Читать книгу Manual de preparación PSU Matemática - Varios autores, Carlos Beristain - Страница 10
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1.1 El conjunto de los números enteros
Definición
El conjunto numérico de los números naturales se define como = {1, 2, 3, 4, …}. Se denota por 0 cuando se agrega el 0 al conjunto, esto es, .
Para representar algunas situaciones o problemas de la vida diaria, los números naturales no son suficientes. Por ejemplo:
• Representar un sobregiro de $ 200.000 en una cuenta corriente.
• Determinar la temperatura de una ciudad si en un instante es de 5 °C y una hora después baja 7 °C.
• Determinar un número que sumado con 4 resulte 1, o sea, resolver la ecuación x + 4 = 1.
Para representar estas situaciones o resolver este tipo de problemas es necesario conocer otro conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros se simboliza por y se puede representar por:
+ corresponde al conjunto de los números enteros positivos: + = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
– corresponde al conjunto de los números enteros negativos: – = {... , –4, –3, –2, –1}
Actividad resuelta
Escribe un número entero que represente la información numérica de cada situación.
a) En la Antártica se registró una temperatura de 20 °C bajo cero.
Las temperaturas bajo cero se pueden representar con números enteros negativos. Así, la temperatura descrita correspondería a –20, es decir, –20 °C.
b) Las ganancias de una empresa en un día fueron $ 700.000.
Las ganancias se pueden representar con números enteros positivos. Así, las ganancias de la empresa corresponderían al número 700.000.
Divisores y múltiplos, números pares e impares
Si a, b, c ∈ – {0} cumplen la relación c = a • b, entonces a y b son divisores de c, y c es múltiplo de a y de b.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es múltiplo de cada uno de los números dados.
El máximo común divisor (m.c.d.) de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que divide a cada uno de los números del conjunto.
Un número entero es par si es múltiplo de 2.
n es par ⇔ n = 2p, con p ∈ .
Un número entero es impar si es antecesor o sucesor de un número par.
n es impar ⇔ n = 2p – 1 o n = 2p + 1, con p ∈.
Actividades resueltas
1. ¿–20 es múltiplo de 10? Sí, porque –20 = (–2) • 10.
2. ¿2 es divisor de –20? Sí, porque –20 = 2 • (–10).
3. Determina el m.c.m. y el m.c.d. de los siguientes números enteros.
a) m.c.m.(–2, 6) = 6 m.c.d.(–2, 6) = 2
b) m.c.m.(–4, 4, 8) = 8 m.c.d.(–4, 4, 8) = 4
c) m.c.m.(–3, 5, 7) = 105 m.c.d.(–3, 5, 7) = 1
Actividades
1. Responde las siguientes preguntas.
a) ¿En qué situaciones se pueden usar números enteros?
b) ¿Cómo se distinguen los números enteros positivos de los números enteros negativos?
2. Escribe ∈ o ∉ según corresponda.
3. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tu respuesta.
a) La sustracción es una operación que siempre tiene solución en el conjunto de los números naturales.
b) Los números enteros están conformados por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos.
c) Algunos números naturales no son números enteros.
d) Todos los números enteros son positivos o negativos.
4. Representa la información numérica de cada situación con un número entero.
a) El avión vuela a 2.700 m de altura.
b) Un submarino se encuentra a 2.500 m bajo el nivel del mar.
c) La rueda se inventó aproximadamente en el año 5500 a. C.
d) Daniela tiene una deuda de $ 2.300 en el almacén.
e) El fondo del mar Caribe alcanza aproximadamente los 3.000 m de profundidad.
f) Alejandro Magno nació en el año 356 a. C. en Macedonia.
g) El récord mundial de inmersión libre masculino (buceo sin equipo) es de 120 m de profundidad.
5. Lee, observa y resuelve.
Para generar energía eléctrica a partir de yacimientos geotérmicos se deben perforar profundos pozos que conduzcan, hacia la superficie terrestre, el fluido almacenado a altas temperaturas en la corteza de la Tierra. Ya en la superficie, el vapor, que viene a alta presión, se utiliza para hacer funcionar una turbina y así producir energía eléctrica.
a) ¿Qué medidas de la ilustración anterior pueden ser representadas mediante números enteros?
b) ¿Cuáles corresponden a números positivos?, ¿cuáles a números negativos?
6. Determina si cada afirmación es verdadera o falsa.
a) El m.c.m.(4, 10) es un número par.
b) El m.c.d.(8, 12) es un número impar.
c) El m.c.m.(5, 15, 25) es igual que el m.c.m.(1, 2, 5).
d) El m.c.d.(12, 15, 21) es distinto al m.c.d.(9, 3, 6).
1.2 Representación, comparación y orden en
Representación en la recta numérica
Los números enteros se pueden representar en la recta numérica de la siguiente manera:
En un punto sobre la recta se ubica el número 0.
Se hacen marcas a la izquierda y a la derecha del cero, de tal forma que el espacio entre dos marcas consecutivas sea siempre el mismo.
Se asocia cada marca con un número entero. Para ello se ubican los enteros positivos a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda.
Es importante considerar que a cada número le corresponde un único punto y que la distancia entre dos números enteros consecutivos siempre es la misma.
Actividad resuelta
Representa en una recta numérica los números enteros –6 y 3.
1° Se traza la recta y se ubica el cero.
2° Se dibujan marcas considerando que la distancia entre dos marcas consecutivas debe ser la misma.
3° Se ubica el número –6 a 6 unidades a la izquierda del cero y el número 3 a 3 unidades a la derecha del cero.
Orden y comparación en
Dados dos números enteros a y b, entre ellos se puede presentar una y solo una de las siguientes relaciones de orden:
• a < b. En la recta numérica, a está a la izquierda de b.
• a > b. En la recta numérica, a está a la derecha de b.
• a = b. En la recta numérica, a y b se encuentran ubicados en el mismo punto.
En la recta numérica, será mayor aquel número entero que se ubique más a la derecha.
Actividad resuelta
Ubica cada par de números en una recta numérica y establece la relación de orden entre ellos.
a) –7 y –2.
Como –7 está a la izquierda de –2, entonces –7 es menor que –2, es decir, –7 < –2.
b) –5 y 4.
Como 4 está a la derecha de –5, entonces 4 es mayor que –5, es decir, 4 > –5.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número a representa la distancia de este número al cero en la recta numérica. Se simboliza |a| y se lee ''valor absoluto de a''.
Para comparar dos números negativos se pueden analizar sus valores absolutos. De esta manera, un número negativo es menor que otro si su valor absoluto es mayor, es decir, si se ubica más a la izquierda en la recta numérica.
Actividad resuelta
Escribe <, >, o = según corresponda.
a) –13__________–8 Como |–13| = 13 > |–8| = 8, entonces en la recta numé-rica –13 está a la izquierda de –8. Por lo tanto, es menor, o sea, –13 < –8.
b) |–15|_______–|15| Primero, se determinan los valores absolutos. |–15| = 15 y |15| = 15. Por lo que se cumple que –|15| = –15. Finalmente, se tiene |–15| > –|15| porque todo número positivo es mayor que uno negativo.
Actividades
1. Responde las siguientes preguntas.
a) Si a, b ∈ , de tal forma que a se ubica a la izquierda del 0 en la recta numérica y b a la derecha, ¿cuál es mayor?
b) ¿Qué número tiene como valor absoluto 10 y en la recta numérica se ubica a la izquierda de 0?
c) ¿Cuándo el valor absoluto de un número es mayor que el número?
d) Si a, b, c ∈, de tal forma que en la recta numérica a está a la izquierda de b y c está a la izquierda de a, ¿cuál es el número mayor?
2. Escribe en cada recta numérica el número entero asociado a cada letra.
3. Observa y completa. Luego, responde.
a) ¿Cuál es el antecesor de –1?
b) ¿Cuál es el número entero cuyo sucesor es –2?
4. Responde. Justifica tu respuesta en cada caso.
a) ¿Cuántos números enteros están localizados entre –14 y 3? ¿Cuáles son estos números?
b) Entre los números –7, 8, 3, –10, 6, 4 y –2, ¿cuál es el más alejado de cero en la recta numérica? ¿Cuál está más cerca de cero en la recta numérica?
c) ¿Cuántos números enteros hay entre 21.000 y 1.000?
5. Representa cada conjunto de números enteros en la recta numérica.
a) A = {–5, 4, –3, 0, 7}
b) B = {–2, 6, 3, –1, –4}
c) C = {1, –7, 5, 4, –6, –3, –9, 7}
d) D = {–8, 5, –6, –4, 2, 1, 8, –9, –3, –1}
6. Escribe >, <, o = según corresponda.
a) –|8|________|–8|
b) –15_______–18
c) –|8|______–|–8|
d) –15_______18
e) –(–10)________|–10|
f) –(–12)________–12
Representación gráfica de la adición de números enteros
La adición de números enteros se puede representar en la recta numérica. Para ello, se ubica uno de los sumandos y se marca con un punto (•), luego se avanza a la derecha o a la izquierda tantas unidades como indique el otro sumando, según sea positivo (+) o negativo (–), respectivamente.
