Читать книгу Действуй, мозг! Квантовая модель разума - Роман Бабкин - Страница 18

Прежде чем совершить прорыв в теории мозга, Декарт совершил революцию в математике. Суть переворота заключалась в переосмыслении понятия «число».

По мнению сэра Майкла Атья, в истории математики такие учёные, как Ньютон и Лейбниц, знаменуют переход от алгебры к математическому анализу.²⁹

Не углубляясь в предпосылки данного перехода, заметим, что существенной его чертой было появление дифференциального исчисления и термина «функция».

Думаю, сейчас все знают, что функция есть отношение двух величин (необязательно выраженных числом – существуют, например, векторные функции). Однако, чтобы прийти к современному пониманию числа и функции, человечество преодолело немалый путь.

Со школы каждому знакома двухмерная система координат (ось абсцисс – x и ось ординат – y с их числовой разметкой), в которой исследуются различные функции (всякие эллипсы, параболы, гиперболы и пр.).

Мало кто задумывался (я в школьные годы – точно нет), что графическое изображение функции есть удивительный пример человеческой фантазии, соединившей, казалось бы, мало сопоставимые вещи: геометрию и алгебру.

В данном случае фантазия принадлежала Рене Декарту. Его трактат «Геометрия», увидевший свет в 1637 году (за семь лет до «Первоначал философии»), продемонстрировал новый универсальный подход к решению математических задач.

А именно: любые объекты и их соотношения можно выразить через алгебраические уравнения. Декарт строил двухмерную систему координат (теперь говорят «декартовы координаты»), изображал два пересекающихся объекта (например, окружность и параболу), выражал каждый объект через уравнение, объединял получившиеся уравнения в систему и решал её. Полученные корни являлись координатами (по оси абсцисс) точек пересечения объектов.⁹

Для того чтобы понять, как Декарт от математики шагнул к оригинальной идее об устройстве мозга, предпримем попытку воспроизвести его логику.

В целях упрощения изложения рассмотрим в плоскости декартовых координат объекты: параболу (x² = y) и несколько, пересекающих её, прямых (y = ¼; y = 1; y = 2; y = 3; y = 4).

Указанные объекты пересекаются в некоторых точках (геометрическая характеристика), имеющих соответствующие координаты и, в частности, определенные числовые значения на оси абсцисс (алгебраическая характеристика).

Среди этих значений есть, как отрицательные, так и положительные, числа: целые (—2; —1; 1; 2), в виде обыкновенной дроби (—½; ½) и т.н. «иррациональные» (—√3; —√2;√2;√3) (см. рис. 7).

Иррациональные числа были известны задолго до Декарта (скажем, число π).

Надо сказать, что большинству математиков они не нравились (при попытке их уточнения – попробуйте, например, извлечь квадратный корень из 2 или из 3 – выползает «некрасивая» десятичная дробь с длинным-предлинным бесконечным хвостом). Некоторые даже не считали их числами.

Рене Декарт покончил с этой своеобразной дискриминацией, расширив теоретическое представление о числе. В «Геометрии» он фактически объявил то, что спустя несколько десятилетий сформулировал Ньютон: число – отношение одной величины к другой.

В результате этого отношения могут получаться целые, дробные, иррациональные и даже отрицательные значения.

Важно не это, а то, что за каждым числом стоит некий смысл (скажем, π является постоянным значением отношения длины окружности к её диаметру; или, например, в медицине бессмысленно подсчитывать количество больных на данной территории, но полезно выяснить отношение больные/здоровые, больные/всё население и т.д.).

Только за одно это толкование понятия «число» мы, благодарные потомки, наставили бы Рене Декарту памятников. Но математику этого было мало: он стал рассуждать дальше.

Декарт задумался: насколько вообще допустимо совмещать геометрию и алгебру – это и вправду важно на практике или просто отвлечённая игра ума? получающиеся в координатной сетке точки пересечения объектов, как и сами объекты, реальны? или они, поскольку заданы абстрактными комбинациями цифр, суть умозрительные конструкции, часть из которых хоть и имеют какой-то смысл, но большинство, как почти все иррациональные числа, бесконечно непостижимы?

Поясним суть проблемы на нашем примере.

Возьмём параболу, заданную функцией x² = y, и пересекающуюся с ней прямую, заданную функцией y = 1. По методу Декарта, составим систему уравнений и найдём корни: x₁ = —1, x₂ = 1. Получим координаты двух точек пересечения для данных объектов: (—1; 1), (1; 1).

