antes la norma de diseño de elementos estructurales para edificios de hormigón armado. Similarmente existen normas para otros materiales: la norma AISC para el diseño de elementos de acero, la norma AASHTO para el diseño de puentes, las normas chilenas de diseño de albañilerías, NCh1928.Of93 para albañilería armada y NCh2123.Of97 para albañilería confinada, la norma chilena NCh1198.Of91 de cálculo de construcciones de madera, la norma chilena NCh433.Of96 para el diseño sísmico de edificios, y otras que se mencionarán oportunamente.

1.1.5 Normas de Cargas

Además de las normas de diseño para distintos materiales existen normas de cargas para solicitaciones típicas a utilizarse en el diseño de estructuras en general. Se mencionan en esta sección tres normas chilenas: la NCh1537.Of86 que especifica las cargas permanentes y sobrecargas de uso para el diseño de edificios, la NCh431.Of77 que especifica las sobrecargas de nieve, y la NCh432.0f71 que especifica las acciones del viento sobre las construcciones. Por cierto estas normas pueden complementarse con normas extranjeras para cubrir aspectos no considerados en ellas, aunque teniendo la precaución de utilizarlas con criterio para adaptarlas a las condiciones naturales nacionales.

De particular relevancia por nuestra condición de país sísmico es la norma de diseño NCh433.Of96 antes mencionada, la que incluye las solicitaciones a utilizarse para el diseño sísmico de edificios, que se basan en las características propias del fenómeno tectónico que da origen a los terremotos en Chile y a la información de sismicidad histórica en el país en términos de la frecuencia de ocurrencia de los eventos, su magnitud y su distribución espacial.

El tema del diseño sísmico escapa al objetivo de este curso introductorio por lo que prácticamente no haremos mayores referencias a él, salvo para destacar, en algunos casos, propiedades de los materiales que son beneficiosas desde el punto de vista del comportamiento de las estructuras frente a un terremoto. Sólo para dar un indicio de la problemática de diseño sísmico, señalemos que la situación real a que se ve afectada una estructura durante un terremoto puede evaluarse analíticamente considerando su respuesta frente al movimiento de su base representado por la aceleración del suelo, que es una función del tiempo, como se ve en la Fig. 1.6.a. Para el diseño de estructuras se usan cargas horizontales laterales ficticias que pretenden representar el efecto del movimiento real; la norma NCh433.Of96 especifica tales cargas como una distribución estática equivalente como la indicada en la Fig. 1.6.b o una combinación de tales distribuciones que dependen de las propiedades dinámicas de la estructura misma.

a) Norma NCh1537.0f86: Cargas permanentes y sobrecargas de uso para el diseño estructural de edificios

Esta norma establece las bases para determinar las cargas permanentes y los valores mínimos de las sobrecargas de uso normales que deben considerarse en el diseño de edificios. Las cargas permanentes son aquellas cuya variación en el tiempo es despreciable, por ejemplo, el peso de los elementos estructurales mismos, instalaciones, terminaciones, estucos y pavimentos, rellenos, empujes de tierra y líquidos, etc. Exceptuando los empujes mencionados, las cargas permanentes suelen también denominarse cargas muertas e incluirse en el llamado peso propio. La norma proporciona una serie de datos sobre pesos específicos de materiales varios almacenables, materiales de construcción, metales, líquidos, maderas, etc.

Figura 1.6 Solicitaciones sísmicas en edificios

Una lista de sobrecargas para pisos de edificios conforme a la NCh1537.Of86 se presenta en la Tabla V.1 (Anexo V). Algunos ejemplos se presentaron antes también en la Tabla 1.1 de la Sección 1.1.2. Como se señaló en esa sección, tales cargas se aproximan al valor medio de la sobrecarga máxima en 50 años. Esto último no es contradictorio con el carácter de “valor característico" de las sobrecargas de uso especificadas en ellas. En efecto, la norma indica que al valor característico corresponde al percentil 95 de la distribución de medidas de sobrecargas, es decir, un valor excedido por sólo un 5 % de la población de medidas. Estas mediciones corresponden a lo que se denomina sobrecarga en un instante arbitrario obtenidas en mediciones directas de la carga presente en edificios, especialmente de oficinas en un instante (Ellingwood y Culver, 1977). Estas mediciones incluyen los efectos del mobiliario y cargas normales de personas, pero no reflejan eventos de carga extraordinarios como aglomeración de personas, acumulación de mobiliario durante una remodelación, o cambios en el uso de la estructura, entre otros efectos.

La norma de cargas incorpora dos conceptos que conviene presentar de inmediato: el de área tributaria, y el de coeficiente de reducción de las sobrecargas de uso. Ambos se utilizan para determinar las cargas que actúan en los elementos de una estructura, como por ejemplo en las vigas, muros y columnas del entrepiso de un edificio de hormigón armado como el ilustrado en la Fig. 1.7.

Figura 1.7 Entrepiso de edificio de hormigón armado

Se entiende por área tributaria, el área de planta total, que multiplicada por la carga uniformemente distribuida correspondiente, define la carga que se considera actuando sobre un elemento. Las áreas tributarias se determinan en base a supuestos o reglas muy simplificatorias, de modo que las cargas calculadas y sus distribuciones no son necesariamente las reales. Por ello, tales reglas deben utilizarse juiciosamente, limitando su aplicación a aquellos casos en que no se esperan diferencias substanciales con un procedimiento más riguroso.

La Fig. 1.8.a muestra el área tributaria sobre la viga AB en un esquema en planta de la estructura de la Fig. 1.7; el área tributaria se ha determinado sobre la base de ángulos de 45o y líneas a distancia l_y/2 del eje de la viga. Estos supuestos resultan en una buena aproximación de la realidad si las condiciones de borde de la losa son iguales en todos ellos, y si las vigas tienen rigideces y condiciones de continuidad similares en ambos sentidos. Sin querer entrar en mayor detalle en este tema de análisis, cabe señalar, por ejemplo, que si las vigas CD y EF fueran vigas de borde de la planta, la losa estaría en condición de “simple apoyo” sobre ellas, mientras que su continuidad sobre la viga AB sería equivalente a una condición de “empotramiento” en ese borde, resultando ello en una carga mayor sobre la viga AB que la estimada en base al área tributaria antes señalada. Por cierto, las cargas correctas sobre las vigas pueden obtenerse de un análisis apropiado de las losas.

Por otra parte, conforme al área tributaria que muestra la Fig. 1.8.a, la carga sobre la viga no es uniformemente distribuida, sin embargo, en la práctica puede utilizarse tal aproximación cuidando de amplificar los momentos flectores en un 20 % (Ejemplo 1.3). Así, si el área tributaria es A_tr, q_v el peso propio de la viga por unidad de longitud, q_pp el peso propio por unidad de superficie de la losa más las terminaciones de piso, cielo y particiones (carga permanente total), y q_sc la sobrecarga de uso por unidad de superficie del piso, puede suponerse para el diseño de la viga que sobre ella actúa una carga uniforme:

Figura 1.8 Ejemplos de cálculo de áreas tributarias: (a) Sobre viga AB, (b) Sobre columna A, (C) Sobre viga CE si no hubiera columna en A

en que el factor 1,2 debe omitirse para el cálculo del esfuerzo de corte. Por otra parte, en el caso de diseño último hay que separar las cargas de peso propio y sobrecarga, ya que quedarán afectas a factores de mayoración distintos.

