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Оглавление1. Asociando un número a un conjunto
La teoría de la integración encuentra su base en ideas muy elementales. Usamos el término “elemental” en su acepción original, vale decir, referido a los elementos primigenios, de los cuales la matemática toda se impregna. La observación de la naturaleza llevó al hombre a descubrir los números y a asociarlos de manera natural con sus objetos más simples. De este modo el propio concepto de número llevaba en sí la idea de medir. El hombre midió longitudes, superficies, volúmenes, temperaturas, pesantez. Supo de la diferencia entre lo pequeño y lo grande, lo liviano y lo pesado.
La Geometría recogió primero esta inquietud. Euclides enseñó cómo calcular áreas de figuras simples. Luego se buscó cómo aproximar las figuras más complejas por varias simples. Fue necesario sumar. La Aritmética también se asociaba a la tarea: la suma es una forma de medición.
Asociar un número a un conjunto: es la idea fundamental que traduce en matemáticas el acto de medir. Así, si nos dan un triángulo, calculando su área, le asociamos un número; si nos dan un conjunto de números {a1,... , an} una forma de asociarle un número es considerar la suma a1 + … + an. Algunas fórmulas se hicieron célebres, por ejemplo, aquella que nos da la suma de los n primeros números naturales:
que ya se conocía en el medioevo chino, según consta en las obras de Chon Huo (siglo XI) y Yang Hui (siglo XIII).
Poco a poco se fue estudiando procesos más complejos de medición. Al llegar al siglo XVII el hombre comenzó a manejar “sumas infinitas”. Estas estaban presentes en la Filosofía desde la época de Zenón de Elea (siglo V A.C.), autor de la famosa paradoja de Aquiles y la tortuga. Según Zenón, si en el instante inicial, Aquiles se encuentra en 0 y la tortuga en una posición a0 > 0, el héroe griego debe correr tras la tortuga que avanza en el sentido positivo del eje de coordenadas, pero cuando llega a la posición a0 la tortuga se ha movido a una nueva posición a1; enseguida, cuando Aquiles llega a esta última posición, la tortuga está en a2 y así sucesivamente... En suma, mientras Aquiles corre para alcanzar el punto desde el cual la tortuga ha partido, ésta avanza, ¡de modo que nuestro héroe jamás podrá anular este avance! Para desmentir a Zenón es necesario hacer algunos cálculos. Supongamos que el movimiento es uniforme, que Aquiles se desplaza a una velocidad V = 10m/s en tanto que la tortuga lo hace según ν = 1m/s con ν < V. Llamemos tn el tiempo (medido en segundos) que Aquiles emplea en alcanzar la posición an (medida en metros). Entonces,
y aprovechando nuestros conocimientos sobre series podemos enfrentar el argumento falaz de Zenón.
La teoría de series comenzó a desarrollarse a fines del siglo XVII y principios del XVIII, sin contar con un adecuado concepto de límite. Esto fue causa de muchas paradojas. Por ejemplo, aquellas sobre la suma de la serie
Esta “suma infinita” se puede escribir
de modo que S = 0. Pero, agrupando los términos de otro modo, se tiene
luego S = 1, o incluso, según (1.3), S = 1 – S, ¡y en consecuencia S = 1/2!
Sin embargo, la teoría de series permitía abordar de manera “primaria” la Mecánica de Newton que entonces daba sus primeros pasos. Veamos cómo.
Nos interesa estudiar el movimiento de un punto material de masa m sobre la recta real . Llamemos Xt la posición del móvil en el instante t. Suponemos que el tiempo se mide sobre los enteros positivos. Supongamos que el móvil parte desde un punto inicial x , en presencia de una fuerza constante F en el sentido positivo del eje de coordenadas espaciales. Para simplificar aún más, despreciamos primero toda fuerza de roce. Según la segunda Ley de Newton, la fuerza es proporcional a la aceleración At que alcanzará el punto material en su movimiento. En este caso entonces, . Llamemos Vt la velocidad del móvil, e introduzcamos el símbolo Δ para indicar diferencias, vale decir ΔXt = Xt – Xt–1 . Se tiene entonces que y , donde Δt es, por supuesto, igual a 1. Ahora bien, ya que la aceleración es constante, se tiene que Xt satisface la ecuación
En este caso, es muy sencillo calcular la expresión que tiene la solución de (1.4). En efecto, basta aplicar la fórmula (1.1):
El lector reconocerá la versión en tiempo discreto de la clásica fórmula
que se obtiene en Mecánica Clásica resolviendo una ecuación diferencial. En efecto, toda esta coincidencia es absolutamente natural, tanto (1.5) como (1.6) expresan la acción de medir: en el primer caso, se mide mediante una suma; en el segundo, mediante una integral.