Аналогичные операции проделаем для каждой другой пары параболы и прямой – получим соответствующие значения координат.

Заметим, что значения всех функций в точках пересечения объектов будут всегда положительными. Т.е. y – строго положительное число.

Обобщая, можно сказать, что совокупность уравнений, отражающих функции, есть правила, по которым строятся реальные (в том смысле, что допустимо создать их в физической реальности: в самом простом случае – нарисовать на бумаге) геометрические объекты. А совокупность числовых координат локусов пересечения объектов есть точки – тоже реальные (их можно вычислить по правилу) корни уравнений (см. рис. 8).

Пока вроде бы ничего сложного: всё яснее ясного.

Но Декарт решил усложнить себе жизнь и перевернуть параболу «вверх ногами» – рассмотреть зеркальное отображение объекта, заданного функцией x² = y.

Или, иначе говоря, математик исследовал, в контексте приведённого выше обобщения, функцию x² = ƒ, где ƒ – это строго отрицательное число.

Вероятно, идея пришла к нему из оптики, которой учёный активно занимался. А, может, его осенило, когда он смотрелся в зеркало: ведь «мнимое изображение», несмотря на всю условность своего существования, чем-то да является.

Как бы там ни было, перевёрнутая «вверх ногами» парабола – очень странный объект. Реальна ли описывающая его функция?

По методу Декарта, составим системы уравнений для параболы, заданной функцией x² = ƒ, и двух пересекающихся с ней прямых, например, y = —1 и y = —3. Попытаемся найти корни.

Не выходит. Потому что получаются уравнения: x² = —1; x² = —3. И, значит, x = √—1; x = √—3.

Квадратный корень из отрицательного числа – это что?

Это мнимые числа.

Такие числа ранее математики уже вычисляли, решая некоторые сложные уравнения. Им не придавали особого значения, поскольку наряду с подобными, казавшимися абсурдными, результатами получались и «нормальные» корни.

Декарт тоже их игнорировал, однако, во-первых, взявшись написать о числах всё, что знал, включил их в общую классификацию (термин «мнимые числа» принадлежит ему), а, во-вторых, в его программе создания общего метода решения математических задач их надо было как-то объяснить.

Ведь, несмотря на алгебраическое затруднение, геометрические объекты x² = ƒ, y = —1, y = —3 существуют. В системе координат их можно построить и легко найти координаты точек пересечения. По две точки для каждой пары соответственно: (—1; —1) и (1; —1); (—√3; —3) и (√3; —3).

Значит, геометрические объекты реальны.

Но, поскольку функция-правило, согласно которой строится один из объектов, скажем так, не совсем реальна (функция типа x² = — y), координаты общих для этих объектов чисел-точек содержат «мнимые числа».

Т.е. данные точки нереальны (см. рис. 9).

Полагаю, будучи подлинным учёным, Декарт таким результатом нисколько не смутился. Что получилось, то получилось.

Свойство «мнимости» не помешало распространить логику соотношения величин и на эти, несподручные, числа.

Число, согласно Декарту, есть точка пересечения/соприкосновения двух объектов, причём математическое выражение общего локуса может быть, как минимум, двояким: реальным и мнимым.

Более того: используя мнимые числа-точки можно построить мнимый объект. Такой, как перевёрнутая парабола. Или, если брать примеры из современной жизни, «цифровой двойник».

Этот объект обладает многими свойствами реальности, но привычными мыслями-чувствами его не ухватишь и не ощутишь. Как отражение в зеркале.

Много позже, на рубеже XVIII – XIX вв. математики (Каспар Вессель, Жан-Робер Арган, Джон Уоррен и др. – основываясь, в свою очередь, на работах Леонарда Эйлера и Карла Фридриха Гаусса) додумались изображать соединение реального и мнимого. Оформилось понятие «комплексное число».

Сегодня все числа в математике – комплексные. Те числа, к которым привык и пользуется обычный человек, тоже комплексные. Только без их, мнимой, части (она принимается равной нулю).

Практическую ценность комплексных чисел в науке и технологиях трудно переоценить. Все технические достижения нашей цивилизации за последнюю сотню, если не больше, лет – в электротехнике, гидродинамике, аэродинамике, строительстве прочных конструкций, навигации, космонавтике и многих других прикладных областях – связаны с расчётами, в которых используются эти числа.¹ Физик Юджин Вингер отмечал, что «применение комплексных чисел становится почти неизбежным при формулировке законов квантовой механики». ³⁹

Итак, хотя понятие комплексного числа сформулировано после Декарта – догадка о принадлежности мнимых чисел миру реального, несомненно, есть его персональная интеллектуальная инновация.