La Fig. 1.8.b muestra el área tributaria l_xl_y del piso considerado sobre la columna A. Para n pisos iguales sobre el piso considerado, el área tributaria sobre la columna es:

suponiendo, para simplificar, que para el techo del edificio rigen cargas iguales que para los pisos. Sin embargo, dada la baja probabilidad que la sobrecarga de uso total esté presente simultáneamente en toda esta área tributaria, la norma NCh1537.Of86 permite usar un factor de reducción C_a, de modo que la carga axial de diseño sobre la columna del entrepiso en cuestión es:

en que Q es el peso propio de la columna, que es el peso correspondiente de las vigas y los demás términos se han definido antes. El factor de reducción C_a se aplica sólo si A_tr > 15 m² y se evalúa con la expresión:

Sin embargo, C_a no debe ser inferior a 0,6 para elementos horizontales y para elementos verticales que reciben carga de un piso solamente, ni inferior a 0,4 para otros elementos verticales, y en ningún caso inferior al valor determinado por:

b) Norma NCh431.0f77: Sobrecarga de nieve

La nieve, en la mayor parte del país, es una acción de tipo eventual, es decir, ocurre sólo algunas veces durante la vida útil de la obra que se está diseñando. Por el contrario, la norma establece que en zonas cordilleranas y en el extremo sur del territorio, donde nieva todos o casi todos los años, la carga de nieve debe considerarse de ocurrencia normal en vez de eventual.

La carga de nieve depende esencialmente de la inclinación del techo. Si esta inclinación es igual o menor que 30° respecto de la horizontal, la carga básica de nieve se determina de una tabla que depende de la altura del lugar y de su latitud geográfica. Los valores varían entre 0 (por ejemplo, altura menor que 2000 m y latitud geográfica menor que 26°) y 700 kg/m² (altura sobre 3000 m y latitud geográfica mayor que 32°). Si la inclinación del techo es mayor que 30° se aplica un factor de reducción sobre la carga básica de nieve. La norma también establece que si la presión básica determinada para el lugar es mayor que 25 kg/m², la carga de nieve debe considerarse de ocurrencia normal.

c) Norma NCh432.Of71: Cálculo de la acción del viento sobre las construcciones

Esta norma, al igual que la de nieve, se refiere a una acción de tipo eventual, la cual depende de una serie de factores que se analizan a continuación. Para comenzar, se supone que la acción del viento es perpendicular a la superficie sobre la cual actúa, y que ella puede ser de presión sobre la superficie (signo positivo) o de succión (signo negativo). Ambas se expresan en kilogramos-fuerza por unidad de superficie, y dependen de la presión básica del viento y de la forma total del cuerpo de la construcción (no sólo de la forma del costado que enfrenta el viento).

La presión básica del viento q depende, a su vez, de la altura de la construcción sobre el nivel del terreno y de la ubicación de la construcción; a este respecto se distingue si la construcción se encuentra en una ciudad, o en campo abierto o frente al mar. Valores típicos de la presión básica para este último caso son q = 70 kg/m² para una altura de 4 m sobre el suelo, q = 126 kg/m² para una altura de 20 m, y q = 145 kg/m² para una altura de 40 m.

En cuanto a la influencia de la forma del cuerpo, cabe destacar que la norma establece en primer lugar la manera de calcular la superficie sobre la que se hará incidir la acción del viento, dependiendo si esta superficie es plana o curva, de la yuxtaposición de varias superficies y de las perforaciones que pudiera tener la superficie. Se considera a continuación un factor de forma que depende de los factores anteriores y del hecho que la construcción sea abierta o cerrada. A modo de ejemplo ilustrativo, en la Fig. 1.9 se muestran los factores de forma para dos tipos muy usuales de galpones cerrados de paredes planas.

Figura 1.9 Acción del viento para dos formas de galpones cerrados

d) Combinaciones de cargas

Una vez determinadas las reacciones y esfuerzos internos debido a cada una de las solicitaciones detalladas anteriormente, debe estimarse la forma en que se combinan dichas solicitaciones para obtener el valor de diseño. Debe recordarse que las cargas correspondientes a las diversas solicitaciones están asociadas a distintas probabilidades de ocurrencia y además han sido estimadas con diferentes niveles de confianza; por ejemplo, es usual que las cargas asociadas a las sobrecargas, nieve y viento tengan una baja probabilidad de ser excedidas durante el período de vida útil de la estructura; en cambio, las solicitaciones sísmicas estipuladas en la norma NCh433.Of96 tienen una mayor probabilidad de ser excedidas al menos una vez durante la vida útil de la obra.

Los aspectos anteriores son esenciales para comprender los estados de combinación de cargas que deben considerarse en el proceso de diseño, y se reflejan con nitidez en los estados asociados al diseño a la rotura o de capacidad última. Estos estados se estipulan normalmente en las normas de diseño relativo a cada material estructural, aunque hoy en día existe una tendencia a uniformarlos para cada tipo o criterio de diseño (Sección 1.1.3). Aunque los estados de combinaciones varían según la norma y el país, es usual considerar como mínimo la acción simultánea del peso propio y las sobrecargas, y además la combinación de los anteriores con alguna acción de tipo eventual como el viento, el sismo o la nieve; generalmente no se diseña para la acción simultánea de dos solicitaciones de naturaleza eventual.

A continuación se indican algunos ejemplos de estados de combinaciones de cargas que incluyen el peso propio (D), las sobrecargas (L), las cargas de viento (W) y las cargas sísmicas (E), tanto para el diseño elástico como para el diseño a la rotura. Las letras D, L, W y E corresponden a la primera letra de la palabra en inglés que las identifica: dead loads, live loads, wind loads y earthquake loads, respectivamente.

Combinaciones para diseño elástico: si A representa el estado de combinación de cargas, los estados siguientes son típicos de varias normas que usan este criterio de diseño:

En los últimos tres estados, que corresponden a combinaciones que incluyen una solicitación de tipo eventual, es usual que las normas permitan un aumento de 33 % en las tensiones admisibles de diseño.

Combinaciones para diseño a la rotura: se indican a continuación las combinaciones equivalentes a las anteriores contempladas en la norma norteamericana ACI 318-99 para estructuras de hormigón armado, donde U representa el estado de combinación de cargas para diseño último:

Ejemplo 1.3

Comparar los valores de los momentos flectores máximos en una viga para una misma carga vertical total, pero distribuida en forma diferente. En las vigas que muestra la figura la carga total es Q = (1-a)qL. Para las comparaciones usar a = 1/4 y a = 1/2 (carga triangular).

Figura E1.3

Solución: a) Para la viga simplemente apoyada el momento máximo al centro de la viga es:

Para a= 1/4 se obtiene M=0,1146qL² y Q=3qL/4. Para esta última carga aplicada en forma uniforme (q’=Q/L = 3q/4) el momento flector máximo es M’ = q’L²/8 = 0,0938qL², es decir, si en vez del caso real se supone que la carga es uniforme, el momento máximo se subestima en un 18 %. Si la carga es triangular M=qL²/12 y Q=qL/2. Si esta carga se distribuye uniformemente (q' = 0,59), el momento flector máximo es M' =qL²/16; en este caso suponer la carga uniforme en vez de triangular subestimaría el momento máximo en un 25 %.

b) Para la viga doblemente empotrada el momento en el empotramiento es:

Para a = 1/4 se obtiene M=-0,0742qL². Si la carga se distribuye en forma uniforme M = -0,0625qL². La diferencia en este caso es del 16 %. Para la carga triangular M = -0,052. Si la carga se reparte uniformemente M = -0,042, subestimándose el momento en un 19 %.