El cálculo de superficies en el plano es quizás una de las formas más intuitivas del arte de medir. Aprovecharemos esa intuición para construir un modelo matemático de la noción de superficie.
2.1. Noción de superficie. Nuestro propósito es definir una noción de superficie (o área) de una parte del plano. Con este fin se provee al plano de ejes de coordenadas ortogonales y se atribuye la superficie 1 al cuadrado de lado unitario. Las hipótesis siguientes traducen nuestras intuiciones básicas sobre superficies:
(S1) Hipótesis 1: La superficie (Γ) de una parte Γ del plano es, si ella existe, un número positivo.
(S2) Hipótesis 2: Si Γ y Γ′ son partes del plano que poseen superficie, entonces también es así para Γ ∩ Γ′ y
Γ ∪ Γ′. Si además Γ y Γ′ son disjuntos, se tiene
Si Γ contiene a Γ′, entonces su diferencia Γ\Γ′ tiene una superficie que vale (Γ) – (Γ′).
(S3) Hipótesis 3: Si r tiene una superficie nula, entonces todo subconjunto de r posee también una superficie (que además es nula a causa de lo que se vio en (S2)).
EJERCICIO 1.1. Probar que si Γ y Γ2 son dos conjuntos que poseen una superficie, entonces por (S2) siempre se tiene
Ahora bien, recordemos la forma en que los griegos aproximaban la superficie de un círculo: se daban una sucesión de polígonos regulares inscritos en él, calculaban las respectivas superficies y luego “pasaban al límite”. Expresemos esta idea en una nueva hipótesis, introduciendo sobre los conjuntos el orden parcial asociado a la inclusión.
(S4) Hipótesis 4: Si (Γn)n es una sucesión creciente de conjuntos que tienen superficie, entonces su reunión ∪n Γn (que también escribimos lím ↑ Γn) tiene una superficie si y sólo si la sucesión ((Γn))n es acotada y en tal caso se tiene
EJERCICIO 1.2. Probar que (S4) es equivalente a la propiedad siguiente (S4’) Si (Γn)n es una sucesión de conjuntos que poseen superficie, disjuntos dos a dos, entonces su reunión Γ (que escribimos Γ = ∑n Γn), tiene superficie si y sólo si la serie ∑n (Γn) converge; y se tiene:
EJERCICIO 1.3. Sea (Γn)n una sucesión decreciente de conjuntos que poseen superficie y sea Γ = ∩n Γn (que también escribimos límn ↓ Γn). Probar que (Γ0\Γn)n crece hacia Γ0\Γ. Deducir que r tiene superficie y verificar que
EJERCICIO 1.4. Consideremos ahora un conjunto Γ para el cual existen dos sucesiones de conjuntos que poseen superficie, tales que
para todo n . Si la sucesión tiende a cero, entonces Γ tiene superficie y se cumple
(Se recomienda considerar las sucesiones monótonas (decreciente) y (creciente) de límites y , respectivamente, que tienen la misma superficie. Luego, observar que Γ\ está contenido en el conjunto de superficie nula \).
En el ejercicio siguiente pasamos en revista lo aprendido en los cursos de Geometría elemental.
EJERCICIO 1.5.
1. Probar que la superficie de un rectángulo es el producto de sus lados.
2. Probar que un segmento de recta tiene superficie nula. Asimismo, demostrar que una recta tiene superficie nula.
3. Probar que una banda de plano limitada por dos rectas paralelas no tiene superficie.
4. Probar que un conjunto numerable de puntos del plano tiene superficie nula.
5. calcular la superficie de un triángulo rectángulo usando el ejercicio 1.4 y la pregunta 1 aquí arriba.