Actividades resueltas
1. Representa la adición (–2) + (–3) en la recta numérica.
Se ubica el –2 en la recta numérica.
Se avanza tres unidades a la izquierda del –2.
Finalmente, se tiene que (–2) + (–3) = –5.
2. Representa la adición (–5) + 6 en la recta numérica.
Se ubica el –5 en la recta numérica.
Se avanza seis unidades a la derecha del –5.
Finalmente, se tiene que (–5) + 6 = 1.
Adición en
Para resolver una adición de números enteros, sin usar una recta numérica, se deben tener en cuenta los siguientes casos:
| Adición de dos números enteros con el mismo signo | Adición de dos números enteros con distinto signo |
| En este caso, se suman los valores absolutos de los números y al resultado se le antepone el signo común de los sumandos. | En este caso, se resta al valor absoluto mayor el valor absoluto menor y al resultado se le antepone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto. |
Actividades resueltas
1. Calcula (–12) + (–17).
2. Calcula (–19) + 13.
Sustracción en
El inverso aditivo de un número entero a es un número entero b tal que a + b = 0, o sea, el inverso aditivo de a es –a. Un número entero y su inverso aditivo están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero tienen distinto signo. Para resolver una sustracción en , se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo, es decir:
a – b = a + (–b)
Actividad resuelta
Resuelve el siguiente problema.
El matemático griego Euclides falleció aproximadamente en el año 265 a. C. y el matemático hindú Brahmagupta nació en el año 598 d. C. ¿Cuántos años de diferencia hay entre estos dos hechos?
Resolución:
Se resuelve la sustracción entre 598 y –265 de la siguiente manera:
Respuesta: Hay 863 años de diferencia entre el año en que nació Brahmagupta y el que falleció Euclides.
Actividades
1. Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el signo de la suma de dos números enteros negativos?
b) ¿Cuál es el signo de la suma de dos números enteros con signos diferentes?
c) ¿Cuál es el resultado de sumar un número entero con su inverso aditivo?
d) ¿Cuál es la diferencia entre un número entero y su inverso aditivo?
e) Si a la suma de dos números enteros se le resta la suma de sus inversos aditivos, ¿cuál es el resultado?
2. Resuelve.
a) (–13) + (–7)
b) (–17) + (–6)
c) (–9) + 15
d) (–21) + 12
e) 18 – (–21)
f) –8 – (–19)
g) 4 – (–10)
h) (–14) – 17
3. Determina en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
a) La diferencia de dos números enteros positivos es siempre positiva.
b) La diferencia de un número entero positivo con un entero negativo es siempre negativa.
c) La diferencia entre dos números enteros es igual a la suma del minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.
d) La diferencia entre un número entero y su doble es igual al inverso aditivo del número.
4. Completa los siguientes cuadrados mágicos teniendo en cuenta que la suma de tres casillas de cada columna, fila y diagonal en ambos sentidos debe ser la misma.
5. Resuelve los siguientes problemas.
a) Un radar registra el movimiento de un submarino. Si inicialmente el submarino se encuentra a 32 m bajo el nivel del mar y luego desciende 23 m, ¿a qué profundidad se encuentra el submarino?
b) La parte más profunda de una mina está a 120 m por debajo del nivel de la Tierra. ¿A qué distancia de la superficie se encuentran dos mineros que ascendieron 85 m a partir del punto más hondo de la mina?
c) Un termómetro marcaba 8 grados bajo cero a las 7 de la mañana. Cinco horas más tarde subió 9 grados y 6 horas después bajó 5 grados. ¿Qué temperatura marcó finalmente?
d) El Partenón de Atenas se construyó aproximadamente en el año 432 a. C. y la Torre Eiffel se terminó de levantar en 1889. ¿Cuántos años transcurrieron entre la construcción de ambas edificaciones?
e) En la mañana la temperatura de una ciudad fue de 3 grados bajo cero. Si durante el día la temperatura se incrementó en 5 °C, ¿cuál fue la temperatura al final del día?
1.4 Multiplicación y división en
Multiplicación en
Para calcular el producto de dos números enteros se puede considerar la regla de los signos:
• Si los factores tienen el mismo signo, el producto es positivo.
• Si los factores tienen distinto signo, el producto es negativo.
| Regla de los signos | |
| + • + = + | + • – = – |
| – • – = + | – • + = – |
Actividades resueltas
1. Calcula el producto en cada caso.
a) (–12) • (–6)
Como 12 • 6 = 72, entonces al usar la regla de los signos se tiene: (–12) • (–6) = 72.
b) (–15) • 7
Como 15 • 7 = 105, entonces, al usar la regla de los signos se tiene: (–15) • 7 = –105.
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) Una tortuga marina desciende 2 metros cada minuto. ¿A qué profundidad estará después de 4 minutos?
Resolución: se representan los datos con números enteros.
Por cada minuto desciende 2 m: –2.
Después de 4 minutos: 4.
Luego, la tortuga estará a: 4 • (–2) = –8.
Respuesta: La tortuga estará a 8 metros de profundidad.
b) Un agente financiero observa que las acciones de la compañía en que pensaba invertir hace tres semanas tuvieron una pérdida de $ 5.000 por acción semanalmente. ¿Cuánto dinero no perdió el agente, por concepto de acción, gracias a que no invirtió en esa compañía?
Resolución: se representan los datos con números enteros.
Por cada semana la acción pierde $ 5.000, es decir, –5.000.
Hace tres semanas: –3
Luego, se tiene que: (–5.000) • (–3) = 15.000.
Respuesta: El agente no perdió $ 15.000 por acción.
División en
Para calcular el cociente de dos números enteros se puede considerar la regla de los signos:
• Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, entonces, el cociente es positivo.
• Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, entonces, el cociente es negativo.
| Regla de los signos | |
| + : + = + | + : – = – |
| – : – = + | – : + = – |
Actividad resuelta
Calcula las siguientes divisiones entre números enteros.
a) (–165) : 11
Como 165 : 11 = 15, entonces por la regla de los signos (–165) : 11 = –15.
b) (–325) : (–13)
Como 325 : 13 = 25, entonces, por la regla de los signos (–325) : (–13) = 25.
Actividades
1. Calcula el producto en cada caso.
a) (–3) • (4) • (–6)
b) (–10) • (9)
c) (–4) • (–2) • (–6) • (–3)
d) (6) • (5) • (–3) • (–1)
e) 9 • (–8)
f) (4) • (3) • (–12)
2. Analiza la siguiente expresión. Luego, resuelve.
x @ y = –7 • x • (108 : y)
a) 4 @ 2
b) 6 @ 4
c) 7 @ 9
d) –5 @ 3
e) –3 @ 6
f) –8 @ 12
g) 2 @ 4
h) 5 @ 1
i) 6 @ –6
j) 0 @ 1
3. Determina el término desconocido en cada caso.
4. Resuelve los siguientes problemas.
a) La temperatura de un refrigerador disminuye 3 °C cada hora. ¿En cuánto disminuirá la temperatura del refrigerador al cabo de 8 horas?
b) Con una perforadora de petróleo se excavó un pozo de 1.248 metros en 12 días trabajando 8 horas diarias. Si cada hora se profundizó la misma cantidad de metros, ¿cuántos metros se excavaron en una hora?
c) Si las acciones de cierta compañía disminuyen su rentabilidad en $ 18 cada mes, ¿cuánto habrá perdido al cabo de 3 años?
5. Responde.
a) Una multiplicación tiene 136 factores y todos son negativos. ¿Cuál es el signo del producto?
b) En una división el dividendo es negativo y el divisor es positivo. ¿Cuál es el signo del cociente?
6. Ejemplifica cada afirmación.
a) El producto de cinco factores pares negativos es negativo.
b) El doble de un número entero puede ser menor que el número.
c) La quinta parte de un número divisible por 10 puede ser un entero negativo menor que –20.
d) La división exacta entre un número de la forma –1.2 y –4 es un número positivo.
7. Encuentra el camino que siguió Miguel para salir del laberinto, teniendo en cuenta que lo recorrió en el orden de los cocientes de las siguientes divisiones y que no pasó dos veces por el mismo punto del trayecto.
a) (–12) : (–3)
b) (–15) : (5)
c) (21) : (–3)
d) (–45) : (15)
e) (48) : (–12)
f) (–72) : (–9)
g) (80) : (16)
h) (66) : (–11)
2.1 El conjunto de los números racionales
Definición
El conjunto de números racionales, que se simboliza , se puede representar como
Entre los conjuntos numéricos estudiados se tiene que:
Actividad resuelta
Escribe el número racional asociado a la siguiente situación.