1.2 PRINCIPIOS DE MECANICA ESTRUCTURAL

1.2.1 El Método de la Resistencia de Materiales

Una parte fundamental del diseño es el “análisis de tensiones” que comprende la determinación de las tensiones en la sección de elementos sometidos a distintos tipos de solicitación. Este tipo de análisis, que se realizará con mucha frecuencia a lo largo del curso es típicamente uno de naturaleza estáticamente indeterminada, es decir, las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para resolverlo y es necesario recurrir a herramientas adicionales. El método de la Resistencia de Materiales usa tres herramientas básicas para resolver cualquier problema de mecánica estructural: equilibrio, geometría, y relaciones tensión-deformación. Estas herramientas, analizadas en detalle en el curso de Mecánica de Sólidos, se resumen a continuación:

• Condiciones de equilibrio: para cualquier cuerpo en equilibrio y para cualquier parte de este cuerpo debe cumplirse:

Por ejemplo, si se aplica este principio al equilibrio que debe existir entre los esfuerzos internos y las tensiones resultantes en una sección de un elemento, se puede escribir en componentes (Fig. 1.10):

Figura 1.10 Sección de un elemento estructural

En estas fuerzas y momentos intervienen la resultante de las acciones en la sección (esfuerzos internos M_y y M_z de flexión, M_x = T de torsión, V_y y V_z de corte, y F_x = P esfuerzo normal o axial) y las tensiones en la sección. Simplifiquemos el problema y supongamos que las cargas actúan simétricamente con respecto al plano XY. Si además se considera una sección simétrica se tiene:

luego:

Si se grafican las intensidades σ_x y τ_xy perpendicularmente al plano de la sección, tanto P como V_y son equivalentes al volumen encerrado por la superficie de tensiones y la cara de la sección.

• Compatibilidad geométrica: ésta indica que el conjunto de desplazamientos debe satisfacer la compatibilidad en los vínculos externos y la continuidad interna de la estructura en estudio.

• Relaciones tensión-deformación: aquí es donde se manifiesta el material de que está hecha la estructura. En el método de la resistencia de materiales estas relaciones se expresan a través de la curva tensión-deformación, la cual se obtiene usualmente para solicitación de tracción o compresión puras. En general se expresa como:

Los materiales estructurales tienen un rango en que la tensión σ es proporcional a la deformación unitaria ε para valores moderados de la tensión. Dentro de este rango se puede escribir σ = Eε, llamada usualmente Ley de Hooke, en que E es una propiedad del material denominada módulo de elasticidad. Esta relación es la base de cualquier teoría elástica. Si se desea incluir el comportamiento inelástico, es necesario considerar toda la curva, más allá de su límite elástico, como se verá más adelante.

A continuación se resolverán dos ejemplos sencillos para hacer hincapié en la metodología de solución, destacando que problemas de aparente naturaleza muy distinta, se resuelven utilizando apropiadamente las mismas herramientas básicas antes descritas.

Ejemplo 1.4

Determinar los esfuerzos en los alambres BD y CE de la estructura estáticamente indeterminada de la figura. Desarrollar una solución aproximada suponiendo que la viga AC es infinitamente rígida. Los alambres BD y CE tienen sección de área A y módulo de elasticidad E.

Figura E1.4

Solución: Equilibrio. Considérese el diagrama de cuerpo libre de la barra AC. Sean T_BD y T_CE las fuerzas en los alambres, que se supone están traccionados:

Es claro que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para resolver el problema pues hay 3 incógnitas y 2 ecuaciones.

Compatibilidad geométrica. Debido a que la barra AC es rígida:

lo anterior implica dos nuevas incógnitas y una sola ecuación adicional.

Relaciones tensión-deformación. Aplicando la ley de Hooke a ambos alambres:

Después de esta etapa se completa el número de ecuaciones necesarias (5) para igual número de incógnitas. Luego, resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen:

Ejemplo 1.5

Determinar las tensiones debidas a flexión en una sección con un plano de simetría, cargada en dicho plano.

Solución: Considérese una viga cargada en la forma indicada en la Fig. E1.5.a y una sección en el tramo central que está sometida a un momento flector constante (Fig. E1.5.b). Las seis ecuaciones de equilibrio son:

Figura E1.5

que se satisface automáticamente por la simetría respecto al plano XY, ya que el momento de σ_x dA en z+, es igual al momento de σ_x dA en z-.

Las ecuaciones relevantes son la i y la vi que corresponden a las condiciones que debe satisfacer la distribución de tensiones σ_x, buscada. Notar que este problema es esencialmente hiperestático, ya que se podría pensar que tiene infinitas incógnitas: el valor de σ_x en los infinitos puntos de la sección.

Geometría. La condición de que las secciones planas permanecen planas en la flexión permite reducir la hiperestaticidad del problema a un grado. En efecto, considerando que dos secciones vecinas sólo giran relativamente en Δ_θ (Fig. E1.5.c), se puede determinar la deformación unitaria de una fibra cualquiera de la sección (IJ) a distancia “y” del eje neutro:

es decir, la única incógnita del problema es la deformación representada por ρ.

Relaciones tensión - deformación. En el rango de comportamiento elástico del material se cumple:

que bajo el supuesto σ_y =σ_z = 0 implica:

luego:

que reemplazado en la Ec.i da:

de donde se concluye que la superficie neutra pasa por el centro de gravedad de la sección. A su vez, reemplazando σ_x en la Ec. vi se tiene:

Definiendo:

propiedad de la sección llamada momento de inercia, y sustituyendo en la expresión anterior para M, se obtiene:

y finalmente:

Similarmente al Ejemplo 1.5 se puede derivar la distribución de tensiones para el caso de flexión en vigas asimétricas sometidas a un momento en el plano YZ (Fig. 1.11). Se obtiene (Crandall y Dahl, 1972):

Figura 1.11 Flexión en vigas con sección asimétrica

En los dos ejemplos anteriores se utilizaron las tres herramientas básicas de la mecánica estructural, que sirven para resolver cualquier problema:

• Equilibrio.

• Compatibilidad geométrica.

• Relaciones tensión - deformación.

La finalidad de los problemas era distinta. En el Ejemplo 1.4 se necesitaba calcular esfuerzos redundantes, y en el Ejemplo 1.5 se hizo un análisis de tensiones. En ambos casos se utilizó la misma metodología.

1.2.2 Relaciones Tensión-Deformación de los Materiales Estructurales

1.2.2.1 Acero Estructural

El ensayo de tracción uniaxial se realiza sobre una muestra de acero o probeta que se prepara dejando una zona central de sección A perfectamente constante mientras los extremos se ensanchan para permitir tomarla con las mordazas de la máquina que ejercerá la fuerza de tracción. La sección varía gradualmente con el propósito que así también lo hagan las tensiones de tracción, de modo que en la zona central éstas sean uniformes. A su vez, en la zona central se marcan dos líneas a distancia L conocida entre las cuales se medirá la elongación de la barra mediante deformómetro mecánico o un instrumento electrónico muy sensible llamado LVDT (Low Voltage-Displacement Transducer).

Figura 1.12 Esquema del ensayo de tracción uniaxial

El ensayo consiste en aplicar una deformación axial a la probeta de modo de aumentar P desde cero hasta la ruptura de la barra, leyendo para cada valor de P la elongación d y calculando la tensión σ = P/A, en que A es el área inicial de la sección, y la deformación unitaria ε = δ/L, las que se grafican resultando un gráfico como el siguiente:

Figura 1.13 Relación tensión-deformación del acero estructural

En este gráfico se distinguen tres fases de comportamiento del acero estructural:

• El rango llamado lineal-elástico en que se cumple la ley de Hooke, esto es, tensiones y deformaciones unitarias son directamente proporcionales, y las deformaciones son recuperables, es decir, desaparecen una vez removida la carga.

• La zona de fluencia. Una vez alcanzado el límite elástico o punto nominal de fluencia caracterizado por la tension σ_y, o tensión de fluencia, y la deformación unitaria de fluencia ε_y, la probeta no es capaz de tomar más carga y se deforma plásticamente bajo tensión constante σ_y. Dado que el módulo de elasticidad de los aceros estructurales es aproximadamente constante, el valor de ε_y depende de la tensión nominal de fluencia σ_y, es decir, de la calidad del material. La elongación irrestricta de la probeta finalmente se detiene para una deformación unitaria ε_e del orden del 1 % a 2 %, típicamente igual a 10 a 20 veces ε_y.