6. Calcular la superficie de un paralelógramo en el plano, ubicado de modo que uno de sus vértices se encuentre en el origen de coordenadas, pero sin lados paralelos a los ejes.
7. Obtener la superficie de un círculo como límite de las superficies de polígonos regulares inscritos y exinscritos de n lados.
Demos una rápida mirada a la forma en que se define la integral de Riemann en los cursos elementales de cálculo, buscando extraer de esa construcción los elementos comunes con el cálculo de superficies en el plano y con el arte de sumar.
DEFINICIÓN 1.1. Designamos por ɛ(I) el conjunto de las funciones escalonadas definidas sobre un intervalo I = [a, b] (a < b) de la recta real. Una función f es escalonada si existe una partición a = x0 < x1 < ... < xn = b tal que f restringida a cada subintervalo [xk , xk+1[, k = 0,..., n – 2; [xn–1, xn] sea constante.
Consideremos una función f ɛ(I) y la figura Γ delimitada por los segmentos de rectas , k = l,..., n – 1. Γes una unión de rectángulos no traslapados. Podemos entonces definir su área como la suma de las áreas de tales rectángulos elementales, de modo que:
Llamemos a esta cantidad, integral de la función escalonada f sobre el intervalo I = [a, b]. La denotamos .
EJERCICIO 1.6. Probar que para todo par de funciones f, g ɛ(I) se tiene que αf + βg ɛ(I) para todo par de reales α, β y que se cumple
Resumimos lo anterior diciendo que ɛ(I) es un espacio vectorial real y que la aplicación f ↦ ∫I f(x)dx es una forma lineal sobre este espacio.
OBSERVACIÓN 1.1. Sean f y g dos funciones reales definidas sobre un intervalo [a, b] de y tales que en todo punto x [a, b] se tenga f (x) ≤ g(x). Definimos:
La notación [[f, g]] sugiere una analogía con los intervalos de . En particular se puede notar que si una sucesión de funciones positivas (fn)n definidas en [a, b] es tal que en cada punto x del dominio fn(x) crece o decrece hacia f(x), entonces [[0, fn]] tiene como límite [[0, f]]. Dicho de otro modo,
Notar que si f es una función escalonada positiva, entonces
Si f es una función real de signo cualquiera, introduzcamos las siguientes funciones asociadas:
para todo x en el respectivo dominio de definición. Se puede observar que
Para una función escalonada f cualquiera se verifica entonces:
Y si g es otra función escalonada tal que f ≤ g, entonces:
DEFINICIÓN 1.2. Sea f una función de [a, b] en . Decimos que ella es integrable en el sentido de Riemann si existe
una sucesión decreciente de funciones escalonadas en [a, b] minoradas por f,
una sucesión creciente de funciones escalonadas mayoradas por f, tales que
En tal caso, el límite común de las sucesiones se escribe , recibiendo el nombre de integral de f sobre [a, b].
Notar que si f es positiva y si escribimos , entonces la condición (1.21) equivale a la planteada en el ejercicio 1.4.
Puesto que las funciones escalonadas son acotadas sobre todo intervalo acotado [a, b], las funciones integrables en ese intervalo también lo son. Una elección posible de las sucesiones y es la propuesta por Darboux que explicamos a continuación. Sea (π(n))n una sucesión de particiones de [a, b], π(n) : , llamamos para cada j = 1,..., k(n). Definimos entonces, para cada n ,
De este modo se tiene
De (1.22), (1.23), (1.24), resulta una forma equivalente de definir la integrabilidad en el sentido de Riemann: una función f acotada es integrable si y sólo si las sumas del miembro derecho de (1.24) convergen a 0 si n → ∞.
EJERCICIO 1.7. Probar que toda función real continua es integrable sobre todo intervalo acotado contenido en su dominio de definición.
EJERCICIO 1.8. Sea f una función real integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b] y sea g otra función real, que es igual a f salvo en un número finito de puntos. Probar que g es también integrable en el sentido de Riemann y que su integral coincide con la de f.