Si un pastel se divide en 8 partes iguales, ¿qué fracción del pastel representa cada una de ellas?
El número racional representa una parte del pastel. En este caso, el numerador indica una parte y el denominador el número total de partes.
Orden y comparación
Dados los números racionales y con b, d ≠ 0, se puede establecer solo una de las siguientes relaciones de orden:
Para que , se debe cumplir que a • d = b • c. Entonces se dice que las fracciones y representan un mismo número racional, es decir, son equivalentes. Además se cumple que si entonces a • d < b • c.
Las fracciones irreducibles son aquellas en que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1, es decir, no se pueden simplificar.
Por ejemplo, es irreducible porque los divisores de 4 son {1, 2, 4} y los divisores de 9 son {1, 3, 9}.
Para ordenar números racionales, se pueden escribir estos números como una fracción de igual denominador. Luego, se determina el orden entre los numeradores de las fracciones equivalentes.
Actividades resueltas
1. Determina si las siguientes fracciones representan el mismo número racional. Justifica tu respuesta.
2. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales y .
Se expresan los números como fracciones equivalentes con igual denominador.
Se ordenan las fracciones equivalentes:
Representación en la recta numérica
Para representar en la recta numérica un número racional escrito como fracción, se pueden considerar los siguientes pasos:
1° Se determina entre qué números enteros consecutivos está el número racional.
2° Se divide la unidad que hay entre los dos números enteros en tantas partes como indica el denominador.
3° A partir del menor de los dos números enteros, se consideran hacia la derecha tantas partes como indica el numerador, si el número es positivo. Si el número es negativo, a partir del entero mayor se toma hacia la izquierda tantas partes como indica el numerador.
Actividad resuelta
Representa en la recta numérica el número racional
Para representar en la recta numérica , primero se determina el par de enteros consecutivos entre los cuales está la fracción. Como se ubica entre –3 y –2, porque , y como el denominador es 2, se divide la unidad en dos partes y se cuenta a partir de –2 una parte a la izquierda dado que el numerador es 1 como se muestra en la figura.
Actividades
1. Escribe tres fracciones equivalentes a cada número racional.
2. Compara cada par de fracciones y escribe >, < o = según corresponda.
3. Ordena de mayor a menor en cada caso.
4. Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
5. Escribe los números racionales representados con un • en cada recta.
2.2 Representación decimal de un número racional
Clasificación de números racionales decimales
Un número racional escrito como fracción se puede representar como un número decimal si se divide el numerador por el denominador. Los números racionales decimales se clasifican en:
• Finitos: son aquellos que tienen una cantidad finita de cifras decimales.
• Infinitos: son aquellos que tienen una o varias cifras que se repiten infinitamente (período).
Los números decimales infinitos se clasifican como decimales periódicos cuando el período comienza a partir de la primera cifra decimal, y como decimales semiperiódicos cuando hay una o varias cifras decimales antes del período, denominadas anteperíodo.
Representación de un número decimal finito como una fracción
1˚ Se escriben en el numerador todas las cifras del número sin considerar la coma.
2˚ En el denominador se escribe el valor de la potencia de 10 que tiene tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
3˚ Si es posible, se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.
Actividad resuelta
Representa el número 5,29 como una fracción.
Como 5,29 es un decimal finito, se puede verificar que 5,29 = resolviendo la división 529 : 100 = 5,29.
Representación de un número decimal infinito periódico como una fracción
1˚ Se escribe en el numerador la diferencia entre el número formado por las cifras hasta el final del primer período, sin considerar la coma, y la parte entera del número.
2˚ En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período.
3˚ Si es posible, se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.
Actividad resuelta
Representa el número como una fracción.
es un decimal infinito periódico.
Se puede comprobar resolviendo la división, esto es, 511 : 99 = 5,161616...
Representación de un número decimal infinito semiperiódico como una fracción
1˚ Se escribe en el numerador la diferencia entre el número formado por las cifras hasta el final del primer período, sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo.
2˚ En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
3˚ Si es posible, se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.
Actividad resuelta
Representa el número como una fracción.
es un decimal infinito semiperiódico.
Se puede comprobar resolviendo la división, esto es, 1.299 : 990 = 1,31212...
Actividades
1. Completa la tabla. Parte entera
2. Expresa cada número decimal como una fracción irreducible.
3. Expresa cada número decimal como una fracción irreducible. Luego, represéntalo en la recta numérica.
a) 2,5
b) 0,25
c) 4,5
d) 3,5
e) 1,5
f) 1,25
4. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tu respuesta.
5. Escribe un número decimal que cumpla cada condición. Luego, represéntalo como una fracción.
a) Es decimal finito y tiene 38 milésimas.
b) Es decimal periódico y tiene parte entera 6.
c) Es decimal semiperiódico y su anteperíodo es 13.
6. Los resultados de una prueba académica se obtuvieron dividiendo la cantidad de respuestas correctas por la cantidad de preguntas de la prueba (90). Si respondieron toda la prueba y considerando la siguiente tabla que muestra los resultados de tres estudiantes:
a) Determina la fracción que representa el resultado de cada estudiante.
b) ¿Cuántas preguntas correctas respondió cada estudiante?
c) ¿Cuántas respuestas incorrectas obtuvo cada uno?
7. Observa y responde.
La siguiente gráfica muestra las distancias de tres islas a la costa.
a) Representa las distancias de las islas en la recta numérica.
b) ¿Qué isla está más alejada de la costa?
c) Organiza, de menor a mayor distancia, las islas teniendo en cuenta la playa.
Adición y sustracción de números racionales escritos como fracción
Actividades resueltas
1. Calcula
El mínimo común múltiplo entre 3, 6 y 4 es 24. Amplificando cada fracción se obtienen fracciones equivalentes:
2. Calcula
Multiplicación y división de números racionales
Actividades resueltas
1. Calcula
Se multiplican numeradores y denominadores entre sí, teniendo en cuenta los signos de cada número entero, y se simplifica el resultado.
2. Calcula
Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor, teniendo en cuenta los signos de cada número entero, y se simplifica el resultado.
Propiedades de la adición y de la multiplicación de números racionales
Si a, b, c ∈, se cumplen las siguientes propiedades:
• Conmutativa de la adición: a + b = b + a
• Asociativa de la adición: a + (b + c) = (a + b) + c
• Conmutativa de la multiplicación: a • b = b • a
• Asociativa de la multiplicación:
a • (b • c) = (a • b) • c
• Distributiva de la multiplicación respecto de la adición:
a • (b + c) = a • b + a • c
Densidad de los números racionales
El conjunto de los números racionales () es denso en . Esto quiere decir que dado un número cualquiera, siempre se puede encontrar un número racional tan cerca de él como se quiera. Por esto, se cumple que dados dos números racionales, se pueden intercalar infinitos números racionales entre ellos.
Por ejemplo, dados dos números racionales a y b, se puede intercalar un número racional calculando su promedio . Otra forma es usar fracciones equivalentes con el mismo denominador y analizar sus numeradores.
Actividad resuelta
Intercala un número racional entre .
1er método
Se calcula el promedio de las fracciones.
2do método
Se amplifican ambas fracciones para que tengan igual denominador.
Actividades
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
2. Calcula los siguientes productos y cocientes de números racionales.
3. Considera los números naturales 3 y 6.
a) Ubica los números en una recta numérica.
b) Calcula el promedio de estos números (puedes usar calculadora) y ubícalo en la recta numérica.
c) ¿Cuál es la distancia que hay entre cada número y el promedio?
d) Intercala un número racional entre cada número y el promedio. ¿Cómo lo hiciste?
4. Ubica en la recta numérica los números –4,2 y . Luego, intercala un número entre ellos y explica cómo lo hiciste.
5. ¿Cuántos números podrías intercalar entre dos números racionales?, ¿por qué?
6. Para cada par de números racionales ubica tres números decimales entre ellos.
2.4 Operaciones con números decimales
Adición y sustracción de números decimales finitos
Se denomina fracción decimal a aquella cuyo denominador es el valor de una potencia entera de 10. Estas fracciones se pueden representar con números decimales finitos.
Para resolver una adición o una sustracción entre números decimales finitos se pueden alinear los números por la coma decimal y luego sumarlos como números enteros. Se conserva la ubicación de la coma decimal en el resultado obtenido.
Actividad resuelta
Calcula las siguientes operaciones con números decimales.
a) 5,73 + 0,042 + 271,746
Se alinean los sumandos respecto a la coma y se suman como si fueran números enteros.