Теперь мы должны яснее понимать ход мыслей математика в отношении устройства и работы мозга.

Догадка о роли мнимых чисел привела в «Первоначалах философии» к тезису о третьем измерении – описанию локуса или точки, где сходятся реальное и мнимое нашего разума.

Возможно, когда учёный писал о «действии воли», он представлял некую, сочетающую геометрию и алгебру, мозговую структуру.

Мозг, как орган тела, ассоциировался с геометрическим объектом (по Декарту, всякая материальная «протяженная субстанция» способна принимать любую форму). А мысль-идея, как движение души, было им соотнесено с алгебраическим выражением (это суть проявление нематериальной «мыслящей субстанции»).

Одновременно с этим, алгебраическое выражение в форме уравнения есть правила-функции, по которым действует и воспринимает окружающий мир наш разум. Корни уравнений – абстрактные, вдохновлённые душой, идеи, которыми мозг свободно оперирует. Если идея верна – это сродни вычислению вещественного корня. Если идея ошибочна – получается мнимое число.

Непосредственный выбор, какой именно идеей руководствоваться, зависит от воли человека. Полное описание этого процесса должно включать все логически возможные объекты (реальные и мнимые) и все решения (реальные и мнимые). Только так можно понять сущность работы одухотворенного мозга.

Но это ещё не всё.

Декарт не только описал мозг математически – он предпринял попытку соединить это объяснение с известными к тому времени фактами в области медицины, механики и даже этики (эти науки учёный уподоблял ветвям древа, чей ствол – физика, а корень – метафизика, т.е. то, что сейчас зовётся философией).

В понимании Рене Декарта механические и биологические объекты имеют общую структуру, сотворенную по единому плану.

Разница лишь в том, что «действия механизмов зависят исключительно от устройства различных трубок, пружин или иного рода инструментов, которые, будучи соразмерны руке мастера, всегда настолько велики, что их форму и движения легко увидеть», а «трубки или пружины» в живых системах, включая человека, «обычно бывают столь малы, что ускользают от наших чувств». ¹⁰

Поэтому учёный отводил себе роль часовщика, рассматривающего не им изготовленные часы и по движению видимых частей делающего вывод о существовании и взаимодействии других, невидимых, частей механизма (как это произошло в случае с перевёрнутой параболой).

Он писал, что по видимым «трубкам» (нервам) в теле человека текут невидимые «животные духи»³² (сигналы), которые сообщают о внешних ощущениях и движениях в мозг – обиталище души и место её соприкосновения с телом. Это соприкосновение настолько тесное, что порождает, присущую исключительно человеку, сущность – свободную волю.

Таким образом, физические, математические, биомедицинские, инженерные и философские знания Декарта соединились, чтобы сконструировать принципиально новое объяснение мозга: это трёхмерная, одухотворенная и производящая идеи-мысли, машина.

Резюмируем гипотезу Декарта:

– Наряду с телом и душой, в человеке действует третье, волевое, измерение. Это особая структура, отражающая соотношение телесного и духовного; находится в головном мозге (предположительно, в эпифизе).

– Волевая структура производит идеи и мысли: как истинные, так и ложные.

– В целом мозг работает как очень сложный механизм, который, тем не менее, может реагировать не только автоматически, но и произвольно.

Два коротких комментария.

Во-первых, на мой взгляд, очевидно, что гипотеза Декарта наследует модели Блаженного Августина.

В объяснении мозга, предложенном математиком, существование души сомнению не подвергается. Вместе с тем, акцент смещён: центральный компонент – не душа, а соотношение душа/тело.

Примечательно, что во французском переводе «Первоначал философии», сделанном через пару лет после публикации латинской версии произведения Декарта (в те времена научные сочинения писали, прежде всего, на латыни), слово mens («ум») передано как âme («душа»). О каких-либо авторских возражениях против столь вольного перевода нам неизвестно.

Во-вторых, отметим одну любопытную деталь: по мнению математика, мозг не оперирует невычислимыми расчётами.

По Декарту, мозг занят исключительно вычислимыми операциями. Это понятно, учитывая проповедуемый учёным алгебраический подход. То, что не поддается конечным вычислениям (иррациональные числа, например) – тоже часть реальности, но не доступная или малодоступная человеческому разуму.

Во всяком случае, математик призывал «имя „бесконечный“ сохранить лишь за Богом».