• Las zonas de endurecimiento y estricción. Al detenerse la deformación bajo carga constante en ε_e, es necesario aumentar la carga para aumentar la deformación, o sea, el acero se pone repentinamente más rígido después de haber fluido plásticamente; de ahí el nombre de zona de endurecimiento de este rango del comportamiento. En todo caso, la barra no alcanza jamás la rigidez inicial proporcional a E sino un porcentaje no mayor del 10 a 20 % de E. A medida que se aumenta la carga la deformación progresa hasta llegar a la resistencia de tracción σ_r con deformación unitaria ε_r. En los aceros estructurales ε_r, puede llegar a ser 200 veces ε_y, lo que denota una propiedad fundamental de este material, su ductilidad, que se define como:

La ductilidad es una propiedad fundamental del acero, de gran importancia en relación con el modo de falla de los elementos estructurales, tanto metálicos como de hormigón armado. En efecto, bajo condiciones que eliminan la posibilidad de fallas por inestabilidad en perfiles metálicos, o fractura del hormigón en elementos de hormigón armado, el elemento estructural llega a su capacidad última después de grandes deformaciones plásticas, tipo de falla diametralmente opuesto al de un material frágil, como el vidrio o la loza, que se caracterizan por una falla abrupta o explosiva pues no presentan comportamiento plástico.

Esta propiedad es de gran relevancia para el diseño sísmico, ya que permite diseñar estructuras capaces de incursionar al rango inelástico, deformándose plásticamente mientras mantienen su resistencia, y sin fracturarse en forma prematura; esta cualidad se hará ver en repetidas ocasiones durante el curso.

Volviendo a la discusión de la relación σ-ε, cabe destacar que la resistencia real del material es mayor que σ_r, ya que la sección de la probeta ha disminuido a medida que se ha elongado, pero la propiedad relevante en diseño estructural es precisamente σ_r. Al progresar el ensayo después de alcanzado σ_r la deformación deja de ser uniforme a lo largo de la probeta y se concentra en la sección más solicitada, dando lugar el fenómeno de estricción o formación de un “cuello" notorio donde finalmente se produce la fractura. La deformación unitaria nominal de fractura (referida al largo L de la probeta) varía considerablemente dependiendo de la geometría de la probeta (largo y sección) alcanzando valores entre 25 y 40 %; estos valores, y la curva σ- ε para ε > ε_r son en realidad irrelevantes, ya que corresponden a un estado de deformaciones no uniforme en que la zona crítica se deforma plásticamente mientras otras porciones de la barra se descargan elásticamente.

La Fig. 1.13.b muestra también que la descarga desde cualquier punto del rango inelástico ocurre con pendiente paralela a la rigidez del rango elástico. Cabe mencionar que la curva real en un ensayo de compresión difiere de la real de tracción, ya que el área de la sección aumenta en vez de disminuir; sin embargo, ello no tiene importancia desde el punto de vista del diseño, ya que se trabaja con la relación σ-ε con A constante, la que se supone simétrica en tracción y compresión.

La Fig. 1.14 muestra resultados de ensayos de tracción en alambrón y barras de acero para hormigón armado de producción nacional. Las curvas no incluyen la zona ε > ε_r Er por la razón antes dicha. La figura muestra un detalle de las partes elástica y de fluencia, cambiando a la derecha la escala del eje ε para apreciar la curva σ-ε completa. Cabe destacar que las barras más delgadas y el acero A4428H presentan una clara zona de fluencia, la que no exhibe el acero A63-42H; esto último es un defecto del material ya que la zona de fluencia es una propiedad clave para el comportamiento sísmico del hormigón armado en flexión, pues constituye un elemento de control que garantiza que la fuerza que desarrolla el acero, y por ende el momento flector en la sección, permanece estacionaria antes de entrar al endurecimiento. También es de interés que el estudiante aprecie en esta figura la diferencia entre las propiedades nominales y las reales; en efecto la designación A44-28H significa que σ_y = 2800 kg/cm² y σ = 4400 kg/cm², valores que en realidad son excedidos, como debe ocurrir con alta probabilidad. Las propiedades mecánicas básicas que deben cumplir los aceros de refuerzo para hormigón armado, confome a la norma NCh204.0f77, se presentan en la Tabla H.1 del Apéndice H. Esta tabla entrega también otras propiedades de las barras de acero como las características de los resaltes, diámetros y longitudes comercialmente disponibles, área de la sección, perímetro, peso, y marcas de identificación según la calidad.

El acero estructural para perfiles metálicos se produce mediante laminación en caliente, entregándose en Chile en planchas de espesores entre 5 y 50 mm. Planchas delgadas entre 0,4 y 4 mm de espesor se obtienen de un segundo proceso de laminado en frío. No hay en Chile laminadores pesados para producir perfiles estructurales directamente, por ello, éstos se fabrican por doblado en frío o uniendo planchas mediante soldadura.

Una propiedad fundamental del acero estructural debe ser su capacidad de mantener su ductilidad a pesar de la severidad de los procesos de soldadura, doblado, y corte oxiacetilénico. Para ello debe controlarse la composición química del material, principalmente los elementos Mn, Si, P y S. La norma NCh203.0f77 establece límites para estos elementos y especifica los valores mínimos de las propiedades mecánicas de fluencia, resistencia de rotura, y elongación de rotura (σ_y, σ_r, y ε_r); las propiedades mencionadas se presentan en la Tabla A.1 del Apéndice A.

Los elementos químicos más importantes son el C y el Mn, que al aumentar, incrementan la resistencia (σ_y y σ_r) pero disminuyen la ductilidad (ε_r) y la soldabilidad. Otros componentes como Cr, Ni, Cu son beneficiosos para proveer resistencia a la corrosión y también mejorar la ductilidad; se incorporan en aceros especiales resistentes a la corrosión en cantidades del orden de 0,5 %.

Figura 1.14 Curvas experimentales de barras de acero para hormigón armado (C. Luders, 1988)

Los perfiles de acero que se utilizan en estructuras tienen diversas formas: ángulo (L), canal (C), doble-T (con un eje de simetría o doblemente simétricos como los perfiles estándar IN o HN), te (T), tubo (O), cajones y otros. En la Tabla A.2 se presentan dimensiones y propiedades para el diseño de perfiles comercialmente disponibles; adicionalmente, listas más completas de perfiles se pueden encontrar en los manuales de CINTAC (1993) e ICHA (1976).

1.2.2.2 Hormigón

Es un material artificial que imita la roca natural, con la ventaja de poder darle la forma deseada. Como la roca, tiene gran capacidad en compresión, pero presenta baja resistencia en tracción; de hecho, salvo en casos excepcionales, es común despreciar su resistencia en tracción, de modo que la propiedad de referencia del hormigón es su resistencia a la compresión. Esta se mide mediante un ensayo que puede realizarse sobre dos tipos distintos de probetas (Fig. 1.15). Siendo P_max la carga máxima de compresión que resiste la probeta, se definen según el ensayo, la resistencia cilíndrica por medio de la tensión f_c’ = P_max/A, y la resistencia cúbica o prismática f_c = P_max /A, en que A es el área de la sección según corresponda. Aun cuando se realicen ensayos con probetas de igual sección, f_c y f_c’ son diferentes, ya que la geometría de la probeta influye en la resistencia, siendo siempre mayor la cúbica debido al confinamiento adicional que proporcionan el hormigón de las aristas y la maquinaria de ensayos misma. Para hormigones de uso común puede usarse como aproximación f_c’ ≈0,85f_c o bien la equivalencia oficial según la norma NCh170.Of85 que se presenta en la Tabla 1.3. En Chile la resistencia especificada corresponde a probetas cúbicas, o sea en base a f_c, definiéndose grados de resistencia como muestra la Tabla 1.3.

Figura 1.15 Probetas estándar para el ensayo de compresión en hormigón

Como la resistencia del hormigón aumenta con el tiempo, tanto f_c como f_c’ se refieren convencionalmente a la edad de 28 días. Los ensayos se realizan a una velocidad de deformación unitaria relativamente lenta, del orden de 0,001/min, de modo que la resistencia máxima se alcanza en 2 ó 3 minutos. En ensayos muy rápidos, en que la carga máxima se alcanza en fracciones de segundo, se observan incrementos en la resistencia y en el módulo de elasticidad del orden de un 15 %.

