Читать книгу Научный риск (введение в анализ) - В. Б. Живетин - Страница 9

По отношению к чувственному миру в мире абстрактных объектов человек осуществляет научную деятельность, в которой он, используя дедуктивные доказательства, представленные в различной форме, развивает научные знания. При этом доказательство есть обоснование истинности или ложности вновь сформированного или известного утверждения, включающего в себя процесс создания абстрактного объекта.

Абстрактные объекты изучают такие науки, как математика, современная логика, некоторые области теории систем, кибернетики и теоретической физики. В этих науках предметом рассмотрения, суждения служат абстрактные модели, объекты, например точка, линия, не имеющие физических размеров. Доказательства в полном или строгом смысле сформулированного понятия возможны лишь в математике и логике. Эти доказательства имеют дело с идеализированными объектами – символами, часто находящимися в некотором соотношении с реальными объектами физического мира.

Труднее дело обстоит с доказательствами в таких науках, как философия, история, психология и т. п., где так же, как и в математике, существуют абстрактные объекты. Только естествознание находится, как предсознание, на границе между абстрактным и чувственным миром, который непосредственно связан с физическим миром.

Во всех рассмотренных объектах науки наличие неоднозначных факторов, являющихся исходными аргументами, сложность и многообразие причин, вызывающих то или иное явление, обусловливают необходимость использования в доказательстве недостаточно обоснованных посылок, что приводит к снижению достоверности выводов, наличию в них неопределенных факторов W, которые в простейших случаях относят к случайным.

В математике, где главным и определяющим фактором достоверности выступает человеческий фактор [24], так же, как и в других науках, возникают неопределенности, ошибки, которые приводят к ложным выводам. В математической энциклопедии дано следующее определение доказательства: «Доказательство – рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предположение (утверждение, теорему); основанием доказательства служат исходные утверждения (аксиомы)… Всякое доказательство относительно, поскольку базируется на некоторых недоказуемых положениях».

В математике, для которой характерен аксиоматический метод исследования, средства доказательства достаточно четко определились на раннем этапе ее развития. При этом используется последовательное выведение одних суждений из других, причем способы выведения допускают точный анализ. Отметим, что начало дедуктивного метода доказательства в элементарной геометрии, силлогистике было заложено Аристотелем.

Предположим, что при исследовании некоторых свойств абстрактного объекта создана система понятий и аксиом. При этом возможны следующие ситуации: оцениваются одна теория, ее непротиворечивость и достоверность; оцениваются две теории по одному суждению. При этом необходимо выяснить непротиворечивость данной системы понятий и аксиом для того, чтобы гарантировать истинность доказанных в ней ситуаций.

Непротиворечивость – достаточно сложная проблема. Так, Гёдель доказал, что утверждение о непротиворечивости данной формальной системы в рамках самой системы недоказуемо, если она непротиворечива. Гильберт писал: «Подумайте: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений… приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?». В продолжение этого: «Развитие теории познания показало, что никакая форма умозаключения не может дать абсолютно достоверного знания» [2].

Иногда доказанное суждение представляет собой относительную истину, т. е. включает в себя не только достоверные, но и недостоверные знания. Так, например, применимость данной логики к одному кругу объектов из области G еще не означает возможность применимости ее в более широкой области G₁: G G₁. При этом сформулированные для доказательства понятия и определения, аксиомы приводят к противоречию при доказательствах существования объектов в другой области со сформулированными свойствами. Так, при исследовании динамических объектов (систем) возникает необходимость изучать их траектории, представляющие собой случайные процессы. В теории случайных процессов, как правило, свойства конкретных физических объектов не учитываются. Здесь рассматривается абстрактный объект, которому ставят в соответствие абстрактный случайный процесс, например марковский, для которого имеется большое количество глубоких результатов. Так, для марковских процессов можно построить уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова, с помощью которого можно рассчитать чрезвычайно важное свойство случайного процесса – переходную плотность вероятностей. Для этих же процессов, выступающих в роли абстрактных объектов, строятся модели достижения границ и т. д. Такие модели, как правило, не отражают физический мир, такие процессы могут быть и не порождены реальностью, а самое важное – в том, что нас не интересует их первопричина: они сами, оторванные от физического мира, суть объект исследования, первопричина.

В качестве примеров взаимного проникновения различных теорий, обогативших методы изучения абстрактных объектов, можно рассмотреть: использование теории случайных процессов для исследования объектов математической физики [20]; исследование вероятностных объектов с помощью теории потенциалов [43].

В настоящее время существуют глубокие и хорошо разработанные связи между уравнениями математической физики и случайными процессами, суть которых была открыта в 20-х годах прошлого столетия в работах Н. Винера, Р. Куранта, К. Фридриха и Х. Леви. Все эти работы обусловили введение нового математического объекта – интеграла по траекториям случайного процесса, а также более общего объекта – континуального интеграла, который играет важную роль в современной математической физике. Эти объекты используются в квантовой механике (интеграл Фейнмана), в классической статистической физике и в ряде областей математики, что обусловило необходимость разработки эффективных средств их приближенного вычисления.

Одним из таких методов является метод Монте-Карло, позволяющий моделировать марковские процессы и интегралы по траекториям более общего характера. Недостатком метода принято считать скорость убывания его погрешности, которая в случае конечности второго момента используемой оценки ведет себя как О(N^–1/2), где N – число моделируемых траекторий. Учет априорной информации относительно решения задачи позволяет уменьшить константу при N^–1/2, что позволит комбинировать этот метод с другими и использовать приближенные решения при более грубых предположениях.