Por lo tanto, 5,73 + 0,042 + 271,746 = 277,518.
b) 15,73 – 18,042
Para calcular la sustracción, se debe calcular la adición 15,73 + (–18,042).
Se restan los valores absolutos y se mantiene el signo del que tiene mayor valor absoluto.
Por lo tanto, 15,73 – 18,042 = –2,312.
Multiplicación y división de números decimales finitos
Para multiplicar números decimales finitos se resuelve como si fueran números enteros y en seguida se separan tantas cifras decimales en el producto como la suma del número de cifras decimales de los factores.
Para dividir números decimales finitos se pueden amplificar los términos de la división por el valor de una potencia de 10, de modo que el divisor sea un número entero.
Cuando los números decimales son infinitos periódicos o semiperiódicos, estos se pueden escribir en su forma fraccionaria y luego resolver las operaciones que correspondan.
Actividad resuelta
Calcula las siguientes operaciones con números decimales.
a) 2,75 • 0,73
b) 2,304 : 0,0096
Actividades
1. Resuelve las siguientes adiciones.
a) 0,030 + 0,5
b) 0,075 + 0,25
c) 0,83 + 0,27
d) 0,45 + 0,187
2. Escribe los números decimales del ejercicio anterior en su forma fraccionaria y resuelve las adiciones correspondientes. Compara los resultados obtenidos.
3. Resuelve las siguientes sustracciones.
a) 0,030 – 0,5
b) 0,075 – 0,25
c) 0,83 – 0,27
d) 0,45 – 0,187
4. Escribe los números decimales del ejercicio anterior en su forma fraccionaria y resuelve las sustracciones correspondientes. Compara los resultados obtenidos.
5. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 7,34 • 0,89
b) 2,03 • 0,009
c) 3,75 • 4,01
d) 5,371 • 1,46
6. Resuelve las siguientes divisiones.
a) 0,0017 : 0,034
b) 5,832 : 7,2
c) 0,1331 : 1,21
d) 47,239 : 0,0001
7. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de números decimales.
8. Escribe los números decimales del ítem 7 en su forma fraccionaria y realiza las operaciones correspondientes. Luego, compara los resultados.
9. Lee la siguiente información y luego responde.
Una ampolleta se calienta cuando la electricidad pasa a través del filamento. La cantidad de energía eléctrica transformada en energía calórica por el flujo de corriente está dada por la fórmula:
w = R • I2 • t
donde w es la energía calórica medida en joules (J), R es la resistencia del filamento en ohms, I es la corriente en amperes (A) y t es el tiempo en segundos.
a) Calcula el valor de la resistencia de un filamento si la energía calórica obtenida por una corriente eléctrica de 12,456 A durante 15 segundos es 83.771,8097 J.
b) Realiza el cálculo anterior con una calculadora. ¿Obtuviste el mismo resultado?, ¿por qué?
c) ¿Qué aproximación realiza tu calculadora, por redondeo o por truncamiento? Justifica tu respuesta.
3.1 El conjunto de los números reales
Números irracionales (*)
El conjunto de los números irracionales se simboliza como * y está formado por todos los números que no se pueden escribir de la forma , con a, b ∈, b ≠ 0. Por lo tanto, su forma decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Por ejemplo, , e, π, log 2 son ejemplos de números irracionales ya que en su representación decimal tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Actividad resuelta
Demuestra que no es un número racional.
Se supone que es un número racional, con n ≠ 0 y m.c.d.(m, n) = 1.
Luego m y n serían números pares, es decir, múltiplos de 2, o bien ambos son divisibles por 2, lo que contradice que m.c.d.(m, n) = 1, es decir, que la fracción sea irreducible.
Por lo tanto, asumir que es un número racional es incorrecto y se concluye que es irracional.
Números reales ()
El conjunto de los números reales se simboliza por .
Propiedades de la adición y de la multiplicación en
Sustracción y división de números reales
Se pueden expresar las operaciones de sustracción y división en utilizando el inverso aditivo o el inverso multiplicativo según sea el caso.
| Sustracción | División |
| a – b = a + (–b), para todo a, b ∈ . | a : b = a • b–1, para todo a, b ∈ y b ≠ 0. |
Como el 0 no tiene inverso multiplicativo, la división por cero no está definida.
Actividad resuelta
Realiza las siguientes operaciones.
Actividades
1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Un número real puede ser racional e irracional al mismo tiempo.
b) La expresión x ≤ y, con x e y números reales, se puede interpretar como x es menor o igual que y.
2. Demuestra que es un número irracional.
3. Determina, en cada caso, si la igualdad es verdadera o falsa. Justifica usando las propiedades de los números reales.
4. Resuelve.
5. Completa la demostración con el nombre de la propiedad que permite realizar cada paso.
3.2 Potencias y sus propiedades
Definición
Si b ∈ y n ∈, la potencia bn representa una multiplicación de n factores iguales:
Propiedades de las potencias
A continuación se muestran algunas propiedades de las potencias. Considera n, m ∈, a, b ∈ – {0}.
Actividades resueltas
1. Simplifica la siguiente expresión aplicando las propiedades de las potencias.
Observación:
En las propiedades de las potencias no se analizan los casos 00 y 0n, con n ∈.
2. Resuelve el siguiente problema.
Don Mario decide repartir sus 217 ovejas entre sus 5 hijos. El hijo mayor recibirá el doble de animales que el segundo hijo, quien recibirá el doble que el tercer hijo y así sucesivamente. ¿Cuántas ovejas tendrá cada uno?
Resolución:
Si el hijo mayor recibe x ovejas, el segundo hijo recibe la mitad, o sea, .
El tercer hijo recibe la mitad del segundo, o sea,
El cuarto hijo recibe la mitad del tercero, o sea,
El quinto hijo recibe la mitad del cuarto hijo,
Se resuelve la ecuación:
Respuesta: El hijo mayor recibe 112 ovejas; el segundo, 56; el tercero, 28; el cuarto, 14; y el quinto, 7.
Actividades
1. Escribe cada potencia como potencia con exponente positivo.
2. Calcula.
3. Utiliza las propiedades de las potencias para reducir cada expresión.
4. Remplaza en cada expresión a = 3, b = 2, c = –2 y calcula simplificando cada vez que sea necesario.
5. Resuelve los siguientes problemas.
a) Prueba que a0 = 1 aplicando el cociente de potencias de igual base si a ≠ 0.
b) Calcula la mitad de la mitad de la mitad de 2100.
c) En una competencia entre cuatro personas acordaron repartirse como premio $ 240.000, de manera que el primer lugar se lleva el triple del premio del segundo lugar, lo que se extiende al tercer y cuarto lugar. Determinar los premios correspondientes a cada lugar.
d) En una población de 10.000 conejos se detectó una epidemia que los está exterminando a razón de 10.000 • 2–t, donde t es el tiempo expresado en días. Después de 3 días, ¿cuántos conejos quedan?
6. Determina, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
a) El cuadrado de un número racional negativo es positivo.
b) El cubo de un número racional negativo es positivo.
c) El producto de potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
d) Al elevar una fracción a la cuarta, se elevan el numerador y el denominador.
7. Completa cada teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
8. Resuelve.
En una fábrica de pasteles se empacan los pasteles en cajas cúbicas cuyas aristas miden 9,5 cm. 9,5 cm
a) ¿Cuál es el volumen de las cajas para empacar pasteles individualmente?
b) Si se empacan los pasteles en grupos de 25 cajas como la de la figura, ¿cuál será el volumen de cada grupo de cajas?
Definición
La notación científica se utiliza para representar un número racional como el producto entre un número cuyo valor absoluto sea mayor o igual a 1 y menor que 10 y una potencia de 10.
Cuando se multiplica un número decimal por una potencia de 10 con exponente positivo, la coma del número decimal se desplaza tantas cifras a la derecha como lo indique el exponente. Si el exponente de la potencia es negativo, el desplazamiento es a la izquierda. Por ejemplo, –3,756 • 107 = –37.560.000 y 5,922 • 10–4 = 0,0005922.
Actividades resueltas
1. Escribe en notación científica las siguientes medidas.
a) La masa de la Tierra es 5.976.300.000.000.000.000.000.000 kg. 5.976.300.000.000.000.000.000.000 kg = 5,9763 • 1024 kg.
b) La masa del átomo de hidrógeno es 0,00000000000000000000000000167 kg. 0,00000000000000000000000000167 kg = 1,67 • 10–27 kg.
2. Utilizando notación científica, resuelve los siguientes problemas.
a) En un día hay 86.400 segundos. ¿Cuántos segundos hay en 1 año (365 días)?