Deducir en particular que toda función continua, salvo en un número finito de puntos sobre [a, b], es integrable.
EJERCICIO 1.9. Probar que la función f definida sobre [0,1], que vale 1 sobre los puntos racionales y 0 en todos los otros, no es integrable en el sentido de Riemann. Sin embargo, el conjunto [[0, f ]] tiene superficie nula.
En el teorema siguiente resumimos las propiedades esenciales de la Integral de Riemann estudiadas en los cursos elementales de Cálculo.
TEOREMA 1.1. Dado un intervalo I = [a, b] de la recta real, designemos por R(I) el conjunto de las funciones reales que son integrables en el sentido de Riemann sobre I.
1. R(I) es un espacio vectorial real y la aplicación f ↦ ∫I f(x)dx es una forma lineal definida sobre este espacio.
2. La forma lineal anterior es también creciente sobre R(I), vale decir: f ≤ g implica ∫I f(x)dx ≤ ∫I g(x)dx.
3. R(I) es también estable para el producto de funciones y para las operaciones (f, g) ↦ sup(f, g), (f, g) ↦ ínf(f, g).
4. f R(I) si y sólo si f+ R(I) y f– R(I). En tal caso se tiene:
5. f R(I) si y sólo si |f| R(I) y se cumple:
6. Si a < c < b, entonces f R([a, b]) si y sólo si f es a la vez integrable sobre [a, c] y [c, b]. En ese caso se tiene:
7. (Cambio de variables). Sea φ unafunción biyectiva del intervalo [a, b] sobre [α, β], de clase C1 sobre ]a, b[. Para toda función f integrable en el sentido de Riemann sobre [α, β], la función t ↦ f(φ(t))|φ′(t)| es integrable y se tiene la igualdad1
8. Sean f, g R([a, b]), tales que g mayore a f. Entonces [[f, g]] tiene superficie y
Demostración. Proponemos al lector que escriba completamente la demostración del teorema a título de ejercicio: a continuación le entregamos una rápida guía para hacerlo.
Se verifica fácilmente que las funciones escalonadas cumplen las distintas propiedades enunciadas en el teorema. Enseguida se trata de extender éstas a funciones arbitrarias, integrables en el sentido de Riemann. Esta extensión no presenta dificultades en el caso de las dos primeras propiedades. Para probar la tercera, observar en primer lugar que si α, α′, β, β′, son cuatro números reales, tales que α < α′, β < β′, entonces se cumplen las desigualdades siguientes:
Hay que tener en cuenta además que si f R(I) es mayorada en valor absoluto por una constante positiva M entonces se puede escoger las sucesiones aproximantes y de modo que
De este modo se puede entonces probar la tercera propiedad del enunciado. La cuarta es un caso particular de la tercera y de la linealidad de la integral; la quinta, resulta de la cuarta y de la igualdad:
La sexta propiedad resulta de la observación siguiente: si [α, β] es un intervalo, 1[α, β](x) es su función característica,(aquélla que vale 1 si x [α, β] y 0 sino), entonces para toda función g sobre [a, b] se tiene:
De esta relación resulta claro que g = |f| es integrable si y sólo si |f|1[a, c[ y |f|1[c, b] lo son. Pero, de modo que usando (1.31) con g = f se obtiene la descomposición del enunciado.
Un cálculo directo permite probar que la fórmula del cambio de variables es satisfecha por las funciones f escalonadas. Para extenderla a las funciones integrables en el sentido de Riemann, la clave es probar primero que si se tiene una función real f definida sobre [a, b] y si (fn)n, (gn)n son dos sucesiones de funciones integrables tales que
entonces f R([a, b]) y
La demostración de esta propiedad se obtiene de la manera siguiente. Por la definición de la integral de Riemann, para todo n existen sucesiones de funciones escalonadas , tales que
y
para todo m y para las cuales
si m → ∞. Además se pueden escoger estas funciones escalonadas de modo que , si es necesario reemplazando por ínf y por sup. Entonces,
para todo n . Tomando enseguida las sucesiones diagonales y se tiene que ellas son aproximantes de f en el sentido de la definición de la integral de Riemann y es igual al límite común de las integrales de tales funciones escalonadas. Pero además por construcción de las sucesiones de funciones escalonadas, los límites de sus integrales deben coincidir con los de la ecuación (1.34).