La Fig. 1.16 muestra curvas σ-ε típicas para hormigones en ensayos lentos con control de deformación, lo que permite obtener la curva completa después de alcanzada la resistencia máxima. Varias observaciones de interés se pueden hacer en relación con esta figura: (a) el hormigón es un material frágil de muy baja capacidad de deformación que no tiene punto de fluencia ni rango de deformación plástica, (b) a mayor resistencia tiene menor capacidad de deformación, (c) la resistencia máxima se produce para ε ≤ 0,002, (d) después de alcanzada la resistencia máxima la capacidad del hormigón decae debido a su deterioro, que se manifiesta en grietas visibles paralelas a la dirección de la carga, las que se traducirían en una falla explosiva al alcanzar fc’ si el aparato de ensayo no redujera de inmediato la carga aplicada, (e) el colapso global de la probeta ocurre finalmente para ε ≥ 0,003, (f) la parte inicial de la curva σ-ε es aproximadamente lineal hasta σ ≈ 0,5 f_c’, y (g) la curva σ-ε tiene en general forma parabólica.

Figura 1.16 Curvas de ensayos de compresión uniaxial en probetas cilíndricas (adaptada de Park y Paulay, 1975)

Para efectos de análisis se han propuesto varias idealizaciones de la relación tensión deformación del hormigón. La más popular es la de Hognestad, 1951 (Fig. 1.17), que utiliza entre ε = 0 y ε₀ una forma parabólica dada por:

y una rama lineal entre ε_o. y ε_u con tensión de fractura del hormigón σ_u = 0,85 f_c’ para ε = ε_u. Hognestad propuso ε_o = 2f_c’/E_c y ε_u = 0,0038, sin embargo, es usual utilizar ε_s ≈ 0,002 y ε_u ≈ 0,003, sin perjuicio de cambiarlos en análisis específicos que lo requieran. También se usa frecuentemente, especialmente en Europa, la llamada “parábola-rectángulo”, cuya diferencia con la Fig. 1.17 es que mantiene σ_c = f_c’ para ε > ε_o. El módulo de elasticidad, válido sólo en el rango lineal inicial de la curva σ-ε, queda dado por la Ec. 1-38, con una dispersión de ± 20 %; valores de E_c del orden de 220.000 a 280.000 kg/cm² son típicos para el rango usual de resistencias, es decir, aproximadamente 1/10 a 1/8 del módulo de elasticidad del acero.

Figura 1.17 Relación tensión-deformación idealizada del hormigón

La resistencia del hormigón a la tracción es muy baja, del orden de 10 a 15 % de f_c’, y es muy dependiente del tipo de ensayo utilizado para medirla. El ensayo de tracción directa es complejo de realizar, por ello es más común el de flexotracción, que proporciona la resistencia de tracción en flexión o módulo de ruptura f_r. Es generalmente aceptada la relación:

en que f_r y f_c’ deben expresarse en kg/cm₂.

Debido a la baja resistencia a la tracción del hormigón es usual ignorarla en los cálculos de resistencia del hormigón armado. Esto no significa que sea una propiedad poco importante del hormigón; de hecho no sólo hay casos especiales en que el hormigón se diseña en estado elástico controlado por su resistencia a la tracción, por ejemplo, en fundaciones sin armar o en estanques expuestos a fluidos altamente corrosivos o en pavimentos, sino también la resistencia a la tracción es una propiedad fundamental en relación con la resistencia al esfuerzo de corte del hormigón y en fenómenos de fisuración por retracción y temperatura.

1.2.2.3 Madera Aserrada

Las propiedades mecánicas de la madera presentan gran variación, dependiendo de la especie, la zona donde se desarrolla el árbol, el contenido de humedad de la madera y el tipo de solicitación.

Es de conocimiento común que ciertas especies como el roble y el eucaliptus son particularmente densas y resistentes, mientras lo contrario ocurre con el pino y el álamo. Sin embargo, el crecimiento del árbol es muy dependiente de las condiciones ambientales (temperatura, precipitación, calidad del suelo, manejo forestal, asoleamiento) de manera que no sólo las propiedades de una especie pueden variar considerablemente dependiendo de la localidad en que se ha desarrollado el árbol, sino que aún, en una misma localidad, son de hecho muy heterogéneas.

La Tabla M. 1 presenta algunos datos a modo de ejemplo (más información puede encontrarse en la referencia original, Instituto Forestal, 1967). Las propiedades mecánicas de la madera se presentan en términos de Op, la tensión en el límite de comportamiento lineal o límite de proporcionalidad, la tensión o, de ruptura (Fig. 1.19), el módulo de elasticidad E, y las tensiones de rotura a cizalle radial y tangencial (ambos paralelos a las fibras longitudinales de la madera, pero con plano de cizalle radial, perpendicular a los anillos de crecimiento, o tangencial, tangente a los anillos de crecimiento). Se puede observar en la Tabla M.1 que para una misma muestra de madera las propiedades en flexión, compresión y tracción son muy disímiles; básicamente, ésta es la característica de los materiales llamados anisotropos, cuyas propiedades físicas y mecánicas varían según la dirección considerada.

La presencia de agua en la madera tiene varias implicancias de interés. Como todo tejido vivo, la madera contiene una fuerte proporción de agua. Parte de esta agua está en combinación en las sustancias constituyentes de la madera y permanece constante en cantidad. Existe además una cantidad de agua que no forma parte integrante de la madera, que puede eliminarse por secamiento y que constituye la humedad de la madera. Esta humedad se presenta en dos formas: como humedad de saturación de las fibras, retenida por las membranas celulósicas, y como agua libre, contenida en los espacios intercelulares. La madera del árbol recién cortado tiene un alto contenido de humedad, entre 40 y 250 %, medida en relación con el peso seco de la madera como se indica más adelante. Cuando se elimina toda el agua libre, la humedad llega al punto de saturación de las fibras, que en todas las especies es de aproximadamente 30 %. El agua libre no tiene influencia sobre el volumen de la madera; por el contrario el agua de saturación es de la mayor importancia al considerar las contracciones de la madera. En efecto, cuando la humedad baja del 30 %, la madera empieza a contraerse y estas contracciones son proporcionales a la humedad perdida bajo el 30 %. La madera se contrae más tangencialmente (ε_θ = reducción del perímetro de los anillos de crecimiento) que radialmente (ε_r=reducción del tronco en dirección radial), mientras la contracción longitudinal (εl = paralelo a las fibras) es insignificante (Fig. 1.18). Estas deformaciones varían considerablemente con la especie, valores típicos para 0 % de humedad son ε_θ =0,08; ε_r = 0,04 y εl = 0,002, y para 15 % de humedad ε_θ = 0,04; ε_r=0,015; εl = 0,001. Inversamente, la madera se hincha al aumentar su contenido de humedad, comportamiento que queda gobernado por las mismas relaciones que rigen la contracción.

Figura 1.18 Contracción de la madera con la pérdida del agua de saturación

Uno de los métodos para medir la humedad es el de secado al horno. Las muestras se mantienen a una temperatura ligeramente superior a 100 °C entre 12 y 48 horas hasta que se alcance un peso constante. La humedad se determina con la siguiente fórmula :

Peso seco Por su higroscopicidad, la madera es capaz de absorber y exhalar humedad por contacto con el agua o el aire. Bajo una prolongada exposición a un determinado ambiente el contenido de humedad se estabiliza, experimentando ligeras variaciones diarias y estacionales. Se dice entonces que la madera ha llegado a la humedad de equilibrio. La humedad de equilibrio de maderas expuestas a la intemperie en Chile varía en general entre 12 y 18 %; valores específicos para distintas localidades se presentan en la norma NCh1 198.Of91. La misma norma permite suponer humedades de equilibrio promedio de 9 y 12% en recintos cubiertos cerrados con y sin calefacción continua, respectivamente.