Segundos en un día: 86.400 = 8,64 • 104
Días en un año: 365 = 3,65 • 102
Se calcula el producto de los segundos en un día por la cantidad de días de un año, esto es, (8,64 • 104) • (3,65 • 102):
En un año hay 3,1536 • 107 segundos.
b) En su órbita alrededor del Sol, la Tierra recorre cerca de 2.573.000 km cada día. ¿Con qué rapidez, en kilómetros por segundos, gira la Tierra en torno al Sol?
Por lo tanto, la Tierra gira alrededor del Sol con una rapidez aproximada de 2,98 • 101 km/s.
En ocasiones se utiliza el “peso” y la “masa” como términos equivalentes. Sin embargo no lo son, ya que el “peso” es una magnitud vectorial y la “masa” un escalar.
Actividades
1. Determina cuáles de los siguientes números están escritos en notación científica.
a) 12,5
b) 1,11 • 10
c) 6,05 • 108
d) 3,64 • 1029
e) 10,9 • 104
f) 0,008 • 1023
g) 2,58 • 1023
h) 0,154 • 106
2. Escribe los siguientes números en notación científica.
a) 2.200
b) 56.040.000
c) 0,0015
d) 0,00000036
e) 3.520.000
f) 345,876
3. Escribe los siguientes números en notación decimal.
a) 6,8 • 1024
b) 6,72 • 105
c) 2,115 • 104
d) 5,31 • 1025
e) 5,04 • 102
f) 7,31 • 1025
4. Escribe las siguientes magnitudes usando la notación científica.
a) Una tonelada métrica equivale a 1.000.000 g.
b) Un nanómetro es una unidad de medida que se utiliza para medir la radiación ultravioleta y equivale a 0,000000001 metros.
c) El área de la superficie de Australia es aproximadamente 7.686.850.000.000 m2.
d) El número aproximado de átomos en 1 gramo de oro es 278.000.000.000.000.000.000.
e) La precisión de una balanza es 0,00000001 g.
f) El número de Avogadro (número de partículas en una molécula-gramo o mol) es 602.200.000.000.000.000.000.000.
g) La luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos.
5. Calcula y expresa tu respuesta en notación científica.
6. Utilizando notación científica, resuelve los siguientes problemas.
a) El Pioner II voló alrededor de Júpiter con una rapidez cercana a 173.000 km/h. ¿A cuántos kilómetros por segundos viajó?
b) Cierto isótopo tiene una vida media de 1,65 • 10–4 segundos. Mientras que otro tiene una vida media de 1,64 • 10–4 segundos. ¿Cuántas veces más larga es la vida media del primer isótopo respecto del segundo?
7. En el análisis de una muestra de sangre de un paciente se encontró que el número de glóbulos rojos por mm3 de sangre es 4,8 • 106. Utilizando notación científica resuelve.
a) ¿Cuál es el número de glóbulos rojos de este paciente si su cuerpo contiene aproximadamente 5 litros de sangre?
b) Si el diámetro de un glóbulo rojo es aproximadamente 10–2 mm, ¿cuál es la longitud en kilómetros de una hilera formada por los glóbulos rojos de este paciente?
c) Si la longitud del ecuador es aproximadamente de 40.000 km, ¿cuántas veces podría dar la vuelta a la Tierra esta hilera de glóbulos rojos?
Raíz enésima
Propiedades de las raíces
Es importante tener en cuenta que para los exponentes racionales también se cumplen las propiedades de las potencias, y que de estas se pueden deducir las siguientes propiedades para raíces enésimas:
Actividades resueltas
1. Escribe la expresión como potencia y calcula su resultado.
2. Escribe la expresión como una potencia de exponente racional.
3. Aplica las propiedades de las raíces para simplificar la siguiente expresión algebraica.
Actividades
1. Completa la tabla.
2. Explica cuál es el error en el siguiente procedimiento.
3. Numera los pasos para simplificar la siguiente expresión.
4. Aplica las propiedades de las raíces para simplificar las siguientes expresiones.
5. Calcula el valor de m en cada caso.
6. Escribe las expresiones como potencias de exponente racional. Luego, simplifica si es posible,
7. Completa cada una de las siguientes igualdades.
8. Lee y resuelve.
Según la teoría de la relatividad de Einstein, la masa m de un objeto que se mueve a una velocidad v está dada por:
Donde m0 es la masa del objeto en reposo y c = 3 • 108 m/s.
Calcula la masa de un protón que se desplaza con v = 0,5c si su masa en reposo es 1,6 • 10–27 kg.
9. Un cono es un cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos. El cateto sobre el que gira es la altura y la hipotenusa es la generatriz del cono.
Determina la generatriz g del cono si:
Adición y sustracción de raíces
Para resolver adiciones o sustracciones con raíces es posible realizar un procedimiento similar a la operatoria con términos semejantes.
Actividad resuelta
Si y h = b – c + a, ¿cuál es el valor de h?
Por lo tanto, el valor de h es
Multiplicación y división de raíces
Para multiplicar y dividir raíces se pueden considerar los siguientes casos:
| Con igual índice | Con distinto índice |
| Multiplicación: se multiplican tanto los coeficientes como las cantidades subradicales entre sí y se aplica la propiedad de la raíz de un producto. Luego, se simplifica el resultado. División: se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales se escriben dentro del mismo radical. Se simplifican hasta donde sea posible. | Cuando se multiplican o dividen raíces con distinto índice se transforman a raíces con igual índice y se procede como en el caso anterior. Para determinar el índice común: • se calcula el mínimo común múltiplo entre los índices de las raíces, el cual será el índice común. • se divide el índice común por el índice de la raíz y se eleva la cantidad subradical a ese resultado. |
Actividad resuelta
Calcula el siguiente producto .
Actividades
1. Resuelve las siguientes operaciones.
2. Determina los números que hacen verdadera cada igualdad.
3. Calcula el producto en cada caso. Simplifica el resultado.
4. Ordena cada grupo de números de mayor a menor.
5. Deduce una expresión algebraica para expresar el área del cuadrado.
6. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene la misma medida que el lado de un cuadrado, como se muestra en la figura.
7. Determina la expresión del volumen del siguiente cuerpo.
8. Calcula el valor de si:
9. Demuestra que:
10. Determina el valor de k para que se cumpla la igualdad.
Cuando una fracción tiene raíces en el denominador es posible encontrar una expresión equivalente sin raíces en el denominador por medio de la racionalización. Para ello se amplifica por una expresión adecuada, de forma que permita expresar el denominador sin raíces.
Actividad resuelta
Racionaliza las expresiones
Actividades
1. En cada caso, multiplica por una expresión que permita simplificar las raíces. Justifica tu respuesta.
2. Enumera los pasos para racionalizar la expresión.
3. Racionaliza las siguientes expresiones.
4. En el movimiento de un péndulo, el período T está determinado por la expresión.
l: longitud y g: gravedad.
a) Racionaliza la expresión asociada al período de un péndulo.
b) Calcula el período si l = m, considerando g = 9,8 m/s2.
5. La velocidad del agua en canales abiertos está determinada por la fórmula de Manning.
a) Escribe en forma de radical la expresión de la velocidad del agua.
b) Racionaliza la fórmula de Manning.
6. Determina el orden de menor a mayor entre los siguientes números.
7. La siguiente figura está formada por un cuadrado dentro del cual se dibujaron otros tres cuadrados cuyas áreas se especifican en las figuras. Determina el área de la figura pintada.
Dado que un número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no es posible tener una representación exacta de la cantidad de cifras decimales que tiene. Es por ello que se pueden aproximar por truncamiento y por redondeo.
Aproximación por truncamiento
Para truncar un número en cierta cifra decimal, se eliminan las cifras decimales que le siguen.
Actividad resuelta
Aproxima truncando a la milésima el número irracional 3,141516171819...
Al truncarlo a la milésima se obtiene: 3,141.
Aproximación por redondeo
Para redondear un número en una cierta cifra decimal hay que fijarse en el valor de la cifra siguiente; si es mayor o igual a 5, se suma 1 a la cifra por redondear y las restantes no se consideran. Si la cifra es menor que 5, se mantiene igual y las restantes cifras decimales no se consideran.
Actividad resuelta
Aproxima redondeando a la milésima el número irracional 3,141516171819...
Al redondearlo a la milésima se obtiene 3,142.
Algunos tipos de aproximaciones para números correspondientes a raíces cuadradas no exactas son la aproximación pitagórica y la aproximación por acotación sucesiva.
Aproximación pitagórica
Si es una aproximación por exceso de (mayor que ), entonces es una aproximación por defecto (menor que y aún más precisa. A su vez, si es una aproximación por defecto (menor que ), lo es por exceso. En general, siempre se cumple una de las siguientes desigualdades, siendo n un número entero no negativo.
Actividad resuelta
Calcula una aproximación de .
Una fracción que cumple . Como 16 > 13 > 9, entonces 4 > > 3. Considerando 4 > , aproximando por defecto se tiene:
Ahora, aproximando por exceso, se considera que .