Una vez demostrada esta propiedad, el teorema de cambio de variables resulta por una aplicación directa de ella y del cambio de variables para funciones escalonadas.
Asimismo, la prueba de la última parte del teorema se obtiene por aplicación de (1.34): la superficie de la figura comprendida entre dos funciones escalonadas se expresa claramente como la integral de su diferencia; en el caso general, la aproximación por funciones escalonadas provee el resultado usando (1.34).
Nos preguntamos ahora qué tan extensa puede ser la clase de las funciones integrables en el sentido de Riemann. Sabemos que contiene a las funciones continuas salvo en un número finito de puntos, pero, ¿qué tanto más podemos relajar la condición de continuidad? Este problema fue planteado y resuelto por Du Bois-Reymond en 1882.
DEFINICIÓN 1.3. Un subconjunto N de la recta real se dice de extensión nula (más tarde diremos de medida nula) si para cada > 0 existe una colección finita de intervalos cuyo largo total (calculado como la suma de las longitudes respectivas) sea menor que e y su reunión cubre a N.
TEOREMA 1.2. Sea f una función con valores reales definida en un intervalo [a, b] de y acotada. Ella es integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b] si y sólo si su conjunto de discontinuidades Df es de extensión nula.
Demostración. Designemos por ω(f, E) la oscilación de f sobre un subconjunto E de [a, b] dada por la expresión
Observar que ω(f, E) ≤ ω(f, E′) si E ⊂ E′. Así, la oscilación de f en un punto x [a, b] es
Claramente f es continua en x si y sólo si ω(f, x) = 0. Entonces Df se escribe en la forma
Comenzaremos por probar que f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para cada p ≥ 1 el conjunto Ep = {x [a, b] : ω(f, x) > 1/p} es de extensión nula.
Supongamos f R([a, b]). Sea (π(n))n una sucesión de particiones de [a, b], π(n) : . Examinemos (1.24). Dado p > 1, Ep queda contenido en los intervalos de la partición π(n) en los cuales la oscilación es mayor que 1/p. Llamemos ln(p) la suma de las longitudes de dichos intervalos. Se tiene entonces
y la integrabilidad de f determina la convergencia a 0 de las sumas de (1.38) si n → ∞, de donde, para cada p fijo, ln(p) → 0. Esta última propiedad nos dice que Ep es de extensión nula para cada p ≥ 1.
Recíprocamente, supongamos Ep de extensión nula para cada p > 1. Entonces, dado > 0 existe una colección finita de intervalos que cubren Ep y cuya suma de longitudes es menor que . Dada una partición cualquiera π de [a, b], designemos por I1,..., Ik los subintervalos disjuntos de [a, b] que ella determina. Refinemos π de la siguiente manera: llamemos π la partición definida por las extremidades de los intervalos que resultan al considerarlos de la forma I y las intersecciones de aquellos con los de la forma J. De esa manera, la partición π contiene intervalos de extremidades y , entre los cuales hay algunos contenidos en los de la forma J. Sea N0() el subconjunto de índices j N() para los cuales existe algún m de modo que . Así tenemos:
Pero, para cada j N\N0(), se tiene Mj–mj < 1/p; para j N0(), En consecuencia, se obtiene:
La desigualdad (1.39) y (1.24) nos permiten concluir, ya que y p pueden ser escogidos arbitrariamente.
Por último, para probar que Df es de extensión nula si y sólo si cada Ep lo es, se deja al lector el ejercicio de verificar las dos aserciones siguientes:
Todo subconjunto de un conjunto de extensión nula es de extensión nula;
Toda reunión numerable de conjuntos de extensión nula es de extensión nula.