La resistencia y el módulo de elasticidad de la madera son inversamente proporcionales al contenido de humedad, como se observa en la Tabla M.1. Por ello, las tensiones admisibles y el módulo de elasticidad, que se especifican para la condición de madera seca (H = 12 %), deben reducirse cuando las condiciones corresponden a una humedad de equilibrio que excede al 12%, aplicando el factor de reducción por humedad:

en que H_s es la humedad en % en condición de servicio y Δ_R el factor dado por la Tabla 1.4.

La Fig. 1.19 muestra una curva tensión-deformación de un ensayo de carga axial sobre una muestra de madera seca. El comportamiento es lineal elástico hasta la tensión σ_p o límite de proporcionalidad; luego la curva deja de ser lineal y se alcanza finalmente la tensión de ruptura σ_r. Como puede observarse, la madera es un material eminentemente frágil, con deformaciones unitarias de rotura similares a las del hormigón en compresión. Muchos se sorprenden al oír que la madera es frágil, ello porque confunden los conceptos de ductilidad y flexibilidad, que suelen emplearse como sinónimos en el lenguaje cotidiano, aunque no lo son, y menos aún para los precisos significados que se les asigna en ingeniería estructural; mayor discusión sobre estos conceptos se presenta en la Sección 1.2.2.4.

Figura 1.19 Relación tensión-deformación de una muestra de madera

Directamente de la figura puede concluirse que la resistencia a la tracción de la madera es mayor que en compresión, como se aprecia también en la Tabla M.1; naturalmente ello se debe a la constitución fibrosa del tejido vegetal. En la tabla también se aprecian notables diferencias entre las compresiones paralela y normal a las fibras, y entre las tensiones de cizalle y las longitudinales.

Estos antecedentes justifican la afirmación inicial que las propiedades de la madera dependen del tipo de solicitación. La tabla muestra pocos resultados en tracción axial, pues es un ensayo difícil de realizar, privilegiándose el ensayo de flexión y asumiéndose que la resistencia a la tracción paralela a las fibras es igual a un 60 % de la de flexión.

La especificación de tensiones de diseño admisibles de la madera es un complejo proceso de varias etapas:

• Medición de tensiones de rotura en flexión σ_rf, y compresión axial σ_rc, y módulo de elasticidad en flexión E_f, en base a ensayos sobre probetas pequeñas libres de defectos en estado verde (H ≥ 30 %) y seco a H = 12 %. Los ensayos se realizan de acuerdo a lo especificado en las normas NCh973.Of86 y NCh987.Of86, y se resumen para cada especie maderera en términos de sus valores promedio (). Algunos ejemplos de estas mediciones se presentan en la ya referida Tabla M.1.

• Clasificación de la especie en alguno de los grupos que define la norma NCh1989.Of86 conforme a valores mínimos de las propiedades resistentes recién citadas. Los grupos que se basan en propiedades de la madera en estado verde (H ≥ 30 %) y seco (H = 12 %), se presentan en la Tabla M.2. Las especies de propiedades mecánicas conocidas (ver NCh1989. Of86) han quedado clasificadas en los grupos que se presentan en la Tabla M.3.

• Las propiedades resistentes de probetas libres de defectos no pueden extrapolarse a piezas de madera de dimensiones normales para uso estructural. En éstas pueden hallarse presentes una gran variedad de defectos detrimentales para la resistencia, entre ellos pueden mencionarse los nudos, grietas, deformaciones de secado, pudrición, entre muchos otros que define la norma NCh992.E0f72. Un glosario de defectos en piezas de madera se presenta en la Tabla M.4. Las normas NCh1970/1.Of88 y NCh1970/2.Of88 definen cuatro grados de calidad para la clasificación visual de la madera según la magnitud de los defectos presentes, asociando a cada grado una fracción de la capacidad resistente del mismo material libre de defectos. Tal fracción se denomina razón de resistencia y corresponde a 0,75, 0,60, 0,48 y 0,38 para los Grados Estructurales 1 a 4 respectivamente. Según el grado estructural y el grupo a que pertenece cada especie se definen Clases Estructurales (NCh1990.Of86). Estas clases, para maderas en estado verde y seco, se muestran en la Tabla M.5.

• A continuación se debe considerar el contenido de humedad de la madera en el momento de la construcción (H_c) y puesta en servicio (H_s), y el espesor de las piezas. Dependiendo de estos parámetros, como indica la Tabla M.6, se determina el grupo que se debe considerar (verde o seco) para escoger la clase estructural pertinente, usando la Tabla M.5.a o la M.5.b para la determinación de tensiones admisibles.

• En función de la clase estructural y la agrupación de especies se determinan las tensiones admisibles según las Tabla M.7 para todas las especies excepto pino radiata seco, para el cual se usa la Tabla M.8.

• Las tensiones admisibles todavía deben corregirse por factores de corrección general, como el factor K_H por humedad, definido según la Ec. 1-46 y el factor de duración de la carga K_D según la Ec. 1-47, aparte de otros que se describirán en los capítulos siguientes que dependen del tipo de solicitación (carga axial, flexión, etc.).

La corrección por duración de carga se debe a que la resistencia de la madera es sensible a este parámetro, como se comprueba experimentalmente. Cuando una carga se aplica repentinamente y se retira en pocos segundos la madera es capaz de resistir casi el doble de lo que soportaría en un período de varios años. La norma chilena propone el factor K_D de modificación por duración de la carga dado por:

en que t es la duración de la carga en segundos. La Ec. 1-47 se ilustra en la Fig. 1.20. En esta figura se destacan los factores de uso común que se presentan en la Tabla 1.5.

Figura 1.20 Efecto de la duración de la carga en la resistencia de la madera

Cuando se combinan distintos tipos de cargas los factores K_D prespectivos no deben promediarse, sino usar para cada combinación el factor correspondiente a la carga de menor duración presente en la combinación, es decir, se usa el factor mayor. Por ejemplo, se considerarán el peso propio D con K_D= 0,9, la combinación D + L con K_D= 1, la combinación D + L + S con K_D= 1,15, y las combinaciones D + L + W ó D + L + E con K_D= 1,33.

Los factores K_H y K_D son los de uso más general en diseño en madera; otros factores de aplicación específica se mencionarán en los capítulos de diseño más adelante.

Finalmente, para completar esta sección, es necesario mencionar los elementos de madera laminada encolada, aunque su diseño no se abordará en este texto. Elementos estructurales de grandes dimensiones, de sección variable, e incluso curvos, pueden fabricarse empleando piezas o láminas delgadas de madera pegadas con adhesivos (Fig. 1.21). Usualmente las láminas tienen alrededor de 2 cm de espesor, aunque por norma pueden llegar hasta 5 cm. Las piezas pueden tener prácticamente cualquier longitud, pudiendo llegar a luces del orden de 50 m y secciones de hasta 2 m de altura.

Digno de mencionar es el domo para actividades deportivas del Montana State College, E.E.U.U., cuya cubierta de madera laminada tiene 90 m de luz. La utilización de madera laminada en gimnasios, iglesias, supermercados, moteles, restaurantes, y centros recreacionales en Estados Unidos ha demostrado no sólo su potencial como material estructural, sino también arquitectónico satisfaciendo con singular belleza y calidez distintos requerimientos funcionales. Se ha utilizado en Chile aunque no extensivamente; una aplicación de interés se le dió en el proyecto minero El Abra, utilizándose como elementos estructurales de cubierta de naves de procesos cuyas emanaciones presentaban peligro de corrosión a otros materiales.

El empleo de madera laminada encolada, naturalmente, sólo es económicamente competitivo en grandes luces, y requiere para su fabricación equipos y plantas especiales, experiencia en adhesivos, y riguroso control de fabricación. Estos requisitos técnicos son más exigentes que los necesarios para producir estructuras con piezas de madera aserrada, las que seguirán siendo más económicas para luces moderadas y elementos de tamaño reducido.