Luego, se tiene que:
Se puede aplicar este proceso reiteradamente para obtener una mejor aproximación.
Aproximación por acotación sucesiva
Se acota el número irracional x, tanto inferior como superiormente, es decir, se determinan dos números racionales a y b tal que a < x < b, luego se calcula el promedio entre estos números y se prosigue tantas veces como sea necesario.
Actividad resuelta
Determina una aproximación .
El proceso continúa tantas veces como se quira, según la aproximación conseguida.
Orden en
es un conjunto ordenado. Asi, para comparar numeros reales, y en particular numeros irracionales, se pueden representar como numeros decimales, para luego compararlos. Una manera alternativa si se consideran raices cuadradas, consiste en com-parar sus cuadrados, ya que para numeros mayores que 1, mientras mayor sea un numero, mayor es su expresion al cuadrado.
Actividad resuelta
Ordena de menor a mayor .
Al elevarlas al cuadrado resulta: = 50, luego se tiene lo siguiente: .
Actividades
1. Aproxima por truncamiento y redondeo cada número.
a) 3,14151617… a la centésima.
b) 15,3698765… a la décima.
2. Aproxima las siguientes raíces utilizando cada método según corresponda.
3. Ordena de menor a mayor según corresponda.
3.8 Números irracionales en la recta numérica
Para ubicar números irracionales en la recta numérica es necesario aproximarlos, ya que tienen infinitas cifras decimales. Por ejemplo, para π se puede considerar 3,1415 y se marca dicha aproximación con un punto en la recta. Sin embargo, para situar en la recta numérica la raíz cuadrada de un número natural, es posible utilizar algún procedimiento geométrico.
Actividad resuelta
Ubica el número en la recta numérica.
Sobre el número 1 se traza un segmento AB perpendicular que mida 1 unidad, luego se forma un triángulo uniendo el número 0 con B. Al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene que la hipotenusa mide , luego con centro en 0 y radio igual a la hipotenusa se traza un arco de circunferencia que corta a la recta numérica en .
Prosiguiendo de esta forma se pueden ubicar en la recta numérica , etc.
Esta construcción geométrica que representa las raíces cuadradas de los números naturales se conoce como la espiral de Teodoro.
Actividades
1. Determina qué número se ha representado con una letra en la recta numérica.
2. En cada recta numérica determina qué números representan las letras A, B y C.
El logaritmo de a en base b (logb a) es el exponente de una potencia de base b cuyo valor es a, es decir, si a , b – {1} y x , se define lo siguiente:
logb a = x ⇔ bx = a
Para relacionar la potencia, el logaritmo y la raíz enésima, con n y a, b , b ≠ 1, se tiene lo siguiente:
bn = a ⇔ n = logb a ⇔ b =
Cuando la base del logaritmo es 10 log10 a = log a.
El logaritmo de base e se conoce como logaritmo natural. Así, loge a = ln a.
Actividades resueltas
1. Calcula el valor de log5 125.
Por definición se tiene que: log5 125 = x ⇔ 5x = 125. Como 53 = 125, se tiene que x = 3.
2. Si logx 8 = 3, ¿cuál es el valor de x?
Se sabe que logx 8 = 3 ⇔ x = , luego x = 2.
3. ¿Cuál es el valor de log 10.000?
Considerando x = log 10.000 ⇔ 10x = 10.000, se obtiene que x = 4, luego log 10.000 = 4.
4. Si ln x = 0 y log y = 5, ¿cuál es el valor de x + y?
De ln x = 0 se obtiene que e0 = x, luego 1 = x; además, de log y = 5 ⇔ 105 = y, se obtiene que y = 100.000. Por lo tanto, x + y = 100.001.
Actividades
1. Calcula.
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
3.10 Propiedades de los logaritmos
El logaritmo cumple las siguientes propiedades:
• Logaritmo de la unidad. Si b – {1}, entonces:
logb 1 = 0
• Logaritmo de un producto. Si a – {1}, b, c , entonces:
loga (b • c) = loga b + loga c
• Logaritmo de una potencia. Si a – {1}, b entonces:
loga bn = n • loga b
• Logaritmo de la base. Si b – {1}, entonces:
logb b = 1
• Logaritmo de un cociente. Si a – {1}, b, c , entonces:
• Cambio de base de un logaritmo. Si a, b, c – {1}, entonces:
Actividades resueltas
1. Calcula el valor de la expresión .
2. Utilizando las propiedades estudiadas, calcula .
Actividades
1. Calcula el valor de cada expresión.
2. Considerando log3 5 = 1,465, log3 7 = 1,771, log6 5 = 0,898 y log6 2 = 0,387, calcula los siguientes logaritmos.
3. Reduce cada expresión. Para ello, aplica las propiedades del logaritmo.
4. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso.
5. Resuelve.
a) Si M • N3 • P = 625, ¿cuál es el valor de la expresión ?
b) Si A = (log2 80 – log2 5) + (log3 135 – log3 5), ¿cuánto es A2?
c) Calcula el valor de la expresión A = log6 (log3 (log2 (log2 256))).
d) ¿Cuál es el valor de la expresión
e) Si F = 4 log16 (log8 ), ¿cuál es el valor de 3F?
f) Se define B = log30 64 + log30 153 – 3 log30 2. ¿Cuál es el valor de log3 B2?
Las ecuaciones de la forma x2 + a = 0, a , no tienen solución en el conjunto numérico de los números reales porque el cuadrado de un número real es un número no negativo y al ser sumado con un número positivo su resultado no es cero. En particular en la ecuación x2 + 1 = 0, si tuviese solución en el conjunto de los números reales, debiese existir un número real con la condición de que x2 = –1. Para resolver el problema se define el número i (unidad imaginaria) como el número cuyo cuadrado es –1, es decir, i2 = –1. Por lo tanto la ecuación x2 + 1 = 0 tiene como soluciones x1 = i, x2 = –i.
Las ecuaciones de la forma x2 + a = 0, con a , tienen dos raíces o soluciones imaginarias que son:
Potencias de i
En el desarrollo de potencias de i se tiene:
En general, se tiene ∀ p :
Actividades resueltas
1. Determina si las siguientes ecuaciones tienen solución en .
a) x2 + 10 = 0
Al despejar se obtiene x2 = –10. Luego, no existe un número real que al elevarlo al cuadrado resulte –10. Por lo tanto, no tiene solución en .
b) 4x2 – 16 = 0
Al despejar se obtiene x2 = 4. Luego se tiene que existen dos números reales que cumplen la igualdad: 2 y –2. Por lo tanto, tiene solución en .
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
3. Calcula el valor de cada potencia.
4. Calcula el resultado de cada expresión.
Actividades
1. Determina cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en .
a) x2 + 6 = 0
b) x2 – 5 = 0
c) 5x2 – 25 = 0
d) 0 = 4x2 + 32
e) 0 = 12(x2 + 3)
f) 15 = 7x2 – 15
g) 8(x2 + 12) = 16(x2 – 7)
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x2 + 5 = 0
b) 0 = 150 + x2
c) x2 + 12 = 0
d) –x2 = 200
e) x2 + 16 = 0
f) –5x2 = 500
g) 0 = 25 + x2
h) –8x2 = 288
i) 0 = 100 + x2
j) –9x2 = 81
3. Calcula el valor de cada potencia de i, luego resuelve.
4. Determina el resultado de cada expresión.
5. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en cada caso.
a) Toda expresión de la forma , a , representa un número imaginario.
b) Al calcular i se obtiene como resultado –9.
c) Al calcular i456 su resultado es un número real.
d) El resultado de i–7 es un número imaginario.
6. Calcula cada suma.
a) i3 + i6 + i9 + ... + i96 + i99
b) i2 + i4 + i6 + ... + i98 + i100
El conjunto de los números complejos () está formado por los números de la forma z = a + bi con a, b .
= {z = a + bi / a, b }
En todo número complejo z = a + bi se distinguen dos partes: la parte real de z simbolizada por Re(z) = a, y la parte imaginaria de z simbolizada por Im(z) = b.
Los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos, ya que:
• Números reales: números complejos de la forma z = a + 0i, es decir, Im(z) = 0.
• Números imaginarios: números complejos de la forma z = 0 + bi, es decir, Re(z) = 0.
Igualdad entre números complejos
Dos números complejos z1 y z2 son iguales si sus partes real e imaginaria son respectivamente iguales. Es decir:
z1 = z2 ⇔ Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2)
Entre los conjuntos numéricos estudiados, se tiene lo siguiente: .