4. La integral de funciones con valores complejos
La integral de Riemann admite una extensión inmediata al caso de funciones complejas. Si f es una función definida en un intervalo [a, b] de , con valores complejos, le asociamos dos funciones reales: su parte real y su parte imaginaria , que permiten representarla
DEFINICIÓN 1.4. Una función f : [a, b] → es integrable en el sentido de Riemann si . Su integral es entonces
Llamamos el conjunto de tales funciones f.
PROPOSICIÓN 1.1. Si f es una Junción en , su integral satisface la desigualdad
Demostración. Sean . Entonces:
En un ejercicio al fin del capítulo estudiaremos en qué caso se tiene la igualdad en (1.42).
Observemos que los tres procedimientos del “arte de medir” analizados en este capítulo: cálculo de sumas de series, cálculo de superficies, integración en el sentido de Riemann, descansan en propiedades básicas relativamente simples.
En primer lugar, hemos visto que los conjuntos que pueden ser medidos, satisfacen ciertas propiedades con respecto a las operaciones usuales sobre conjuntos. Lo mínimo necesario corresponde a la estabilidad para reuniones e intersecciones finitas (por ejemplo, la reunión finita de conjuntos con superficie posee superficie).
En segundo lugar, la aplicación que mide los conjuntos debe ser creciente, en el sentido de la inclusión de conjuntos: si un conjunto con superficie contiene a otro, la superficie del primero es mayor que la del segundo.
En tercer lugar, es necesario establecer una regla para medir una reunión finita de conjuntos (ver (S2)).
Finalmente, es necesario un “buen comportamiento” con respecto a límites crecientes y decrecientes de conjuntos. Estas últimas son propiedades llamadas de continuidad inferior y superior cuyo sentido riguroso se estudiará más tarde, (ver (S4) y el ejercicio 1.3).
Estas ideas básicas nos acompañarán a lo largo de este volumen: constituyen los pilares de la teoría de capacidades y de la medida. Respecto a la primera, la teoría de capacidades, que no constituye requisito para los cursos básicos de Análisis e Integración, hemos reservado un capítulo anexo al final del libro para quienes deseen tener una introducción al tema.
Para el lector interesado en seguir el desarrollo histórico de la teoría de la integración, se recomienda la lectura del excelente libro de Pesin [39], que pasa en revista los pasos dados en su formalización.
1. Sea f una función continua definida sobre el intervalo compacto real [a, b] y con valores en .
a) Se supone f positiva y . Probar que f es nula.
b) Se supone que para todo n , la integral es nula. Probar que f es nula.
2. Sea z \{0}: z se escribe en la forma z = |z|exp(iArg z) con 0 ≤ Arg z < 2π; Arg z es el argumento de z.
a) Sea z1 = u1 + iv1 y z2 = u2 + iv2 dos elementos de . Probar que:
y que la igualdad significa ya sea z1z2 = 0 o bien Arg z1 = Arg z2 módulo π.
b) Probar que si f es una función compleja continua definida sobre [a, b], entonces la igualdad
significa que el argumento de f es constante sobre el conjunto {t ]a, b[; f(t) ≠ 0}.
Enseguida probar que si se tiene la igualdad:
entonces f es constante sobre [a, b].
3. Sea f una función de en , periódica, de período 2π, integrable en el sentido de Riemann sobre [0,2π]. Sus coeficientes de Fourier están dados por la expresión:
Sea
a) Probar que |an| ≤ M para todo n .
b) Se supone f continua. ¿Bajo qué condición se puede tener |an| = M ?
4. El propósito de este ejercicio es probar el llamado “Teorema Fundamental del Cálculo”, que relaciona primitivas e integrales de una función.
a) Sea f una función integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b]. Se define F sobre [a, b] mediante la expresión:
Probar que F es continua en cada punto x [a, b].
b) Si el conjunto Df de discontinuidades de f es finito, probar que F es derivable en ]a, b[\Df, y se tiene: F′(x) = f (x) para todo x ]a, b[\Df. F es una primitiva de f, mejor aún, es la única que se anula en a.
FIGURA 1. Pitágoras, 570 a.C.– 469 a.C.
FIGURA 2. Euclides, aprox. 325 a.C.– 265 a.C.
FIGURA 3. Bernhard Riemann, 1826- 1866