Figura 1.21 Elementos de madera laminada encolada. (a) Viga recta apoyada en muro. (b) Segmento de arco laminado

1.2.2.4 Conceptos Fundamentales de Mecánica Estructural

En esta sección se recapitulará respecto de varios conceptos introducidos en las secciones previas en relación con los materiales estructurales, conceptos que tienen un significado muy preciso cuya apropiada interpretación es crucial para la comprensión de los problemas de mecánica estructural.

El primer concepto se refiere a la relación entre tensiones y deformaciones unitarias o, en general, entre fuerzas y deformaciones. Un material es lineal si se cumple que o = Eε en que E es una constante (Fig. 1.22.a) y no-lineal si σ = f(ε) en que fes una relación funcional cualquiera no lineal. El modelo lineal se generaliza también para representar el comportamiento de elementos y estructuras completas. Posiblemente la primera relación fuerza-deformación (F-δ) lineal que han conocido los estudiantes es la de un resorte o elemento uniaxial: F= kδ, en que k según la ley de Hooke es AE/L, y por cierto conocen también la relación lineal entre momento flector y curvatura (M-ϕ) de una sección que se derivó en el Ejemplo 1.5. Tanto estructuras simples como complejas en el rango de comportamiento lineal de los materiales se pueden modelar mediante relaciones fuerza-deformación lineales como en las Figs. 1.22.e y 1.22.f. En esta última, la matriz de rigidez de coeficientes constantes relaciona al conjunto de fuerzas nodales con los desplazamientos correspondientes de los nudos (la Fig. 1.22.f muestra la matriz de rigidez lateral que se usa en análisis sísmico). Por cierto que cualquiera de los sistemas de las Figs. 1.22.c a 1.22.f puede pasar a comportarse en forma no-lineal si en cualquier punto de ellos deja de cumplirse la relación σ = Eε constitutiva del material. Al ocurrir ello, se dirá que los sistemas correspondientes han entrado al rango de comportamiento no-lineal.

Figura 1.22 Relaciones tensión-deformación o fuerza-deformación

El segundo concepto fundamental es el de elasticidad, que se refiere a la reversibilidad de las deformaciones. En un material elástico (Fig. 1.23.a), las deformaciones se recuperan al remover la carga, siguiendo la misma trayectoria del proceso de carga, es decir sin disipación de energía. Ocurre comportamiento inelástico, si al retirar la carga se aprecian deformaciones permanentes que reflejan que el material excedió su límite elástico. Un caso particular de material elástico es aquel que además es lineal, el que se conoce como Hookeano (Fig. 1.23.c).

Figura 1.23 Concepto de elasticidad

En los modos de comportamiento antes descritos se ha supuesto que las relaciones tensión deformación (σ-ε) son independientes del tiempo, es decir las deformaciones ocurren en forma instantánea, como se supondrá en general para los materiales estructurales. No debe olvidarse por cierto el fenómeno de fluencia lenta en el hormigón (creep) consistente en el aumento de deformación en el tiempo bajo carga constante. La ocurrencia de deformaciones diferidas en el tiempo, es decir que ocurren con retardo a la aplicación o retiro de la carga, se llaman deformaciones anelásticas, mientras se denomina comportamiento viscoso a aquél en que las tensiones son proporcionales a la velocidad de deformación (σ = cdε/dt).

El tercer concepto básico es el de rigidez(k), que se define como la fuerza necesaria para producir una deformación igual a la unidad, es decir, k = dF/dδ. En la Fig. 1.24.a se muestran tres elementos lineales de distinta rigidez, tal que el primero es más rígido que el segundo y éste es más rígido que el tercero ya que k₁ > k₂ > k₃. También se puede referir la rigidez a la relación tensión-deformación del material, y naturalmente también a un material no lineal como el que ilustra la Fig. 1.24.b; en este caso la rigidez corresponde al llamado módulo de elasticidad tangente E_t = dσ/dε que es función de ε. Es claro que la rigidez puede llegar a ser nula en un material no-lineal. La propiedad inversa a la rigidez es la flexibilidad (f) que se define precisamente como:

Figura 1.24 Concepto de rigidez

Es claro para el resorte de la Fig. 1.22.c que δ = fF, pudiéndose constatar que mientras más flexible es un sistema, es decir, mientras mayor es f, mayores son las deformaciones (δ) para la misma fuerza constante (F). Lo mismo se puede extender a los ejemplos de las Figs. 1.22.d a 1.22.f; en esta última figura la relación entre fuerzas y deformaciones queda {δ}=[f][F], en que [f]=[k]^-1 se denomina matriz de flexibilidad. Sus coeficientes son constantes en un estructura linealelástica.

El cuarto y último concepto a destacar es el de ductilidad y su antónimo (no inverso) la fragilidad. Como se definió en su oportunidad la ductilidad es la capacidad de desarrollar grandes deformaciones plásticas, como el acero estructural, mientras la fragilidad es la incapacidad de hacerlo como ocurre con el hormigón o la madera.

1.2.3 Inestabilidad Estructural

Se ha mencionado en la Sección 1.1.3 que el proceso de diseño estructural involucra examinar el nivel de tensiones que se produce en las diferentes secciones de los elementos, y verificar que las deformaciones de estos elementos no superen ciertos límites fijados por condiciones de serviciabilidad. Sin embargo, el diseño de elementos o estructuras esbeltas implica, además, el asegurarse que no se producirá una falla por inestabilidad. Este es un tipo de falla diferente a los analizados anteriormente, ya que se produce cuando se alcanza la carga última por inestabilidad, sin aviso previo de problemas en el elemento o estructura, y para un nivel de tensiones que puede estar dentro de los límites aceptables de acuerdo al criterio de diseño por seguridad que se esté usando.

Para entender este fenómeno, se supondrá una columna formada por dos tramos rígidos unidos por un resorte de flexión de constante k, sometida a una fuerza de compresión axial P, tal como se indica en la Fig. 1.25.a. Si la carga Pes pequeña, al aplicar y retirar una fuerza horizontal F, la columna se deformará y volverá posteriormente a su posición inicial (Fig. 1.25.b), si la carga P es grande, la aplicación de la fuerza F hará que la deformación crezca indefinidamente, evidenciando la inestabilidad del sistema, y no vuelva a su posición inicial cuando F se haga cero (Fig. 1.25.c). Para un cierto valor intermedio de P, llamado carga crítica P_cr , al aplicar F la columna se deforma, pero al hacer F = 0 la columna permanece en su posición deformada (Fig. 1.25.d). La carga crítica P_cr es la que delimita las condiciones de estabilidad e inestabilidad del sistema, y constituye la carga axial última para la falla por inestabilidad. Su determinación está dada por la posibilidad de encontrar posiciones deformadas de la columna, diferentes de la posición vertical, cuando actúa la carga crítica, tal como se detalla a continuación.

Figura 1.25 Carga crítica de una columna

En la práctica, la acción de la fuerza F es reemplazada por imperfecciones de construcciones, excentricidades o imperfecciones respecto de la situación ideal. Asimismo, el caso ideal que se ha presentado cambia al caso de una columna flexible con rigidez a giros por flexión en toda su longitud. Este caso se discute en la Sección 2.3, pero los principios básicos para la determinación de la carga crítica son los mismos de este caso.

Se trata de encontrar el valor de P para el cual es posible encontrar un valor del desplazamiento Δ distinto de cero (Fig. 1.26). Por equilibrio de la parte superior de la columna se tiene:

ya que por equilibrio general de la columna, la reacción horizontal H es nula; pero:

luego:

Esta ecuación, típica de un problema de inestabilidad, recibe el nombre de ecuación característica. Para deformadas con Δ distinto de cero, la única solución es:

con lo que se obtiene el valor de la carga crítica. Si Pes distinto de Por, la ecuación no se satisface para valores de Δ diferentes de cero. Al mismo tiempo, el valor de Δ no es único cuando P= P_cr , o sea, cualquier deformación Δ de la columna es posible. Todos estos aspectos caracterizan el problema de inestabilidad estructural o pandeo, el cual es muy diferente de los problemas de análisis de tensiones o deformaciones, que pueden calificarse como problemas de “respuesta”, esto es, hay un valor de la tensión o de la deformación para cada valor de la solicitación.