Representado en un diagrama, se tiene:
Actividades resueltas
1. Determina la parte real e imaginaria de cada número complejo.
2. Si z1 = (12x – 6) + 8i, z2 = 18 + (5 – y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z1 = z2?
Se debe cumplir Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2), es decir:
• 12x – 6 = 18 ⇒ x = 2
• 8 = 5 – y ⇒ y = –3
Remplazando estos valores se tiene: z1 = z2 = 18 + 8i.
Actividades
1. Escribe o , según corresponda.
2. Determina la parte real y la parte imaginaria de cada número.
3. Escribe cada número en la forma z = a + bi según las condiciones dadas.
4. Escribe un número complejo que cumpla con la condición solicitada.
a) La parte real sea el doble de la parte imaginaria.
b) La parte imaginaria sea negativa y la parte real sea un número mayor que –5 y menor que cero.
c) Su parte real sea cero y su parte imaginaria sea un número par primo.
d) Su parte imaginaria sea cero y su parte real 7.
e) La parte real sea menor que 3 y mayor que 1 y la parte imaginaria sea un número negativo.
f) La parte real sea un múltiplo de 5 y la parte imaginaria sea divisor de 8.
5. Resuelve.
a) Si z = x + (16 + y)i, w = – 7yi, ¿cuáles son los valores de x e y para que z = w?
b) Si z1 = (5a + 12) + 7i, z2 = 17 – bi, ¿cuáles son los valores de a y b para que z1 = z2?
c) Si z = (x + 2y) + (5 + 7y)i, w = – (5 – 12y)i, ¿cuáles son los valores de x e y para que z = w?
d) Si z1 = z2 y z1 = 3 – (5 + y)i, z2 = (4 – 2x) + (7 – 5y)i, ¿cuáles son los valores de x e y?
e) Si z = 3x + (5y – 4)i, w = 15 – 8yi, para que z = w, ¿cuánto es x + y?
6. Determina los valores de p y q para que se cumpla cada igualdad.
4.3 Representación gráfica de números complejos
En el plano cartesiano se utilizan los ejes X e Y, que representan los números reales. Es posible construir el plano complejo, que se conoce como plano de Argand, identificando el eje Y con las partes imaginarias (Im(z)) y el eje X con las partes reales (Re(z)). De esta manera, es posible representar un número complejo cualquiera como un punto en este plano identificando su parte real en el eje X, y su parte imaginaria en el eje Y.
Un número complejo z se puede representar en:
• Forma binomial: z = a + bi
• Forma cartesiana: z = (a, b)
Conjugado de un número complejo
Se define el conjugado de un número complejo z = a + bi, como:
De lo anterior se deduce lo siguiente.
• El conjugado de un número cuya parte imaginaria es cero, es el mismo número.
Si z = a ⇒ = a.
• El conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número complejo.
• Un número complejo z y su conjugado se ubican en forma simétrica respecto al eje real del plano de Argand.
Módulo de un número complejo
En el plano de Argand, el número complejo z = a + bi o z = (a, b), se representa utilizando un vector desde el origen del plano hasta el punto z. La longitud del vector corresponde al módulo del número complejo, que se anota por |z| y se calcula por:
Actividades resueltas
1. En el plano de Argand se han representado los números complejos z1, z2, z3 y z4. ¿Cuál es su representación en forma binomial y cartesiana?
2. Si z1 = 3 – 5i, z2 = –5 + 8i y z3 = –1,5 – 7i, ¿cuáles son los conjugados?
3. Representa en el plano el número complejo z = –3 + 2i, su conjugado y luego calcula su módulo.
El conjugado del número complejo es , y su módulo es:
Además se observa que .
Actividades
1. Representa en el plano de Argand los siguientes números complejos.
a) z1 = 2
b) z2 = 3i
c) z3 = 4 – 4i
d) z4 = –3 – i
e) z5 = –4 + 5i
f) z6 = 3 + i
g) z7 = 5 – 2i
h) z8 = 7 – 5i
i) z9 = 6 – 4i
j) z10 = –5 – 2i
2. Observa el plano de Argand, luego responde.
a) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real e imaginaria mayor que cero.
b) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria menor que cero.
c) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real mayor que cero e imaginaria menor que cero.
d) Escribe en forma binomial y cartesiana los números complejos que tienen la parte real menor que cero e imaginaria mayor que cero.
3. Calcula el módulo de cada número complejo y su conjugado, luego represéntalo en el plano de Argand.
a) z1 = –2 – i
b) z2 = –4 + 2i
c) z3 = 1 + 4i
d) z4 = 2 – 2i
e) z5 = 4 + 2i
f) z6 = –i
g) z7 = –2 – 5i
h) z8 = 8 + 2i
i) z9 = 3 – 8i
j) z10 = –5 – 4i
4. Determina el módulo y el conjugado de cada número complejo según corresponda.
Para resolver una adición entre dos o más números complejos se suman, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.
Actividades resueltas
1. Si z1 = –3 + 2i, z2 = 5 – 6i, luego z1 + z2 = (–3 + 5) + (2 – 6)i = 2 – 4i.
2. Si z1 = –8 – 4i, z2 = –12 – 8i, luego z1 + z2 = (–8 – 12) + (–4 – 8)i = –20 – 12i.
Propiedades de la adición de números complejos
En el conjunto se cumplen las siguientes propiedades para la adición:
Clausura: si z, w , entonces, z + w .
Conmutativa: si z, w , entonces z + w = w + z.
Neutro aditivo: existe un número complejo 0 tal que z + 0 = z.
Inverso aditivo: existe –z tal que z + (–z) = 0.
Asociativa: los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin alterar el resultado, es decir, (z + w) + u = z + (w + u).
Al relacionar la adición con el conjugado de un número complejo se cumple que:
Si z = a + bi, se tiene que z + = 2a, ya que z + = (a + a) + (b + (–b))i = 2a
Si z = a + bi y w = c + di, se tiene que , ya que:
Interpretación geométrica de la adición de números complejos
Al representar gráficamente la adición entre dos números complejos, esta se puede relacionar con un paralelógramo. Donde cada sumando corresponderá a un lado y la suma a la diagonal.
Si z1, z2 y z3 , se tiene:
• z1 + z2 = z3
Actividad resuelta
Si (7 + 4i) + z = 2 + 7i, ¿cuál es el número complejo z?
Si z = a + bi, se tiene (7 + 4i) + (a + bi) = 2 + 7i ⇒ (7 + a) + (4 + b)i = 2 + 7i
Igualando las partes reales e imaginarias se obtiene lo siguiente:
• Parte real: 7 + a = 2 ⇒ a = –5
• Parte imaginaria: 4 + b = 7 ⇒ b = 3
Por lo tanto, z = –5 + 3i.
Actividades
1. Si z1 = 5 + 2i, z2 = –7 – 8i, z3 = –i, z4 = 5 – 2i, calcula:
2. Representa en un solo plano de Argand cada adición entre números complejos.
a) z1 = 3 – 2i, z2 = 1 + 2i; A = z1 + z2
b) z3 = 7 + i, z4 = –3 + 2i; B = z3 + z4
c) z5 = 1 – i, z6 = 4 – 5i; C = z5 + z6
d) z1 = 2 – 2i, z2 = 4 + i; D = z1 + z2
e) z3 = –3 + i, z4 = 1 + i; E = z3 + z4
f) z5 = 1 – 2i, z6 = 3i; F = z5 + z6
g) z1 = –2i, z2 = –5 + i; G = z1 + z2
h) z3 = – i, z4 = 2i; H = z3 + z4
i) z5 = 6 – i, z6 = 3 + 3i; I = z5 + z6
j) z1 = 7 – 2i, z4 = 5 – 5i; J = z1 + z4
3. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa.
a) El inverso aditivo de z = 1 + i es w = –1 + i.
b) Siempre la suma de números complejos es un número real.
4. Observa el plano de Argand y luego resuelve o responde según corresponda.
5. Resuelve.
a) Si (9 – 3i) + z = 15 + i, ¿cuál debe ser el número complejo z?
b) Si w + (–6 – 2i) = 17 + 3i, ¿cuál debe ser el conjugado de w?
c) Si z = –6 + bi, w = c + 7i y además z + w = –9 – 15i, ¿cuáles son los valores de b y c?
Para resolver una sustracción entre dos o más números complejos se restan, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.
Si z, w , z = a + bi, w = c + di ⇒ z – w = (a – c) + (b – d)i
Al relacionar la sustracción con el conjugado de un número complejo, se tiene lo siguiente:
• Si z = a + bi, se tiene que z – = 2bi.
z – = (a + bi) – (a – bi) = (a – a) + (b – –b)i = (b + b)i = 2bi
• Considerando z , se cumplen las siguientes igualdades:
• Si z = a + bi y w = c + di, se tiene
Actividades resueltas
1. Si z = 5 – 7i, w = – 7 + 6i, ¿cuánto es z – w?
z – w = (5 – –7) + (–7 – 6)i = 12 – 13i
2. Si (– 4 + 2i) – z = –3 + 2i, ¿cuál debe ser el número complejo z?
Si z = a + bi, se tiene:
(–4 + 2i) – (a + bi) = –3 + 2i ⇒ (–4 – a) + (2 – b)i = –3 + 2i
Igualando sus partes real e imaginaria se obtiene:
• Parte real: –4 – a = –3 ⇒ a = –1
• Parte imaginaria: 2 – b = 2 ⇒ b = 0
Por lo tanto, z = –1.