Figura 1.26 Determinación de la carga crítica

En el Ejemplo 1.6 se ilustra un caso de inestabilidad con más de un parámetro para definir la posición deformada de la estructura.

Ejemplo 1.6

Determinar la carga crítica del sistema estructural de la Fig. E1.6.a.

Figura E1.6

Solución: En este caso, la deformada del sistema está definida por los parámetros Δ_D y Δ_C. Se busca la carga P para la cual es posible una deformada con Δ_D y/o Δ_C distintos de cero. Tal deformada se muestra en la Fig. E1.6.b.

Equilibrio de AC:

Equilibrio de BD:

Pero, considerando deformaciones pequeñas:

y reemplazando en las ecuaciones de equilibrio, se tiene:

Para que existan soluciones Δ_C y Δ_D distintas de cero, se requiere que:

ecuación característica cuyas soluciones son:

de estas soluciones, la menor es la relevante para efectos de diseño.

1.3 EJERCICIOS PROPUESTOS

1.01 Para analizar la seguridad de un talud de tierra se supone el arco circular con centro en O como superficie de falla potencial. Las resistencias totales al deslizamiento que proveen los suelos 1 y 2 son R₁ y R₂ respectivamente de modo que el momento resistente es MR = r(R₁ + R₂). El momento solicitante es M_s = aW, en que W es el peso de la cuña de suelo limitada por la superficie de falla. Se da la siguiente información: = 200 ton, ₁= 50 ton, ₂ = 200 ton, σ_w = 20 ton, σ_R1 = 20 ton y σ_R2 = 50 ton. Suponiendo que las variables indicadas son estadísticamente independientes, se pide: a) Evaluar la probabilidad de deslizamiento, utilizando la formulación de margen de seguridad, y b) Determinar el peso máximo de una estructura que se desea construir sobre el terraplén sin que se exceda una probabilidad de falla de 0,003.

1.02 ¿Qué se entiende por resistencia característica de un material? Dé ejemplos.

1.03 ¿Qué se entiende por capacidad o resistencia última nominal? ¿Cómo se relaciona con la resistencia última de un elemento real?

1.04 Explique dos diferencias fundamentales entre los métodos de diseño “por tensiones admisibles” y por "capacidad última" en relación con la forma de aplicar el factor de seguridad.

1.05 En diseño último, según el código ACI, para la combinación de cargas permanentes con sobrecargas se utilizan los factores de mayoración de 1,4 y 1,7 respectivamente. ¿Por qué estos factores son distintos?

1.06 Defina área tributaria y explique por qué la carga sobre un elemento puede reducirse en la medida en que aumente el área tributaria.

1.07 Rehacer el Ejemplo 1.4, considerando que la viga no es rígida. Usar los datos siguientes: a = 80 cm, viga de sección rectangular de 1 cm de ancho y 3 cm de alto, alambres de 0,031 cm² de sección, módulo de elasticidad de todos los elementos E=2,1x10⁶ kg/cm(Respuesta: T₁=0,952 P; T₂=0,032 P; R = 0,016 P).

1.08 En el sistema de la figura todos los elementos tienen módulo de elasticidad E, y las barras BC y DE son infinitamente rígidas a la flexión. Se pide: a) Determinar xey para que las barras BCy DE sólo se desplacen verticalmente sin girar, y b) Idem al caso anterior, pero cuando BC no es infinitamente rígida, sino que tiene momento de inercia dado I. Nota: En una viga simplemente apoyada de luz “L” la deflexión bajo una carga puntual P es δ = Pa² (L-a)²/3EIL, en que “a” es la distancia de la carga al extremo de la viga.

1.09 La viga sin peso de la figura tiene un módulo de elasticidad E, momento de inercia I, y posición horizontal cuando está descargada, el resorte en B tiene constante ky no ejerce fuerza alguna cuando la viga está horizontal. Calcular el momento flector en A cuando se aplica una carga uniformemente distribuida de intensidad q por unidad de longitud.

(Respuesta: M = 3kqL⁵/ (24EI + 8kL³) - qL²/2)

1.10 La viga de la figura tiene apoyos simples y un resorte lineal elástico de constante k, que restringe el giro 0 del extremo B imponiendo un momento M=kθ. Utilizando la ecuación diferencial de la viga M(x)=Ely”, determine el momento que ejercerá el resorte cuando sobre la viga actúa una carga q uniformemente distribuida. Discutir los casos límites k = 0 y k =∞. (Respuesta: M = qkL³ / 8(3EI + KL))

1.11 Las vigas AB y CD de la figura son de acero (E = 2,1x10⁶ kg/cm²) y están unidas por la biela BF del mismo material, en la forma indicada. El momento de inercia de la sección de las vigas es I = 18000 cm⁴ y el área de la sección de la biela es A = 0,785 cm² (d = 10 mm). Sobre la viga AB se aplica una carga de 2 ton/m. Se pide: a) El diagrama de momentos de la viga CD, y b) Dibujar la deformada de la viga AB (considerando la deflexión vertical de los puntos A y B y por lo menos unos 4 puntos intermedios). (Respuesta: M_max = 5,1 ton-m; δ_B = 1,29 cm)

1.12 La barra uniforme rígida AB, de peso P = 30 kg, está articulada en By sostenida por el elástico AC. La longitud de la barra y del elástico es de 1 m, de modo que la posición de equilibrio mostrada en la figura corresponde al caso en que el elástico es infinitamente rígido. Se pide determinar el ángulo de de equilibrio, y la fuerza axial que ejerce el elástico cuando éste es deformable y tiene rigidez k = 0,5 kg/cm. (Respuesta: 55,77° y 12,5 kg)

1.13 Tres alambres unidos a una barra rígida sostienen una carga de 150 kg. ¿Qué carga soportará cada alambre si el de la derecha aumenta su temperatura en 45 °C? Las propiedades de los alambres son: A = 0,07 cm²; E = 2,0×10⁶ kg/cm²; α = coeficiente de dilatación = 12x10^-6 1/°C, L y a cualquiera (Respuesta: T₁ = T₃ = 37,4 kg; T₂ = 75,2 kg).

1.14 Para la misma estructura y propiedades del ejercicio anterior, sometida a temperatura uniforme, ¿qué carga soporta cada alambre si el de la izquierda fue fabricado 0,0004 L más largo que los otros? (Respuesta: T₁ = T₃ = 40,66 kg; T₂ = 68,67 kg).

1.15 El acero utilizado para el hormigón armado y en estructuras metálicas es en general un material dúctil. a) ¿A qué se refiere la propiedad de ductilidad?, b) i puede este mismo acero comportarse en forma frágil en ciertas circunstancias, y c) ;existen aceros frágiles para uso estructural y no estructural?

1.16 Revise si las barras de acero para hormigón armado cuyos ensayos muestra la Fig. 1.14 satisfacen los requerimientos de la Norma NCh204.0f78.

1.17 ¿Cómo varía la tensión unitaria de rotura del hormigón con su resistencia?

1.18 Haga un diagrama de flujo de las etapas del proceso de especificación de tensiones de diseño admisibles de la madera aserrada.

1.19 ¿Considera Ud. que la madera seca es un material dúctil o frágil? Funda mente su respuesta.

1.20 Explique la diferencia entre los conceptos de elasticidad, linealidad, flexi bilidad y ductilidad.

1.21 Determine la carga crítica de pandeo, para cada uno de los casos siguientes. Las barras se suponen rígidas y sin peso.