Nota histórica
Si bien los números imaginarios eran conocidos desde el siglo XVI, no fue hasta principios del siglo XIX que se les dio validez a partir de su interpretación geométrica (plano de Argand). Esta interpretación fue dada casi simultáneamente por el matemático Carl F. Gauss (1777-1855) y dos aficionados a la matemática: un noruego de apellido Wessel (1745-1818) y un tenedor de libros parisino llamado Argand (1768-1822).
3. Si z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – i, z3 = 5 + i, resuelve y representa las siguientes sustracciones: z3 – z2 y z3 – z1.
z3 – z2 = (5 + i) – (2 – i)
= 3 + 2i
= z1
z3 – z1 = (5 + i) – (3 + 2i)
= 2 – i
= z2
Actividades
1. Si z1 = 6 – 4i, z2 = –4i, z3 = –3 + 2i, z4 = 6 + 4i, calcula.
2. Si z1 = 3 – 4i, z2 = –5 – 2i, z3 = –2 – 6i, z4 = –3 + 4i, calcula y luego representa en un plano de Argand lo siguiente.
3. Verifica si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
a) La sustracción entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.
b) La diferencia entre números complejos cumple la propiedad asociativa.
c) El resultado de (1 – i) – (1 + i) – (–1 – i) es igual a 1.
4. Observa el plano de Argand y luego resuelve.
5. Resuelve.
a) Si (3 – 5i) – z = 14 + 5i, ¿cuál debe ser el número complejo z?
b) Si w – (–6 + 13i) = 8 – 5i, ¿cuál debe ser el conjugado del número complejo w?
c) Si z = a – (3 – b)i, w = 12 + (5 – 4b)i y además w – z = –5 – 4i, ¿cuáles son los valores de a y b?
6. Demuestra las siguientes igualdades.
La multiplicación entre dos números complejos z = a + bi, w = c + di se define por:
z • w = (a + bi) • (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Propiedades de la multiplicación en
En se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:
Clausura: si z, w , entonces z • w .
Conmutativa: si z, w , entonces z • w = w • z.
Neutro multiplicativo: z • 1 = 1 • z, = z ∀ z .
Inverso multiplicativo: si z = a + bi ≠ 0, existe i tal que z • z–1 = 1 = 1 + 0i.
Asociativa: si z, w, u , entonces (z • w) • u = z • (w • u).
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición o de la sustracción.
∀ z, w, u , entonces z • (w ± u) = z • w ± z • u.
Al relacionar la multiplicación con el conjugado de un número complejo, se tiene que:
• Si z = a + bi, entonces = |z|2, ya que = (a + bi) • (a – bi)
• Si z = a + bi y w = c + di, entonces
Actividad resuelta
Si z1 = –3 – 5i, z2 = 2 + 3i, verifica que se cumple la propiedad conmutativa.
Actividades
1. Si z1 = 3 – 5i, z2 = 4 – 2i, z3 = 3 + 5i, z4 = –6 – 8i calcula:
2. Demuestra las siguientes propiedades. Considera z1, z2 .
3. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:
4. Calcula cada producto y luego represéntalo en el plano de Argand.
5. Calcula el inverso multiplicativo de los siguientes números complejos.
Para resolver una división entre z1 = a + bi, z2 = c + di es posible amplificar por el conjugado del denominador y determinar el resultado:
De manera equivalente:
Actividades resueltas
1. Si z1 = –2 + 3i, z2 = 1 + 2i, calcula z1 : z2.
2. La impedancia es un fenómeno físico que se describe por medio de oscilaciones y es de gran importancia en ingeniería electrónica. La impedancia Z (en ohms) afecta la corriente en un circuito y se determina mediante la fórmula: . Determina la impedancia cuando V = 1,5 – 0,6i e I = –0,3i.
Resolución:
Respuesta: La impedancia es (2 + 5i) ohms.
3. En la igualdad: z(–5 + 4i) = 4 – 4i, ¿cuál es el valor de z?
Actividades
1. Resuelve las siguientes divisiones.
a) (3 – 2i) : (5 + 3i)
b) 9i : (4 – i)
c) (1 + i) : (–1 – i)
d) (5 + 2i) : (7 + i)
e) (12 – 2i) : 5i
f) (2 – i) : 8i
g) (4 – 2i) : (1 + 5i)
h) (4 + 2i) : (1 – i)
i) (5 – 5i) : (1 – i)
2. Determina si cada igualdad es verdadera o falsa. Para ello, considera z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – i.
3. Determina el valor de z según corresponda.
a) z(1 + i) = (3 + i)
b) (2 + 2i)z = 5i
c) 9 = z(7 + 2i)
d) (1 – 2i)z = (3 + 2i)
e) 7zi = (8 – i)
f) i = (6 + 8i)z
g) z(3 – i) = (1 + i)
h) (4 – i) = (3 + 5i)z
i) (3 + i)z = (6 + 3i)(–1 + i)
4. Resuelve las siguientes divisiones. Para ello, considera z1 = 4 + 2i, z2 = –1 – i, z3 = 2 – i,
5. En el plano de Argand se han representado los números complejos z1, z2, z3 y z4. Considerando lo anterior, resuelve.
4.8 Potencias de números complejos
Si z y n , la potencia zn se define como la multiplicación de z por sí mismo n veces.
Para exponentes negativos se tiene que z–n = . Si n = 0, se define z0 = 1, para todo z ≠ 0.
Se puede calcular la potencia de un número complejo utilizando las expresiones del cuadrado y del cubo de binomio y luego remplazar los valores de las potencias de i cuando corresponda.
Para calcular potencias de mayor grado, se pueden combinar las propiedades de las potencias con cuadrados y cubos de un binomio.
Actividad resuelta
Calcula el valor de la potencia de cada número complejo.
Actividades
1. Calcula el valor de las siguientes potencias.
4.9 Raíces cuadradas de números complejos
Se define la raíz cuadrada de un número complejo z como un número complejo w, tal que w2 = z, es decir, .
Para determinar las raíces cuadradas de un número complejo z = a + bi, con b ≠ 0, se puede plantear la ecuación a + bi = (x + iy)2, con x e y números reales. Luego, para resolverla se reescribe como un sistema de ecuaciones, esto es, escribiendo una ecuación para igualar las partes reales y otra, para las partes imaginarias. Si en algún caso se obtuviera que x o y no fueran números reales, dicho caso se descarta. A partir de este proceso, se tiene que siempre existe, y corresponde a dos números complejos distintos, que tienen como característica que son inversos aditivos uno del otro.
Actividades resueltas
1. Determina las raíces cuadradas de z = 6i.
Se buscan los números complejos w = x + iy, tales que w2 = z. Es decir:
2. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de z = 2i?
Se resuelve la ecuación (x + iy)2 = 2i, luego se tiene:
Actividades
1. Calcula las raíces cuadradas de cada número complejo.
a) z1 = 4i
b) z2 = 3 – 4i
c) z3 = 15 + 8i
4.10 Números complejos en forma polar
Dado un número complejo z = a + bi, representado en el plano de Argand, se tienen las siguientes relaciones:
Actividades resueltas
1. Escribe en forma polar el número complejo z = 1 + i.
Para profundizar el estudio de las razones trigonométricas puedes revisar el Anexo de Trigonometría (pág. 326).
2. ¿Cuál es la forma polar del número complejo z2 representado en el plano de Argand?
Actividades
1. Representa en forma polar los siguientes números complejos.
4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar
Dado un número complejo z = |z| (cos(θ) + i sen(θ)), se tiene que:
• La potencia enésima es: zn = |z|n (cos(n • θ) + i sen(n • θ)), n .
• La raíz enésima es:
Así, se obtienen n raíces, cuyos ángulos correspondientes tienen una diferencia igual a .
Al representarlas en el plano de Argand, se obtienen n puntos sobre una circunferencia con centro en el origen y radio .
Actividad resuelta
Si la representación en forma polar del número z = –2 + 2i es z = (cos(135˚) + i sen(135˚)), calcula z3
Con los valores de k se obtienen las 3 raíces, que en este caso son w0, w1 y w2.
Actividades
1. Calcula lo pedido y luego grafica las raíces en el plano de Argand.
